Funciones discontinuas

Vista previa del material en texto

Resumen 
Invierno 2019 
Funciones discontinuas 
En matemáticas, una función discontinua es aquella cuya gráfica tiene un quiebre 
o salto en un punto específico. Más formalmente, una función f es discontinua en 
el punto x=a si el límite de la función por ambos lados de a no coincide con su 
imagen, f(a). 
Definición 
Una función es discontinua en un punto si se cumple que: 
• El límite de la función por el lado izquierdo de x=a es diferente de f(a). 
• El límite de la función por el lado derecho de x=a es diferente de f(a). 
Importancia 
Las funciones discontinuas son importantes en matemáticas porque permiten 
modelar fenómenos del mundo real que no son continuos. Por ejemplo, en física 
se utilizan para modelar el comportamiento de objetos que chocan, en ingeniería 
se utilizan para diseñar estructuras que se rompen y en economía se utilizan para 
analizar mercados que experimentan cambios bruscos. 
Aplicaciones en la actualidad 
Las funciones discontinuas se aplican en una amplia variedad de campos, como la 
física, la ingeniería, la economía y las ciencias sociales. Por ejemplo, en física se 
utilizan para modelar el comportamiento de los choques, en ingeniería se utilizan 
para diseñar estructuras que se rompen, en economía se utilizan para analizar los 
mercados que experimentan cambios bruscos y en las ciencias sociales se utilizan 
para estudiar el comportamiento humano que puede cambiar repentinamente. 
Ejemplos 
• La función f(x) = |x| es discontinua en el punto x=0, ya que el límite de la 
función por el lado izquierdo es -1 y el límite de la función por el lado 
derecho es 1. 
Resumen 
Invierno 2019 
• La función f(x) = 1/x es discontinua en el punto x=0, ya que el límite de la 
función por el lado izquierdo es infinito y el límite de la función por el lado 
derecho es infinito. 
• La función f(x) = {1 si x es par, 0 si x es impar} es discontinua en todos los 
puntos enteros, ya que la función no tiene un valor definido en esos puntos. 
Conclusiones 
Las funciones discontinuas son un concepto importante en matemáticas. Son 
importantes porque permiten modelar fenómenos del mundo real que no son 
continuos. Se aplican en una amplia variedad de campos y tienen numerosas 
aplicaciones en la actualidad. 
Adición: 
Además de la discontinuidad en un punto, existen otros tipos de discontinuidades, 
como la discontinuidad en el infinito y la discontinuidad por salto. 
• Discontinuidad en el infinito: Una función es discontinua en el infinito si el 
límite de la función a medida que x tiende a infinito no existe. 
• Discontinuidad por salto: Una función es discontinua por salto si la función 
tiene un salto en un punto. 
Estos tipos de discontinuidades se pueden analizar de manera similar a la 
discontinuidad en un punto.