Resumen 1 parcial (1, 2 y 3)

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Para resolver un problema, en general, las personas extraen los elementos fundamentales y construyen 
una representación del problema. Esta representación puede ser: 
 Mental: todos los hacemos en forma permanente sin darnos cuenta Ej: dos personas pueden 
discrepar sobre la misma realidad, ya que poseen distintos pensamientos. 
 Física: Ej: un arquitecto plasma su modelo mental en algo físico (maqueta) para representar una 
casa. 
 Verbal: se puede escribir un texto. Ej: un poema. 
 Abstracta: se da cuando se utiliza alguna forma simbólica para representar las cosas. EL LENGUAJE 
MÁS ABSTRACTO ES EL GENGUAJE MATEMÁTICO. Ej: modelo matemático. 
 
Es necesario, según el problema que se trate de resolver, reexpresarlo con el lenguaje que mejor se 
adapte y generar un modelo que lo describa lo mejor posible. De esa manera, la solución “óptima” del 
modelo podrá indicar una buena solución para el problema. 
A esta representación, la llamaremos MODELO. 
 
Es una representación mental o física de un fenómeno o circunstancia real, a través de un lenguaje verbal, 
mímico, concreto, abstracto o mixto. 
El modelador (arquitecto, ingeniero, contador, etc.), concibe un modelo mental a partir de las 
percepciones de la realidad y lo externaliza en forma de modelos físicos para ser comunicados a los 
posibles utilizadores de los mismos. A su vez, estos utilizadores formulan sus representaciones mentales 
y es así, como en base de tales modelos, actúan, gobiernan o pilotean la realidad. 
 
MODELOS MATEMÁTICOS: se elaboran usando símbolos y expresiones matemáticas para representar los 
diferentes componentes del problema. Dentro de ellos, existen 2 grandes grupos: 
 Modelo descriptivo 
Representa una relación entre variables, pero NO indica curso de acción alguno. Ejemplo: la ecuación 
lineal que indica la relación entre las ventas y las comisiones o entre el precio y la cantidad demandada. 
Estos modelos son útiles para estimar el funcionamiento de la realidad, pero no permiten identificar el 
mejor curso de acción a tomarse. 
 
 Modelo normativo (o de optimización) 
Señala el curso de acción a seguir para alcanzar un objetivo. Puede contener submodelos descriptivos, 
pero difieren ellos, porque es posible determinar un curso de acción mejor u óptimo. 
Estos modelos están constituidos por 3 elementos básicos: 
1. Variables de decisión: son variables a las que, quien decide puede asignar valores (son controlables). 
Representan todos los cursos de acción posibles o todas las alternativas o políticas que puedan otorgar 
solución al problema. 
2. Restricciones: son elementos que “impiden” que los valores decisionales sean puro arbitrio del 
decisor. 
3. Una o más funciones objetivo: son expresiones matemáticas que deben representar aquello que 
queremos optimizar (es decir, lo que queremos lograr). Describen el anhelo, deseo o pretensión de lo 
que requiere solución. 
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Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas, pero la más importante, es que con ellos se describe 
en forma más concisa al problema, lo que hace que toda la estructura del mismo sea más comprensible 
y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. 
 
Por otro lado, existen obstáculos que deben tratar de evitarse. El más importante es que estos modelos 
son una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y 
supuestos de simplificación para que el modelo sea susceptible de ser resuelto. Por lo tanto, se debe 
tener cuidado que el modelo sea una representación válida del problema. 
 
¿Qué proceso debemos seguir para resolver un problema a través de un modelo? 
 
Es un conjunto de partes o elementos organizados y relacionados que interactúan entre sí para lograr un 
objetivo. Los elementos pueden ser conceptos (idioma), objetos (computadora) o sujetos (equipo de 
fútbol). 
 
Es importante destacar que los sistemas pueden ser - y habitualmente los son - conjuntos de elementos 
que a su vez son sistemas. En muchos casos, se puede pensar en sistemas más grandes, los cuales 
comprenden otros sistemas, que se denominan sistema total o integral. 
Uno de los problemas, al tratar de sistemas, se deriva de nuestra incapacidad para saber qué tanto 
“descomponer un sistema” en sistemas componentes, o bien, qué tanto "componer" u "organizar" un 
sistema en sistemas más grandes. 
Otro elemento a tener en cuenta es que cuando un fenómeno es concebido como un sistema, 
necesariamente aparece un sistema de información que lo describe. Es decir, un sistema de información 
siempre es un subsistema de otro sistema y todo sistema tiene asociado a él, un subsistema que es un 
sistema de información. 
Los modelos, tienen una fuerte vinculación con los sistemas. 
 
EN CONCLUSIÓN: los problemas de la realidad pueden representarse a través de modelos y de esta forma 
buscar soluciones que, si bien pueden no ser óptimas, al menos cooperarán a la toma de una mejor 
decisión. 
Los modelos son la expresión (con la utilización de un determinado lenguaje que traduzca la observación 
de la realidad de la mejor manera posible) de los problemas que son enfocados a través de la idea de 
sistema. 
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Se ocupa de la distribución eficaz de recursos limitados y puede considerarse como un arte (refleja los 
conceptos eficiente y limitado de un modelo matemático bien definido) y como una ciencia (comprende 
la deducción de métodos de cálculo para resolver tales modelos). Su origen puede ubicarse, en la 
segunda guerra mundial. 
La cátedra adhiere a otra definición: "la IO es un enfoque científico de la toma de decisiones". 
 
Comienza describiendo el problema (o sistema) mediante un modelo, que luego se manipula para 
determinar la mejor forma de operación del sistema. En otras palabras, busca determinar un modelo 
inicialmente descriptivo y tornarlo en normativo. Ello lo hace siguiendo las siguientes fases: 
 
 Formulación del problema 
Es esencial que el problema esté claramente definido. 
El conocimiento de cualquier realidad o sistema, requiere de un método para llevar adelante los procesos 
de observación y de medios para lograrlo (lazarillo, tiempo, etc.). Sin método y sin medios, los 
conocimientos sobre esa realidad, fenómeno o sistema, serán una fantasía absolutamente apartada de 
aquello que se pretende conocer. 
 También es importante haber establecido una medida de efectividad. Esto quiere decir que todos los 
involucrados en el problema y el sistema bajo estudio, deberán acordar el objetivo y un “límite” de 
satisfacción que se espera de la solución final. De lo contrario, el trabajo puede no tener fin en el tiempo. 
Esta medida de efectividad, debe estar en armonía con los objetivos de la organización total. Esto, no 
implica que la definición de un problema deba incluir en forma explícita todas las ramas de la 
organización, pero deben tenerse en cuenta los objetivos globales de ella cuando se determina la medida 
de efectividad en un subsistema que la compone. 
 
En definitiva, en esta fase debemos: 
 Considerar todos los aspectos del problema. 
 Definir claramente el objetivo. 
 
 Construcción de un modelo para representar el sistema bajo estudio 
Si bien existen muchos lenguajes para construir un modelo, utilizaremos el lenguaje matemático. El cual 
está compuesto por: 
 Función objetivo (o función de efectividad/funcional): es la expresión matemática de la síntesis del 
problema. Habitualmente, el problema presenta algo deseable o indeseable (como un beneficio o un 
costo). En esta función intervienen las variables de decisión y los valores que ellas asuman, serán los 
indicadores del curso de acción a seguir en la decisión. 
 
 Función de restricción: son expresiones matemáticas que describen los aspectos que no pueden ser 
excedidos por una decisión (es decir, es todo lo que impide que un objetivo se pueda lograr con libertad, 
ya que, si así fuera se estaría ante la ausencia de un problema). 
Esta función, puede ser implícitao explícita. Es implícita cuando está incorporada a la función objetivo 
con parámetros que indican la medida de valores que no pueden ser alterados por quien puede decidir. 
Es explícita cuando se presenta a través de una o más funciones que le ponen una cota al objetivo 
(superior si es algo deseable – inferior si es indeseable). 
 
En este conjunto intervienen variables que presentan diferentes denominaciones, según las 
características que posean: 
- Variables endógenas (propias del sistema) y exógenas (actúan fuera del sistema, pero de algún modo 
lo condicionan). 
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- Variables controlables (representan la posibilidad de realizar cursos de acciones por parte de quien 
decide - aunque sea dentro de un intervalo determinado -) y no controlables (representan valores que 
quedan fuera de la posibilidad de acción para que asuman determinados valores) 
- Variables de estado: representan determinados aspectos de un sistema en un momento del tiempo. 
 
Con toda la información posible de recolectar, supuestos que deben hacerse, experiencia e imaginación 
se desarrolla la construcción del modelo. Debe quedar en claro que éste es una aproximación a la realidad 
y no la realidad en sí (es decir, el modelo NO es exactamente lo mismo que el sistema que se describe, 
por ende, no debe reclamarse que contenga todas las variables, parámetros, relaciones, etc.) 
 
 Deducción de una solución a partir del modelo 
Se logra determinando la “solución óptima del modelo”. Optimo, es sinónimo de máximo o mínimo, pero 
con la salvedad que lo es del modelo, no de la realidad. 
En ocasiones, las complejidades matemáticas del modelo hacen imposible la obtención de una solución 
óptima y es necesario conformarse con una “buena solución”. 
De todos modos, ambas soluciones serán siempre satisfactorias. 
 
 Prueba del modelo y de la solución deducida de éste 
Es necesario probarlos antes de tomar los cursos de acción que aconsejan los resultados, a través de 2 
formas posibles: 
1) Consiste en usar datos históricos del rendimiento que tuvo el sistema con la decisión que lo rigió, y 
compararlos con los que se habrían producido si la decisión hubiese sido la que aconseja el modelo y su 
solución. Ejemplo: si se trata de un problema de ventas, "rehacer" los estados contables como si las 
cantidades vendidas hubiesen sido las del modelo y compararlos con los estados que muestran lo que 
históricamente ocurrió. Ello dará la pauta de que si el beneficio (objetivo), hubiese sido mayor, igual o 
menor que el logrado en la realidad. 
2) Dejar operar el sistema tal como viene funcionado y compararlo con una simulación de lo que iría 
ocurriendo si la solución estuviese en acción. La comparación entre el rendimiento real y el simulado, 
otorgará la respuesta respecto del modelo y su solución, indicando si es mejor o no y, en determinado 
caso, reformular el modelo y/o solución. 
 
 Establecimiento de controles sobre la solución 
Cuando se desarrolla un modelo, éste y/o su solución pueden ser sensibles a eventuales cambios 
operados en variables y parámetros no controlables de la realidad. 
Esto implica que deben colocarse "alarmas" que indiquen la presencia de cambios en las condiciones 
bajo las que fueron desarrolladas las tareas y, además, el grado de impacto que producen tales 
modificaciones, de forma que se pueda evaluar si el modelo y su solución pueden seguir siendo aplicados, 
si requieren ajustes o, inclusive, un nuevo diseño. 
 
 Puesta en marcha de la solución: curso de acción definido por el modelo normativo 
En esta fase, los analistas deben explicar con claridad todos los aspectos necesarios para aplicar la 
solución (suele ser una tarea bastante complicada). 
También, deben controlar la implantación del modelo y la solución para asegurarla, y observar su 
funcionamiento y controles descriptos en la fase anterior. 
 
ESTAS FASES NO IMPLICAN APLICACIÓN ESTRICTA, SÓLO REPRESENTAN UN MARCO DE REFERENCIA 
PARA LOS PROCEDIMIENTOS A SEGUIR. PUEDEN SER MODIFICADAS Y SUPLANTADAS POR OTROS 
PROCEDIMIENTOS QUE ACONSEJEN LOS DISTINTOS CASOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR. 
 
 
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Respecto a la solución de modelos, siempre se trata de un algoritmo o proceso matemático destinado a 
hallar los mejores cursos de acción o políticas para el sistema modelado. Pero, cabe señalar que la IO ha 
desarrollado otros métodos y técnicas para resolver problemas de análisis y decisión, tales como DEA y 
DECISIÓN MULTICRITERIO, entre otras. 
En los problemas clásicos, se deberá adecuar un procedimiento de solución que la satisfaga en términos 
de resolución. Ejemplo: si la función objetivo representa una circunstancia indeseable, se intentará 
obtener el o los valores donde ella presenta un mínimo. Si es algo deseable, un máximo. 
Esto es relativamente fácil, si se piensa en una función objetivo continua y derivable en un intervalo, pero 
los problemas que se presentan pueden tener varias variables, lineales o no lineales, con restricciones 
que acotan la posibilidad de crecimiento (o decrecimiento) de la función y casos más complejos. 
En definitiva, mucho del herramental matemático disponible, puede constituirse en el modo de 
solucionar un modelo. Y según sea la complejidad de éste, se deberá aplicar uno u otro procedimiento. 
 
FORMULACIÓN CLÁSICA DE UN MODELO: 
Hallar el valor de las variables (x1; x2;...; xn) que maximizan (o minimizan) a la función objetivo 
F = F (x1; x2;…; xn) 
Sujeta a las siguientes restricciones: 
Ri(x1; x2; … ; xn) = ki para i=1,2, ... , j 
Ri(x1; x2; … ; xn) >= ki para i=j+1, ... , m 
Ri(x1; x2; … ; xn) <= ki para i=m+1, ... , p. 
O bien, las restricciones pueden estar incluidas en la propia función objetivo. 
 
En la búsqueda de la/s solución/es del modelo, se utilizan técnicas y métodos matemáticos vistos en 
análisis matemático, algebra, estadística, softwares, etc. 
 
Técnicas de optimización 
 Optimización por diferenciación: para ser usados, la función por optimizar 
debe ser continua y derivable (figura 5). 
 Diferenciación propiamente dicha: herramientas vistas en análisis (como 
teoría general de máximos y mínimos). 
 Desarrollo en serie de Taylor: la aproximación de funciones mediante el 
desarrollo de Taylor puede realizarse conociéndose el número de términos 
necesarios a desarrollar para acotar el residuo (resto). 
Si se emplea el origen (x=0) se obtiene el desarrollo de Mac Laurin. 
 Multiplicadores de Lagrange: pueden emplearse para optimizar funciones del tipo: 
M = M (x1; x2; ... ; xn) 
Sujeta a restricciones de igualdades del tipo: 
Ci(x1; x2; … ; xn) = 0 para i = 1, 2, ... , n. 
 
 Métodos de búsqueda: no requieren condiciones de continuidad y derivabilidad. 
Puede ocurrir que, se midan en forma discreta hechos que son continuos (como el tiempo). Ejemplo: en 
un reloj se ven números enteros y el segundero se mueve de a “saltitos”, cuando en realidad es una 
continuidad eterna. 
La búsqueda otorga la posibilidad de trabajar con variables discretas (figura 7), circunstancia que no 
resuelve el cálculo diferencial, como tampoco si la función presenta puntos de discontinuidad y/o 
angulosos (figura 6). 
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Métodos de búsqueda directa para problemas de una variable sin restricciones: 
 Métodos simultáneos: 
- Búsqueda exhaustiva. - Búsqueda aleatoria. 
 
 Métodos secuenciales: 
- Método de la Trisección. - Método de Fibonacci. 
 
Métodos de búsqueda directa para problemas de varias variables sin restricciones: 
 Métodos simultáneos: 
- Búsqueda exhaustiva. - Búsqueda aleatoria. 
 
 Métodos secuenciales: 
- Búsqueda de rejilla. 
- Búsqueda univariada. 
- Métodos de Gradiente. 
- Métodos de Fletcher-Powel. 
- Búsqueda de Patrón. 
 
Debe quedar en claro que los métodos de búsqueda determinan el máximo o mínimo global de la función 
en un determinado intervalo, mientras que los métodos de optimización por diferenciación permiten, 
encontrar máximos y mínimos locales. 
 
Técnicas de gradiente 
Si bienestas técnicas son globalizadoras, sólo se enuncian algunas características mínimas de ellas. 
Si se tiene una función objetivo M = M (x1; x2; ... ; xn) que hay que maximizar o minimizar, se comienza 
hallando para un punto inicial x0 = (x10; x20; ... ; xn0) el valor de la función y su gradiente en este punto. 
Esto supone hallar un vector que indica, por una parte, la dirección para la cual la función M habrá de 
tener el máximo aumento (si el problema es de maximización) o disminución en su valor (si el problema 
es de minimización) y la magnitud de tal incremento o disminución. De este modo, se puede pasar a otro 
punto xi que otorga a la función el mayor crecimiento posible respecto del anterior, y así sucesivamente 
hasta encontrar el máximo o mínimo de la función. 
 
Se puede hablar de problemas: 
 CON OPONENTE PASIVO: son aquellos que, cualquiera sea el curso de acción o decisión que impulse 
un modelo, no se presenta una reacción por parte de los afectados. Es decir, que la decisión que impone 
la solución no es resistida por la competencia, integrantes de la organización, etc., al menos de una 
manera concreta y que obligue a replantear las cosas. 
 
Dentro de este tipo de problemas, se distinguen 3 categorías: 
 Problemas con factores determinados: los elementos sustanciales del sistema y sus relaciones son 
considerados como ciertos y determinados. 
Aun cuando los factores que inciden sobre el curso de acción pudieran ser aleatorios, está presente un 
grado de verosimilitud y permanencia que hace que sean considerados como parámetros ciertos. 
 
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 Problemas con factores aleatorios: son los casos en los que intervienen factores o elementos que no 
están determinados y sus comportamientos obedecen a leyes probabilísticas conocidas. 
 
 Problemas con factores inciertos: son problemas que presentan factores aleatorios, pero sin 
conocimiento de sus comportamientos, leyes de probabilidad ni frecuencias de acontecimiento 
históricas. 
 
 CON OPONENTE ACTIVO: se caracterizan por el hecho de que la decisión o curso de acción genera 
reacción por parte de oponentes al sistema en que se está trabajando. Las decisiones, no dependen sólo 
de los factores internos de la organización y las variables de estado, sino que, se ven enfrentadas por el 
efecto de decisiones en otros sistemas ajenos que pueden reaccionar contra las del que se está 
trabajando. 
 
 
La IO es una disciplina que intenta facilitar la solución de problemas acudiendo a una base científica 
(particularmente, la matemática). Para ello, diseña modelos que representan a los problemas y mediante 
técnicas determina las mejores soluciones. 
 El diseño del modelo se realiza utilizando el lenguaje más adecuado para que el mismo pueda ser 
resuelto con precisiones que otros no proporcionan: el matemático. Pero ello no quiere decir que la IO 
sea una “matemática aplicada”, sino que es una disciplina en la que se funden otras y se encuentra 
enmarcada en el paradigma de sistemas. 
En definitiva, es necesario que se entienda que se hace IO cuando se asume la “actitud” de enfocar un 
problema con su metodología, independientemente de quienes tengan la función de expresar la realidad 
mediante objetos matemáticos y de hallar las soluciones en el campo de esa ciencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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El punto central de la IO, es representar sistemas por medio de un modelo matemático, para luego 
optimizar alguna función que representa algo deseable o indeseable. Pero, en algunos casos el sistema 
es demasiado complicado para describirlo o el modelo, una vez construido, no permite una solución. 
En estos casos (además de la prueba de un modelo y de su solución), la SIMULACIÓN se constituye en 
una importante herramienta para obtener respuestas a un problema. 
 
¿QUÉ ES? Consiste en imitar el funcionamiento de un sistema bajo 
condiciones controladas. 
La simulación juega un papel importante, ya que permite describir el 
comportamiento global de un sistema. En lugar de utilizar un 
instrumento físico o pruebas reales sobre el sistema, el desempeño 
del sistema real se imita usando distribuciones de probabilidad para 
generar aleatoriamente los distintos eventos que ocurren en el 
sistema. 
 
Se puede clasificar en: 
 Simulación de fenómenos ciertos mediante procedimientos ciertos: un ejemplo clásico de este tipo de 
simulación se presenta cuando se diseña un nuevo avión. La mejor opción sería construir aviones y 
probarlos en vuelos reales, pero, con un alto costo y demasiado peligro. En consecuencia, la simulación 
del vuelo en un túnel de viento resulta la herramienta más viable. Simular el vuelo significa imitar el 
desempeño de un avión real en un medio controlado con el fin de estimar el desempeño real del avión. 
 
 Simulación de fenómenos ciertos y aleatorios mediante procedimientos aleatorios: la simulación es una 
técnica de muestreo estadístico controlada que permite estimar el desempeño de sistemas aleatorios 
complejos cuando los modelos analíticos no son suficientes. 
Si un problema puede representarse con un modelo analítico y la solución es satisfactoria, este enfoque 
es superior a la simulación, sin embargo, cuando el sistema es demasiado complejo para su análisis, la 
simulación es el enfoque práctico para representar el sistema y mediante el proceso de repetición para 
diferentes configuraciones, escenarios y políticas, permite identificar una solución satisfactoria. 
 
- El 1° caso (fenómenos ciertos y procedimientos aleatorios) es una categoría teórica que no resulta 
sencillo hallar en la realidad. Ejemplo: hallar la superficie bajo una curva cuya función se desconoce, 
generando las coordenadas a partir de números aleatorios. 
- El 2° caso (fenómenos aleatorios y procedimientos aleatorios), se refiere al MÉTODO DE MONTE 
CARLO. 
Se refiere a un proceso que se utiliza para elegir en forma aleatoria valores muestrales a partir de una 
distribución de probabilidad determinada. Esos valores sirven como entrada para imitar (simular) el 
comportamiento de un modelo (fenómeno aleatorio). 
 
El procedimiento requiere el conocimiento de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias 
que intervienen en el modelo (sean discretas o continuas). Sin embargo, puede que no se conozca la 
¿Qué significa “bajo condiciones 
controladas”? Que el analista 
define todos los parámetros en los 
que en los que operará el 
fenómeno, sistema o modelo 
-SIMULACIÓN: es una técnica o 
método que se aplica siempre que 
las variables que integren el 
problema sean aleatorias y que el 
mismo NO pueda ser representado 
por un modelo analítico. 
 
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distribución de probabilidades, en este caso, se puede considerar a la frecuencia relativa como un valor 
aproximado de la probabilidad. 
 
Variable aleatoria: es una función que asigna un número real a cada uno de los resultados de un 
experimento aleatorio. Esta, tiene asociada una distribución de probabilidad que puede ser: 
- Conocida: normal, poisson, binomial, exponencial, etc. 
- Propia: se debe estimar a partir de la frecuencia relativa: 
 
𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
 
 
 
La resolución de un problema a través del método de Monte Carlo implica un proceso que puede 
dividirse en etapas: 
 
ETAPA 1: descripción del problema y construcción del modelo. 
Debe iniciarse con la descripción del problema: ello implica identificar y definir los elementos del 
problema, las variables que intervienen, la condición de certeza o aleatoriedad de las mismas y las 
diversas alternativas, políticas o escenarios en las que se evaluará el comportamiento del fenómeno 
aleatorio. Lo siguiente es construir un modelo que represente el problema. 
 
ETAPA 2: generación de la muestra aleatoria de las variables aleatorias. 
El proceso de simulación se inicia identificando para cada variable aleatoria la respectiva distribuciónde 
probabilidad, para luego determinar la probabilidad acumulada o función de probabilidad (variables 
discretas) y la función de distribución (variables continuas). Esto es, establecer para cada valor de la 
variable la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que tal valor. 
 
Dado que el valor de la probabilidad pertenece al intervalo de números reales de 0 hasta 1, resulta 
factible seleccionar al azar un número entre 0 y 1, verificar a que intervalo o valor de la función 
corresponde e identificar el valor de la variable asociado a dicho intervalo o valor. 
Este procedimiento difiere, según se trate de una variable discreta o continua. 
 
Selección de un valor muestral para una variable discreta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para seleccionar un valor muestral se genera al azar un número entre 0 y 1, el cual pertenece a un 
segmento o “salto” de la curva acumulativa. Por ejemplo: considerando que se generó el número 0,4764, 
pertenece al segmento o “salto” [0,32, 0,57), por lo tanto, el valor de la variable asociado sería 30. 
Supongamos un segundo número aleatorio: 0,3256, el cual tiene una ubicación en la curva que se 
corresponde con un valor de la variable igual a 20. De este modo, la muestra contiene dos valores: 30 y 
20. Esto quiere decir que, generando muchos números aleatorios, se puede generar una serie de valores 
de la variable aleatoria como si estuviera ocurriendo el evento. 
 Var. discreta (función de probabilidad 
– probabilidad acumulada) 
 Var. continua (función de densidad – 
función de distribución) 
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Además, cada segmento (saltos) de la curva acumulativa se puede representar a través de intervalos de 
números. 
Los intervalos tendrán una amplitud igual a la probabilidad asociada a cada valor de la variable: 
 
 
 
Selección de un valor muestral para una variable continua: 
Para generar o seleccionar una muestra conociendo la función de distribución (probabilidad acumulada), 
es factible, aplicar el método de la transformada inversa. Por ejemplo: sea una variable continua con 
distribución de probabilidad entre 5 y 35: 
 
 
 
 
 
Para seleccionar aleatoriamente valores muestrales a partir de un valor de la función de distribución (o 
probabilidad acumulada, entre 0 y 1), debe hallarse la transformada inversa. 
Entonces, se genera un número aleatorio r ϵ (0,1), el cual, indica un valor de la función de distribución. 
El valor de x correspondiente a una probabilidad, resulta: 
𝑥 = 𝑎 + (𝑏 −𝑎) * 𝑟 
Suponemos que se genera aleatoriamente el número 0,6666, el valor de la variable correspondiente es: 
𝑥 = 5 + (35−5) * 0,6666 = 25 
De este modo, el valor que integra la muestra es el 25 y si se continúa generando números aleatorios, se 
garantiza que los valores muestrales respondan a la distribución observada del evento. 
NO se requiere representar a las probabilidades mediante intérvalos. 
 
 
Como puede observarse, el proceso de obtención de la muestra es bastante simple una vez conocida la 
función de distribución o probabilidad acumulada. Sin embargo, para suponer que el proceso es correcto 
desde el punto de vista estadístico, se debe asegurar que los números aleatorios tengan una distribución 
uniforme entre 0 y 1 (o entre un par de números enteros que tengan tal distribución). Cuanto mayor es 
la cantidad de números que se generen, el proceso alcanza mayor aproximación a la distribución de 
probabilidades, pero también debe ser mayor el número de simulaciones a ser realizadas. 
 
Un generador de números aleatorios es un algoritmo que produce sucesiones de números que siguen 
una distribución de probabilidad especificada y que poseen la apariencia de aleatoriedad. Se reserva el 
término número aleatorio para hablar de una observación aleatoria a partir de una distribución 
uniforme, de manera que todos los números posibles son igualmente probables. 
Transformada inversa 
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Los números generados por una computadora no se deben llamar “números aleatorios” porque son 
predecibles y se pueden reproducir (es decir, se puede generar más de una vez la misma serie de 
números aleatorios). por ello reciben el nombre de números pseudo-aleatorios. Sin embargo, juegan el 
papel de números aleatorios en la simulación, por el hecho de que cumplen con 2 requisitos: 
 Cada número sucesivo tiene una probabilidad igual de tomar cualquiera de los valores posibles. 
 Cada número es estadísticamente independiente de los otros de la sucesión. 
 
ETAPA 3: estimación del modelo (simulación) para diferentes alternativas, políticas o 
escenarios, a partir de los valores muestrales de las variables aleatorias. 
Construida la muestra adecuada para cada una de las variables aleatorias, debe estimarse el modelo 
definido en la etapa 1 para cada una de las configuraciones establecidas en dicha etapa. Con ello, puede 
obtenerse una o varias muestras del desempeño del modelo en cada una de las alternativas, políticas o 
escenarios, constituyendo los resultados de la simulación 
 
ETAPA 4: análisis de los resultados. 
A partir de los resultados de la simulación es factible establecer el valor promedio, máximo o mínimo de 
cada alternativa, y así disponer, de información referida a la probabilidad para diferentes valores del 
fenómeno simulado. 
Con el análisis de los resultados se puede elaborar un informe con las recomendaciones referidas a la 
alternativa, política o escenario con mejor desempeño. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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La PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA es parte de la IO (de los 
métodos de optimización) que logra representar un fenómeno 
sujeto a múltiples restricciones que tienen diferentes 
características matemáticas. O sea, tanto las funciones objetivo 
como las restricciones son representadas por ecuaciones. 
 
Según los elementos que integran el modelo puede ser: lineal o 
no lineal (atendiendo a la linealidad de las funciones que intervienen), determinística -cierta- o 
estocástica -aleatoria- (según la naturaleza de los datos), de objetivo único o multi-objetivo (atendiendo 
a los objetivos del problema), continua o discreta (atendiendo a la continuidad de las variables), estática 
o dinámica (según si la variable tiempo interviene en forma explícita). 
De este gran campo de la programación matemática nos centramos en la PROGRAMACIÓN LINEAL. 
 
Es un medio matemático que permite asignar una cantidad fija de recursos a la satisfacción de varias 
demandas, de manera tal que, mientras se optimiza algún objetivo, se satisfacen otras condiciones 
definidas. 
 
Se caracteriza por ser: 
 Lineal: las relaciones existentes entre los diferentes objetos están expresadas por ecuaciones e 
inecuaciones de 1° grado. 
 Determinística 
 De objetivo único 
 Continua 
 Estática 
 
¿Qué tipo de problemas puedo resolver con PL? 
El problema debe cumplir con ciertas condiciones: 
 Poseer un objetivo (algo que genera una cierta satisfacción -ganancia- o insatisfacción -costo-) que 
pueda ser expresado mediante una función lineal. 
 Tener un conjunto de restricciones que puedan ser expresadas mediante un sistema de ecuaciones 
lineales. 
 Necesidad de hallar un óptimo para la primera. 
 
Supuesto de la linealidad 
Como todas las relaciones en la PL deben ser del tipo lineal (rectas, planos, hiperplanos), poseen las 
propiedades de aditividad y homogeneidad. 
 
 Aditividad: si una variable x1 produce un efecto α1 cuando actúa sola y una variable x2 produce un 
efecto α2, también cuando actúa sola, entonces x1 y x2 actuando en forma conjunta, producen un efecto 
α1 + α2 
Ejemplo: 𝑓(𝑥1) = 𝛼1 ∧ 𝑓(𝑥2) = 𝛼2 
 𝑓(𝑥1) = 5 ∧ 𝑓(𝑥2) = 3 
 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝛼1 + 𝛼2 
 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = 𝟓 + 𝟑 = 𝟖 
 
Programación matemática: es un 
área de conocimiento que permite 
resolver diversos problemas en los 
que, al menos, se presente un 
objetivo a optimizar y un conjunto 
de restricciones. 
F. objetivo RestriccionesV
ariab
le
 d
e d
ec. 
13 
 
 Homogeneidad: si una variable x produce un efecto α, entonces para cualquier número real λ, la 
utilización de λ veces de la variable x produce un efecto λα 
Ejemplo: 𝑓(𝑥1) = 𝛼1 ∧ 𝑓(𝜆𝑥1) = 𝜆𝛼1 → 𝜆 = 7 
 𝒇(𝟕𝒙𝟏) = 𝟕 ∗ 𝟓 = 𝟑𝟓 
 
PARA PRESENTAR UN PROBLEMA DE PL CONSIDERAMOS UN CASO SENCILLO: 
Una empresa manufacturera produce dos artículos, cuyas demandas son ilimitadas. El problema consiste 
en decidir qué cantidad de cada producto debe elaborarse con el objeto de lograr el mejor empleo de 
los medios de producción (horas disponibles en los departamentos A, B y C), para obtener el máximo 
beneficio total. 
Dicho de otro modo, quien decide, debe asignar los recursos (tiempos disponibles en los departamentos) 
con el propósito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) y satisfacer otras condiciones 
definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento). 
 
 
CONSTRUIMOS EL MODELO DE PL 
 Variables de decisión: X1= unidades a producir del art. 1 
 X2= unidades a producir del art. 2 
 
 Función objetivo: 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 1,00 ∗ 𝑥1 + 1,50 ∗ 𝑥2 
 
 Restricciones: 2 ∗ 𝑥1 + 2 ∗ 𝑥2 ≤ 160 
 𝑥1 + 2 ∗ 𝑥2 ≤ 120 
 4 ∗ 𝑥1 + 2 ∗ 𝑥2 ≤ 280 
 𝑥1 ∧ 𝑥2 ≥ 0 
 
El tiempo de manufacturación requerido en el depto A: tiempo requerido por unidad del art. 1 * unidades 
a producir del art. 1 + tiempo requerido por unidad del art. 2 * unidades a producir del art. 2 
En lenguaje matemático es: 2*x1 + 2*x2 
Pero lo requerido no debe exceder la capacidad del depto A, por lo que quedaría: 2*x1 + 2*x2 ≤ 160 
Se aplica igual razonamiento para los departamentos B y C. 
 
Como este problema contiene sólo 2 variables es posible representar en un sistema de ejes cartesianos 
cada uno de los elementos que lo integra y tratar de hallar la solución a través de la gráfica. 
 
Representación gráfica de las restricciones 
Cada restricción determina un área que contiene un número infinito de puntos, los que no exceden la 
desigualdad. Para graficar cada restricción: 
1) Considero la ecuación: 𝟐 ∗ 𝒙𝟏 + 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟔𝟎 
2) Determino los puntos de intersección con los ejes: (X1= 0 , X2= ?) = (0 , 80) 
 (X1= ? , X2= 0) = (80 , 0) 
3) Grafico. 
4) Pinto el área solución. 
 
De igual modo se proceden con todas las restricciones. 
14 
 
 
 
Determinación del conjunto de soluciones factibles 
El conjunto de puntos contenidos en el polígono convexo (puntos interiores), incluidos los de su frontera 
y los determinados por las intersecciones de las rectas (puntos extremos), definen el ÁREA ACEPTABLE O 
FACTIBLE para una respuesta. 
Si la intersección de las inecuaciones de restricción no determina un conjunto de las características 
enunciadas, el problema no tiene solución. 
 
 
 
Cualquier par de valores para x1 y x2 que determinan un punto del polígono son valores factibles. El 
problema de la PL, se reduce a la selección del punto que sea factible y que además maximice (en este 
caso) la función objetivo. 
 
Búsqueda de la solución óptima 
Para encontrar la solución óptima debemos incorporar la función objetivo en la gráfica. 
Asignando a “Z” valores arbitrarios y determinando las intersecciones con los ejes, la función puede ser 
representada gráficamente. Para observar en cuál o cuáles puntos del polígono la función alcanza el 
mayor valor habría que valorarla en TODOS los puntos del polígono, pero el número de ellos es infinito, 
con lo cual resulta imposible encontrar la solución máxima del problema. 
15 
 
Sin embargo, se puede hacer lo siguiente: representar a Z en un sistema cartesiano y otorgarle valores 
crecientes de manera que se obtenga un desplazamiento paralelo que aleje la recta lo que más se pueda 
del punto (0;0) pero que, al mismo tiempo, mantenga un segmento dentro del polígono o, en caso 
extremo, un punto de tangencia con el mismo. 
 
 
 
 
 
 
Este punto de coordenadas (40, 40) es el que maximiza la ganancia total y, por lo tanto, la respuesta al 
problema es: x1 = 40, x2 = 40 y Z = 100 
 
¿Qué sucede si se sigue desplazando Z? Se pierde el contacto entre ésta y el polígono y desaparece la 
posibilidad de hallar un punto común a ambos. 
 
Entonces, llegamos a las siguientes conclusiones: 
• La solución óptima está situada en un punto extremo del polígono convexo de manera tal que la 
distancia entre la recta Z y el origen del sistema es la máxima posible (la excepción a esta conclusión se 
puede presentar en el caso en que Z resulte paralela a una de las restricciones). 
 
 • La solución obtenida verifica al sistema de restricciones: 
2 x 40 + 2 x 40 = 160 
1 x 40 + 2 x 40 = 120 
4 x 40 + 2 x 40 = 240 < 280 
 
16 
 
Las 2 primeras restricciones son satisfechas al límite (es decir, las disponibilidades de los deptos A y B 
son utilizadas completamente). En el caso de la 3º restricción, la disponibilidad excede a la utilización en 
40 horas (280-240), lo que implica la existencia de recursos ociosos (gráficamente es la distancia entre 
el punto extremo y la recta referida a la restricción). 
 
En conclusión, LA SOLUCIÓN ÓPTIMA ESTÁ EN UN PUNTO EXTREMO DEL POLIEDRO CONVEXO DEFINIDO 
POR LA INTERSECCIÓN DE DOS O MÁS HIPERPLANOS REPRESENTATIVOS DE LAS RESTRICCIONES. 
 
Si el problema fuese de 3 variables, se trabajaría gráficamente en el espacio tridimensional y, tanto las 
restricciones como la función objetivo, constituirían planos. En dimensiones mayores a 3, el modo de 
representación gráfica se complica. 
 
 
 
 
 
 
Es necesario transformar el sistema de inecuaciones en uno de ecuaciones lineales. Para ello, se incorpora 
un conjunto de variables adicionales denominadas “VARIABLES DE HOLGURA” que transforman las 
inecuaciones en ecuaciones, absorbiendo las diferencias que pudieran existir entre un lado y otro de las 
desigualdades. 
 
Se incorporan las variables X3, X4 y X5 quedando: 
 
 
 
 
 
SOLUCIONES BÁSICAS 
Sea: 
𝒁 = 𝑭(𝑿) = 𝑪𝑿 [𝟏] 
Sujeta a: 
 𝑨𝑿 = 𝑩 [𝟐] 
 𝑿 ≥ 𝟎 [𝟑] 
 
Definición 1: 
Una solución factible al problema de PL, es un punto o vector X = (x1, x2, ..., xn), que satisface o resuelve 
a [2] y [3]. 
 
Definición 2A: 
Una solución básica para [2] es una solución obtenida al hacer n-m variables iguales a cero y resolver por 
las m variables restantes, siempre que el subsistema de ecuaciones obtenido sea compatible 
determinado. Las m variables se denominan variables básicas. 
 
Un sistema compatible indeterminado, puede tener soluciones básicas que surgen de otorgar valor cero 
a n-m incógnitas y resolver un subsistema de m ecuaciones con m incógnitas, siempre que éste sea 
compatible determinado (es decir, que presente una matriz regular, que sea de rango máximo o que 
todas sus líneas -filas o columnas- constituyan un conjunto de vectores linealmente independiente o una 
base para el espacio Rm) 
 
 
2X1 +2X2 ≤ 160 
 X1 +2X2 ≤ 120 
4X1 +2X2 ≤ 280 
2X1 +2X2 +X3 = 160 
 X1 +2X2 +X4 = 120 
4X1 +2X2 +X5 = 280 
Ahora, se tiene un sistema 
AX=B, con 3 ecuaciones 
(m=3) y 5 incógnitas (n=5). 
Es un sistema compatible 
indeterminado y, por lo 
tanto, presenta infinitas 
soluciones. 
17 
 
 X1=0 X3=0 
 
 [2] 
 
 
 [
2 0 0
2 1 0
2 0 1
] [
𝑋2
𝑋4
𝑋5
] = [
160
120
280
] 
Solución básica: (X1, X2, X3, X4, X5) = (0, 80, 0, -40, 120) 
 
Definición 2B: 
Una solución factible básica para [2] es una solución básica que también satisfacea [3], o sea que todas 
las variables básicas son no negativas 
 
Igualando cada incógnita a 0 (y haciendo todo el procedimiento correspondiente), se puede observar 
que el sistema AX=B, presenta TODAS sus soluciones básicas y, además, en ninguna de ellas una variable 
básica se ha anulado. Por lo tanto, se puede afirmar que AX=B presenta TODAS las soluciones básicas no 
degeneradas. 
 
 
 X3=0 X4=0 
 
 [2] 
 
 
 [
2 2 0
1 2 0
4 2 1
] [
𝑋1
𝑋2
𝑋5
] = [
160
120
280
] 
Solución básica: (X1, X2, X3, X4, X5) = (40, 40, 0, 0, 40) 
 
 
 
Definición 3: 
Una solución factible básica no degenerada es una solución factible básica con exactamente m xj 
positivas, o lo que es lo mismo, todas las variables básicas son positivas. 
 
Solución básica: (X1, X2, X3, X4, X5) = (40, 40, 0, 0, 40) 
 
 
2X1 +2X2 +X3 = 160 
 X1 +2X2 +X4 = 120 
4X1 +2X2 +X5 = 280 
2X2 =160 
2X2 +X4 =120 
2X2 +X5 =280 
2X1 +2X2 +X3 = 160 
 X1 +2X2 +X4 = 120 
4X1 +2X2 +X5 = 280 
2X1 +2X2 =160 
X1 +2X2 =120 
4X1 +2X2 +X5 =280 
m=3 n=5 
n - m 
5-3=2 
X2= 80 X4= -40 X5= 120 
m=3 n=5 
n - m 
5-3=2 
X1= 40 X2= 40 X5= 40 
Tres (m) xj positivas 
18 
 
Definición 4: 
Una solución factible máxima, es una solución factible que da a Z el mayor valor posible. 
En general, y a menos que se indique explícitamente, cuando se hable de una "solución", se estará 
queriendo decir "solución factible". 
 
Solución factible básica no degenerada: (X1, X2, X3, X4, X5) = (40, 40, 0, 0, 40)  Z=100 valor máximo 
 
Definición 5: 
La función de objetivo Z = F(X), es una función de valor real definida en un espacio vectorial n-
dimensional, tal que para cada vector X1 ϵ Rn y X2 ϵ Rn se verifica que: 
 
F(X1 + X2) = F(X1) + F(X2)  ADITIVIDAD 
F(αX1) = αF(X1) F(αX2) = αF(X2)  HOMENEIDAD 
F(α1X1 + α2X2) = α1F(X1) + α2F(X2)  TRANSFORMACIÓN LINEAL 
 
 
TODAS LAS SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES AL SISTEMA DE RESTRICCIONES ES UN PUNTO EXTREMO. 
De todas las SOLUCIONES BÁSICAS debo seleccionar las FACTIBLES. Y así, encuentro los PUNTOS 
EXTREMOS. 
 
 
Son SOLUCIONES FACTIBLES BÁSICAS NO DEGENERADAS (PUNTOS EXTREMOS) las que satisfacen las 
condiciones de ser: 
 Soluciones: porque satisfacen a AX=B 
 Básicas: porque se han obtenido de hacer n-m variables iguales a 0 y resuelto los subsistemas lineales 
de m variables. 
 Factibles: porque se han seleccionado las Soluciones Básicas con todas sus variables básicas (m) no 
negativas (xj ≥0). 
 No degeneradas: porque ninguna variable básica se ha anulado (es decir, en todos los casos las xj 
factibles y básicas son distintas de 0). 
 
La PL se fundamenta en un conjunto de teoremas, los cuales, tienen como objetivo demostrar lo que 
intuitivamente se observa gráficamente. 
 
 Variables de decisión: ciertas y continuas. 
 Función objetivo: única y lineal. 
 Conjunto de restricciones: sistema de ecuaciones lineales. 
 La solución se halla en: conjunto de soluciones factibles (TODAS las soluciones que satisfacen las 
restricciones). 
 SOLUCIÓN ÓPTIMA: está en el punto extremo (es la solución factible básica no degenerada). 
 
Se puede demostrar a través de los TEOREMAS de la PL. 
 
TEOREMA 1: el conjunto de todas las soluciones factibles a un problema lineal es un conjunto convexo. 
El conjunto convexo está conformado por todos los puntos contenidos en él, que pueden dividirse en 3 
subconjuntos: los interiores, los de la frontera y los puntos extremos. 
 
19 
 
 
 
 
 
Se puede considerar, entonces, lo siguiente: 
• Si K es un poliedro convexo: el problema tiene una solución con un valor finito para la función objetivo. 
• Si K es una región convexa ilimitada: el problema puede tener una solución, pero también, puede ocurrir 
que el máximo de la función objetivo sea ilimitado (pueda crecer indefinidamente) 
• Si K es nula: el problema no tiene solución (la intersección de las restricciones es vacía). 
 
 
 
 
 
 
No hay solución de punto extremo. 
No hay valor finito para Z. 
20 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA 2: la función objetivo alcanza su máximo en un punto extremo del conjunto convexo K, 
generado por las soluciones factibles a la PL. Si alcanza este máximo en más de un punto extremo, 
entonces, toma el mismo valor para toda combinación lineal convexa de estos puntos particulares (es 
decir, tendrá infinitas soluciones máximas. 
Suponiendo que K es un poliedro convexo, sólo resulta necesario observar sus puntos extremos para 
determinar la solución factible máxima. 
 
 
Hay solución de punto extremo. 
El óptimo de Z es un valor finito 
El
 p
ro
b
le
m
a 
p
re
se
n
ta
 in
fi
n
it
as
 
so
lu
ci
o
n
es
 f
ac
ti
b
le
s 
m
áx
im
as
 
21 
 
TEOREMA 3 Y 4: se ocupan de determinar una asociación entre los puntos extremos de un poliedro 
convexo y los conjuntos de vectores linealmente independientes que los determinan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA 5: con cada punto extremo en K, se encuentra asociado un conjunto de m vectores linealmente 
independiente del conjunto dado P1, P2, ..., Pn y que: X= (x1, x2, ..., xn) es un punto extremo en K, si y sólo 
si, las xj positivas son coeficientes de vectores linealmente independientes, Pj en: 
∑𝒙𝒋𝑷𝒋 = 𝑷𝟎
𝒏
𝒋=𝟏
 
 
ESTOS TEOREMAS "CIERRAN" LA SIGUIENTE SITUACIÓN: en general, se supone que el conjunto de 
vectores P1, P2, ..., Pn del problema de PL, contiene un subconjunto de m vectores linealmente 
independientes. Si tal condición no resultara evidente cuando se está resolviendo un problema 
determinado, el conjunto original de vectores se aumentará con un conjunto de m vectores linealmente 
independiente y entonces se podrá buscar una solución al problema aumentado. 
 
En síntesis 
• Existe un punto extremo de K en el cual la función objetivo tiene un máximo. 
• Cada solución factible básica corresponde a un punto extremo en K. 
• Cada punto extremo de K, tiene asociados a él, m (un subconjunto de columnas de la matriz A) vectores 
linealmente independientes del conjunto dado de n (todas las columnas de A) de vectores del problema. 
 
En conclusión – Solución a un problema de PL: es necesario investigar SÓLO las soluciones de punto 
extremo (es decir, aquellas soluciones factibles generadas por m vectores linealmente independientes). 
Existirán Cnm como número máximo de subconjuntos de m vectores linealmente independientes para el 
conjunto dado de n (que son las columnas de la matriz A). Es decir, el valor del combinatorio es el límite 
superior a la cantidad de soluciones factibles básicas (de punto extremo) a investigar. 
 
- Debo buscar un conjunto de vectores linealmente independiente en A. 
- Resolver el subsistema, y así encuentro los puntos extremos. 
¿Existe una forma rápida de encontrar los puntos extremos? Si, a través del MÉTODO SIMPLEX (el cual 
busca los puntos extremos y al mismo tiempo hace crecer la función objetivo). 
 
TEOREMA 3: la existencia de un 
conjunto de vectores linealmente 
independientes en una cantidad ≤ 
a m y los escalares ≥ que cero (xj 
≥ 0) utilizados en la combinación 
lineal definen un vector solución 
de punto extremo. 
TEOREMA 4: si se tiene un punto 
extremo del poliedro convexo, los 
vectores de coordenadas 
asociados al mismo conforman un 
conjunto de vectores linealmente 
independiente. Están combinados 
por m escalares mayores a cero. 
 
22 
 
Cuando n y m son de magnitud ponderable, resulta muy difícil seleccionar entre ellas a la que maximice 
la función lineal Z=F(X). Lo que requiere, de un procedimiento que indique en cada búsqueda, que la 
misma resultará mejor, o a lo sumo igual que la anterior: una búsqueda por gradiente. 
Este procedimiento es el denominado MÉTODO SIMPLEX. En él,se encuentra un punto extremo y se 
determina si es el que da a Z el máximo valor. Si no lo es, el procedimiento encuentra un punto extremo 
vecino (un punto extremo que está unido al anterior por la frontera del poliedro convexo) cuyo valor 
correspondiente de la función objetivo es mayor o igual al valor precedente. 
En un número finito de pasos o búsquedas (por lo general entre m y 2m), se encuentra la solución factible 
máxima. Además, este método hace posible descubrir cuándo el problema no tiene soluciones finitas 
máximas (soluciones que puedan crecer indefinidamente: K región convexa ilimitada) y cuándo no tiene 
soluciones factibles (K nula). Lo más importante es que permite resolver CUALQUIER problema de PL. 
 
Es un método de búsqueda de los PUNTOS EXTREMOS basado en un criterio de búsqueda, de modo que 
mientras obtiene un nuevo punto extremo hace que mejore el valor de la función. 
 
 
 
 
Generación de soluciones de punto extremo 
Se parte de una solución factible de punto extremo y se genera otra solución factible de punto extremo. 
Como ya se trata de soluciones, en lugar de xj, se añade, un segundo subíndice para indicar que ya no 
son variables o incógnitas, sino que representan valores o números reales que verifican al sistema de 
ecuaciones (en general, el 2° subíndice será 0 porque son los escalares necesarios para generar a P0) 
SITUACIÓN INICIAL: 
 Función objetivo: [𝐌𝐚𝐱] 𝐙 = 𝟏,𝟎𝟎 𝒙𝟏 +𝟏,𝟓𝟎𝒙𝟐 
 Sujeta a: 𝟐𝒙𝟏 +𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟔𝟎 
 𝒙𝟏 +𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎 
 𝟒𝒙𝟏 +𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟖𝟎 
 𝒙𝟏 ≥ 𝟎; 𝒙𝟐 ≥𝟎 
 
 Primera solución de punto extremo 
Se comienza identificando una 1° solución factible básica no degenerada 
𝑀𝑎𝑥 𝐺 = 𝑥1+1,5𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 
Sujeta a: 
 [
2 2 1
1 2 0
4 2 0
 
0 0
1 0
0 1
]
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
= [
160
120
280
] 
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
𝑥3
𝑥4
𝑥5
] = [
160
120
280
] 
Solución factible básica: (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 0, 160, 120, 280) 
2X1 +2X2 +X3 = 160 
 X1 +2X2 +X4 = 120 
4X1 +2X2 +X5 = 280 
X1=0 
X2=0 
BASE 
VECTORES LI 
23 
 
A partir de esta 1° solución básica hallada, obtenemos otra solución factible básica de punto extremo: 
160 [
1
0
0
] + 120 [
0
1
0
] + 280 [
0
0
1
] = [
160
120
280
] [𝟏] 
 
Los vectores asociados son linealmente independientes, y por ello, forman una base para R3. Entonces, 
se puede representar a un vector asociado a una de las variables anuladas previamente mediante una 
combinación lineal única. 
 
 Expresar en función de la base los vectores que no están en ella 
En este caso, debemos expresar p1 y p2 en función de la base integrada por p3, p4 y p5. Comenzamos por 
el vector 1: 
𝑥31 [
1
0
0
] + 𝑥41 [
0
1
0
] + 𝑥51 [
0
0
1
] = [
2
1
4
] 
 
Este sistema de ecuaciones resulta sencillo de resolver, ya que los vectores combinados son la unidad de 
R3. Reemplazando: 
 
2 [
1
0
0
] + 1 [
0
1
0
] + 4 [
0
0
1
] = [
2
1
4
] 
 
 Multiplicamos por un número real θ a la combinación lineal anterior. 
Θ: es un número real, cuyo valor aún no se conoce. 
 
𝛉2 [
1
0
0
] + 𝛉1 [
0
1
0
] + 𝛉4 [
0
0
1
] = 𝛉 [
2
1
4
] [𝟐] 
 
 Restamos a [1] la combinación lineal obtenida en [2] (tomando los vectores como factores comunes) 
 
(160 − 𝛉2) [
1
0
0
] + (120 − 𝛉) [
0
1
0
] + (280 − 𝛉4) [
0
0
1
] = [
160
120
280
] − 𝛉 [
2
1
4
] 
 
 Sumando en ambos miembros el término 𝛉 [
𝟐
𝟏
𝟒
] (es decir, “pasándolo” al otro lado, para que nos 
queden las incógnitas en el 1° miembro y los valores constantes en el 2° miembro) 
 
(160 − 𝛉2) [
1
0
0
] + (120 − 𝛉) [
0
1
0
] + (280 − 𝛉4) [
0
0
1
] + 𝛉 [
𝟐
𝟏
𝟒
] = [
160
120
280
] 
 
 
𝛉 es el valor de x1, y las demás variables surgen de la resta. Es decir, si incorporamos a x1 como un valor 
de 𝛉, tendríamos que modificar el valor de x3, x4 y x5 por el efecto de 𝛉 en cada uno de ellos. 
 
Lo obtenido es un subsistema del sistema de restricciones, ya que contiene CASI todas las variables 
(excepto la x2, que podríamos decir que esta anulada). 
Entonces, dado que la variable x2=0, las expresiones entre paréntesis y 𝛉 constituyen una posible solución 
(siempre y cuando 𝛉 ≥ 0): 
 𝑿´ = [(𝟏𝟔𝟎 − 𝜽𝟐); (𝟏𝟐𝟎 – 𝜽); (𝟐𝟖𝟎 –𝜽𝟒); 𝜽] 
 𝑿´ = [𝒙´𝟑, 𝒙´𝟒, 𝒙´𝟓, 𝒙´𝟏] 
P1 
 x3 x4 x5 x1 
 P3 P4 P5 P1 P0 
Ahora, necesitamos darle un valor a 𝛉, para 
que haga que esta posible nueva solución 
sea factible y a su vez de punto extremo. 
 
24 
 
 Hallar el valor de 𝛉 para que la nueva solución sea un punto extremo. 
¿Qué valor debe asumir 𝛉 para que la solución sea FACTIBLE y de PUNTO EXTREMO? 
 Factible: todas las xj deben ser +. 
 Punto extremo: sólo m (en este caso 3) de las xj deben ser +. 
 Si 𝛉 = 0: retornamos a la situación inicial  (160, 120, 280, 0). 
 
Por ende, las condiciones que se imponen son: 𝛉 ≠ 0 y 𝛉 > 0 
¿Cuál debe ser el valor que debe asumir 𝛉 para que la nueva solución tenga tres elementos (m) positivos 
(recordando: x1 ya es +) y dos (n –m) nulos (recordando: x2=0)? Para averiguarlo, se despeja 𝛉 de los 
paréntesis: 
160 − 𝜃 ∗ 2 ≥ 0 → 𝜽 ≤
160
2
= 𝟖𝟎 
 120 − 𝜃 ≥ 0 → 𝜽 = 𝟏𝟐𝟎 
280 − 𝜃 ∗ 4 ≥ 0 → 𝜽 ≤
280
4
= 𝟕𝟎 
 
Para que se cumplan simultáneamente todas las condiciones, θ debe asumir el valor mínimo de estos 
cocientes (garantiza que una variable se anula y las otras sean positivas), o sea 70. 
 
 
 
 Determinar la nueva solución de punto extremo. Haciendo θ = 70 
 𝑋´ = [(160 − 𝜃2); (120 – 𝜃); (280 – 𝜃4); 𝜃] 
 𝑋´ = [(160 − 𝟕𝟎 ∗ 2); (120 – 𝟕𝟎); (280 – 𝟕𝟎 ∗ 4); 𝟕𝟎] 
 𝑋´ = [𝑥´3, 𝑥´4, 𝑥´5, 𝑥´1] = [20, 50, 0, 𝟕𝟎] 
Reordenando e incorporando las variables anuladas: 
 𝑿 = [𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, 𝒙𝟓] = [𝟕𝟎, 𝟎, 𝟐𝟎, 𝟓𝟎, 𝟎] 
 
 3 variables positivas 
 2 variables nulas 
 
Lo que en realidad hicimos fue canjear el vector P1 por el vector P5, lo que provocó que canjeáramos la 
variable x1 por la variable x5. El canje se produjo cuando determinamos el valor de θ (“salió” x5 y se 
incorporó x1) 
 
Cambia de sentido ≥, 
ya que estamos 
multiplicando por -1. 
SOLUCIÓN FACTIBLE Y DE PUNTO EXTREMO 
Variables de holgura: 
determinan la distancia 
que existe entre el 
punto extremo (70; 0) y 
las restricciones 
25 
 
¿Podemos seguir el proceso y buscar OTRO punto extremo? SI PODEMOS, para ello, se define un nuevo 
conjunto de vectores linealmente independientes (base) y se expresa en función de la base los vectores 
que no están en ella. Por ejemplo, expresamos al vector P2: 
[
2 1 0
1 0 1
4 0 0
] [
𝑥1
𝑥3
𝑥4
] = [
160
120
280
] 
 
𝑥12 [
2
1
4
] + 𝑥32 [
1
0
0
] + 𝑥42 [
0
1
0
] = [
2
2
2
] 
…. Hacemos todo el mismo proceso y encontraremos el nuevo punto extremo. 
 
Pero, ¿Qué hago si no distingo fácilmente una BASE o un CONJUNTO DE VECTORES LINEALMENTE 
INDEPENDIENTES? Para ello, se propone el uso de VARIABLES Y BASES ARTIFICIALES 
Al sistema de restricciones le agregamos los vectores unitarios acompañados por las variables artificiales 
que necesitemos para lograr una base inicial (matriz identidad). Sin embargo, esas variables deben 
desaparecer en la solución final (ya que no indican, ni representan nada), y para ello, se va a multiplicar 
cada variable artificial por un coeficiente W, muy grande. 
 Si el objetivo es maximizar (ganancia) lo va a poner con signo –. 
 Si el objetivo es minimizar (costo) lo va a poner con signo +. 
 
 
 
Debe quedar en claro que estas variables carecen de sentido económico. Su incorporación sólo se hace 
para obtener una matriz identidadcomo base admisible inicial. 
 
Ejemplo: 
 
P2 
26 
 
RESUMIENDO: 
 Las variables artificiales se incorporan para conformar una base inicial para obtener una primera 
solución de punto extremo. 
 Las variables de holgura se incorporan para transformar un sistema de inecuaciones en otro de 
ecuaciones lineales. 
 Si tuviésemos TODO un sistema AX ≤ B, las variables de holgura (no negativas) se suman y nos van a 
proveer directamente la base inicial. 
 Si tuviésemos TODO un sistema AX ≥ B, las variables de holgura (no negativas) se restan y se requerirá 
la utilización de variables artificiales para obtener la base inicial. 
 
Teorema I 
Introduce un criterio de búsqueda que permite pasar de un punto extremo a otro garantizando el 
crecimiento de la función. 
Para mostrar este teorema, se sigue el procedimiento de generación de soluciones de punto extremo 
con la incorporación del criterio de búsqueda. 
 
 Recordemos el paso 1: 
𝑀𝑎𝑥 𝐺 = 𝑥1 + 1,5𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 
Sujeta a: 
 [
2 2 1
1 2 0
4 2 0
 
0 0
1 0
0 1
]
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
= [
160
120
280
] 
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
𝑥3
𝑥4
𝑥5
] = [
160
120
280
] 
 
Solución factible básica: (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 0, 160, 120, 280) 
 
Ahora, se valora a Z con esta solución (denotándola con Z0): 
 
𝒁𝟎 = 𝟎 + 𝟏, 𝟓𝟎 ∗ 𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟏𝟔𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟐𝟖𝟎 
𝒁 𝟎 = 𝟎 
 
 Recordemos el paso 2: 
Debemos expresar p1 y p2 en función de la base integrada por p3, p4 y p5. 
 
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
𝑥31
𝑥41
𝑥51
] = [
2
1
4
] 
 
 
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
𝑥31
𝑥41
𝑥51
] = [
2
2
2
] 
 
 
¿Qué efecto tendría en la función objetivo disminuir X3, X4 y X5 para incorporar X1? ¿Y X2? Para ello 
debemos calcular Zj. 
2X1 +2X2 +X3 = 160 
 X1 +2X2 +X4 = 120 
4X1 +2X2 +X5 = 280 
X1=0 
X2=0 
BASE 
VECTORES LI 
BASE P1 ¿Cuánto se requiere del vector P3, P4 y P5 para generar P1?: 
 X31= 2  Disminuir X3 en 2 unidades. 
 X41= 1  Disminuir X4 en 1 unidad. 
 X51= 4  Disminuir X5 en 4 unidades. 
 
BASE P2 ¿Cuánto se requiere del vector P3, P4 y P5 para generar P2?: 
 X32= 2  Disminuir X3 en 2 unidades. 
 X42= 2  Disminuir X4 en 2 unidades. 
 X52= 2  Disminuir X5 en 2 unidades. 
 
27 
 
 Cálculo de Zj: reemplazando a las variables en la función objetivo (X3, X4 y X5 por X31, X41 y X51): 
𝒁𝟏 = 𝟎 + 𝟏, 𝟓𝟎 ∗ 𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟐 + 𝟎 ∗ 𝟏 + 𝟎 ∗ 𝟒 
𝒁 𝟏 = 𝟎 
 
Zj: define el costo de la transformación necesaria para incorporar en el programa X1 (es decir, en este 
caso, mide la disminución -porque la función es de MAX- que se va a producir en la función objetivo como 
consecuencia de incorporar a X1). 
 
Mismo procedimiento para X3, X4 y X5 por X32, X42 y X52: 
𝒁𝟐 = 𝟎 + 𝟏, 𝟓𝟎 ∗ 𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟐 + 𝟎 ∗ 𝟐 + 𝟎 ∗ 𝟐 
𝒁 𝟐 = 𝟎 
 
En conclusión: el cambio no provocaría ningún efecto en la función objetivo (esas variables no generan 
ninguna ganancia porque se trata de las variables de holgura). Entonces, modificar la función objetivo no 
produce ninguna pérdida (que en definitiva es lo que mide Zj) 
 
¿Si incorporo X1 o X2 me provocará alguna ganancia? Esto nos lleva al enunciado del Teorema I: 
 
ENUNCIADO TEOREMA I, MÉTODO SIMPLEX: “Si existen variables xj0 = 0 (en este caso x1 y x2), para las que 
se verifica que cj –Zj > 0; entonces pueden hallarse soluciones factibles tales que Z > Z0. El límite superior 
de Z puede ser finito o infinito.” 
 
Cj: beneficio que me produce el producto. 
Zj: costo que del producto. 
 
 Cj > Zj: SI es conveniente incorporar esa variable en la solución. 
 Cj < Zj: NO es conveniente incorporar esa variable en la solución. 
 
 
 Evaluar si Cj es mayor que Zj: 
C1 – Z1 = 1 – 0 > 0 
C2 – Z2 = 1,5 – 0 > 0 
 
¿Cuál de las dos variables conviene incorporar? 
La que otorgue MAYOR utilidad marginal  X2 
 
 Determinar la nueva solución de punto extremo: 
𝑿´ = [(𝟏𝟔𝟎 − 𝜽𝟐); (𝟏𝟐𝟎 – 𝜽𝟐); (𝟐𝟖𝟎 –𝜽𝟐); 𝜽] 
𝑿´ = [𝒙´𝟑, 𝒙´𝟒, 𝒙´𝟓, 𝒙´𝟐] 
 
 160 − 𝜃 ∗ 2 ≥ 0 → 𝜽 ≤
160
2
= 𝟖𝟎 
 120 − 𝜃 ∗ 2 ≥ 0 → 𝜽 ≤
120
2
= 𝟔𝟎 
 280 − 𝜃 ∗ 2 ≥ 0 → 𝜽 ≤
280
2
= 𝟏𝟒𝟎 
 
Haciendo θ = 60 
 𝑋´ = [(160 − 𝟔𝟎 ∗ 2); (120 – 𝟔𝟎); (280 – 𝟔𝟎 ∗ 4); 𝟔𝟎] 
 𝑋´ = [𝑥´3, 𝑥´4, 𝑥´5, 𝑥´2] = [40, 0, 160, 𝟔𝟎] 
 
 
Reordenando e incorporando las variables anuladas: 
 𝑿´ = [𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, 𝒙𝟓] = [𝟎, 𝟔𝟎, 𝟒𝟎, 𝟎, 𝟏𝟔𝟎] 
Beneficio marginal: beneficio en cada unidad. 
Gradiente 
28 
 
 Evaluar la función objetivo en la nueva solución de punto extremo hallada: 
𝒁´𝟎 = 𝟏 ∗ 𝟎 + 𝟏, 𝟓𝟎 ∗ 𝟔𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟒𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟏𝟔𝟎 = 𝟗𝟎 
 
 
La utilidad marginal c2 – Z2 indica que cada unidad de X2 incrementa la ganancia en 1,50. Si se incorporan 
𝛉 unidades, entonces la ganancia aumenta en 𝛉(c2 – Z2) 
 
 Cj - Zj = 1,5 𝜃(𝑐2 − 𝑍2) = 60 ∗ 1,5 = 90 
 𝛉 = 60 
 
 
 
RESUMIENDO: 
Si existen variables xj0 = 0, para las que se verifica que cj –Zj (utilidad marginal) > 0; entonces pueden 
hallarse soluciones factibles tales que Z > Z0. El límite superior de Z puede ser finito o infinito. Osea, se 
pueden presentar 2 casos: 
1) Si el límite superior es FINITO, puede hallarse una nueva solución factible básica. La solución tendrá 
m variables positivas, y le otorgarán a la función objetivo el máximo valor posible. Se va a dar cuando: 
𝜃 > 0  𝜃 = 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑥𝑗0
𝑥𝑗𝑗
  𝑍 = 𝑍0 + 𝜃(𝑐𝑗 − 𝑍𝑗) 
 
2) Si el límite superior es INFINITO, puede hallarse una solución básica (no factible). La solución tendrá 
m+1 variables positivas, y la función objetivo puede hacerse arbitrariamente grande, (ya que no existe 
un límite para 𝛉). Se va a dar cuando: 
𝜃 → ∞  𝑍 = 𝑍0 + 𝜃(𝑐𝑗 − 𝑍𝑗) → ∞ 
 
Pero, ¿Hasta cuándo voy a seguir con este proceso de buscar puntos extremos? La respuesta me lo da el 
Teorema II: 
Teorema II 
Introduce un criterio que define cuando culmina la búsqueda y se ha hallado la solución óptima. 
 
ENUNCIADO TEOREMA II, MÉTODO SIMPLEX: “Si para cualquier solución factible básica 𝐗𝟎 = (𝒙𝟏𝟎, 𝒙𝟐𝟎, …, 
𝒙𝐦𝟎 ), las condiciones 𝐜𝐣 −𝒁𝐣 > 0 se cumplen para toda j = 1, 2, ... , n, entonces X0 constituye una solución 
factible máxima.” 
Pasamos a otro PE y 
mejoramos el valor de la FO 
 
29 
 
Es decir, si para TODOS (desde la variable 1 a la n) los cj – Zj > 0, entonces ya estoy situado en la solución 
factible máxima (ya no tengo posibilidades de seguir creciendo). 
 
EN DEFINITIVA: con el procedimiento de generación de soluciones de punto extremo y los Teoremas 1 y 
2 es posible comenzar con una SFB de punto extremo y generar un conjunto de nuevas soluciones 
factibles básicas que converjan a la solución máxima, o bien, determinar que no existe solución finita. 
 
 
Aplicar el MÉTODO SIMPLEX para hallar la solución de un problema de PL implica realizar un proceso 
engorroso y largo. Sin embargo, un grupo de investigadores encontró una solución para poder realizar 
todos los cálculos que implica el método simplex en una única tabla: en donde pueden ir pasando de un 
punto extremo a otro, valuar si la función objetivo mejora su valor o no, si estamos en la solución óptima 
o si tenemos que seguir buscando, etc. 
Entonces, todo el proceso del método simplex se integra en la TABLA CHARNES, COOPER Y HENDERSON. 
 
Este procedimiento, requiere de una base inicial o de arranque y pueden presentarse dos alternativas: 
1. Seleccionar m vectores, comprobar si son LI y si lo son, buscar la solución asociada a ese conjunto. 
2. Utilizar como base inicial a una matriz identidad. 
 
Charnes, Cooper y Henderson establecieron que la mejor alternativa es utilizar una matriz unitaria 
correspondiente al espacio m-dimensional (es decir, una matriz identidad), ya que no deberíamos 
analizar si los m vectores sonLI, y estamos seguros que la matriz identidad está conformada por un 
conjunto de vectores LI y a su vez, constituye una base. 
Esta matriz identidad puede ser provista por vectores que ya integran la matriz original 
(como puede ser los vectores que acompañan a las variables de holgura) o bien, 
incorporando variables y vectores artificiales en el sistema de restricciones. 
 
 
 
 
 
 
1: Vectores que integran la base. 
2: Variables que integran la 1° SFB. 
3: Coeficientes que acompañan a las variables (2) en la función objetivo (Z). 
4: Vector de términos constantes (1° SFB). 
5: Vectores que acompañan a las variables de decisión. 
6: Base inicial (vectores que acompañan a las variables de holgura). 
7: Coeficientes para determinar 𝛉. 
[
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
] 
 
1 2 
3 
4 
5 6 
7 
30 
 
Retomamos el ejemplo: 
𝑀𝑎𝑥 (𝑍) = 𝑥1 + 1,5𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 
Sujeta a: 
 [
2 2 1
1 2 0
4 2 0
 
0 0
1 0
0 1
]
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
= [
160
120
280
] 
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
𝑥3
𝑥4
𝑥5
] = [
160
120
280
] 
 
Solución factible básica: (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 0, 160, 120, 280) 
 
Primera iteración del Método Simplex 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema I nos establece: 
¿Existe alguna variable que este anulada? Si X1 y X2. 
¿Para alguna de esas variables existe algún Cj – Zj > 0? Si, para ambas variables. 
 Debo elegir el MAYOR Cj – Zj (que me determina la variable que ingresa). Si existen 2 o más Cj – Zj 
iguales, quién está aplicando el procedimiento decide cual utilizar (en general, se elige el vector de 
MENOR j) 
 Debo elegir el MENOR COCIENTE (osea 𝛉, que me determina la variable que sale). Si existen 2 o más 
𝛉 iguales, quién está aplicando el procedimiento decide cual utilizar (en general, se elige el vector de 
MAYOR j) 
 
Para poder encontrar la nueva solución de PE: 
Segunda iteración del Método Simplex 
 
 
 
HEMOS CANJEANDO P4 POR P2… EL NUEVO VECTOR (P2) DEBE OCUPAR EL MISMO LUGAR DEL VECTOR 
QUE SALIÓ (P4) 
2X1 +2X2 +X3 = 160 
 X1 +2X2 +X4 = 120 
4X1 +2X2 +X5 = 280 
X1=0 
X2=0 
BASE 
VECTORES LI 
La 1° solución está vinculada a la base conformada por los vectores 
P3, P4 y P5 y las variables que asumen valor mayor a cero son X3 = 
160, X4= 120 y X5= 280 
Costo de incorporar en la 
solución las variables x1, x2 … xn 
Cj*Pj 
Utilidad marginal 
Valor de la FO 
P0/Pj (toda la 
fila del Pj que 
ingresa) 
Cálculo mediante la 
eliminación gauseana 
1 
2 
31 
 
Se debe aplicar sobre la matriz de la tabla anterior un proceso de eliminación gauseana eligiendo un 
pivote especial y particular que permita hacer todo el proceso en 1 único paso (es decir, encontrar la 
nueva solución y todos los Xjj para todos los posibles vectores que están fuera o dentro de la SF). 
 
¿Cuál es el pivote? 
 Está dado por la intersección entre el vector que sale (P4) y el vector que ingresa (P2). 
 Dicho de otra manera, es igual al jj que define el valor de 𝛉. 
 
Proceso de eliminación gauseana 
1. Dividir los vectores correspondientes a la FILA del pivote por el pivote y colocarlo en la fila equivalente: 
𝑃0
𝑃𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
 
𝑃1
𝑃𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
 …… 
𝑃𝑛
𝑃𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
 
 
120
2⁄ = 60 
1
2⁄ = 0,5 
2
2⁄ = 1 
0
2⁄ = 0 
1
2⁄ = 0,5 
0
2 = 0⁄ 
 
2. Cálculo de los demás vectores: 
𝑃0 − (
𝑎 ∗ "𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜"
𝑃𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
) 𝑃1 − (
𝑎 ∗ "𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜"
𝑃𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
) …… 𝑃𝑛 − (
𝑎 ∗ "𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜"
𝑃𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒
) 
 
 A: columna del pivote, fila del término a gausear. 
 “Triangulo”: correspondiente a la columna del término a gausear. 
 
𝑃30 = 160 − (
2 ∗ 120
2
) = 40 𝑃31 = 2 − (
2 ∗ 1
2
) = 1 𝑃32 = 2 − (
2 ∗ 2
2
) = 0 
𝑃33 = 1 − (
2 ∗ 0
2
) = 1 𝑃34 = 0 − (
2 ∗ 1
2
) = −1 𝑃35 = 0 − (
2 ∗ 0
2
) = 0 
𝑃50 = 280 − (
2 ∗ 120
2
) = 160 𝑃51 = 4 − (
2 ∗ 1
2
) = 3 𝑃52 = 2 − (
2 ∗ 2
2
) = 0 
𝑃53 = 0 − (
2 ∗ 0
2
) = 0 𝑃54 = 0 − (
2 ∗ 1
2
) = −1 𝑃55 = 1 − (
2 ∗ 0
2
) = 01 
 
3. Lo demás se calcula de la misma manera que la tabla anterior (Osea: Zj, Cj, Cj – Zj, 𝛉) 
 
Nuevamente, para poder encontrar otra solución de PE: 
Tercera iteración del Método Simplex 
 
 
 
HEMOS CANJEANDO P3 POR P1… EL NUEVO VECTOR (P1) DEBE OCUPAR EL MISMO LUGAR DEL VECTOR 
QUE SALIÓ (P3) 
 
𝑃20 = 60 − (0,5 ∗ 40) = 40 𝑃21 = 0,5 − (0,5 ∗ 1) = 0 𝑃22 = 1 − (1,5 ∗ 0) = 1 
𝑃23 = 0 − (0,5 ∗ 1) = −0,5 𝑃24 = 0,5 − (0,5 ∗ −1) = 1 𝑃25 = 0 − (0,5 ∗ 0) = 0 
𝑃50 = 160 − (3 ∗ 40) = 40 𝑃51 = 3 − (3 ∗ 1) = 0 𝑃52 = 0 − (3 ∗ 0) = 0 
𝑃53 = 0 − (3 ∗ 1) = −3 𝑃54 = −1 − (3 ∗ −1) = 2 𝑃55 = 1 − (3 ∗ 0) = 1 
¡Coincide con 𝛉! 
32 
 
Según el Teorema II alcanzamos el óptimo, esto implica que encontramos la SOLUCIÓN FACTIBLE 
MÁXIMA (es decir, el PE que otorga a la FO el mayor valor): 
X= (x1, x2, x3, x4, x5) = (40, 40, 0, 0, 40) 
 
Si reemplazamos en la FO: 𝒁 = 𝟒𝟎 + 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟒𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 ∗ 𝟒𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 
 
Maximización: Cj – Zj 
Minimización: Zj – Cj 
 
Frente a cada programa lineal existe vinculado a él un problema de optimización al que se denomina 
PROBLEMA DUAL. El programa lineal original se denomina “primal”. La vinculación entre ambos 
problemas estriba en el hecho de que la solución óptima de cualquiera de los dos problemas, proporciona 
información respecto al óptimo del otro. 
En este punto, se introducirán nociones acerca del problema Dual Simétrico: 
 
 Sea el programa lineal: 𝑍 = 𝐶𝑋 
 Sujeto a: 𝐴𝑋 ≤ 𝐵 
 𝑋 > 0 
 
A: es una matriz de orden m * n, de coeficientes. 
C: es un vector fila de n elementos. 
X: es un vector columna de n incógnitas. 
B: es un vector columna de los términos independientes. 
 
Si uno de estos programas tiene solución factible óptima, el otro también la tendrá y se verificará que: 
máx Z = mín W 
 
• Primal: Dada una unidad de valor para cada producto (cj) y dado un límite superior para la disponibilidad 
de cada insumo (bi), ¿Cuántas unidades de cada producto (xj) deben ser producidas con el objeto de 
maximizar el valor del producto total? 
 
• Dual: Con la disponibilidad dada de cada insumo (bi) y un límite inferior al valor unitario para cada 
producto (cj), ¿Qué valores unitarios deberían ser asignados a cada insumo (yi) con el objeto de 
minimizar el valor del insumo total? 
 
El procedimiento de búsqueda de las soluciones de punto extremo (Teorema I) poseen una significación 
económica que aporta información para la toma de decisiones. 
 
Para poder hacer una interpretación económica, suponemos que: 
 𝑷𝒋 = (𝒂𝟏𝒋, 𝒂𝟐𝒋, . .. , 𝒂𝒊𝒋) 
 
Cada Pj es un proceso productivo que se define a través de los aij (que 
representa la cantidad del insumo –i= 1, 2,…, m – para producir una 
unidad de producto por el proceso. 
 
 
Siempre nos indicarán cuánto está mejorando (por unidad) la FO 
 
 Se define a: 𝑾 = 𝑩𝒕𝒀 
 Sujeto a: 𝑨𝒕𝒀 = 𝑪𝒕 
 𝒀 ≥ 𝟎 
 
Proceso productivo: es toda 
combinación de factores (o 
insumos) productivos que da 
por resultado una determinada 
cantidad de un producto. 
Xj: representa el nivel al que se 
utiliza cada proceso productivo 
o la cantidad a producir por 
cada proceso. 
 
33 
 
Suponemos que tenemos una empresa que posee 5 procesos productivos (y por lo tanto, produce 5 
productos), mediante la utilización de 3 insumos (de los que dispone una cantidad limitada). Además, se 
conoce el beneficio que da a la empresa la utilización de cada proceso a nivel unitario: 
 
 
Si se desea encontrar un plan de producción que maximice el beneficio total, se puede plantear el 
problema a través de un modelo matemático: 
[𝑀𝑎𝑥]𝑍 = 6𝑋1 + 3𝑋2 + 4𝑋3 + 2𝑋4 + 2𝑋5 
Sujeta a: 
 [
3
4
7
]𝑋1 + [
4
2
8
]𝑋2 + [
1
3
6
]𝑋3 + [
7
1
16
] 𝑋4 + [
4
2
5
]𝑋5 ≤ [
2850
2050
6400
] 
 
𝑋𝑗 ≥ 0 
 
Para poder resolverlo, debo aplicar el MÉTODO SIMPLEX (no lo puedoresolver gráficamente, ya que 
poseo 5 variables). Debo reformularlo y agregarle las variables de holgura: 
 
 
 
Pero, ¿Qué producen P6, P7 y P8? Estos, son PROCESOS PRODUCTIVOS NEUTROS (no hacen nada), 
transforman el insumo en el insumo mismo. Si al finalizar la búsqueda, estos (X6, X7 y X8) son > 0 indican 
los recursos no utilizados en los 5 procesos productivos. 
 
1° solución de PE: 
X1 = 100; X2 = 600; X3 = 150; X4 = X5 = X6 = X7 = X8 = 0 
Función objetivo: 𝑍 = 6 ∗ 100 + 3 ∗ 600 + 4 ∗ 150 = 3000 
Sujeta a: 
[
3
4
7
] 100 + [
4
2
8
] 600 + [
1
3
6
] 150 = [
2850
2050
6400
] 
¿Podremos ganar más? ¿Existirá algún plan de producción que brinde una mayor ganancia? Según el 
Teorema I si se tiene algún Cj – Zj > 0 si es posible. 
Sin embargo, no tenemos insumos disponibles (variables de holgura= 0) por ende, no podemos producir 
otro producto. 
Si queremos producir P4 y P5 necesariamente deberíamos LIBERAR INSUMOS (es decir, reducir la 
producción de P1, P2 y P3 ¿Cómo? Expresando a los procesos productivos que NO están en el plan de 
producción en función de los procesos productivos que SI están en el plan de producción. 
Xj: representa el nivel al que 
se utiliza cada proceso 
productivo o la cantidad a 
producir por cada proceso. 
 
Utiliza el 100% de los insumos disponibles (ya 
que las variables de holgura asumen valor cero). 
34 
 
Suponemos que queremos producir 1 unidad del proceso 4: 
Para determinar cuánto debemos dejar de producir de P1, P2 y P3 debemos determina cuánto de cada 
uno de ellos requiere una unidad de P4, entonces planteamos: 
 
𝑃1𝑋14 + 𝑃2𝑋24 + 𝑃3𝑋34 = 𝑃4 
 
[
3
4
7
] 𝑋14 + [
4
2
8
] 𝑋24 + [
1
3
6
] 𝑋34 = [
7
1
16
] resolviendo 
 
Ahora, debo evaluar como influyeron esas compensaciones (para poder incluir a P4) llevando las variables 
X3, X4 y X5 (con la modificación que corresponde) a la FO 
𝑍4 = 𝑐1𝑋14 + 𝑐2𝑋24 + 𝑐3𝑋34 
𝑍4 = 6 ∗ (−2) + 3 ∗ 3 + 4 = 𝟏 
 
¿Será conveniente introducir en el plan de producción a P4? 
 c4 > Z4 (es decir, cj – Zj > 0): SI será conveniente. 
 c4 < Z4 (es decir, cj – Zj ≤ 0): NO será conveniente. 
 
c4 = 2; Z4 = 1  2 – 1= 1 conviene introducir a P4 
 
Pero, ¿Cuánto debo producir de P4? 
El máximo nivel posible (ya que tengo que incrementar mi ganancia lo más que pueda), que va a estar 
determinado por 𝛉. El nuevo valor de la FO: 
𝑍 = 𝑍0 + 𝜃 (𝑐𝑗 − 𝑍𝑗) → 𝑍 = 3000 + 𝜃 ∗ 1 
 
Para que esto sea factible, es necesario modificar el valor de cada xj (j= 1, 2, 3) en el plan original, 
quedando un nuevo plan de producción (con nueva solución): 
▪ X1 = 100 – 𝛉 * (-2) 
▪ X2 = 600 – 𝛉 *3 
▪ X3 = 150 – 𝛉*1 
▪ X4 = 𝛉 
 
¿Qué valor le asigno a 𝛉? 
El que garantice que la próxima solución tendrá 3 elementos positivos. Entonces 𝛉, debe ser tal que: 
 
600 − 𝜃 ∗ 3 ≥ 0 
 
 
𝜃 ≤
600
3
= 200 
 
150 − 𝜃 ∗ 1 ≥ 0 
 
 
𝜃 ≤
150
1
= 150 
 
Debo considerar el menor valor (𝛉=150), ya que si considero otro (200) la producción de algunos 
productos va a ser negativa y esto no tendría sentido: 150 − 200 ∗ 1 = −50 
 
Se asegura una nueva solución factible de punto extremo, con 3 variables positivas y, por lo tanto, el 
nuevo plan queda definido de la siguiente manera: 
▪ X1 = 100 – 150 * (-2) = 400 
▪ X2 = 600 – 150 *3 = 150 
▪ X3 = 150 – 150 *1 = 0 
▪ X4 = 150 
 
Función objetivo: 𝑍 = 3000 + 150 ∗ 1 = 𝟑𝟏𝟓𝟎 
 
 
 
 
▪ X14= -2  aumentar a X1 en 2 unidades. 
▪ X24= 3  disminuir a X2 en 3 unidades. 
▪ X34= 1  disminuir a X3 en 1 unidad. 
 
 
 
 
 
Zj: me indica el costo de cambiar 
de plan de producción (es decir, lo 
que se dejará de ganar). 
No consideré X1 ya que 
posee un XJ NEGATIVO y no 
sería útil para determinar 𝛉 
Se deja de producir, es 
decir, el “cedió” su lugar 
para incorporar a X4 
35 
 
En un problema de PL, en general, los parámetros del modelo son ESTIMACIONES (cuyos verdaderos 
valores no se conocerán hasta que el modelo se lleve a la práctica). 
Por ello, es importante realizar un ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD después de encontrar una solución óptima. 
Este, nos permite identificar qué cambios en los parámetros provocan cambios en la solución óptima. 
En cierta forma, nos indica cuales son los parámetros a los que debemos prestarle “atención”. 
 
▪ Si pequeños cambios en la producción provocan grandes cambios en el plan: implica una revisión del 
modelo. 
▪ Si pequeños cambios en la producción provocan insignificativos cambios en el plan: implica que el 
modelo es “estable”. 
 
Este análisis, se diferencia según se trate de: 
 Parámetro  bi (disponibilidad de un insumo) 
La sensibilidad de la disponibilidad de un insumo se mide a través de los PRECIOS SOMBRAS (yi). 
 Estos, miden la sensibilidad de la solución a cambios en bi. 
 Dicho de otra forma, miden la contribución marginal al beneficio de los insumos (es decir, el 
incremento de Z ante el incremento en 1 unidad de bi). 
 SIEMPRE SON POSITIVOS, ya que un precio no puede asumir un valor negativo. 
 Las contribuciones marginales (Cj – Zj) indican un precio sombra únicamente cuando estamos parados 
en la ÚLTIMA ITERACIÓN y SÓLO los que corresponden a las variables de holgura. 
 
 
¿Qué significan estos “precios sombras”? 
 I1: me indica que si dispongo de 1 hs más en el Dpto. 1 (161) la ganancia aumenta en 0,25. 
 I2: me indica que si dispongo de 1 hs más en el Dpto. 2 (121) la ganancia aumenta en 0,50. 
 I3: me indica que si dispongo de 1 hs más en el Dpto. 1 (181) lo único que haría es aumentar las horas 
ociosas (por ende, mis ganancias no aumentarían). 
 
En conclusión, como I1 y I2 son positivos y grandes (0,25 es el 25% de la ganancia total, y 0,50 es el 50% 
de la ganancia total) la solución es sensible a cambios en la disponibilidad de los insumos I1 y I2. 
 
¿Siempre un aumento en bi producirá un aumento en Z? 
NO. La dirección del efecto sobre la FO depende del tipo de objetivo y del tipo de desigualdad de cada 
restricción. 
 
Porque poseo 
hs ociosas 
36 
 
Tipo de objetivo Desigualdad Cambio bi Dirección del efecto 
 
Maximizar Z 
 
≤ 
(insumo, demanda, capacidad 
máxima) 
Aumento Positivo: +yi – Z 
(aumenta la ganancia) 
 ≥ 
(requerimiento de producción, 
demanda mínima) 
Aumento Negativo: -yi – Z 
(disminuye la ganancia) 
 
Minimizar Z 
≤ Aumento Negativo: -yi – Z 
(disminuye el costo) 
 ≥ Aumento Positivo: +yi – Z 
(aumenta el costo) 
 
 Coeficiente de la FO  Cj (utilidades unitarias). 
El análisis de sensibilidad define un INTERVALO para cada Cj (los cuales indican dentro de que intervalo 
puede variar cada uno de los coeficientes). El cálculo de ese intervalo es complejo, por lo cual, recurrimos 
a un Software para su obtención. 
- La amplitud del intervalo define el grado de sensibilidad. 
- Gráficamente, cambios en los coeficientes de FO provocan cambios en la pendiente de la recta Z. 
 
 Cuando los coeficientes toman cualquier valor dentro de ese intervalo, la solución óptima no cambia. 
 
 
 Cuando los coeficientes toman cualquier valor fuera de ese intervalo, la solución óptima si cambia. 
 
Tenemos otra recta (roja) pero la 
SO no cambia, aunque aumenta el 
beneficio en $8 por unid. 
37 
 
Cuando la amplitud de un intervalo es pequeño y pequeñas variaciones me generan cambios en la SO, 
debo: 
 Revisar si esa estimación está bien realizada. 
 Establecer “controles” a ese coeficiente (“alarmas” en los componentes que generan ese coeficiente, 
de modo que ante un cambio pequeño rápidamente se pueda cambiar de decisión y de plan). 
 
 aij: es la cantidad de insumo i necesario para producir el proceso productivo j. 
En general, vienen definidos por la tecnología. Rara vez se producen variaciones en ellos. 
Sin embargo, las variaciones en ellos se vinculan directamente en que vamos a usar + o – insumos para 
la producción de ese producto, por lo tanto, se relacionan en forma directa con los precios sombras. 
En consecuencia, los cambios en los aij tendrán efectos