¿Cuál es la lógica detrás de afirmar que un conjunto es "abierto y cerrado"? ¿Debería ajustarse la terminología?

En absoluto. Es perfectamente posible para un conjunto ser cerrado y abierto, en sentido topológico al mismo tiempo. Se pueden definir de muchas maneras, pero por claridad voy a definirlos de esta manera:

1. Un conjunto es cerrado cuando contienen todos sus puntos de acumulación (un punto es de acumulación si cualquier conjunto por pequeño que sea y que lo contenga contiene elementos del conjunto original).
2. Un conjunto es abierto si su conjunto complementario es cerrado.

Nada impide técnicamente que un conjunto cumpla (1) y (2) al mismo tiempo. De hecho, cuando un espacio topológico puede dividirse en dos conjuntos propios disjuntos que al mismo tiempo sean cerrados y abiertos tenemos algo importante: dicho espacio será desconexo.

En un espacio topológico conexo T, los únicos conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados son precisamente ∅∅ y el propio T. Algunos ejemplos del efecto de la unión y la intersección pueden ayudar:

Arriba a la izquierda tenemos dos conjuntos A y B cuya unión es desconexa, mientras qu arriba a la derecha teneos dos conjuntos cuya unión es conexa. Abajo a la izquierda tenemos dos conjunto cuya intersección es conexa, abajo a la derecha tenemos dos conjuntos cuya intersección es desconexa.

En estos casos podemos expresar los conjuntos desconexos como la unión de dos conjuntos disjuntos que son a la vez abiertos y cerrados en la topología inducida.

Aquí la aplicación que comento es relativamente trivial, pero en conjuntos realmente complicados, en muchas dimensiones y difíciles de visualizar la caracterización de conectividad mediante conjuntos abiertos y cerrados es muy muy útil.