Algebra y geometría

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Ciencias Empresariales - UA Álgebra y Geometría PRÁCTICA 6
PRÁCTICA 6
1. Sea w = (1,3) ∈ R2.
a) Graficar αw con α ≥ 0.
b) Graficar βw con −1 ≤ β ≤ 2.
c) Graficar tw con t ∈ R.
d) Graficar tw+(0,1) con t ∈ R.
2. Determinar si los puntos
(0,0) (0,−1) (1,2)
pertenecen a alguna de las rectas siguientes rectas:
IL1 :
{
x = 1+ t
y = 2+3t
t ∈ R IL2 : 2x− y = 0
3. Determinar la ecuación implícita y un par de ecuaciones paramétricas de la recta en R2 que verifican:
a) Pasa por los puntos (1,2) y (2,3).
b) Contiene al punto (2,5) y tiene la misma dirección que el vector −→v = (1,−1).
c) Pasa por el punto P = (1,3) y es perpendicular al vector −→n = (2,3).
d) Pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al vector −→n = (2,3).
e) Es paralela a la recta 2x+1 = 5 y corta el eje x en x = 3.
f) Es perpendicular a la recta 2x+1 = 5 y corta el eje x en x = 3.
4. Hallar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas:
a) IL1 :
{
x =−1+ t
y = 2+2t
t ∈ R IL2 :
{
x = 2− s
y =−1+2s
t ∈ R
b) IL1 :
{
x = 2t
y =−1−3t
t ∈ R IL2 : x+ y−6 = 0
c) IL1 : x+5y = 0 IL2 : 2x− y = 1
5. Encontrar (en R3) una ecuación paramétrica de:
a) La recta que tiene dirección v = (−4,5,2) y que pasa por (−4,6,8).
b) La recta que pasa por los puntos (−2,3,4) y (−1,3,1).
c) La recta paralela a IL : X = t(2,4,−5)+(0,3,−1) que pasa por (3,−1,2).
d) La recta que es paralela al eje z y que pasa por (1,2,3).
d) Dos rectas distintas perpendiculares a IL : X = α(1,−2,1)+(3,5,6) y que pasen por (1,9,−3).
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6. Hallar, si es posible, la intersección de los siguientes pares de rectas:
a) IL : X = λ(−1,2)+(3,1) y IL : X = λ(1,0)+(2,3)
b) IL : X = λ(1,−1)+(0,2) y IL : X = λ(−2,2)
c) IL : X = λ(−1,1,0)+(2,1,0) y IL : X = λ(1,1,3)+(0,−1,2)
d) IL : X = λ(1,1,3)+(−1,0,2) y IL : X = λ(2,−1,0)+(4,−1,5)
e) IL : X = λ(2,−3,1) y IL : X = λ(2,−3,1)+(1,2,3)
Indicar en cada item si alguna de las rectas analizadas son paralelas o perpendiculares entre sí.
7. Determinar si los puntos
(0,1,2) (0,0,7) (1,1,2)
pertenecen a alguno de siguientes planos:
π1 : 2x+5y+ z = 7 π2 : 2x− y = 0
¿Puede deducir con la información anterior cual es la intersección de π1 y π2?
8. Encontrar, en cada caso, la ecuación implícita y las ecuaciones paramétricas de los planos que verifican:
a) Es perpendicular al vector normal (−1,2,3) y pasa por (1,−1,−2).
b) Es perpendicular al eje x y pasa por (2,8,5).
c) Paralelo al plano π : 2x− y = 1 y que pasa por P = (1,−1,0).
d) Contiene los puntos A = (1,3,−1), B = (2,0,1) y C = (1,4,−2).
e) Paralelo al plano que contiene a los ejes x e y, y que pasa por P = (2,0,3).
d) Paralelo a las rectas IL : X = λ(1,1,3)+ (−1,0,2) y IL : X = λ(2,−1,0)+ (4,−1,5) y pasa por
el origen.
e) Contiene a las rectas IL : X = λ(1,1,3)+(−1,0,2) y IL : X = λ(2,−1,0)+(0,1,5).
f) Contiene a las rectas IL : X = λ(1,1,3)+(−1,0,2) y al punto (−2,−1,1)
9. Escribir en forma paramétrica la recta intersección de los planos π1 y π2 :
a)
{
π1 : x − y + z = 2
π2 : 2x + y − 3z = 1
.
b)
{
π1 : 3x + y − z = −1
π2 : λ(1,−1,0) + µ(3,2,1) + (0,0,1)
.
c)
{
π1 : λ(1,2,0) + µ(−1,0,2) + (0,1,0)
π2 : λ(1,1,−1) + µ(0,0,2) + (1,0,0)
.
10. Decidir si el plano π : 3x−5y+ z = 2 es paralelo al plano π : X = λ(3,−2,1)+µ(1,−6,0)+(3,3,1).
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11. Encontrar, en cada caso, la ecuación de alguna recta que verifique:
a) Pasa por (1,−2,1) y es perpendicular al plano π : 3x+ y− z = 2.
b) Está contenida en el plano π : 3x+ y− z = 2.
c) Es paralela al plano π : 3x+ y− z = 2 pasa por el punto de intersección de las rectas
L : X = (1,1,0)+λ(1,1,1) y L : X = (0,−1,0)+λ(1,0,2).
d) Es paralela al plano π : 3x+ y− z = 2, es perpendicular a la recta L : X = (1,1,0)+λ(1,1,1) y
pasa por el origen.
12. Hallar la distancia entre los siguientes objetos geométricos:
a) 2x+3y− z = 0 y P = (1,0,3)
b) X = λ(2,1,−1)+µ(3,5,7)+(1,4,0) y X = λ(2,1,−1)
c) X = λ(2,1,−1)+(1,4,0) y P = (1,0,3)
d) X = λ(2,1,−1)+(1,4,0) y X = λ(4,2,−2)+(1,4,0)
e) 2x+3y− z = 0 y X = λ(1,−1,−1)+µ(0,1,3)+(5,1,0)
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