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Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL CLASE Nº 22: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 1. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.1. Descripción Matemática de Fenómenos Dinámicos Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucran cambios y se describen mejor por medio de ecuaciones que relacionan cantidades que cambian. La gran utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales se debe al hecho de poder formular muchas de las leyes que rigen los fenómenos naturales mediante el lenguaje matemático, preciso y sin ambigüedades. Algunas de esas leyes naturales, por ejemplo aquellas vinculadas con la rapidez de variación, son expresadas con más exactitud por medio de ecuaciones que contienen derivadas o diferenciales. Estas se conocen como las ecuaciones diferenciales. Para sintetizar, podemos decir que una gran cantidad de fenómenos naturales estáticos, que se describan matemáticamente, se hacen con los elementos del álgebra, mientras que los que involucran procesos dinámicos se concretan con los del cálculo. Donde un concepto clave es el de derivada, esto es, la razón de cambio instantánea de una función respecto de una variable independiente. 1.2. Definición de Ecuación Diferencial Una ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función desconocida. La expresión puede contener también a la función desconocida. La ecuación diferencial puede escribirse, a veces por razones de conveniencia analítica, en una forma en que aparecen diferenciales en vez de derivadas, pero esa ecuación será siempre equivalente a una que contenga derivadas. Ejemplos: (1) (2) (3) (𝑥! + 𝑦!) 𝑑𝑥 − 2 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (4) (5) Cuando una ecuación contiene una o más derivadas con respecto a una variable particular, a esa variable se le llama variable independiente. Una variable es llamada dependiente si una derivada de esa variable aparece en la ecuación diferencial. En los ejemplos mencionados anteriormente, en (1) y (2) la función desconocida es y = y(x) donde x es la variable independiente e y variable dependiente; en (3) la función desconocida puede ser y =y(x) o bien x = x(y); en (4) la función desconocida es i = i(t) donde t variable independiente e i es la variable dependiente, y en (5) la función desconocida es v = v(x,y) donde x e y son variables independientes y v la variable dependiente. xcos dx dy = 0yk dx yd 2 2 2 =+ )wtcos(Ewi e 1 dt diR dt idL 2 2 =++ 0 y v x v 2 2 2 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1.3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a las siguientes propiedades: i) Según el tipo. Una ecuación que contenga derivadas ordinarias se llama ecuación diferencial ordinaria. Es decir son ecuaciones donde la función desconocida (variable dependiente) depende de una sola variable independiente. Una ecuación diferencial que contenga derivadas parciales se llama ecuación diferencial parcial. Es decir la función desconocida depende de más de una variable independiente. ii) Según el orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación. iii) Según el grado. El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de la derivada de más alto orden en la ecuación. iv) Según la linealidad o no linealidad. Una ecuación diferencial ordinaria se dice que es lineal si cada término de la ecuación es de primer grado en la variable dependiente y en todas sus derivadas. Ejemplos. Ecuación Tipo Orden Grado Linealidad y’’’+ 4y = 0 Ordinaria 3 1 lineal Ordinaria 2 1 lineal Ordinaria 1 2 no lineal Parcial 2 1 Ordinaria 2 3 No lineal Parcial 2 1 Parcial 2 1 1.4. Forma General de una Ecuación Diferencial Ordinaria La forma general de la ecuación diferencial de orden n con la variable independiente x y función desconocida o variable dependiente y = y(x), es: F(x, y, y’, y’’, … , y(n)) = 0 donde F es una función conocida con valores reales y de n+2 variables. Esta ecuación está dada en su forma implícita. En estos casos la derivada de mayor orden aparece definida implícitamente por dicha ecuación. Suponiendo que una ecuación diferencial pueda ser resuelta explícitamente para la derivada de mayor orden que aparece en ella, esto es que la ecuación pueda escribirse en la forma: 32 dt sd 2 2 -= x2 ey3)'y( =- 0 y u x u 2 2 2 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ 0 dx dyx2 dx ydy1 3 2 2 =+÷ ø ö ç è æ - 2 2 x uk t u ¶ ¶ = ¶ ¶ kN r N r 1 r N t N 2 2 + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos en la que G es una función de valores reales con n+1 variables. En este caso se dice que la ecuación diferencial está dada en su forma explícita o normal. En los Ejemplos y’’’+ 4y = 0; , las ecuaciones diferenciales están dadas en su forma implícitas. En los ejemplos ; la ecuación está dada en su forma explícita. 1.5. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria Decimos que una función y = u(x) es una solución de la ecuación diferencial F(x, y, y’, y’’, … , y(n)) = 0 (2) en un intervalo I cuando las derivadas u’, u’’, … , u(n) existen en I y si F(x, u, u’, u’’, … , u(n)) = 0 para todo x del intervalo I. Cuando es necesario abreviar, decimos que y = u(x) satisface la ecuación diferencial (2) en I. Este intervalo I puede ser abierto (a,b), cerrado [a,b], infinito (a,∞), etc. Otra manera de expresar una solución de una ecuación diferencial: Cualquier relación libre de derivadas, que contenga una o más de las variables, y que sea consistente con la ecuación diferencial, será llamada una solución de la misma. Ejemplo 1: Comprobar que la función y = e-2x es una solución de la ecuación diferencial y’ + 2y = 0. Reemplazando la función en dicha ecuación se tiene que: -2e-2x+ 2 e2x = 0 0 = 0 Ejemplo 2: Verificación de soluciones; Averiguar si las funciones que se dan a continuación son solución de la ecuación diferencial: y”- y =0 a) y = sen x b) c) d) Soluciones: a) Como y = sen x, y’= cos x, e y’’= -sen x, se sigue que, y’’- y = -sen x-sen x = -2 sen x ≠ 0. Por tanto, y=sen x no es solución. b) Como , y’= 2 , e y’’= 4 , se sigue que y’’- y = por tanto, no es solución c) como , se sigue que y’’- y= por lo tanto es solución. d) como e , se sigue que por lo tanto, es solución para todo valor de C. ( ))1n()n( y,...´ ,́y´,y,y,xGy -= x2 ey3)'y( =- ( )1yx3ý 22 += ( )( )x1x4 dt dx --= xey 2= xey -= 4 xCey = xey 2= xe 2 xe 2 034 222 ¹=- xxx eee xey 2= xxx eyeyey --- =-== 4'',4',4 044 =- -- xx ee xey -= 4 ,', xx CeyCey == xCey ='' 0'' =-=- xx CeCeyy xCey = nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1.6. Soluciones explícitas e implícitas. Al estudiar Cálculo nos familiarizamos con los términos funciones explícitas o implícitas. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en explícitas o implícitas. Es así que: a) Una solución donde la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes se llama solución explícita. Podemos decir que una solución explícitaes una fórmula y = u(x) que podemos manipular, evaluar y diferenciar. b) Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, dada por la ecuación (2) o bien en la forma explícita o diferencial, en un intervalo I, siempre y cuando exista al menos una función u que satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a la función u. Ejemplo 1. La relación x2 + y2 – 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial en el intervalo -2 < x < 2. Derivando implícitamente y despejando dy/dx obtenemos la ecuación diferencial dada, es decir, Por lo tanto la relación dada es una solución de la ecuación diferencial. Es fácil comprobar que las funciones satisfacen la relación (en otras palabras ) y son soluciones de la ecuación diferencial en -2 < x < 2. Ejemplo 2. Dada la ecuación diferencial y’x - x2 – y = 0, sus soluciones son de la forma y = x2 + Cx, donde C es constante arbitraria. En efecto derivando esta función se tiene y’ = 2x + C y sustituyendo y e y’ en la ecuación original, se obtiene la identidad (2x + C) x – x2 – x2 – Cx = 0. Esta ecuación diferencial tiene una infinidad de soluciones, y las mismas están dadas en su forma explícita. 1.7. Tipos de Soluciones de una Ecuación Diferencial a) Solución general. Una ecuación diferencial de primer orden puede tener infinitas soluciones las que se representan mediante una fórmula que contiene una constante arbitraria y se denomina solución general. Una ecuación diferencial de n- ésimo orden tiene una solución general que contiene n constantes arbitrarias. La solución general puede estar dada en su forma explícita o en su forma implícita . y x dx dy -= y x dx dy0 dx dyy2x2 -=Þ=+ 2 2 2 1 x4yex4y --=-= 04yxy04yx 22 22 1 2 =-+=-+ )C,x(y j= 0)C,y,x( =f nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos b) Solución particular: Una solución particular de la ecuación diferencial es cualquier solución que se obtenga dando valores específicos a la constante arbitraria en la solución general. Las soluciones particulares de una ecuación diferencial se obtienen de las condiciones iniciales que dan un valor de la variable dependiente, o de algunas de sus derivadas, para un valor particular de la variable independiente, y el problema de determinar la solución que cumpla con la condiciones iniciales se llama problema de valor inicial. El término condiciones iniciales, proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t=0. Por ejemplo, dada la ecuación diferencial de segundo orden donde la solución general es: y si se tienen las siguientes condiciones iniciales: s(0)=80, s’(0)=64 su solución particular es: c) Soluciones Singulares. Son soluciones de la ecuación diferencial que no se obtienen para ningún valor de la constante arbitraria (no están contenidas en la solución general). Ejemplo 1. Dada la ecuación xy’+ y = 0. i) Demostrar que toda función de la forma es solución de la ecuación diferencial. Solución: En efecto derivando y’ = -C/x2, y reemplazando en la ecuación se tiene lo siguiente, x (-C/x2) + C/x = 0 , 0 = 0 ii) Encontrar una solución particular determinada por la condición inicial y = 1 cuando x = 1. Solución Reemplazando en la solución general, 32)('' -=ts 21 216)( CtCtts ++-= 80t64t16)t(s 2 ++-= x Cy= Así resolver un problema de valor inicial significa encontrar una función derivable y = Y(x) que satisfaga ambas condiciones en algún intervalo que contenga a x0. ( ) 00 y)x(y,y,xfdx dy == nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1 = C/1, C = 1 la solución particular es y = 1/x. Ejemplo 2 Dada la ecuación diferencial verificar que es solución y hallar la solución particular determinada por la condición inicial y(-3) = 2 Solución: Derivando la función , y reemplazando y e y’ en la ecuación se obtiene una identidad, o sea, x (3Cx2) – 3 Cx3= 0 , 0 = 0 Una solución particular de Luego concluimos que la solución particular es: Observación: Para determinar una solución particular, el número de condiciones iniciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. 1.8. Familia de Curvas Geométricamente la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas, conocidas como curvas solución, una para cada valor asignado a la constante arbitraria. Ejemplo. Es fácil comprobar que toda función de la forma es solución de la ecuación diferencial . La figura muestra varias curvas solución correspondientes a diversos valores de C. 2. CUATRO TIPOS ESPECIALES DE ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN La tarea principal de la teoría de las ecuaciones diferenciales es encontrar todas sus soluciones e investigar sus propiedades. A tal fin se estudiarán en esta clase cuatro tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, donde cada una de ellas presentan determinadas propiedades que permiten usar métodos propios de resolución ,03' =- yxy 3Cxy = 3Cxy = ,3' 2Cxy = 27 2)3(2 33 -=Þ-=Þ= CCCxy 27/2 3xy -= xCy /= 0' =+yxy Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 2.1. Forma General de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado. La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado es: F(x, y, y´)=0 llamada forma implícita. Si a partir de esta expresión es posible despejar y´ en términos de las variables x,y es decir, y´= f(x,y) decimos que la ecuación está en su forma explícita. La ecuación también puede expresarse en la forma diferencial como M(x,y)dx +N(x,y) dy= 0 2.2. 2.3. Ecuación Diferencial de Variables Separables. Dada la ecuación diferencial en su forma implícita H(x, y, y’) = 0, ó en su forma explícita y’= h(x,y), o en su forma diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, si es posible mediante pasos algebraicos expresarla como: , ó en forma equivalente , donde f y g son funciones continuas en un cierto intervalo I, la ecuación se llama de Variables Separables o simplemente Ecuación Separable. Esto es debido a que las variables x e y se han separado una de otra, de tal modo que x aparece solamente a la derecha e y está solamente a la izquierda. El siguiente teorema nos indica cómo encontrar una fórmula implícita que se satisfaga para cualquier solución de una tal ecuación diferencial. Teorema1. Sea y = Y(x) una solución cualquiera de la ecuación diferencial separable (a) tal que Y´ sea continua en un intervalo abierto I. Suponga que f y la función compuesta son ambas continuas en I. Sea G cualquier primitiva de g, esto es cualquier función tal que G´= g. Entonces la solución Y satisface la fórmula implícita (b) , para un cierto valor de C. Recíprocamente, si ‘y’ satisface (b) entonces ´y` es una solución de (a) Demostración. Puesto que Y es una solución de (a), debe ser, 1 Este Teorema se puede consultar en Apostol, T.M. Cálculus, México, Editorial Reverté, 1973, pag. 422-424 )x(f dx dy)y(g = dx)x(fdy)y(g = )x(f dx dy)y(g = ( ))x(Yg ò += Cdx)x(f)y(G Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos(c) para cada x de I Ya que G´= g, esta ecuación se convierte en Pero según la regla de la cadena, el primer miembro es la derivada de la función compuesta . Por consiguiente es una primitiva de f, lo cual significa que (d) Para un cierto valor de C. Esta es la relación (b). Recíprocamente, si y = Y(x) satisface (b), la derivación nos da (c) lo que demuestra que Y es una solución de la ecuación diferencial (a). Nota. La fórmula implícita también puede expresarse en función de g a partir de , pues tenemos, . Si hacemos la sustitución y = Y(x), dy = Y´(x) dx en la integral de la izquierda, la ecuación se transforma en, (e) ∫𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Puesto que representa una primitiva cualquiera de g la ecuación (e) es otra manera de escribir (b). En la práctica, la fórmula (e) se obtiene directamente de (a) por un proceso mecánico, a la ecuación (a) la escribimos en la forma g(y) dy = f(x) dx y luego integramos. Este teorema proporciona una justificación de este proceso mecánico. Ejemplo: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial , y la solución particular sabiendo que y(1) = 1 Solución Para separar las variables se multiplica a ambos miembros por 1/y donde y ≠ 0 integrando ambos miembros encontramos, A la constante arbitraria C1 la expresamos como lo cual es admisible puesto que (cuando C2 ≠ 0) puede tomar cualquier valor - ∞ a + ∞. En consecuencia por lo tanto por lo tanto . Usando la notación ± C2 = C se tiene que, con y ≠ 0 es la solución general [ ] )x(f dx dY)x(Yg = [ ] )x(f dx dY)x(Y´G = [ ] ( )( )[ ] [ ] )x´(Y.)x(Y´GxYG dx ddecires)x(YG = [ ])x(YG [ ] ò += Cdx)x(f)x(YG ò += Cdx)x(f)y(G [ ] )x(f dx dY)x(Yg = [ ] òò += Cdx)x(fdx)x´(Y)x(Yg ò dy)y(g x y dx dy -= Þ x dx y dy -= ò ò-= x dx y dy Þ 1Cxlnyln +-= 21 ClnC = 2Cln x Clnyln 2= x Cy 2= x Cy 2±= x Cy = Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Teorema 1 Habíamos supuesto que y ≠ 0 al separar las variables. Pero por simple sustitución en la ecuación dada, observamos que y = 0 la verifica. Por lo tanto y = 0 es también solución de la ecuación, y también se puede obtener de la solución general haciendo C = 0. En consecuencia la ecuación, es la solución general de la ecuación diferencial para cualquier valor de C. Si y(1) = 1,enonces 1= C/1, por lo tanto c=1. y = 1/x , es la solución particular 2.4. Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Homogéneos de Igual Grado. Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables en x e y se convierten en separables al realizar un cambio de variables. Este es el caso de las ecuaciones diferenciales de la forma y’= f(x, y), siempre que f sea una función homogénea. A) Funciones homogéneas. Los polinomios en los cuales todos los términos son del mismo grado, se llaman polinomios homogéneos. Queremos extender este concepto de homogeneidad a funciones que nos son polinomios. Definición. Una función f(x,y) se dice que es homogénea de grado k en x e y si y sólo sí f(λx, λy) = λk f(x,y), donde k es un número real Esta definición se extiende a funciones de más de dos variables. Ejemplos. Determine si las siguientes funciones son homogéneas y de qué grado. a) k = 0 f es función homogénea de grado cero en x e y. b) = λ f(x, y) k = 1 f es función homogénea de grado uno en x e y. B) Teoremas Antes de dar la definición de ecuación diferencial homogénea es necesario enunciar y demostrar los siguientes teoremas. Si Mx,y) y N(x,y) son ambas homogéneas y del mismo grado, la función es homogénea de grado cero. x Cy = yx yx)y,x(f 22 + = )y,x(f xy yx )y)(x( )y()x( )y,x(f 0 22 0 22 l= + l= ll l+l =ll 3 33 yx)y,x(f += 3 33 3 33 yx )y()x()y,x(f +l= l+l=ll )y,x(N )y,x(M nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Una ecuación diferencial, M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 se llama con coeficientes homogéneos de igual grado, si las funciones M(x,y) y N(x,y) son ambas homogéneas de igual grado k en x e y. Hipótesis. M(x,y) y N(x,y) son homogéneas de igual grado k Tesis. es homogénea de grado cero Demostración Como por hipótesis M y N son funciones homogéneas de igual grado k, M(λx, λy) = λk M(x,y) N(λx, λy) = λk N(x,y) Por lo tanto es función homogénea de grado cero. Teorema 2. Si f(x,y) es homogénea de grado cero en x e y entonces f(x,y) es una función de y/x solamente. Hipótesis. f(x,y) es homogénea de grado cero (k = 0) Tesis. f(x,y) = g(y/x) Demostración. Si se hace y = vx entonces se tiene f(x,y) = f(x, vx) = x0 f(1,v) donde x desempeña el papel de λ = f(1, y/x) = g(y/x) C) Definición de ecuación diferencial con coeficientes homogéneos de igual grado Para resolver una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos se realiza un cambio de variables, como lo indica el Teorema 3 que se enuncia y demuestra a continuación, y se la resuelve por el método de separación de variables. D) Teorema: Cambio de variables en ecuaciones con coeficientes homogéneos Teorema 3 Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es con coeficientes homogéneos, entonces se puede transformar en una ecuación diferencial cuyas variables son separables por la sustitución y = vx donde v es una función de x. )y,x(N )y,x(M Þ Þ )y,x(N )y,x(M )y,x(N )y,x(M 0l= ll ll )y,x(N )y,x(M Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Hipótesis. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es con coeficientes homogéneos Tesis. La ecuación se transforma en variables separables por la sustitución y = vx Demostración. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 mediante pasos algebraicos la reescribimos como (1) donde suponemos que N(x,y) ≠ 0 Por los teoremas 1 y 2 este último cociente es una función de g(y/x) por lo tanto (2) Realizando la sustitución donde v es una función derivable de x. (3) 4) ecuación de variables separables en las variables ‘x’ y ‘v’ Suponiendo que x ≠0 y g(v) - v ≠ 0 y dividiendo ambos miembros de la ecuación (4) por x.[g(v) – v ] ≠ 0 resulta Integrando ambos miembros La solución general será: F(x, v, C) = 0 Volviendo a las variables originales E) Otra forma de resolver una ecuación diferencial homogénea Sea y= vx entonces dy = v dx+ x dv ,y, por sustitución. por ser M y N homogéneas de grado n, se sigue que )y,x(N )y,x(M dx dy -= )x/y(g dx dy = xvyv x y =Þ= dx dvxv dx dy += )v(g dx dvxv =+ v)v(g dx dvx -= dx dy v)v(g dv = - òò =- x dx v)v(g dv 0C, x y,xF =÷ ø ö ç è æ )xdvvdx)(vx,x(Ndx)vx,x(Mdy)y,x(Ndx)y,x(M ++=+ 0)dvxdxv)(v,1(Nxdx)v,1(Mx nn =++ xdx)v,1(Nvdx)v,1(Ndx)v,1(M -=+ [ ] xdv)v,1(Ndx)v,1(Nv)v,1(M -=+ 0dv )v,1(Nv)v,1(M )v,1(N x dx = + + Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Donde los denominadores deben ser distintos de cero. Integrando ambos miembros y volviendo a las variables originales obtenemos la solución general de la ecuación diferencial. Nota: Es fácil probar que la ecuación con coeficientes homogéneos también puede resolverse realizando la sustitución x = uy y la ecuación debe llevarse a la forma: . Algunas veces sucede que la solución de una ecuación homogénea se obtiene más rápidao fácilmente, de manera indistinta, con una de las dos sustituciones y = v x ó x = u y, y en otros casos es conveniente usar sólo una de ellas. Generalmente, decidir de antemano cuál de ellas nos conviene puede resultar difícil. Hablando en general, la única orientación para escoger entre las dos sustituciones es la siguiente: M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 si el coeficiente M contiene menos términos o más sencillos que N, realice la sustitución x = uy y si N es más simple que M, utilice y=vx. Observaciones2. a) Cuando g(v) = v en (4) la ecuación se reduce a por lo tanto v = C y y = C x que es solución de la ecuación diferencial dada. Esto, es un problema trivial puesto que cuando g(v) = v la ecuación (2) toma la forma es soluble inmediatamente por separación de variables. b) Al separar las variables en (4) se divide ambos miembros por el producto x.[g(v) – v] por lo cual se perdían las soluciones que hacían cero sus factores, es decir x = 0 y g(v) – v = 0. Se debe analizar si x = 0 es solución de la ecuación diferencial (en este caso solución singular ya que la misma no se puede obtener a partir de la solución general). Sin embargo si v = v0 es una raíz de la ecuación g(v) – v = 0 con una prueba directa nos convencemos de que v = v0 o y = v0 x (recta que pasa por el origen de coordenadas ) es también solución de la ecuación diferencial dada. c) Si g(v0) – v0 = 0 entonces v = v0 es solución de la ecuación diferencial pues anula ambos miembros de la ecuación. Si g(v) – v = 0 tiene raíces v = v1, v = v2, v = v3, … , etc. entonces las rectas de ecuaciones y = v1x, y = v2x, y = v3x, … (son rectas que pasan por el origen de coordenadas) son soluciones de la ecuación diferencial dada. Estas soluciones pueden ser particulares o singulares. Ejemplo 1: Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial homogénea: 2 Para más información consultar a Redick, H.W. y Miller, F.H. Matemáticas superiores para ingenieros, México-España, pag. 26-28, Compañía Editorial Continental, S.A., 1967; Rey Pastor, J.; Pi Calleja, P.; Trejo, C. Análisis matemático, Buenos Aires, Kapelusz, 1952. )y/x(g dy dx = 0 dx dvx = x y dx dy = v)v(g dx dvx -= ( ) 0dyxdxyyx 22 =-+ Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Solución: M(x , y) = x y + y2 N( x, y ) = - x2 Verificación de la condición de homogeneidad: M(λx, λy) = (λx) (λy) + λ2 y2 N(λx, λy) = (- λx)2 M(λx, λy) = λ2 ( x y + y2) N(λx, λy) = λ2 x2 M(λx, λy) = λ2 M(x, y) N(λx, λy) = λ2 N(x, y) Por lo tanto los coeficientes M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas de igual grado de homogeneidad (grado 2). Resolviendo la ecuación de acuerdo al teorema 3: Notas: • x=0 es solución singular de la ecuación diferencial • Si v = o entonces y = 0 es solución singular de la ecuación diferencial no se obtiene para ningún valor de C 2.5. Ecuaciones Diferenciales Exactas. A) Definición Dada una ecuación diferencial (I) M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 se dice que es exacta, si el primer miembro es la diferencial total o exacta (II) de alguna función U(x,y). generalsolución Cxln x)x(y Cxln 1 x y Cxln 1v Cxln v 1 x dx v dv separablesiablesvardeecuación x dx v dv 0vy0xdondev.xpordividesev dx dvx vv dx dvxv; dx dvxv dx dy xvyv x yaquídex yg dx dy x y x y dx dy; x yyx dx dy 2 2 22 2 2 2 2 + -= Þ + -=Þ + -= Þ+=-Þ= = ¹¹=Þ +=++= =Þ=÷ ø öç è æ= ÷ ø ö ç è æ+= + = òò dy y Udx x UdU ¶ ¶ + ¶ ¶ = nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Es decir la ecuación (I) se puede expresar como dU(x,y) = 0 y su solución general se obtiene integrando ambos miembros: . Resolver este tipo de ecuación diferencial significa encontrar la función U(x,y). Para ello se debe probar primero la existencia de dicha función, es decir el primer miembro de la ecuación diferencial debe ser la diferencial total o exacta de una función U(x,y). Comparando (I) y (II) vemos que y si U(x,y) tiene derivadas parciales segundas continuas, por el Teorema de Schwarz se cumple que: por lo tanto se tiene que Esto sugiere el criterio de exactitud siguiente. B) Teorema. Criterio de Exactitud. Supongamos que las funciones M(x,y) y N(x,y) son continuas y que tienen primeras derivadas de primer orden continuas en el rectángulo abierto R: a˂x˂b, c <x< d. Entonces la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta en R sí y sólo sí, (III) , en cada punto de R. Esto es existe una función U(x,y) definida en R con, , si y solamente si la ecuación (III) se cumple. Condición necesaria Hipótesis. La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta, donde M y N tienen 1ª derivadas parciales continuas. Tesis. : Demostración. Como la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta por definición existe la función U(x,y) tal que es el primer miembro de la ( ) ( ) Cy,xUCy,xUd =Þ=ò )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ yx )y,x(U xy )y,x(U 22 ¶¶ ¶ = ¶¶ ¶ x )y,x(N y )y,x(M ¶ ¶ = ¶ ¶ x )y,x(N y )y,x(M ¶ ¶ = ¶ ¶ )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ x )y,x(N y )y,x(M ¶ ¶ = ¶ ¶ dy y Udx x UdU ¶ ¶ + ¶ ¶ = nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos ecuación por lo tanto de aquí . Como por hipótesis M y N tienen primeras derivas parciales continuas entonces son continuas y por el Criterio de Schwarz-Clairaut estas derivadas son iguales; Por lo tanto se prueba que es una condición necesaria para que (I) sea exacta. Condición suficiente. Hipótesis. Se cumple que: Tesis. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta. Es decir existe una función U(x,y) tal que Demostración. Se observa que para cualquier función g(y), se cumple que la función satisface la ecuación La constante de integración se puede expresar como una función de y porque estamos integrando parcialmente respecto de la variable x. Se quiere escoger g(y) de modo que Entonces Es decir (IV) Para probar que existe g(y) es suficiente con demostrar que el segundo miembro de (IV) es una función de y solamente. Para ello derivamos el segundo miembro con respecto a x y esta derivada debe ser cero. )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ x N yx )y,x(Uy y M xy )y,x(U 22 ¶ ¶ = ¶¶ ¶ ¶ ¶ = ¶¶ ¶ yx )y,x(Uy xy )y,x(U 22 ¶¶ ¶ ¶¶ ¶ x N yx )y,x(U xy )y,x(U y M 22 ¶ ¶ = ¶¶ ¶ = ¶¶ ¶ = ¶ ¶ x )y,x(N y )y,x(M ¶ ¶ = ¶ ¶ x )y,x(N y )y,x(M ¶ ¶ = ¶ ¶ )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( ) ( )ygdxy,xMy,xU += ò )y,x(Mx )y,x(U = ¶ ¶ )y,x(N y )y,x(U = ¶ ¶ )y,x(N)y´(gdx)y,x(M yy U =+ ¶ ¶ = ¶ ¶ ò ò¶ ¶ -= dx)y,x(M y )y,x(N)y´(g Es una primitiva de M(x,y) Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos De esta manera, se puede encontrar la función buscada g(y) integrando ambos miembros de la ecuación (IV), Sustituyendo este resultado en la ecuación se tiene que, (V) Que es la función buscada con C) Método práctico de resolución Desde el punto de vista práctico, para resolver una ecuación exacta se procede de la siguiente manera: Sabiendo que (I) es exacta existe una función U(x,y) tal que: Como entonces La solución general será: Para verificar la solución general se debe calcular la diferencial total de la función U(x,y) obteniday se debe obtener el primer miembro de la ecuación diferencial. Nota: Para encontrar la solución general se podría haber partido de (b), en lugar de (a), y se realiza el mismo procedimiento, cambiando lo que haya que cambiar. hipótesispor0 y M x N dx)y,x(M xyx N dx)y,x(M yxx Ndx)y,x(M y )y,x(N x = ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ =ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ò òò dydx)y,x(M y )y,x(N)y(g ò ò úû ù ê ë é ¶ ¶ -= dydx)y,x(M y )y,x(Ndx)y,x(M)y,x(U ò ò ò úû ù ê ë é ¶ ¶ -+= )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ )y,x(N y )y,x(U)b(;)y,x(M x )y,x(U)a( = ¶ ¶ = ¶ ¶ ò +=Þ )y(gdx)y,x(M)y,x(U )y,x(N y )y,x(U = ¶ ¶ ò =+¶ ¶ = ¶ ¶ )y,x(N)y´(gdx)y,x(M yy )y,x(U ò¶ ¶ -=Þ dx)y,x(M y )y,x(N)y('g 1kdydx)y,x(My )y,x(N)y(g +ú û ù ê ë é ¶ ¶ -= ò ò Cdydx)y,x(M y )y,x(Ndx)y,x(M)y,x(U =ú û ù ê ë é ¶ ¶ -+= ò ò ò nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Ejemplo 1. Comprobar si la siguiente ecuación diferenciales es exacta. Llevándola a la forma diferencial Donde M(x,y) = xy2 + x y N(x,y) = y x3 Aplicando la condición de exactitud por lo tanto la ecuación es exacta. Obsérvese que el criterio de exactitud de es el mismo que el criterio para determinar si es el gradiente de una función potencial. Esto significa que puede obtenerse una solución general f(x, y) = C de una ecuación diferencial exacta por el método usado para hallar una función potencial para un campo vectorial conservatorio. Ejemplo 2. Dada la ecuación diferencial, probar si es exacta, y en caso afirmativo hallar su solución general. Solución La ecuación diferencial dada es exacta, ya que, Sabiendo que la ecuación es exacta, existe una función U(x,y) tal que donde U(x, y)= C es la solución general. Para encontrar U(x,y), Para encontrar g(y) se deriva parcialmente la función U(x, y) con respecto y se iguala a N(x, y) Entonces; Luego: g’(y)= -2y y se sigue que por lo tanto, es la solución general. 2.6. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Exactas A) Definición Dada la ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y)dy = 0, si no es exacta, puede que se la transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado H(x,y), llamado factor integrante de la ecuación diferencial, si, bajo ciertas condiciones esto es posible, a la ecuación original se la denomina reducible a exacta. Por ejemplo la ecuación diferencial, 2y dx + x dy =0 no es exacta, pero es posible transformarla en exacta si se multiplica por el factor integrante H(x,y) = x. Observamos que la ecuación resultante 2xy dx + x2 dy = 0 es exacta, el primer miembro es la diferencial total de . ( ) dyyxdxxxy 22 -=+ ( ) 0dyyxdxxxy 22 =++ [ ] [ ]22 yx x xy2xxy y ¶ ¶ ==+ ¶ ¶ 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ j)y,x(Ni)y,x(M)y,x(f += ( ) ( ) 0dyy2xdxx3xy2 22 =-+- ( ) ( ) y2xy,xNx3xy2y,xM 22 -=-= x2]y2x[ x ;x2)]y(gxyx2[ y 232 =- ¶ ¶ =+- ¶ ¶ )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ ( )òò +-=-== )y(gxyxdxx3xy2dx)y,x(M)y,x(U 322 y2x)y('gx)]y(gxyx[ y )y,x(U 2232y -=+=+-¶ ¶ = 1 2 ky)y(g +-= Cyxyx)y,x(U 232 =--= yx 2 nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Determinar los factores integrantes de una ecuación diferencial puede resultar una tarea difícil. Sin embargo en aquellas ecuaciones cuyos factores integrantes son función de x solamente o de y solamente, pueden hallarse de manera rutinaria. El teorema siguiente nos da las condiciones que deben cumplirse para que existan dichos factores y sugiere un procedimiento para hallarlos. B) Teorema: Factores integrantes Nota: Si una de ellas h(x) o k(y) es constante el teorema aún se aplica Parte a) Hipótesis. La ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0 admite el factor integrante F(x) Tesis. Demostración. Partiendo de la ecuación M(x, y) dx +N(x, y) dy =0 y multiplicando ambos miembros por F(x) F(x) M(x, y) dx+ F(x) N(x, y) dy =0 esta ecuación debe ser exacta, es decir debe cumplir la condición de exactitud. ; por lo tanto , donde . Se considera C = 1 ya que de los infinitos factores integrantes buscamos solo uno. Entonces: Partes b) Hipótesis. La ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0 admite el factor integrante F(y) ( ) ( )[ ]ò -= dxy,xxNy,xyM)y,x(N 1 e)x(F [ ] [ ])y,x(N.)x(F x )y,x(M.)x(F y ¶ ¶ = ¶ ¶ 1Cdxx N y M N 1 )x(F )x(Fd;dx x N y M N 1 )x(F )x(Fd N. dx )x(Fd x N y M)x(F; x N.)x(FN. dx )x(Fd y M.)x(F +ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ =ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = =ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ += ¶ ¶ ò ò 1Cdxx N y M N 1)x(Fln +ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = ò 1C dx x N y M N 1 e.e)x(F ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = dx x N y M N 1 eC)x(F 1CeC ±= Dada la ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0: a) Si es una función de x solamente , entonces es un factor integrante. b) Si , es una función de y solamente, entonces es un factor integrante. ( ) ( )[ ] )x(hy,xNy,xM )y,x(N 1 xy =- ò= dx)x(h e)x(F ( ) ( )[ ] )y(ky,xMy,xN )y,x(M 1 yx =- ò= dy)y(k e)y(F ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = dx x N y M N 1 e)x(F nahue Resaltar nahue Resaltar Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Tesis. Demostración. Partiendo de la ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0 y multiplicando ambos miembros por F(y) F(y) M(x, y) dx+ F(y) N(x, y) dy =0 esta ecuación debe ser exacta, es decir debe cumplir la condición de exactitud. ; donde . Se considera C = 1, por lo tanto: C) Solución de la Reducible a Exacta Una vez calculado el factor integrante, ya sea F(x) o F(y), se multiplica toda la ecuación por dicho factor y se obtiene una nueva ecuación diferencial que es exacta y se la resuelve siguiendo el procedimiento presentado en el apartado 2.3. Ejemplo . Resolver la siguiente ecuación diferencial. la ecuación no es exacta. Como existe F(x) ; Multiplicando toda la ecuación por el factor integrante, esta ecuación debe ser exacta. , 2 y. ex = 2 y ex ( ) ( )[ ]ò -- = dyy,xxNy,xyM)y,x(M 1 e)y(F [ ] [ ])y,x(N.)y(F x )y,x(M.)y(F y ¶ ¶ = ¶ ¶ 2Cdxx N y M M 1 )y(F )y(Fd;dy x N y M M 1 )y(F )y(Fd M. dy )y(Fd x N y M)y(F; x N.)y(F y M.)y(FM. dy )y(Fd +ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ -=ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ -= -=ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ + ò ò 2Cdyx N y M M 1)y(Fln +ú û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ -= ò 2C dy x N y M M 1 e.e)y(F ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ - = ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ - = dy x N y M M 1 eC)y(F 2CeC ±= ( ) 0dyy2dxxy2 =+- 0 x Ny2 y M = ¶ ¶ ¹= ¶ ¶ [ ] 1NM N 1 xy =- ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ = dx x N y M N 1 e)x(F [ ] x dx0y2 y2 1 ee)x(F == ò - ( ) 0dyey2dxxye x2x =+- [ ] [ ]x2x ey2 x )xy(e y ¶ ¶ =- ¶ ¶ ò úû ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ - = dy x N y M M 1 e)y(F Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos Existe U(x,y) tal que , , )y,x(N y )y,x(U;)y,x(M x )y,x(U = ¶ ¶ = ¶ ¶ )x(hey)y,x(U dyey2)y,x(U dy)y,x(N)y,x(U x2 x += = = ò ò ( )x'hey x U x2 += ¶ ¶ ( ) xeeyx'hey xx2x2 -=+ ( ) xex'h x-= ( ) dxexxh xò-= ( ) Ceexeyy,xU xxx2 =+-=
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