Ejercicios universitarios de Analisis real 23

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1)𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑋, 𝑌 ⊂ ℝ𝑛. 𝑃𝑟𝑢𝑒𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒: 
𝑎) 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∩ 𝑌 ) = 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∩ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) 
Probemos esta igualdad por doble inclusión: 
Tomemos un 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∩ 𝑌), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 "x" 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑋 ∩ 𝑌) , 𝑎𝑠𝑖: 
𝑠𝑒𝑎 𝜖 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑋 ∩ 𝑌) 𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 
𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ 𝑋 ∧ 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ 𝑌 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑌), 𝑖. 𝑒 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∩ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) 
⇒ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∩ 𝑌) ⊂ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∩ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) 
Tomemos un 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∩ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) de esta manera “x” es punto interior de (𝑋) y de (𝑌) es decir: 
𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) 𝑦 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) 
Para 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋), ∃𝜖1 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥, 𝜖1) ⊂ (𝑋) 
Para 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑌), ∃𝜖2 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥, 𝜖2) ⊂ (𝑌) 
Tomemos un 𝜖 = min{𝜖1, 𝜖2} 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 ∶ 
𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑋) ∧ 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑌) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑋 ∩ 𝑌) ⇒ 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∩ 𝑌) 
⇒ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∩ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) ⊂ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∩ 𝑌) 
∴ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∩ 𝑌 ) = 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∩ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) 
 
𝑏) 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∪ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) ⊂ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∪ 𝑌) 
𝑆𝑒𝑎 𝑥 ∈ (𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∪ 𝑖𝑛𝑡(𝑌)) ⇒ 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) 𝑜 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) 
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ⇒, ∃𝜖 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑋) ; 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 (𝑋) ⊂ (𝑋 ∪ 𝑌) ⇒ 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑋 ∪ 𝑌) 
De esta manera 𝑥 es un punto interior de (𝑋 ∪ 𝑌), 𝑖. 𝑒, 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∪ 𝑌) 
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) ⇒, ∃𝜖 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑌) ; 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 (𝑌) ⊂ (𝑋 ∪ 𝑌) ⇒ 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ (𝑋 ∪ 𝑌) 
De esta manera 𝑥 es un punto interior de (𝑋 ∪ 𝑌), 𝑖. 𝑒, 𝑥 ∈ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∪ 𝑌) 
∴ 𝑖𝑛𝑡(𝑋) ∪ 𝑖𝑛𝑡(𝑌) ⊂ 𝑖𝑛𝑡(𝑋 ∪ 𝑌)