Integración Lagrange

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Universidad Autónoma de Querétaro
Facultad de ingeniería
Métodos numéricos
Ingeniería Civil
Reporte # 6
Interpolación Lagrange
Nombre de los alumnos y expediente:
Pérez Alegría Leonardo Emilio 257539
Martínez Hernández Yulissa 257527
Camacho Álvarez Cruz 255250
Nombre del profesor(a):
Malvaez García Rosa Paulina
Fecha: 2 de Mayo del 2017
Introducción
Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores de una función y/o de sus derivadas. 
Objetivo
El objetivo será determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes.
Marco Teórico
Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x):
(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),....,(xn, yn).
Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación.
Vamos a ver una forma de la solución que es el llamado polinomio de interpolación de Lagrange. (Lagrange publicó su fórmula en 1795 pero ya había sido publicada en 1779 por Waring y redescubierta por Euler en 1783).
La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es
Donde usamos polinomios básicos de Lagrange:
Expandiendo el producto para verlo mejor:
Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad:
El grado del polinomio de interpolación de Lagrange es igual o menor que n. Es el menor grado posible. El polinomio encontrado es único. Hay otras maneras de calcular este polinomio (con sus ventajas e inconvenientes). La forma de Lagrange es sencilla y se comprueba con facilidad que es un polinomio de interpolación y su grado. Pero para conocer los coeficientes del polinomio hay que simplificar los términos. Otra característica de esta forma de encontrar el polinomio es que si añadimos o quitamos puntos hay que recalcularlo otra vez.
Vamos a ver algunos ejemplos. El más sencillo es una recta. Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:
Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), con coordenadas x diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos.
Código del programa
% INTERPOLACION "POLINOMIO DE LAGRAGE"
clc 
clear 
format long 
fprintf('INTERPOLACION "POLINIMIO DE LAGRANGE"\n\n\n');
 
xi=input('Ingrese los puntos pertenecientes a las x: ');
yi=input('Ingrese los puntos pertenecientes a las y: ');
 
n=length(xi);
x=sym('x');
for j=1:n
 producto=1;
 for i=1:j-1
 producto=producto*(x-xi(i)); 
 end
 producto2=1;
 for i=j+1:n
 producto2=producto2*(x-xi(i)); 
 end
 producto3=1;
 for i=1:j-1
 producto3=producto3*(xi(j)-xi(i));
 end
 producto4=1;
 for i=j+1:n
 producto4=producto4*(xi(j)-xi(i));
 end
 L(j)=(producto*producto2)/(producto3*producto4); 
 fprintf('\n L%d:\n',j-1) 
 disp(L(j)) 
end
pn=0;
for j=1:n
 pn=pn+L(j)*yi(j); 
end
opc=input('\nDesea aproximar un valor (si/no): ','s');
disp('El polinomio de LaGrange es de la siguiente forma')
disp('y0*L0(x)+ yi*L1(x)+ y2*L2(x)+.... yn*Ln(x)')
 
if opc=='si'
x=input('\nIngrese el punto a aproximar:\n ');
y=eval(pn); 
disp('La aproximacion a f(x) es:')
disp(y)
end
Ejemplo
Conclusión
Emilio: El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las x que no aparecen en la tabla, el polinomio es muy sensible a los errores de los datos.
Cruz: Si se aumenta en número de puntos a interpolar con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador, por norma general, de este modo aumenta la dificultad en el cálculo.
Yulissa: La interpolación polinómica aquí estudiada no debe utilizarse para datos con error de medida, si tomo n+1 puntos alineados, el polinomio de interpolación es, en teoría, una recta, pero basta una pequeña desviación en uno de los puntos, para que el resultado sea un polinomio de grado n.
Bibliografía
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/interpolacion/lagrange.html
http://aniei.org.mx/paginas/uam/CursoMN/curso_mn_07.html
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