Clase N 12 Maximos y minimos

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Clase Nº 12: Máximos y Mínimos Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 12: MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
 
 
1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS 
 Tal como se vio en funciones de una variable, uno de los principales usos de las derivadas 
ordinarias es el cálculo de máximos y mínimos. Ahora vamos a considerar a los máximos y mínimos 
en funciones de varias variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Si las desigualdades en las dos primeras (ó en las dos últimas) definiciones se cumplen para 
todos los puntos P en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto (o un mínimo absoluto) 
en P0. 
 
Caso particular: 
 En el caso de funciones de dos variables z = f(x,y), P0(x0,y0) será un máximo relativo en sentido 
estricto si: 
 
P0(x0,y0) un mínimo relativo en sentido estricto si: 
( ) ( ) ( ) )P(Ny,xy,xfy,xf 000 Î">
1.1. Definición. 
Sea f la función definida por z = f(x1,x2,…,xn) y sea un punto perteneciente al 
dominio de la función f. Entonces: 
 
• Si para todo P perteneciente al entorno del punto P0, decimos que f tiene en P0 un 
máximo relativo en sentido estricto. Llamamos a f(P0) un valor máximo relativo de f. 
 
• Si para todo P perteneciente al entorno del punto P0, decimos que f tiene en P0 un 
mínimo relativo en sentido estricto. Llamamos a f(P0) un valor mínimo relativo de f. 
 
• Si para P1 perteneciente al entorno del punto P0 y para P2 perteneciente 
al entorno del punto P0 decimos que P0 es un punto de ensilladura. 
 
Si en las dos primeras definiciones se cambia el signo > por y el < por se obtienen las 
definiciones de máximo y mínimo relativo en sentido amplio. 
 
• Máximo relativo en sentido amplio. 
 
 
• Mínimo relativo en sentido amplio. 
 
A los máximos y mínimos relativos se los denomina extremos relativos o locales de f. 
( )0n02010 x...,,x,xP
( ) ( )PfPf 0 >
( ) ( )PfPf 0 <
( ) ( )10 PfPf > ( ) ( )20 PfPf <
³ £
( ) ( ) )P(NPPfPf 00 Î"³
( ) ( ) )P(NPPfPf 00 Î"£
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La gráfica de una función con varios máximos y varios mínimos se muestra en la figura 1. 
Podemos imaginarnos, para este caso de funciones de dos variables, que los máximos locales fuesen 
las cumbres de una montaña y los mínimos el fondo de los valles. La figura 2 muestra la gráfica de la 
función z=y2-x2 que es un paraboloide hiperbólico. Cerca del origen la gráfica tiene la forma de una 
silla de montar y se observa que en el punto (0,0) la función tiene un punto de ensilladura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Puntos críticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los puntos críticos se clasifican en máximo, mínimos y puntos de ensilladura. 
 
b) Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso particular 
( ) ( ) ( ) )P(Ny,xy,xfy,xf 000 Î"<
Figura 1 
a) Definición. 
Sea f la función definida por z = f(x1,x2,…,xn) y sea un punto perteneciente al 
dominio de la función f. 
Decimos que P0 es un punto crítico de f si ó al menos una de estas 
derivadas no existe. 
( )0n02010 x...,,x,xP
( ) n,...,2,1i,0P
x
f
0
i
==
¶
¶
Teorema. 
Sea f : z = f(x1,x2,…,xn). Si f y sus derivadas parciales de primer orden existen en todos los puntos 
de algún entorno del punto P0 y si f tiene un extremo relativo en P0, entonces 
. 
( ) n,...,2,1i0P
x
f
0
i
==
¶
¶
Figura 2 
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 Para una función de dos variables z = f(x,y). Si f tiene un extremo relativo en P0(x0,y0) y las 
derivadas parciales de primer orden existen ahí entonces 
 Esta condición es necesaria pero no suficiente, es decir la anulación de todas las derivadas 
parciales en un punto P0, no implica necesariamente un extremo relativo en el punto P0. Esto sucede 
en los llamados puntos de ensilladura. 
c) Condición suficiente de extremo relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota. Para recordar la fórmula para H0 resulta útil escribirla como un determinante que se 
denomina hessiano. 
 
 
Ejercicio: 
 Halle los extremos locales de f(x, y) = x4 + y4 – 4xy +1. 
Solución: Puntos críticos: (0,0), (1,1), (-1,-1). En (0,0) punto de ensilladura, (1,1) y (-1,-1) mínimos 
relativos 
 
2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS. 
Se darán las definiciones de máximo y mínimo absoluto en sentido amplio para una función de 
dos variables. Si se reemplazan los signos por > y el por < se obtienen las definiciones de máximo 
y mínimo absoluto en sentido estricto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 0y,xfy0y,xf 00y00x ==
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
2
00xy00yy00xx
00yy00xy
00yx00xx
0 y,xfy,xfy,xfy,xfy,xf
y,xfy,xf
H -==
³ £
Teorema. Criterio de las derivadas parciales segundas. 
Sea f una función de dos variables tal que f y sus primeras y segundas derivadas parciales son 
continuas en algún entorno del punto P0 y suponga que (es decir 
P0 es un punto crítico). Sea 
 
a) Si entonces f tiene en P0 un máximo relativo. 
b) Si entonces f tiene en P0 un mínimo relativo. 
c) Si H0 < 0 entonces f tiene en P0 un punto de ensilladura. No tiene extremos relativos. 
d) Si H0 = 0 el criterio no nos dice nada. 
 
 
( ) ( ) 0y,xfy0y,xf 00y00x ==
( ) ( ) ( ) ( )[ ]200xy00yy00xx000 y,xfy,xfy,xfy,xHH -==
( ) 0y,xfy0H 00xx0 <>
( ) 0y,xfy0H 00xx0 >>
2.1. Definición. 
Dada la función f: z =f(x,y) cuyo dominio es D y sea P0(x0,y0), un punto perteneciente a D, decimos 
que: 
• f tiene en P0(x0,y0) un máximo absoluto si para todo (x,y) del dominio D 
de la función f. 
• f tiene en P0(x0,y0) un mínimo absoluto si para todo (x,y) del dominio D 
de la función f. 
 
 
( ) ( )y,xfy,xf 00 ³
( ) ( )y,xfy,xf 00 £
nahue
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A los máximos y mínimos absolutos se los denomina extremos absolutos. 
Los extremos absolutos se pueden alcanzar: 
1)en la frontera del dominio de f. 
2)en un punto interior del dominio de f 
Si el máximo y/o mínimo absoluto se alcanzan en un punto interior del dominio de f, será un máximo 
y/o mínimo relativo de f. 
 Para una función de una variable, el teorema del valor extremo establece que si f es continua 
en un intervalo cerrado entonces f tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo 
absoluto. 
 Se tiene un teorema similar para una función de dos variables. 
Recuerde que un conjunto cerrado en R2es aquel que contiene a todos sus puntos fronteras. Un 
conjunto de puntos es acotado en R2 si está contenido dentro de un rectángulo, de tal manera que 
todos los puntos del conjunto sean puntos interiores del rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Procedimiento Práctico. 
El siguiente método que presentamos es para encontrar los extremos absolutos de una función 
de dos variables, en un conjunto de puntos E cerrado y acotado perteneciente a su dominio. 
• Se determinan los puntos críticos de f en el interior del conjunto E. 
 
• Se determinan los puntos críticos de f en la frontera del conjunto E. 
 
• Se calculan los valores de f en cada uno de los puntos anteriores. El mayor valor será el máximo 
absoluto y el menor valorserá el mínimo absoluto. 
 
Ejercicios: 
1)Encuentre los valores máximos y mínimos absolutos de la función f(x,y) = x2 -2xy + 2y, sobre el 
rectángulo [0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2] 
Solución: Tiene un máximo absoluto en (3,0) y su valor es f(3,0) = 9 
 Tiene un mínimo absoluto en (0,0) y su valor es f(0,0)= 0 
2) Halle los extremos absolutos de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 𝑒!!"#! en el disco 𝑥$ + 𝑦$ ≤ 1. 
Solución: El máximo absoluto de f en el disco dado es e, y se alcanza en los puntos (1,0) y (-1,0). 
 El mínimo absoluto de f en el disco dado es 𝐞"𝟏, y se alcanza en los puntos (0,1) y (0,-1). 
 
3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS VINCULADOS. 
 En gran número de investigaciones teóricas o prácticas se requiere averiguar el máximo ó 
mínimo valor a una función cuyas variables se hallan relacionadas entre sí de alguna manera, así por 
ejemplo puede necesitarse calcular el máximo o mínimo de la función definida por u = f(x,y,z) cuando 
x,y,z , deben verificar la relación dada por φ(x, y, z) = 0. El máximo y/o mínimo que resulta se conoce 
con el nombre máximo o mínimo vinculado. 
 
 
[ ]b,a
Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. 
Si f es continua en un conjunto cerrado y acotado E de R2, entonces f tiene un valor máximo 
absoluto y un valor mínimo absoluto en algunos puntos 
en E. 
( )11 y,xf ( )22 y,xf
( ) ( )2211 y,xyy,x
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3.1. Observación práctica. 
Ejemplo. 
 Observemos que; no es lo mismo determinar el mayor valor de la función f : z = 49-x2-y2 , 
que determinar el mayor valor de la función f : z = 49-x2-y2, tales que los puntos (x, y) verifican la 
relación x +3y -10 = 0. 
 Gráficamente se observa, en la figura siguiente, que el valor máximo de f es f(0,0) = 49. Este 
máximo es un máximo libre. 
 Cuando se impone la condición que el punto (x,y) pertenezca a la recta dada en ese caso el 
máximo que se obtiene se llama máximo restringido, en oposición al concepto de libre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El método para la obtención de los máximos y mínimos que se han considerado 
precedentemente puede ser usado, para hallar el máximo o mínimo vinculado en la siguiente forma. 
Si de la condición vincular φ(x,y,z) = 0 puede despejarse una de las variables, por ejemplo z, en función 
de las otras dos y se sustituye ese valor de z en la función u = f(x,y,z) se obtiene la función u = F(x,y). 
Los valores de x e y que hacen máximo o mínimo el valor de u se pueden calcular por el método dado 
precedentemente. Sin embargo, la solución φ(x,y,z) = 0 para hallar una de las variables suele ser 
extremadamente dificultoso y es preferible usar un ingenioso criterio propuesto por Lagrange. 
 
3.2. Otra forma de enunciar la condición necesaria para extremos relativos 
 Sabemos que la condición necesaria para que una función diferenciable f: z = f(x1,x2,…,xn) tenga 
un extremo relativo es la anulación de las derivadas parciales primeras con respecto a las variables 
independientes x1,x2,…,xn. 
Y como la diferencial total de una función está dada por 
 
 
se comprende fácilmente que dz se anula para aquellos valores de x1,x2,…,xn para los cuales la función 
toma valores extremos. Recíprocamente, puesto que las variables xi son independientes, la anulación 
de la diferencial total es la condición necesaria para la existencia de un extremo. 
n
n
2
2
1
1
dx
x
f...dx
x
fdx
x
fdz
¶
¶
++
¶
¶
+
¶
¶
=
z 
49 Máximo libre 
Máximo restringido 
x 
y 
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 No es difícil ver que, aún en el caso de no ser independientes algunas de las variables, la 
anulación de la diferencial total es la condición necesaria. 
 Así, sea f : u =f(x, y, z), donde una de las variables por ejemplo z está vinculada a x e y mediante 
la relación φ(x, y, z) = 0. 
Considerando a x e y como variables independientes la condición necesaria para la existencia de un 
extremo da: 
 
Aplicando la regla de la cadena, se obtiene: 
 
Luego, la diferencial total de la función es: 
 
Reemplazando en esta expresión las derivadas parciales se tiene: 
 
 Es decir condición necesaria para que la función u =f(x,y,z), donde las variables x, y, z están 
relacionadas mediante la ecuación φ(x,y,z) = 0, tenga un extremo relativo es: 
 
ó 
ó 
 
3.3. Método de los multiplicadores de Lagrange. 
El método de los multiplicadores de Lagrange es aplicado para aquellos casos de necesitar 
determinar los puntos crítico de una función cuando sus variables están ligadas mediante ecuaciones 
que se conocen. Esta ecuaciones se denominan de vínculo o de restricción y el valor extremado que 
resulta se designa como máximo o mínimo vinculado. A continuación vamos a comenzar con el caso 
más sencillo, el de determinar los puntos críticos de una función cuando sus variables están 
vinculadas en solo una ecuación. 
 
3.3.1. Una función con una ecuación de vinculación. 
Sea f : u =f(x,y,z), donde las variables x,y,z están vinculadas mediante la relación φ(x,y,z) = 0 y 
donde suponemos que z =z(x,y). 
 Condición necesaria para la existencia de un extremo está dado por: 
 
0
y
uy0
x
u
=
¶
¶
=
¶
¶
0
y
z
z
f
y
f
y
u
0
x
z
z
f
x
f
x
u
=
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
0dy
y
udx
x
udu =
¶
¶
+
¶
¶
=
0dudu
0dz
z
fdy
y
fdx
x
fdu
0dy
y
zdx
x
z
z
fdy
y
fdx
x
fdu
0dy
y
z
z
f
y
fdx
x
z
z
f
x
fdu
z,y,xy,x ==
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
=
0
y
uy0
x
u
=
¶
¶
=
¶
¶
dy
y
udx
x
ududonde0du y,xy,x ¶
¶
+
¶
¶
==
dz
z
fdy
y
fdx
x
fdudonde0du z,y,xz,y,x ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
==
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o sea (1) 
 
 La diferencial total de la relación de vinculación es: 
 
 
 Si a esta ecuación se la multiplica por un factor indeterminado λ, llamado multiplicador de 
Lagrange se obtiene: 
(2) 
 Sumando miembro a miembro las expresiones (1) y (2) y agrupando, se obtiene: 
 
 Se elige λ de modo que todos los paréntesis en esta expresión se anulen, de modo que: 
 
 
 Para determinar los puntos críticos se debe resolver el sistema de ecuaciones en las incógnitas 
x,y,z, λ. 
 
3.3.2. Una función con dos ecuaciones de vinculación. 
 Sea f : u =f(x,y,z), donde las variables x,y,z, están vinculadas mediante las relaciones φ1(x,y,z) = 
0 y φ2(x,y,z) = 0 y donde suponemos que y=y(x), z=z(x). 
 Hemos visto que la condición necesaria para la existencia de un extremo está dada por: 
 
 
o sea (1) 
La diferencial total de la primera relación de vinculación es: 
 
Si a esta ecuación se la multiplica por un factor indeterminado λ1, que lo hemos denominado 
multiplicador de Lagrange se obtiene: 
(2) 
 
La diferencial total de la segunda relación de vinculación es: 
 
0dz
z
fdy
y
fdx
x
fdu z,y,x =¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
0dz
z
fdy
y
fdx
x
f
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
0dz
z
dy
y
dx
x
=
¶
j¶
+
¶
j¶
+
¶
j¶
0dz
z
dy
y
dx
x
=
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
j¶
l
0dz
zz
fdy
yy
fdx
xx
f
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
j¶
l+
¶
¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
j¶
l+
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
j¶
l+
¶
¶
( )ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=j
=
¶
j¶
l+
¶
¶
=
¶
j¶
l+
¶
¶
=
¶
j¶
l+
¶
¶
0z,y,x
0
zz
f
0
yy
f
0
xx
f
0dz
z
fdy
y
fdx
x
fdu z,y,x =¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
0dz
z
fdy
y
fdx
x
f
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
0dz
z
dy
y
dx
x
111 =
¶
j¶
+
¶
j¶
+
¶
j¶
0dz
z
dy
y
dx
x
1
11
1
1
1 =¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
j¶
l
0dz
z
dy
y
dx
x
222 =
¶
j¶
+
¶
j¶
+
¶
j¶
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Resaltar
nahue
Resaltar
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Si a esta ecuación se la multiplica por otro factor indeterminado λ2, que también es un 
multiplicador de Lagrange distinto al λ1, se obtiene: 
(3) 
 Sumando miembro a miembro las expresiones (1) ,(2) y (3) y agrupando, se obtiene: 
 
 
 
Se eligen λ1 y λ2 de modo que todos los paréntesis en esta expresión se anulen, de modo 
que: 
 
Para determinar los puntos críticos se debe resolver este sistema de ecuaciones en las 
incógnitas x, y, z, λ1. λ2. 
 
3.3.3. Una función de “n” variables con “m” ecuaciones de vínculo. 
 Los procedimientos propuestos para determinar los puntos críticos de una función en estos 
dos casos particulares, de una función de tres variables independientes con una y dos ecuaciones de 
vínculos desarrolladas en los apartados 3.3.1 y 3.3.2, respectivamente, se pueden generalizar para 
una función de “n” variables independientes con “m” ecuaciones de restricción, siempre que se tenga 
en cuenta que “m” sea menor que “n”. En este caso general se tendrá un sistema de n+m ecuaciones 
con n+m incógnitas para determinar los mencionados puntos críticos. 
 
Ejemplo1. 
 Una caja rectangular sin tapa, debe hacerse con 12 cm2 de cartulina. Determinar el volumen 
máximo de la caja. 
Solución. 
 Sean x,y,z, la longitud, el ancho y la altura, respectivamente de la caja. La función a maximizar 
es el volumen V = xyz. , pero x,y,z, estarán restringidas, dado que la superficie de la caja no deberá 
exceder los 12 cm2, de adonde establecemos la ecuación de vínculo; xy + 2xz + 2yz = 12. 
Usando Lagrange se tendrá: 
yz + λ(y + 2z) = 0 
xz + λ(x + 2z) = 0 
 xy + λ(2x + 2y) = 0 
 xy + 2xz + 2yz = 12 
 Resolviendo el sistema resulta: x = 2, y =2, z = 1 y el volumen máximo que tendrá la caja sin 
tapa será: Vmax = 4 cm3 
 
 
1 Ejemplo y Ejercicios adaptados de Stwart,J., pag. 802. 
0dz
z
dy
y
dx
x
2
2
2
2
2
2 =¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
j¶
l
0dz
zzz
fdy
yyy
fdx
xxx
f 2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1 =÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
¶
( )
( )ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=j
=j
=
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
¶
=
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
¶
=
¶
j¶
l+
¶
j¶
l+
¶
¶
0z,y,x
0z,y,x
0
zzz
f
0
yyy
f
0
xxx
f
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
nahue
Resaltar
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 9 
Ejercicios: 
1. Máximos y mínimos relativos 
Determinar los puntos críticos de las siguientes funciones y clasificarlos en máximos, mínimos y 
puntos de ensilladura según corresponda. 
a) z = x3 + y3 – 3xy 
b) f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 
c) z = x4 + y4 -32y + 2 
d) z = xy(2x + 4y +1) 
e) f(x, y) = 3x – 3y – 2x3 – xy2 + 2x2y + y3 
f) z=16 - x2 - y2 
 
2. Máximos y mínimos absolutos 
g) Hallar el máximo y mínimo absoluto de la función z = x2 + xy + y2 + 6x +1 en la región cerrada 
definida por -5 ≤ x ≤ 5, -5 ≤ y ≤ 5. 
h) Calcular los extremos absolutos de la función f(x, y) = 9 – x + 12y – x2 -3y2, sobre la región del 
plano xy , limitada por las rectas; y=0, x=0, -x/4 + y/4=1 
i) Calcular los extremos absolutos de la función f(x, y) = y2 - x2, sobre el círculo x2 + y2 = 4 
j) Calcular los extremos absolutos de la función f(x, y) = x2 + 2y2, sobre el círculo x2 + y2 = 1 
 
3. Máximos y mínimos vinculados 
 
k) Usando el método de los multiplicadores de Lagrange, determine el punto de, z = xy - 1 más 
próximo al origen. 
l) Obtenga tres números positivos cuya suma sea 24,tal que su producto sea lo más grande 
posible. 
m) Hallar tres números x, y, z, tales que x + y + z = a, donde a es una constante real cualquiera, y 
además hagan que xy + xz + yz sea tan grande como sea posible. 
n) Calcule los valores extremos de la función f(x,y) = x2+2y2 sobre el círculo x2+y2=1. 
o) Halle el punto más próximo del plano 2x-y+z=1 al origen de coordenadas. 
p) Usando Lagrange demuestre que el paralelepípedo de área total S de volumen V máximo, es 
un cubo. 
q) Determinar las aristas del mayor paralelepípedo recto que tiene tres caras en los planos 
coordenados y un vértice en el plano x/a + y/b + z/c = 1 
r) Determine el volumen V del mayor paralelepípedo recto que se inscribe en una esfera de radio 
R conocido. 
s) Determine el volumen V del mayor paralelepípedo recto que se inscribe en el elipsoide x2/a2 + 
y2/ b2 + z2/c2 = 1. 
t) Una nave anclada frente a una costa sensiblemente rectilínea dista 3 km de ella y a 11km de 
un faro situado en la misma. Un marinero desea ir desde la nave al faro en el menor tiempo 
posible y sabe que puede remar a una velocidad de 7 km/h y caminar a 12 km/h. ¿Qué 
recorrido debe efectuar?