teoria conj abier conj cerra

Vista previa del material en texto

Matemática I – 6° FM Topología en ℝ 
profesormartinlopez.webs.com 5 
 
Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados 
 
Definiciones 
 
1) Punto interior 
Dado X ⊂ ℝ , un punto x X∈ se llama punto interior a X si existe un intervalo abierto ( , )a b X⊂ tal que 
( , )x a b∈ . 
 
2) Interior 
Llamamos interior de X al conjunto de todos los puntos interiores de X . Lo anotamos int( )X . 
 
Ejemplo 
Consideremos el conjunto ( ) *11,0 , X n
n
 = − ∪ ∈ 
 
ℕcon , cuyo bosquejo se muestra 
en la figura adjunta. Aquí tenemos que 12 int( )X− ∈ , pues ( )12 1,0 X− ∈ − ⊂ . 
Sin embargo, 1 int( )X∉ . ¿Por qué? Veamos: es evidente que 1 X∈ , pero no existe intervalo alguno de la forma ( , )a b 
incluido en X y que contenga al 1; por ejemplo: es cierto que ( )312 21 ,∈ , pero este intervalo no está incluido en X . Por 
esta razón, tampoco son puntos interiores los racionales 12 , 
1
3 , 
1
4 , etc. 
 
Propiedades 
a) Para que un punto int( )x X∈ es necesario y suficiente que exista 0ε > tal que ( ),x x Xε ε− + ⊂ 
b) int( )X X⊂ 
c) X Y⊂ , entonces int( ) int( )X Y⊂ (¿se cumple el recíproco?) 
 
3) Conjunto abierto 
Decimos que un conjunto A ⊂ ℝ es abierto si int( )A A= . 
 
(Tengamos presente que dos conjuntos A y B son iguales cuando A B⊂ y B A⊂ , por lo tanto, si queremos demostrar que un 
conjunto es abierto, deberíamos probar que int( )A A⊂ y que int( )A A⊂ . Como la primera inclusión está asegurada por la 
propiedad b, entonces sólo debemos probar que int( )A A⊂ ) 
 
Ejemplo 1 
Sea ( )0,1A = . Probemos que A es abierto. Observemos que si ( )0,1x ∈ , entonces 
 
0x ≠ y 1x ≠ . Luego, 12 20 1x xx +< < < < , por lo tanto ( )12 2,x xx +∈ y este intervalo1 está incluido en el ( )0,1 . De aquí 
que cualquier punto de A es interior y, por lo tanto, A es abierto. 
 
Ejemplo 2 
A partir del ejemplo anterior, podemos intuir que cualquier intervalo abierto ( , )a b es un conjunto abierto. 
 
Ejemplo 3 
( ),a +∞ es abierto, pues si ( ),x a∈ +∞ , entonces ( ), 1x a x∈ + que a su vez está incluido en ( ),a +∞ , entonces 
int( , )x a∈ +∞ , lo que implica que ( ) ( ), int ,a a+∞ ⊂ +∞ y, por lo tanto, ( ),a +∞ es abierto. 
 
Ejemplo 3 
ℝ es abierto, pues si x ∈ℝ , entonces ( )1, 1x x− + ⊂ ℝ 2, lo que implica que int( )⊂ℝ ℝ 
 
Ejemplo 4 
El conjunto vacío es abierto, pues ∅ no tiene puntos que no sean interiores ( )( )int∅ ⊂ ∅ 
 
1 No confundir este intervalo con el de la propiedad a. 
2 Aquí sí estamos aplicando la propiedad a. 
Matemática I – 6° FM Topología en ℝ 
profesormartinlopez.webs.com 6 
 
4) Punto adherente 
Decimos que un punto x ∈ℝ es adherente a un conjunto A ⊂ ℝ , si para todo 0ε > , ( ),A x xε ε∩ − + ≠ ∅ . 
 
5) Clausura 
Llamamos clausura de A al conjunto de los puntos adherentes a A , al que anotamos A 
 
Observemos que x A∈ si y sólo si en cualquier entorno de centro x hay algún elemento de A . Es claro, 
entonces, que si x A∈ , entonces ( ),A x xε ε∩ − + ≠ ∅ , entonces x A∈ . Sin embargo, puede ocurrir que 
x A∈ y que x A∉ , como se muestra en el siguiente ejemplo: 
 
Ejemplo 
Sea ( ]0,1A = . Dado cualquier ε entre 0 y 1, tenemos que ( ] ( ) ( )0,1 , 0,ε ε ε∩ − = ≠ ∅ , lo que implica que 0 A∈ y, 
sin embargo, 0 A∉ . 
 
La siguiente propiedad generaliza el ejemplo anterior (y su demostración queda a cargo del lector) 
 
Propiedad 
Si A y B son dos conjuntos incluidos en ℝ , con A acotado interiormente y B acotado superiormente, entonces 
inf( )A A∈ y sup( )B B∈ 
 
Ejemplo 
Probemos que =ℚ ℝ y que ( )− =ℝ ℚ ℝ 
Sabemos que en todo intervalo no degenerado siempre hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Luego, para todo 
0ε > se cumple que ( ),x xε ε− + ∩ ≠ ∅ℚ , por lo tanto, todo número real x es un punto de adherencia de ℚ , es 
decir: =ℚ ℝ . 
Lo mismo ocurre con ( )−ℝ ℚ , pues ( ) ( ),x xε ε− + ∩ − ≠ ∅ℝ ℚ , por lo tanto: ( )− =ℝ ℚ ℝ . 
 
Teorema 
Sean A y B dos conjuntos incluidos en ℝ . Si A B⊂ , entonces A B⊂ 
 
Demostración: 
Si x A∈ , entonces ( ),A x xε ε∩ − + ≠ ∅ . Como A B⊂ , tenemos que ( )( ) ( )( ), ,A x x B x xε ε ε ε⊂∩ − + − +∩ , 
lo que implica que ( ),B x xε ε∩ − + ≠ ∅ , por lo tanto x B∈ . 
 
6) Conjunto cerrado 
Sea A ⊂ ℝ . Decimos que A es un conjunto cerrado si A A= . 
 
Observaciones: 
a) sabemos que cualquier punto de un conjunto es adherente a él, por lo tanto, un conjunto A es cerrado si 
todo punto adherente de A pertenece a A . 
b) Si un conjunto A es no vacío, acotado y cerrado, entonces inf( )A A∈ y el sup( )A A∈ . 
 
Ejemplos 
1) Si { }A a= , con a ∈ℝ , entonces A es cerrado, pues { } { }a a= 
2) [ ],a b con a b≤ también es un conjunto cerrado. 
3) ℚ no es cerrado. 
4) −ℝ ℚ no es cerrado. 
 
 
 
 
Matemática I – 6° FM Topología en ℝ 
profesormartinlopez.webs.com 7 
Teorema 
Un conjunto A es cerrado si y sólo si su complemente es abierto3. 
 
Demostración 
A es cerrado A A⇔ = ⇔ 
, x A x∀ ∈ es adherente a A ⇔ 
,cy A∀ ∈ y no es adherente a A ⇔ 
( ), 0 / ,cy A y y Aε ε ε∀ ∈ ∃ > − + ∩ = ∅ ⇔ 
( ), 0 / ,c cy A y y Aε ε ε∀ ∈ ∃ > − + ⊂ ⇔ 
, int( )c c cy A y A A∀ ∈ ∈ ⇔ es abierto. 
 
Ejemplo 
En los ejemplos 3 y 4 de la página 1 vimos visto que ℝ y ∅ son abiertos. Pero como uno es el complemento del otro, 
también son cerrados, es decir: ℝ y ∅ son abiertos y cerrados a la vez… sorprendente, ¿no? ☺ 
 
 
7) Punto de acumulación 
Decimos que un punto x es un punto de acumulación de un conjunto X ⊂ ℝ si 
( ) { }( )0, ,x x X xε ε ε∀ > − + ∩ − ≠ ∅ 
De la definición se desprende que un punto x es un punto de acumulación de un conjunto X si y sólo si en 
cualquier entorno del punto x siempre hay algún elemento del conjunto X que no es x . 
 
Notación: al conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto X lo anotamos 'X . 
 
Ejemplo 1 
Sea [ ) { }0,1 2X = ∪ . Aquí tenemos, entonces, que [ ]' 0,1X = . Veamos por qué: 
Sabemos que ( )int( ) 0,1X = , lo que implica que ( )0,1 'X⊂ . Probemos que 0 y 1 son puntos de acumulación. 
Si 0 1ε≤ ≤ , tenemos que ( ) { }( ) ( )0 ,0 0 0,Xε ε ε− + ∩ − = ≠ ∅ , entonces 0 es punto de acumulación de X . 
En forma análoga se demuestra que 1 'X∈ . 
Veamos que 2 'X∉ . Si tomamos 12ε = , tenemos que ( ) { }( )1 12 22 ,2 2X− + ∩ − = ∅ , entonces 2 'X∉ . 
 
Ejemplo 2 
Si ( ),X a b= , entonces [ ]' ,X a b= 
 
Ejemplo 3 
' =ℚ ℝ . 
Si a ∈ℝ , entonces en ( ),a aε ε− + siempre hay racionales e irracionales, es decir: 
( ) { }( ),a a aε ε− + ∩ − ≠ ∅ℚ , lo que implica que ' =ℚ ℝ . 
 
Ejemplo 4 
( ) '− =ℝ ℚ ℝ . Demostración análoga. 
 
Propiedades 
1) 'X X X= ∪ 
2) X es cerrado ⇔ 'X X⊂ 
 
8) Punto aislado 
 
Sea X ⊂ ℝ . Decimos que 'x X∈ es un punto aislado si 'x X∉ 
Observemos que esto equivale a decir que x es aislado si existe 0ε > tal que ( ) { },x x X xε ε− + ∩ = 
 
3 cA A= −ℝ 
Matemática I – 6° FM Topología en ℝ 
profesormartinlopez.webs.com 8 
 
9) Conjunto discreto 
 Es un conjunto en el que todos sus puntos son aislados. 
 
Ejemplos 
1) ℕ es discreto, pues, por ejemplo: ( ) { }1 12 2,n n n− + ∩ =ℕ y esto se cumple para todos los naturales. 
2) ℤ es discreto. La demostración es análoga. 
3) ℚ no es discreto (pues ' =ℚ ℝ ) 
4) { }*1 nX n= ∈ℕ con, es discreto, pues su único punto de acumulación es 0 , y 0 X∉ .