Claves-Recuperatorio-Primer-Parcial-2c-2016

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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA – RECUPERATORIO PRIMER 
PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 
 
1. Hallar los valores de 𝒙 ∈ ℝ tales que (2 puntos) 
𝒙 − 𝟏
𝟑 − 𝟐𝒙
≤ 𝟐 
Solución 
𝑥 − 1
3 − 2𝑥
− 2 ≤ 0  
𝑥 − 1 − 2(3 − 2𝑥)
3 − 2𝑥
≤ 0  
5𝑥 − 7
3 − 2𝑥
≤ 0 
 
Para que el cociente resulte menor o igual a cero tenemos dos posibilidades: 
Caso I: 
5𝑥 − 7 ≤ 0 ∧ 3 − 2𝑥 > 0  5𝑥 ≤ 7 ∧ −2𝑥 > −3  5𝑥 ≤ 7 ∧ 2𝑥 < 3 
  𝑥 ≤
7
5
 ∧ 𝑥 <
3
2
  𝑥 ∈ (−∞;
7
5
] ∩ (−∞;
3
2
) 
El conjunto solución para el Caso I es: 
𝑆1 = (−∞;
7
5
] 
 
Caso II: 
5𝑥 − 7 ≥ 0 ∧ 3 − 2𝑥 < 0  5𝑥 ≥ 7 ∧ −2𝑥 < −3  5𝑥 ≥ 7 ∧ 2𝑥 > 3 
  𝑥 ≥
7
5
 ∧ 𝑥 >
3
2
  𝑥 ∈ [
7
5
; + ∞) ∩ (
3
2
; +∞) 
El conjunto solución para el Caso II es: 
𝑆2 = (
3
2
; +∞) 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ que satisfacen la desigualdad son los que pertenecen al conjunto 𝑆1 o al conjunto 𝑆2. 
Entonces 
𝑥 ∈ 𝑆1 ∪ 𝑆2 = (−∞;
7
5
] ∪ (
3
2
; +∞) 
 
 
 
 
2. Hallar analíticamente los valores de 𝒂 ∈ ℝ tales que |𝟔 − 𝟐𝒂| > 𝟑 (2 puntos) 
 
Solución 
 
|6 − 2𝑎| > 3 ⟺ 6 − 2𝑎 > 3 ∨ 6 − 2𝑎 < −3 ⟺ −2𝑎 > −3 ∨ −2𝑎 < −9 
|6 − 2𝑎| > 3 ⟺ 𝑎 <
3
2
 ∨ 𝑎 >
9
2
 ⟺ 𝑎 ∈ (−∞;
3
2
) ∪ (
9
2
 ; ∞) 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
MATEMÁTICA – RECUPERATORIO PRIMER 
PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 
 
3. Hallar los valores de 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ para que la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 − 𝟑 pase por el punto (−𝟏; −𝟔) y 
sea creciente en el intervalo sea (−∞; 𝟏). (3 puntos) 
Solución 
Como la función pasa por el punto (−1; −6) sabemos que 
 
𝑓(−1) = −6 
𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) − 3 = −6 
𝑎 − 𝑏 − 3 = −6 
𝑎 − 𝑏 = −3 (1) 
 
La función es creciente en el intervalo (−∞; 1) con lo cual la abscisa del vértice está en 𝑥𝑣 = 1. 
Por otro lado, 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
1 = −
𝑏
2𝑎
 
−2𝑎 = 𝑏 (2) 
Reemplazando (2) en (1) tenemos que 
𝑎 − (−2𝑎) = −3 
3𝑎 = −3 
𝑎 = −1 
 
Y finalmente 
−2 ∙ −1 = 𝑏 ∴ 𝑏 = 2 
 
Los valores buscados son: 𝑎 = −1 y 𝑏 = 2. 
La función es 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 3. 
 
 
 
 
4. Dadas las funciones (3 puntos) 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 3
𝑥
 ; 𝑔(𝑥) = 5 − 𝑥 
calcular el dominio de la función 𝒇 ∘ 𝒈 y hallar (𝒇 ∘ 𝒈)−𝟏 
 
Solución 
Hallamos la expresión de la función 𝑓 ∘ 𝑔: 
 
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MATEMÁTICA – RECUPERATORIO PRIMER 
PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 
 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(5 − 𝑥) =
(5 − 𝑥) − 3
5 − 𝑥
=
2 − 𝑥
5 − 𝑥
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está bien definida siempre y cuando el denominador sea distinto de cero, es decir, debemos 
pedir que: 
𝑥 − 5 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 5 
Por lo tanto 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ − {5} 
Calculamos la función inversa: 
2 − 𝑥
5 − 𝑥
= 𝑦 
2 − 𝑥 = 𝑦(5 − 𝑥) 
2 − 𝑥 = 5𝑦 − 𝑦𝑥 
−𝑥 + 𝑦𝑥 = 5𝑦 − 2 
𝑥(𝑦 − 1) = 5𝑦 − 2 
𝑥 =
5𝑦 − 2
𝑦 − 1
 
Haciendo el cambio de variables: 
(𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) =
5𝑥 − 2
𝑥 − 1
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA – RECUPERATORIO PRIMER 
PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 
 
1. Hallar analíticamente todos los valores de 𝒂 ∈ ℝ tales que |𝟕 − 𝟑𝒂| > 𝟓 (2 puntos) 
 
Solución 
 
|7 − 3𝑎| > 5 ⟺ (7 − 3𝑎) > 5 ∨ ( 7 − 3𝑎) < −5 ⟺ −3𝑎 > −2 ∨ −3𝑎 < −12 
|6 − 2𝑎| > 3 ⟺ 𝑎 <
2
3
 ∨ 𝑎 > 4 ⟺ 𝑎 ∈ (−∞;
2
3
) ∪ (4 ; ∞) 
 
 
2. Hallar los valores de 𝒙 ∈ ℝ tales que (2 puntos) 
𝑥 − 2
5 − 2𝑥
≤ 2 
 
Solución 
𝑥 − 2
5 − 2𝑥
− 2 ≤ 0  
𝑥 − 2 − 2(5 − 2𝑥)
5 − 2𝑥
≤ 0  
5𝑥 − 12
5 − 2𝑥
≤ 0 
Para que el cociente resulte menor o igual a cero tenemos dos posibilidades: 
Caso I: 
5𝑥 − 12 ≤ 0 ∧ 5 − 2𝑥 > 0 
 5𝑥 ≤ 12 ∧ −2𝑥 > −5 
 5𝑥 ≤ 12 ∧ 2𝑥 < 5 
 𝑥 ≤
12
5
 ∧ 𝑥 <
5
2
 
 𝑥 ∈ (−∞;
12
5
] ∩ (−∞;
5
2
) 
El conjunto solución para el Caso I es: 
𝑆1 = (−∞;
12
5
] 
Caso II: 
5𝑥 − 12 ≥ 0 ∧ 5 − 2𝑥 < 0 
 5𝑥 ≥ 12 ∧ −2𝑥 < −5 
 5𝑥 ≥ 12 ∧ 2𝑥 > 5 
 𝑥 ≥
12
5
 ∧ 𝑥 >
5
2
 
 𝑥 ∈ [
12
5
; + ∞) ∩ (
5
2
; +∞) 
El conjunto solución para el Caso II es: 
𝑆2 = (
5
2
; +∞) 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ que satisfacen la desigualdad son los que pertenecen al conjunto 𝑆1 o al conjunto 𝑆2. 
Entonces 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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MATEMÁTICA – RECUPERATORIO PRIMER 
PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 
 
𝑥 ∈ 𝑆1 ∪ 𝑆2 = (−∞;
12
5
] ∪ (
5
2
; +∞) 
 
 
3. Dadas las funciones (3 puntos) 
𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥; 𝑔(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥
 
calcular el dominio de la función 𝑔 ∘ 𝑓 y hallar (𝑔 ∘ 𝑓)−1 
 
Solución 
Hallamos la expresión de la función 𝑔 ∘ 𝑓: 
𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2 − 𝑥) =
(2 − 𝑥) − 1
2 − 𝑥
=
1 − 𝑥
2 − 𝑥
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida siempre y cuando el denominador sea distinto de cero, es decir, debemos 
pedir que: 
2 − 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 2 
Por lo tanto 
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {2} 
Calculamos la función inversa: 
1 − 𝑥
2 − 𝑥
= 𝑦 
1 − 𝑥 = 𝑦(2 − 𝑥) 
1 − 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦𝑥 
−𝑥 + 𝑦𝑥 = 2𝑦 − 1 
𝑥(𝑦 − 1) = 2𝑦 − 1 
𝑥 =
2𝑦 − 1
𝑦 − 1
 
Haciendo el cambio de variables: 
(𝑔 ∘ 𝑓)`−1(𝑥) =
2𝑥 − 1
𝑥 − 1
 
 
 
 
4. Hallar los valores de 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ para que la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 − 𝟑 pase por el punto (−𝟏; −𝟏𝟎) 
y sea decreciente en el intervalo (𝟐; +∞). (3 puntos) 
 
Solución 
 
Como la función pasa por el punto (−1; −10) sabemos que 
𝑓(−1) = −10 
𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) − 3 = −10 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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MATEMÁTICA – RECUPERATORIO PRIMER 
PARCIAL 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 
 
𝑎 − 𝑏 − 3 = −10 
𝑎 − 𝑏 = −7 (1) 
La función es decreciente en el intervalo (2; +∞) con lo cual la abscisa del vértice está en 𝑥𝑣 = 2. 
Por otro lado, 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
2 = −
𝑏
2𝑎
 
4𝑎 = −𝑏 
−4𝑎 = 𝑏 (2) 
Reemplazando (2) en (1) tenemos que 
𝑎 − (−4𝑎) = −7 
5𝑎 = −7 
𝑎 = −
7
5
 
Y finalmente 
−4 ∙ −
7
5
= 𝑏 ∴ 𝑏 =
28
5
 
 
Los valores buscados son: 𝑎 = −
7
5
 y 𝑏 =
28
5
 
La función es 
𝑓(𝑥) = −
7
5
𝑥2 +
28
5
𝑥 − 3