NÚMEROS COMPLEJOS

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NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representación gráfica de complejos. 
Un número complejo se define como una pareja de números reales ordenados 𝑧 =
(𝑎, 𝑏) donde a es la parte real y b la parte imaginaria las cuales se denotan por: 
𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎 𝑒 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏 
Debido a esta forma de escribir el número se representa como un punto en el plano 
imaginario y se puede representar como un vector, como se ve muestra en la figura, 
entonces un número complejo z se puede escribir como una pareja de números 
reales o, como una combinación lineal es decir 𝑧 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 
 
 Ejemplos: 
 𝑧 = (1,2) = 1 + 2𝑖 
 𝑧 = (0, −3) = 0 − 3𝑖 = −3𝑖 número imaginario puro 
 𝑧 = (5,0) = 5 + 0𝑖 = 5 número real 
 𝑧 = (
1
2
, −
3
5
) =
1
2
−
3
5
𝑖 
 
FORMA POLAR: 
Ahora vamos a cambiar de coordenadas de la forma cartesiana 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 
supongamos que conocemos el ángulo que forma el vector con el eje real positivo 
(𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) y conocemos la longitud del vector, ahora las coordenadas serían 
(𝑟, 𝜃) a esto se le conoce como coordenadas polares, con esto veamos como se 
escribe el número en forma polar, primero vemos que |𝑧| = 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 donde 𝑟 
se conoce como el módulo de z y 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(
𝑏
𝑎
) 
Con esto recordemos que 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ahora veamos como podemos escribir a y b 
en función de las coordenadas polares (𝑟, 𝜃) 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
𝑟
 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
𝑟
 despejando a y b se tiene 
𝑏 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 
Luego 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 
𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) forma polar de z. 
 
 
Ejemplos: 
1) Expresar en forma polar el número 𝑧 = 2 + 2𝑖 
Para expresar el número en forma polar se necesita calcular el ángulo y el 
modulo 
𝑟 = √(2)2 + (2)2 = √4 + 4 = √8 = √(4)(2) = 2√2 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
2
2
) = 𝑡𝑎𝑛−1(1) =
𝜋
4
 
Por lo tanto, la forma polar de 𝑧 = 2√2(𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
2) Expresar 𝑧 = −3𝑖 
Encontrar el módulo de z 
𝑟 = √(−3)2 = 3 
El ángulo 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
−3
0
) indeterminado. 
Pero si graficas el número podrás observar que el ángulo que forma el vector 
con el eje real positivo es 270° 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 
3
2
𝜋, por lo tanto, la forma 
polar está dada por: 
𝑧 = 3(𝑐𝑜𝑠
3
2
𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛
3
2
𝜋) 
3) Expresar 𝑧 = 2 en forma polar 
El módulo esta dado por 𝑟 = √(2)2 = 2 
El ángulo si se grafica el vector es de 𝜃 =
𝜋
2
 luego la forma polar es: 
𝑧 = 2(𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
)