Ejercicios universitarios de Analisis real 212

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orAlumno: Bustos Chavez, Hesler LincolmPRÁCTICA DIRIGIDA N°09
42) Una función diferenciable f : U → R definida en el abierto U ⊂ Rm es
de clase C1 si y solo si, para cada h ∈ Rm la función ϕh : U → R dada por
ϕh(x) = df(x).h, es continua. Análogamente, f es dos veces diferenciable si y
solo si, ϕh es diferenciable.
SOLUCIÓN
i) Una función diferenciable f : U → R definida en el abierto U ⊂ Rm es
de clase C1 si y solo si, para cada h ∈ Rm la función ϕh : U → R dada por
ϕh(x) = df(x).h, es continua.
(⇒)
Como f : U ⊂ Rm → R es de clase C1, entonces existen las m derivadas par-
ciales en todos los puntos de U y las m funciones
∂f
∂xi
: U ⊂ R son funciones
continuas ∀ i = 1, 2, ..m.
Sea h = (h1, h2, ..., hm) ∈ Rm. Luego ϕh : U → R dada por ϕh(x) = df(x).h
seŕıa de la forma siguiente:
ϕh(x) =
m∑
i=1
∂f
∂xi
(x).hi
Aśı ϕh es continua en U , pues es la suma de funciones continuas.
(⇐)
Tenemos que ϕh : U → R dada por ϕh(x) = df(x).h , es continua ∀ h ∈ Rm.
Si tomamos los vectores e1, e2, ..., em de la base canónica de Rm, entonces
ϕei(x) =
∂f
∂xi
(x) es continua ∀ i = 1, 2, ..m. Aśı f es de clase C1.
ii) f es dos veces diferenciable si y solo si ϕh es diferenciable.
(⇒)
Si f es dos veces diferenciable en U , entonces f ′ : U → L(Rm,R) tal que
f ′(x) = (
∂f
∂x1
(x),
∂f
∂x2
(x), ...,
∂f
∂xm
(x)) es diferenciable y por lo tanto, cada una
de sus funciones coordenadas es diferenciable en U . De este modo ∀ h ∈ Rm,
ϕh(x) =
m∑
i=1
∂f
∂xi
(x).hi
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ores diferenciable, pues es la suma de funciones diferenciables.(⇐)∀ h ∈ Rm, ϕh(x) = df(x).h es diferenciable; entonces, en particular, si tomamos
los vectores e1, e2, ..., em de la base canónica de Rm, tenemos que ϕei(x) =
∂f
∂xi
(x)
es diferenciable en U.
Aśı f ′ : U → L(Rm,R) dado por f ′(x) = ( ∂f
∂x1
(x),
∂f
∂x2
(x), ...,
∂f
∂xm
(x)) será
diferenciable, pues sus funciones coordenadas lo son. Por consiguiente, f es dos
veces diferenciable.
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