Diagramas de cuerpo libre

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TEMAS DE FÍSICA I 
DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE DE PARTÍCULAS 
Profr. Abelardo Rodríguez Soria et al       TRIMESTRE 11‐P 
 
1. La importancia de los diagramas de cuerpo libre. 
  El comportamiento mecánico de los cuerpos materiales está gobernado por las fuerzas a que están 
sometidos. Hacer el diagrama de cuerpo libre del cuerpo material bajo estudio consiste precisamente en 
hacer una identificación y representación gráfica  de las fuerzas que solicitan al cuerpo. Como se advierte, 
la  confección  del  DCL  constituye  un  primer  paso  imprescindible  en  la  aplicación  de  las  leyes  de  la 
mecánica. 
 
  Definición.  El  diagrama  de  cuerpo  libre  (DCL)  de  un  cuerpo  es  una  figura  donde  se muestra 
únicamente el cuerpo en cuestión (aislado conceptualmente de los demás cuerpos a su alrededor),  junto 
con todas y cada una de las fuerzas que actúan sobre él. 
 
  Antes de hacer un diagrama de cuerpo libre es preciso especificar cuál es el cuerpo (o conjunto de 
cuerpos) al que pertenecerá este DCL. En otros  términos, hay que especificar cuál es el “sistema  físico” 
que estamos considerando. 
 
  Definición.  El  sistema  físico  es  aquel  cuerpo  material  (o  conjunto  de  cuerpos  materiales) 
estipulado expresamente para aplicarle las leyes de la mecánica. 
 
  Inicialmente  trataremos  sistemas  físicos  compuestos  de  un  solo  cuerpo.  Más  adelante 
explicaremos cómo hacer los DCL’s de sistemas que incluyen varios cuerpos.  
 
  La obtención del DCL de un cuerpo (es decir, de un sistema) es el paso previo para: 
• Estudiar el estado de equilibrio del sistema. 
• Estudiar el estado de movimiento del sistema. 
• Decidir  sobre  la  aplicabilidad de  las  leyes de  conservación de  energía mecánica, o  formular  la 
ecuación de balance de energía mecánica. 
• Decidir  sobre  la aplicabilidad de  las  leyes de  conservación del momento  lineal o del momento 
angular, o formular la ecuación de balance del momento lineal o angular. 
• Estudiar el estado de esfuerzos y deformaciones del sistema. 
Etc. 
  Saber hacer DCL’s le allanará el camino en muchas materias de su carrera de ingeniería. 
 
  Regla  1.  Dé  un  nombre  (o  asigne  un  símbolo)  a  cada  cuerpo  que  figure  en  el  conjunto 
considerado. Esto facilitará la definición del sistema físico. 
 
  Regla  2.  Siempre debe  estar  claro  cuál  es  el  cuerpo  (o  conjunto de  cuerpos)  que  constituye  el 
sistema físico en consideración. Asimismo, debe estar claro cómo son  las uniones o acoplamientos del o  
los  cuerpos del  sistema  con  los  demás  cuerpos  ajenos  a  su  alrededor.  Es  decir,  el  sistema  físico  debe 
especificarse con precisión. 
   
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  Notación. Un sistema  físico que conste de varios cuerpos, digamos  los cuerpos A, B, C y D, se 
escribirá poniendo el o los cuerpos constituyentes encerrados entre llaves, así:  {A, B, C, D}. 
 
EJEMPLO 1. Observe el conjunto de cuerpos en equilibrio mostrado en la figura 1a. Conforme a la regla 1, 
hemos asignado un nombre a cada cuerpo del conjunto. 
  El resorte está elongado; los contactos entre el Bloque‐1 y el Bloque‐2, y entre cada uno de estos 
bloques y el plano inclinado, son simples (es decir, estos cuerpos simplemente descansan uno junto o sobre 
el otro, sin estar unidos fijamente entre sí); la polea es lisa y está fija a una pared no mostrada. 
 
   
 
 
 
Figura 1a  Figura 1b   (DCL del Bloque‐1) 
 
  Consideremos el sistema {Bloque‐1}. Su DCL se muestra en la figura 1b. De las fuerzas que actúan 
sobre  el Bloque‐1, mostradas  en  este DCL,  la  fuerza W1  es  el peso del bloque. Las demás  fuerzas  son 
debidas al contacto del Bloque‐1 con los siguientes cuerpos: el Resorte (fuerza R), la Cuerda (fuerza T), el 
Bloque‐2 (fuerza normal N1), y el Plano inclinado (fuerza normal N2). 
  ¿Cómo llegamos al DCL de la figura 1b? Paciencia. 
 
  Regla 3. Las  fuerzas no surgen de  la nada. Toda  fuerza sobre un cuerpo A es debida siempre a 
algún otro  cuerpo, ya  sea  la Tierra  (que  ejerce  la  fuerza  llamada peso) o bien otro  cuerpo que  esté  en 
contacto con el cuerpo A considerado.  
  Si Ud examina un DCL  (quizás hecho por otra persona) y descubre en él alguna  fuerza que no 
pueda asociar con algún cuerpo que la produzca, ello significa que dicha fuerza no debería figurar en el 
DCL 
 
  Regla  4. El  símbolo que  se pone  junto  a un vector  fuerza  en un DCL  indica  la magnitud de  la 
fuerza (la dirección de la misma ya está indicada en el DCL mediante la punta de flecha). 
 
  Así por ejemplo, en la figura 1b, los símbolos de las fuerzas (R, T, W1, N2, N1, T) no llevan ningún 
tilde ni formato que denote carácter vectorial, como serían W,  , , , etcW W T .
uur
 
  Otros  sistemas  que  podríamos  considerar  en  relación  con  el  conjunto  de  la  figura  1a  son  los 
siguientes:  {Bloque‐2}, {Bloque‐3} y {Bloque‐1, Bloque‐2}. Este último consta de dos cuerpos. 
   
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2. Partícula. 
  Decimos  que  un  cuerpo  se  considera  una  partícula  cuando  podemos  suponer  que  todas  las 
fuerzas  sobre  él  actúan  en  un mismo  punto  de  aplicación.  En  otros  términos:  las  fuerzas  se  pueden 
suponer concurrentes, sin que ello afecte sensiblemente el fenómeno físico bajo estudio (como serían  las 
magnitudes de las fuerzas, la aceleración del cuerpo, etcétera.). 
  En  este  escrito  consideraremos  solamente  DCL’s  de  cuerpos  (o  conjuntos  de  cuerpos) 
considerados  como  partículas. Por  el momento  nuestros  sistemas  físicos  serán  partículas  individuales. 
Más adelante explicaremos cómo hacer el DCL de un sistema compuesto por varias partículas. 
 
  Regla 5. En el DCL de un cuerpo modelado como partícula, el cuerpo se puede representar por un 
punto (de hecho un pequeño círculo lleno, como “ • “). 
 
EJEMPLO  2. En  la  figura  2a  se  tiene un  collarín  (cilindro  acanalado)  ensartado  en una guía  recta  fija, 
sobre el que actúan, además de la guía, un resorte estirado y una cuerda que remata en un bloque. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2a  Figura 2b 
 
En  la figura 2b se muestra el DCL del collarín (la línea a rayas representa la guía recta). En este DCL el 
collarín se ha representado por un punto “ • “. 
  Otro  ejemplo:  el  DCL  del  Bloque‐1  considerado  en  el  Ejemplo  1  de  la  página  precedente 
(reproducido  aquí  en  la  figura  3a) pudo haberse hecho  como  se muestra  en  la  figura  3b,  en  la que  el 
Bloque‐1 se ha representado por un punto. 
 
   
 
Figura 3a   (DCL del Bloque‐1)  Figura 3b   (Mismo DCL de la figura 3a) 
 
  Esta  representación  por  un  punto  puede  ser  más  conveniente  a  la  hora  de  calcular  las 
componentes de las diversas fuerzas. Sin embargo, con objeto de que se reconozca más fácilmente cuál es 
el sistema considerado, nosotros dibujaremos la imagen del cuerpo tal como se presenta inicialmente. 
   
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3. Clasificación de las fuerzas. 
 
  Las fuerzas sobre todo cuerpo se pueden clasificar en 2 categorías: 
  Primera. Fuerzas de acción a distancia (o fuerzas de acción por campo). 
    A esta categoría pertenecen las fuerzas gravitatorias, las eléctricas y las magnéticas, de  
    importancia fundamental en ingeniería. 
  Segunda. Fuerzas de contacto (llamadas también fuerzas mecánicas o macroscópicas). 
    Estas son fuerzas debidas al contacto del cuerpo considerado con otros cuerpos en  
    su vecindad inmediata. 
 
  En este curso no trataremos fuerzas eléctricas ni magnéticas. Nuestra fuerza de acción por campo 
por excelencia será la fuerza gravitatoria ejercida sobre todo cuerpo por el planeta Tierra, denominada el 
peso del cuerpo. 
  Un  asunto  muy  importante:  cuando  hablamos  de  fuerzas  de  contacto  sobre  un  cuerpo  nos 
estamos  refiriendo  a  contactos  directos  o  inmediatos  (permítasenos  la  redundancia)  del  cuerpo 
considerado (o sistema) con otros cuerpos en su vecindad. 
  He aquí un ejemplo muy drástico de lo que queremos decir. 
 
EJEMPLO 3. Considere el conjunto de 3 bloques acomodados en unapila, como vemos en la figura 4. 
 
 
 
Figura 4 
 
  PREGUNTA: ¿Sufre el Bloque‐3 alguna fuerza debida al Bloque‐1? 
  RESPUESTA: NO, puesto que el Bloque‐3 no está en contacto con el Bloque‐1. 
 
  A primera vista  la respuesta puede parecer extraña, pues dado que el Bloque‐1 está encima del 
Bloque‐3, ¿cómo es que no ejerce fuerza sobre éste? 
  Quizás  podríamos decir  que  “el  Bloque‐1  ejerce  indirectamente  una  fuerza  sobre  el  Bloque‐3,  a 
través  (o  por  intermedio)  del  Bloque‐2”.  Sin  embargo,  en  los  DCL’s  no  figuran  fuerzas  ejercidas 
indirectamente,  ni  fuerzas  ejercidas  a  traves de  cuerpo  intermedio  alguno. En  ellos  figuran  solamente 
fuerzas debidas a los contactos directos del cuerpo considerado con otros cuerpos. 
  La cosa está así: el Bloque‐3 tiene contactos (directos) con el Bloque‐2 y con la Mesa, y éstos dos 
son los únicos cuerpos (aparte de la Tierra, por supuesto) que ejercen fuerzas sobre el Bloque‐3. 
 
   
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  Siguiendo  la misma  tónica,  observe  la  figura  5a. Un  amigo  sostiene  un  bloque mediante  una 
cuerda. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5a  Figura 5b 
 
  ¿Ejerce el Amigo fuerza alguna sobre el Bloque? 
  De nuevo, en el  lenguaje cotidiano  informal quizás podríamos decir que  sí. Sin embargo, en el 
lenguaje usado en el trazado de  los DCL’s (el  lenguaje técnico que usaremos siempre en este escrito), el 
Amigo no ejerce  fuerza sobre el Bloque. Es  la Cuerda  la que ejerce  fuerza sobre el Bloque  (porque  la 
Cuerda sí está en contacto con el Bloque, no así el Amigo). 
  Análogamente, en la situación de la figura 5b, el Bloque‐1 no ejerce fuerza sobre el Bloque‐3. 
  ¿Captó la idea? Felicidades; ha dado Ud un gran paso en el asunto del trazado de DCL’s. 
  Con lo discutido hasta el momento podemos dar ya la regla más importante de todas: 
 
4. La regla maestra. 
 
  Regla 6. (Regla Maestra: Cómo trazar el DCL de un cuerpo‐partícula). 
  Para trazar el DCL de un cuerpo‐partícula: 
• Trace primeramente el peso del cuerpo. 
• Recorra visualmente el cuerpo considerado por todo su contorno y su interior, haciendo una lista 
(mentalmente o por escrito) de todos aquellos cuerpos vecinos con los que el cuerpo considerado 
esté en contacto. Incluya en el DCL la fuerza existente en cada uno de estos contactos. 
 
  Ahora bien, ¿cómo podemos estar seguros que un DCL está trazado correctamente? 
  A este respecto son dos cosas las que importan: 
  Primera. Que en el DCL no se haya omitido ninguna  fuerza que debiera estar  incluida en él, y 
además que no se haya incluido alguna fuerza (superflua) que no debiera figurar en él. 
  Segunda.  Que  cada  una  de  las  fuerzas  del  DCL  se  haya  trazado  tomando  en  cuenta  sus 
direcciones y propiedades correctas. 
 
  En este curso introductorio de Física I trataremos exclusivamente los siguientes tipos de fuerzas: 
Un tipo de fuerza de acción por campo: 
• La fuerza denominada peso, ejercida por la Tierra sobre todo cuerpo en su superficie. 
Cuatro tipos de fuerzas de contaco (o mecánicas o macroscópicas): 
• La  fuerza  de  tensión,  debida  a  contacto  con  cuerdas  o  cables,  o  resortes  estirados,  o  barras  o 
varillas rígidas ligeras estirados. 
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• La fuerza de compresión, debida a contacto con resortes comprimidos, o barras o varillas rígidas 
ligeras comprimidos. 
• La fuerza normal, debida al contacto simple de un cuerpo con otro. 
• La fuerza de fricción o rozamiento, debida al contacto simple de un cuerpo con otro relativamente 
al cual el primero tiende a deslizarse. 
 
  Regla 6. Los símbolos que usaremos para denotar estos tipos de fuerzas son: 
 
  W para el peso 
  T para tensión de cuerdas o cables 
  R para tensión de resortes 
  C para compresión de resortes 
  V para tensión de barras o varillas 
  K para compresión de barras o varillas 
  N para fuerza normal 
  f y fm para fuerza de fricción.  
 
Usaremos subíndices cuando sea necesario para distinguir fuerzas de un mismo tipo. 
 
  Obviamente,  no  todos  los  tipos  de  fuerzas  figurarán  en  un  DCL  particular.  La  presencia  o 
ausencia de algún tipo de fuerza en el DCL depende de la situación física del cuerpo. 
 
5. Estudio de las fuerzas. 
  Emprenderemos a continuación una breve descripción (eminentemente práctica) de  los diversos 
tipos de fuerzas citados en el párrafo anterior. Si Ud desea profundizar en el asunto, le recomendamos el 
libro “Elementos de álgebra vectorial y estática en el plano”, por  los autores Sergio Becerril H. y sus 4 
amigos, publicación de la UAM‐Azcapotzalco (disponible en la librería de la Unidad). 
 
(A) Peso. 
 
  Definición. El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta Tierra sobre él. 
  El  peso  es  una  fuerza  que  actúa  verticalmente  hacia  abajo  (hacia  el  centro de  la  Tierra)  en  la 
localidad terrestre supuesta. 
  Dada la masa m del cuerpo (en kilogramos), su peso W (en newtons) se calcula con la fórmula 
 
(1)    W = m g 
 
donde g = 9.8 m/s2 es la aceleración de caída libre (o aceleración de la gravedad) en la Tierra. 
 
  En los DCL’s, el peso es una fuerza omnipresente, pues ningún cuerpo es capaz de sustraerse a la 
acción de  la Tierra. De  todas maneras,  el  peso de  cierta  clase de  cuerpos,  como  las  cuerdas,  resortes, 
barras, varillas y otros, se suele despreciar cuando es muy pequeño en comparación con las demás fuerzas 
relevantes; hablamos entonces de cuerpos ligeros o ingrávidos. 
   
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  El vector que  representa  el peso de un  cuerpo puede  trazarse  en  cualquier  lugar  junto o  en  el 
interior del cuerpo, como se muestra en las figuras 6a,b,c para el peso W de un bloque: Esto lo podemos 
hacer porque estamos tratando al cuerpo como una partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6a  Figura 6b Figura 6c
 
(B) Fuerza de tensión en cuerdas o cables. 
  Para poner una cuerda en tensión, hay que jalarla de sus extremos, a manera de elongarla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7a  Figura 7b. Estado de tensión simple 
 
  Por ejemplo, en la figura 7a tenemos dos amigos (designados como “Amigo 1” y “Amigo 2”) que 
jalan de los extremos de una cuerda con iguales fuerzas “T”. La cuerda se pone tirante bajo la acción de 
ambas fuerzas “T”, y su diagrama de cuerpo libre sería el que vemos en la figura 7b (hemos despreciado 
aquí el peso de la cuerda). En la situación de la figura 7b decimos que la cuerda se halla en un estado de 
tensión simple. 
  Otros cuerpos notables que pueden hallarse en un estado de tensión simple son los resortes y las 
varillas  o  barras  rígidas  ligeras. En  las  figuras  8a  y  8b  se muestran  respectivamente un  resorte  y una 
varilla recta en tal estado. Estas figuras serían los DCL’s del resorte y varilla, si se desprecia su peso. Los 
símbolos R y V denotan las fuerzas aplicadas sobre cada uno, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Figura 8a  Figura 8b 
 
  Las fuerzas T, R y V que aparecen en las figuras 7b, 8a y 8b  se denominan la tensión de la cuerda, 
del resorte y de la varilla rígida, respectivamente. 
   
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  Volvamos  a  la  cuerda.  Del  DCL  de  la  figura  7b  se  sigue  que  su  ecuación  de  equilibrio  es 
simplemente 
 
(2)    T – T = 0 
 
Análogamente las ecuaciones de equilibrio del resorte y la varilla son 
 
(3)    R – R = 0,    (4)  V – V = 0 
 
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son unas grandes verdades pero no tienen ninguna utilidad práctica. De ahí la 
siguiente regla. 
 
  Regla  7.  Excepto  en  casos  especiales,  para  resolver  un  problema  de  estática  o  dinámica  no  es 
necesario hacer los DCL’s de las cuerdas o cables que figuren en el problema. 
  Tampoco es necesario hacer  los DCL’s de resortes  ligeros en  tensión o compresión, o varillas o 
barras ligeras en tensión o compresión. Asimismo, no hacemos DCL’s de apoyos fijos (cuerpos masivos 
unidos firmemente a Tierra) como serían Mesa fija, Techo, Pared, Soporte fijo, Bastidor, etc. 
 
 
  En el caso de las cuerdas, lo que sí nos interesa son las fuerzas que una cuerdatirante ejerce sobre 
los  cuerpos  atados  a  sus  extremos,  pues  estas  fuerzas  figurarán  en  los  DCL’s  de  estos  últimos.  La 
respuesta viene dada por la tercera ley de Newton. 
 
 
 
Figura 9 
 
  La cosa está así: la cuerda ejerce sobre los Amigos 1 y 2 la misma fuerza T que ellos ejercen sobre 
aquella, en las direcciones mostradas en la figura 9. 
  Advirtamos que la fuerza de tensión T sobre cada Amigo es un vector que emana del punto de 
sujeción o atadura de la cuerda, y corre a lo largo de la cuerda. La punta de este vector está dirigida hacia 
lo lejos del punto de sujeción. 
  Esto es general, así que tenemos la siguiente regla: 
 
  Regla 8. Para trazar la fuerza de tensión ejercida por una cuerda sobre un cuerpo: 
  1. Ubique el punto de atadura (o sujeción) de la cuerda al cuerpo considerado. 
  2. Desde este punto trace un vector que corra a lo largo de la cuerda, apuntando 
    hacia lo lejos del punto de atadura. 
   
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EJEMPLO 4. La figura 10 muestra dos bloques que penden de dos cuerdas. 
 
 
 
Figura 10 
 
  Hagamos los DCL’s de los sistemas {Bloque‐1} y {Bloque‐2}. 
  Para el Bloque‐1: 
  De acuerdo con la Regla Maestra (Regla 6, página 5), sobre el Bloque‐1 actúan la Tierra y además 
la Cuerda‐1 y la Cuerda‐2, que son los cuerpos en contacto con dicho bloque.  
  Denotaremos  el  peso  del  Bloque‐1  con  el 
símbolo W1. 
  Dibujemos el Bloque‐1 (Véase  la figura 11), 
incluyendo en la figura unos tramitos de las cuerdas 
1 y 2.  
  Ubiquemos  los  puntos  de  atadura  de  las 
cuerdas 1 y 2 al Bloque‐1 (los hemos señalado en la 
figura 11 mediante puntos “ • “). 
  Tracemos  cada  fuerza  de  tensión 
simplemente  añadiendo  a  ambos  tramitos  sendas 
puntas  de  flecha  dirigidas  hacia  lo  lejos  del 
respectivo punto de atadura. Llegamos al DCL de la 
figura 12a. 
 
 
 
Figura 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12a  Figura 12b 
 
  Procediendo de la misma manera trazamos el DCL del Bloque‐2, quedando como se muestra en la 
figura 12b. 
   
10 
 
  Toda cuerda tirante posee en sus extremos 2 puntos de sujeción a otros cuerpos. Dos cuerdas se 
consideran distintas si poseen al menos un punto de sujeción distinto. 
 
  Regla 9. El número de fuerzas de tensión que figuran en un problema dado (al hacer  los DCL’s 
individuales de los cuerpos a que están atadas) es igual al número de cuerdas distintas que existen en el 
problema. 
  Se sugiere numerar las cuerdas según Cuerda‐1, Cuerda‐2, Cuerda‐3, .. etc., o bien C1, C2, C3, …, 
etc. y designar sus tensiones respectivas mediante T1, T2, T3, …, etcétera. 
 
  Definición. Un  nodo  es  un  punto material  (de masa  insignificante)  donde  confluyen  3  o más 
cuerdas. Un nodo puede constituir por sí solo un sistema físico válido que posee su propio DCL. 
 
EJEMPLO 5. Observe el conjunto  representado en 
la  figura 13. Se  tiene un nodo donde confluyen  las 
cuerdas C1, C2 y C3, y un Bloque que cuelga de la 
cuerda C3. 
  Dado que existen 3 cuerdas, de acuerdo con 
la  Regla  9  figurarán  tres  fuerzas  de  tensión  que 
denotaremos con T1, T2 y T3, respectivamente. 
  Conviene aquí definir un sistema físico que 
conste solamente del nodo  (el sistema  {Nodo}). En 
la  figura  14a  se muestra  la  acción  de  las  cuerdas 
sobre  el Nodo,  y  en  la  figura  14b  separadamente 
sobre el Bloque. 
 
 
 
Figura 13 
 
Hemos añadido el peso W del Bloque, con objeto de que la figura 14b sea ya el DCL del Bloque (el cual 
debe incluír todas las fuerzas sobre él). 
 
 
{Nodo} 
 
 
 
{Bloque} 
 
 
 
Figura 14a  (DCL del Nodo)  Figura 14b  (DCL del Bloque) 
 
   
11 
 
EJEMPLO 6. En el conjunto ilustrado en la figura 15a se tiene una pesa, un bloque y una sola cuerda que 
parte desde la pesa, bordea la polea fija izquierda, pasa bordeando la polea 3 móvil y remata en el techo. 
¿Cómo actúa la cuerda sobre las poleas fija y móvil? Suponga poleas lisas. 
 
 
 
 
 
 
Figura 15a  Figura 15b   (No son DCL’s) 
 
  Para resolver este ejemplo necesitamos un par de reglas útiles más: 
 
 
  Regla 10. Al bordear una cuerda una polea o perno lisos, la tensión de la cuerda no se altera. 
 
 
  Regla  11. Una  cuerda bajo  tensión T, que pasa por  el  canal periférico de una polea  lisa  (fija o 
móvil) produce  sobre  ésta una  acción  equivalente  a dos  fuerzas de magnitudes  iguales  a T,  aplicadas 
tangencialmente a  la polea en  los puntos donde  la cuerda deja de hacer contacto con aquella. Véase  la 
figura 16. 
 
 
Figura 16 
 
Note que, según la Regla 10, la tensión de la cuerda es la misma a ambos lados de la polea lisa. 
Note también que uno podría imaginarse que la (única) cuerda está “atada” a los puntos “a” y “b”, y usar 
la Regla 8 de la página 11 para trazar las tensiones T. 
 
  Prosigamos con el ejemplo. Primeramente notemos que, en virtud de que existe solamente una 
cuerda (y las poleas son lisas), habrá una sola tensión T en el problema. 
  Según  la regla 11,  la acción de  la cuerda sobre  las poleas fija y móvil es  la que se muestra en  la 
figura 15b. Como vemos, la tensión de la cuerda actúa tangencialmente a cada polea en los puntos donde 
la cuerda entra y sale de cada polea. En esta figura hemos puesto el comentario “No son DCL’s” puesto 
que no se han incluido todas las fuerzas sobre las poleas (solamente las debidas a la cuerda). 
   
12 
 
EJEMPLO 7. Observe el conjunto de bloques, poleas y cuerdas mostrado en  la figura 17a. ¿Qué fuerzas 
actúan sobre la polea móvil inferior, debidas a las cuerdas? 
 
 
 
 
 
 
Figura 17a  Figura 17b 
 
  Fíjese que existen 3 cuerdas distintas en el conjunto, cuyas tensiones se designarán T1, T2 y T3. 
  Las  fuerzas  de  las  cuerdas  sobre  la  polea móvil  inferior  se muestran  en  la  figura  17b.  Si  se 
desprecia el peso de esta polea, la figura 17b es el DCL de la misma. 
 
EJEMPLO 8. Observe la figura 18. Tenemos 3 bloques, designados B1, B2 y B3. Al bloque B1 se le ata una 
cuerda (designada Cuerda 1) que corre hacia la izquierda, pasa bordeando una polea lisa (la Polea fija 1), 
y finaliza en el bloque B2. Existe otra cuerda (la Cuerda 2) que parte desde el bloque B2 hacia la derecha, 
bordea la Polea fija lisa 2, y remata en el bloque B3 que pende verticalmente. 
  Trazar las fuerzas sobre cada bloque debidas a las cuerdas. 
 
 
Figura 18 
 
  En  la  figura 19 se muestra  la acción de  las 
cuerdas sobre cada bloque. Estas son algunas de las 
fuerzas que figurarían en los DCL’s individuales de 
los sistemas {B1}, {B2} y {B3}. 
  Note  que  como  estamos  suponiendo  lisas 
ambas poleas, la tensión en la Cuerda 1 es la misma 
a ambos  lados de  la Polea 1, y  lo mismo podemos 
decir sobre la tensión a ambos lados de la Polea 2. 
 
 
 
Figura 19   (No son DCL’s) 
 
   
13 
 
Ejercicios. 
Ejercicio 1.   Para  el dispositivo de poleas mostrado, hacer  el DCL de  cada polea, así  como  el DCL del 
bloque. Suponer poleas sin peso, y peso W para el bloque. 
 
 
 
Ejercicio 2. Para el tendedero de la figura, hacer el DCL de cada nodo y bloque. 
 
 
 
Ejercicio 3. Una cuerda pasa por un anillo liso, como se ve en la figura. El peso del anillo es W. Hacer su 
DCL. 
Sugerencia. Note que existe solamente una cuerda en el problema. 
 
 
 
Ejercicio 4.  Trazar las fuerzas que ejerce la cuerda sobre cada polea fija lisa, y sobre cada bloque. 
 
 
   
14 
 
(C) Fuerza de tensión en resortes estirados, o barras o varillas rígidas estiradas. 
  Sabiendo ya cómo trazar la fuerza de tensión debida a una cuerda o cable, es inmediato hacer lo 
propio para los rersortes o barras o varillas rígidas elongadas. 
  La regla es similar a la regla 8 de la página 8. La expresaremos en estos términos: 
 
  Regla 8. Para trazar la fuerza de tensión ejercida por un resorte elongado (de peso despreciable): 
  1. Ubique el punto de sujeción del resorte al cuerpo considerado. 
  2. Desde este punto trace un vector que corra a lo largo del resorte, apuntando 
    hacia lo lejos del punto de sujeción. 
(O sea: imagine que elresorte fuera una cuerda) 
Denote la tensión de resortes con el símbolo genérico R. 
 
  Misma cosa con respecto a las barras o varillas rígidas ligeras elongadas. 
 
EJEMPLO 9. El bloque está sujeto a dos barras y dos  resortes. Las barras están elongadas  (es decir, en 
tensión), lo mismo que los resortes. Todos estos cuerpos son de masa despreciable, excepto el bloque. 
 
 
 
Figura 20 
 
  En  la  figura 21 se muestra el DCl del bloque,  representado por un punto “ • “.El DCL sería el 
mismo  si  sustituyésemos  las  barras  y  los  resortes por  cuerdas  tirantes,  y  los  símbolos R’s  (tensión de 
resortes) y V’s (tensión de barras) por T1, T2, T3 y T4 (tensión de cuerdas). 
 
 
 
Figura 21 
   
15 
 
(D) Fuerza normal debida al contacto simple entre dos cuerpos. 
 
  Definición. Dos cuerpos están en contacto simple si los cuerpos solamente se “tocan” en el punto 
o región de contacto, sin estar unidos por pegamento, soldadura, tornillos u otros. 
 
  Un  tipo de contacto simple muy común en  las aplicaciones es el de un bloque y una superficie 
plana  (como por ejemplo una mesa o pared, un plano  inclinado, etc.). En  las  figuras 22a,b se muestran 
ejemplos. 
  Dos cuerpos en contacto simple siempre se presionan mutuamente. No ofrecen resistencia a ser 
separados  el  uno  del  otro,  pero  sí  gran  resistencia  a  compenetrarse.  En  el  contacto  simple  surgen  las 
fuerzas denominadas  fuerza normal y  fuerza de  fricción  (o  rozamiento). Por el momento supondremos 
que las superficies de los cuerpos en contacto son lisas, lo cual significa que no habrá fuerza de fricción. 
 
 
 
 
 
 
Figura 22a  Figura 22b 
 
  Con respecto al contacto simple Bloque‐Mesa de la figura 22a tenemos lo siguiente: 
  El DCL individual del Bloque incluye una fuerza normal N debida a la Mesa. Por la tercera ley de 
Newton, el DCL de la Mesa incluye también una fuerza N debida al Bloque. Esta pareja de fuerzas N son 
de acción‐reacción: tienen iguales magnitudes y direcciones opuestas, como vemos en la figura 23a. 
 
 
 
 
 
 
Figura 23a.  (No son DCL’s)  Figura 23b.  (No son DCL’s) 
 
  Cosa análoga sucede en relación con el contacto simple Bloque‐Plano inclinado de la figura 22b. 
Tanto  el  DCL  del  Bloque  como  el  DCL  del  Plano  inclinado  incluirán  una  fuerza  normal  N,  en  las 
direcciones mostradas en la figura 23b. 
  Advierta que las fuerzas normales acción‐reacción tienden a separar ambos cuerpos en contacto. 
   
16 
 
  Regla 9. Fuerza normal N en el contacto simple entre un Bloque y una Superficie plana. 
  La  fuerza  normal N  que  experimenta un  bloque debida  al  contacto  simple  con una  superficie 
plana (Mesa, Pared, Otro bloque, etc.) es un vector perpendicular a la superficie plana con la que el bloque 
está en contacto simple. Esta fuerza normal N tiene una dirección tal que tiende a alejar el bloque de  la 
superficie. 
  Convencionalmente, el vector que representa la fuerza N lo trazaremos con su punta sobre la cara 
de contacto del bloque. 
 
  No está de más especializar  la Regla 9 al caso particular del contacto simple entre dos bloques, 
que aparece frecuentemente en los problemas. Tendremos así la siguiente regla: 
 
  Regla 10 (= Regla 9 aplicada a dos bloques).  
  Cuando dos bloques A y B están en contacto simple,  la fuerza normal N que el bloque A sufre, 
debida  al otro bloque B, debe  aparecer  también  en  el DCL del bloque B,  con  el mismo valor N y  con 
sentido contrario (figura 24). 
 
Figura 24 
 
  He aquí otra regla útil: 
 
  Regla 11. El número total de fuerzas normales distintas que figuran en los DCL’s individuales de 
todos los cuerpos considerados es igual al número de contactos simples distintos que hay en el problema. 
 
EJEMPLO 10. Dos bloques de pesos W1 y W2 son empujados por una fuerza constante F a lo largo de una 
mesa horizontal lisa. Hacer el DCL de cada bloque (Figura 25). 
 
 
Figura 25 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
  Veamos cuántos contactos simples existen en este problema. Son los siguientes: 
    Contacto simple entre el Bloque‐1 y el bloque‐2 
    Contacto simple entre el Bloque‐1 y la Mesa. 
    Contacto simple entre el Bloque‐2 y la Mesa. 
Según  la Regla 11 recién dada, figurarán entonces 3 fuerzas normales en el problema, que denotaremos 
así: N, entre Bloque‐1 y Bloque‐2; N1, entre Bloque‐1 y Mesa; N2, entre Bloque‐2 y Mesa. 
   
17 
 
 
Figura 26 
 
  Los DCL’s de los bloques se muestran en la figura 26. Note lo siguiente: 
 
• Los bloques se ejercen entre sí la misma fuerza N, en las direcciones mostradas en la figura 26. 
• El sistema no está en equilibrio. La fuerza F acelera a ambos bloques hacia la derecha. 
• La fuerza que empuja al Bloque‐2 hacia la derecha es la fuerza normal N que le ejerce el Bloque‐1. 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
EJEMPLO 11. Tres bloques de pesos 50 N, 80 N y 120 N están apilados sobre una mesa, como se muestra en 
la figura 27. Hacer el DCL de cada bloque. 
 
 
 
Figura 27 
 
  En este problema aparecerán 3 fuerzas normales, pues existen los 3 contactos simples siguientes: 
 
    Bloque‐1 con Bloque‐2 
    Bloque‐2 con Bloque‐3 
    Bloque‐3 con la Mesa. 
 
  Denotaremos las fuerzas respectivas con N1, N2 y N3. 
  He aquí los DCL’s de los sistemas {Bloque‐1}, {Bloque‐2} y {Bloque‐3}  (estúdielos bien): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28a (DCL del Bloque‐1)  Figura 28b (DCL del Bloque‐2) Figura 28c (DCL del Bloque‐3)
 
   
18 
 
  Vamos ahora a formular  la regla para trazar  la fuerza normal en el caso general de un contacto 
simple entre superficies arbitrarias (no solamente superficies planas). 
 
  Sean  “Cuerpo A”  y  “Cuerpo B” dos  cuerpos  en  contacto  simple  (figura  29a). Por  el punto de 
contacto tracemos una recta (de hecho un plano) que sea tangente a ambos cuerpos (figura 29b). 
 
 
 
 
Figura 29a  Figura 29b 
 
  Regla 12. La fuerza normal N que experimenta cada uno de los cuerpos A y B en contacto simple 
es perpendicular al plano tangente común a ambos cuerpos en el punto (o región) de contacto. La fuerza 
N sobre cada uno de estos cuerpos actúa en una dirección que tiende a separar cada cuerpo del otro, como 
se ve en la figura 30. 
 
 
 
Figura 30 
 
 
  La pareja de  fuerzas N que vemos en  la  figura 30 son  fuerzas de acción‐reacción. Estamos aquí 
ante un claro ejemplo de la tercera ley de Newton. 
   
19 
 
  El contacto simple entre dos cuerpos puede ocurrir en una esquina o pico, como en el caso que 
vemos  en  la  figura  31, donde  el  bloque  se  apoya  sobre una pared  vertical  y un plano  inclinado  (esto 
cuenta como dos contactos simples). En este caso no podemos trazar un plano tangente a un pico, pero sí 
al otro cuerpo sobre el que el pico se apoya, y esto es lo que determina la dirección de la fuerza normal. 
 
 
 
Figura 31 
 
(E)  Fuerza  de  compresión  debida  a  resortes  comprimidos,  o  barras  o  varillas  ligeras 
comprimidas. 
  En la página 7 definimos lo que es el estado de tensión simple de un resorte o una barra o varilla 
rígida (Véanse las figuras 8a,b en dicha página). 
  Los resortes y barras o varillas pueden estar también en un estado de compresión simple. En este 
estado estos cuerpos sufren en sus extremos fuerzas encontradas que tienden a comprimirlos. Las figuras 
32a,b  son  los DCL’s de  estos  cuerpos  en  el  estado de  compresión  simple  (despreciando  el peso de  los 
mismos). 
  La  fuerza C se denomina  la compresión del  resorte;  la  fuerza K es  la compresión de  la barra o 
varilla rígida. 
 
 
 
 
 
 
Figura 32a  Figura 32b 
 
  Lo que aquí nos  interesa  son  las  fuerzas que un  resorte o barra  comprimidos ejercen  sobre  los 
cuerpos sujetos a sus extremos, que son  los cuerpos que ponen al  resorte o barra en compresión. Estas 
fuerzas son las reacciones de las fuerzas mostradas en la figura 32a,b. 
 
  Regla 13. La fuerza de compresión C ejercida por un resorte comprimido sobre un cuerpo sujeto a 
uno de sus extremoses una fuerza que incide sobre el cuerpo en el punto de sujeción del resorte, viniendo 
desde el exterior del cuerpo considerado a lo largo del eje longitudinal del resorte. 
  Lo análogo es válido para la fuerza de compresión K debida a una barra o varilla comprimida. 
 
   
20 
 
EJEMPLO 12. Una bola de peso W  está  sostenida por dos  resortes,  como  se muestra en  la  figura 33a. 
Hacer el DCL de la bola. 
 
   
 
 
Figura 33a  Figura 33b.  DCL de la Bola 
 
  En  la  figura  33b  se  muestra  el  DCL  del  sistema  {Bola}.  En  él,  C1  y  C2  son  las  fuerzas  de 
compresión debidas al Resorte‐1 y al Resorte‐2, respectivamente. Note que  los vectores C1 y C2 vienen 
desde fuera de la Bola y se “clavan” en la misma (o sea: las puntas de los vectores inciden en los puntos de 
sujeción de los resortes a la bola). 
 
EJEMPLO 13.  Los dos bloques mostrados en la figura 34a descansan sobre superficies lisas. Los bloques 
están unidos por una barra ligera. Se aplica una fuerza P sobre el bloque izquierdo. Hacer el DCL de cada 
bloque. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34a  Figura 34b 
 
  Está claro que la barra está en compresión. 
  Vea  los DCL’s de  los bloques  individuales en  la  figura 34b. Fíjese especialmente cómo actúa  la 
barra comprimida sobre cada bloque (fuerza de compresión K). 
   
21 
 
(E) La fuerza de fricción o rozamiento. 
  En general,  la  interacción entre dos superficies en contacto simple es más complicada de  lo que 
hemos descrito hasta  ahora. En  realidad  consta no  solamente de  la  conocida  fuerza normal  “N” −que 
como  sabemos  actúa  perpendicularmente  a  las  superficies  contactantes−,  sino  adicionalmente  de  una 
componente que es tangencial a dichas superficies: la llamada fuerza de fricción o rozamiento. 
  Las propiedades principales de la fuerza de fricción pueden deducirse a partir de una experiencia 
muy simple. Coloquemos una caja pesada sobre una superficie horizontal (Mire la figura 35) y tratemos 
de ponerla en movimiento aplicándole cierta fuerza horizontal F. Por ahora  apartemos de la discusión las 
fuerzas verticales del peso y la normal, que se cancelan. 
 
 
 
Figura 35 
 
  Sabemos  por  experiencia  que  si  F  es muy  pequeña  la  caja  no  se moverá. De  la  condición  de 
equilibrio se deduce entonces que, al mismo tiempo que se aplica F, se genera otra fuerza igual y opuesta, 
“f ”, que contrarresta su efecto. Esta es la fuerza de fricción. 
  Incrementemos poco a poco la fuerza aplicada F (mire la figura 36), todavía sin que la caja se mueva. 
Debe  ocurrir  que  la  fricción  f  se  incremente  en  la misma  proporción  que  F,  a modo  de mantener  la 
igualdad f = F que garantice el equilibrio observado. 
 
 
 
Figura 36. La fricción aumenta con F hasta llegar 
a su valor máximo fm. 
 
  Sin  embargo,  sabemos  que  sí  es  posible  mover  la  caja  empujándola  con  una  fuerza  F 
suficientemente  grande.  Esto  significa  que  se  llega  a  una  situación  en  que  la  fricción  ya  no  puede 
compensar la fuerza aplicada F, de tal manera que el equilibrio se rompe. 
  La fricción es  la resistencia que oponen  las superficies al deslizamiento relativo mutuo. Pero  las 
superficies no pueden desarrollar esta oposición más allá de cierto valor máximo fm. En tanto F es menor 
que  fm, hay equilibrio. Si F es  justamente  igual a  fm,  la caja está a punto de moverse  (su movimiento es 
inminente), esto es, cualquier cosa que aumente F por encima de  fm motivará que  la caja se mueva  (“se 
deslice”  o  “resbale”),  por  leve  que  sea  su movimiento.  Si  F  sobrepasa  el  valor  fm  la  caja  se moverá 
aceleradamente. 
  Relacionemos lo anterior con el DCL completo de la caja, supuesta en equilibrio. 
   
22 
 
  El contacto de la caja con la superficie horizontal genera sobre aquella una fuerza perpendicular a 
la  superficie  de  contacto  (o  sea  la  conocida  fuerza  normal  N)  y  además  una  fuerza  tangencial  a  la 
superficie de contacto (la fuerza de fricción f). 
 
 
Figura 37 
 
En general, 
 
  Regla 14. El contacto simple de un cuerpo y  una superficie da lugar a una fuerza normal N y, si 
existe  tendencia de deslizamiento  entre  ambas  superficies,  adicionalmente una  fuerza de  fricción  f. La 
dirección de la fuerza de fricción se opone a la dirección de deslizamiento del cuerpo considerado. 
 
  Recordemos entonces que toda normal N viene acompañada en general de una fuerza de fricción 
o rozamiento f. 
 
Propiedades de la fricción máxima. 
  De nuevo hay que recurrir al experimento a fin de obtener las características de la fricción máxima 
fm.  Esta  vez  investigamos  cómo  depende  el  estado  de  movimiento  inminente  con  la  normal  N,  las 
dimensiones y los materiales de fabricación de la caja. He aquí las observaciones experimentales: 
 
• fm es proporcional a su normal asociada N: 
 
  fm = μ N 
 
El  factor  de  proporcionalidad  μ  se  denomina  el  coeficiente  de  fricción.  Es  un  número  puro  (sin 
dimensiones  físicas)  que  depende  de  la  naturaleza  de  las  superficies  en  contacto  y  del  estado  de 
dichas superficies (pulcritud, lubricación, pulimento, corrosión, oxidación, humedad, etc.). 
• fm no depende del área de contacto. 
El contacto simple puede ser de punto, como en los casos representados en las figuras. 38a y 38b. La 
fricción máxima que se desarrolla en estos contactos también obedece la relación fm = μ N. 
 
 
 
 
 
Figura 38a  Figura 38b 
   
23 
 
  La fricción es una  fuerza muy compleja. Los modelos atómicos de  la  fricción no explican ciento 
por  ciento  las  observaciones  macroscópicas.  Incluso  la  fricción  macroscópica  puede  depender  de  la 
“historia” del contacto, es decir, del modo como ambos cuerpos hayan llegado al equilibrio. 
  En la tabla que sigue se muestran valores típicos del coeficiente de fricción. 
 
Materiales  Condiciones de superficies Coeficiente
de fricción 
Metal sobre Metal  Limpias  0.4 − 1.0 
  Bien lubricadas   
0.2 − 0.4 
No‐metal sobre No‐metal  No lubricadas  0.4 − 0.9 
  Bien lubricadas   
0.1 − 0.2 
Metal sobre No‐metal  No lubricadas  0.4 − 0.6 
  Bien lubricadas   
0.05 − 0.12 
 
  Las  tablas de valores de coeficientes de  fricción no son muy confiables. Los óxidos e  impurezas 
presentes en  las  superficies afectan apreciablemente el valor de μ. Es mejor determinar este coeficiente 
experimentalmente en cada escenario, para lo cual el procedimiento más simple es el dado en el Ejemplo 
15 un poco más adelante. 
 
  Definición. Una  superficie  lisa es aquella cuyo coeficiente de  fricción  relativo a cualquiera otra 
superficie vale cero. Se trata obviamente de un caso ideal (muy utilizado en la práctica). En este caso no 
existe fuerza de fricción sobre los cuerpos en contacto. 
 
  En la situación de movimiento inminente, la fuerza de fricción sobre el cuerpo es la máxima, dada 
por  fm = μN. Apenas el cuerpo empieza a moverse,  la fricción disminuye abruptamente desde su valor 
máximo fm hasta otro valor fk  denominado la fricción cinética (figura 39). Ésta obedece siempre la relación 
fk = μk N, donde μk es el coeficiente de fricción cinética. Grosso modo tenemos que μk ≈ 0.75 μ. 
  En  los  problemas  donde  intervienen  fuerzas  de  fricción  debe  tomar  en  consideración  que  la 
fricción  posee  un  rango  de  valores,  desde  0  hasta  su  valor  máximo  μN.  Solamente  en  la  situación  de 
movimiento  inminente  puede  usarse  la  relación  fm  =  μ N;  en  cualquiera  otra  situación  no  existe  relación 
empírica alguna entre la fuerza de fricción f y la normal N. 
 
 
            movimiento inminente             moviéndose 
 
Figura 39 
   
24 
 
EJEMPLO 14. Se presiona un bloque de 50 N de peso contra una pared (figura 40 superior). El coeficiente 
de fricción pared − bloque vale μ = 0.4. (a) ¿Con qué fuerza mínima F debe presionarse para que el bloque 
no se mueva ? (b) Si se presiona con el doble de la fuerza anterior, ¿cuánto vale la fuerzade fricción? 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 
 
  La figura 40 central muestra el DCL del bloque correspondiente al inciso (a). Si deseamos que el 
bloque no se mueva, la fricción debe equilibrar el peso de 50 newton. Supongamos que aplicáramos una 
fuerza F bastante grande; entonces  la  fricción se ajustaría  fácilmente al valor requerido de 50. Vayamos 
disminuyendo esa fuerza. Lo podemos hacer hasta la situación de movimiento  inminente del bloque, es 
decir, la mínima fuerza F requerida corresponderá al valor máximo de f, o sea fm = μ N. 
  Tenemos así que 
 
 
μ
mf 50N 12
0.4
= = = =5 F  
 
  En el inciso (b), si F = 250 la fricción máxima sería fm = μ N = 0.4 × 250 =100. Esta fricción sería 
suficiente para mantener un bloque de 100 newton. En este caso la fricción no alcanza a llegar a su valor 
máximo, sino que toma el valor necesario para sostener el bloque de 50 N, es decir, f = 50 newton (figura 
40 inferior). 
   
25 
 
EJEMPLO  15.  Un  procedimiento  muy  simple  para  determinar  el  coeficiente  de  fricción  entre  dos 
superficies 1 y 2 consiste en utilizar un bloque del material 1 y una barra giratoria del material 2. Luego se 
colocan como se muestra en  la  figura 41 y se va aumentando el ángulo θ hasta que se observe un  leve 
movimiento del bloque. Esto corresponderá aproximadamente a la situación de movimiento inminente o 
sea de fricción máxima. 
 
 
 
 
 
Figura 41 
 
De las ecuaciones de equilibrio del bloque, 
 
    fm = mg sen θ 
 
    N = mg cos θ 
 
junto con 
 
    fm = μ N 
 
se deduce que 
 
    μ = tan θ 
 
Midiendo θ obtenemos μ. 
   
26 
 
EJEMPLO  16.   El pony puede  jalar  a  lo más  con  fuerza de  2000 N. El peso de  la  caja  es  5000 N  y  su 
coeficiente de fricción con el suelo es μ = 0.5. 
(a) ¿Qué fuerza vertical mínima debe ejercer el hombre en la situación de la figura 42 para que la caja esté 
a punto de deslizarse? 
(b) ¿Cuánto valdría esta fuerza si se aplicara horizontalmente? 
 
 
 
Figura 42 
 
 (a) Para poder mover la caja, el pony debe vencer la máxima fuerza de fricción caja‐suelo. Si el hombre no 
jalara  la  cuerda,  la normal  sobre  la  caja  sería  igual  al peso de  la misma, o  sea N  =  5000, y  la  fricción 
máxima sería 
 
    fm = μ N = 0.5 x 5000 = 2500 
 
Como el pony puede aplicar a lo más 2000 newton, no logra mover la caja en esta situación. 
  El  hombre  coopera  jalando  la  caja  hacia  arriba, de modo  que disminuya  la normal  y  con  ello 
también la fricción máxima. Deseamos que la fricción máxima sea de 2000, valor al que corresponde una 
normal de N = fm/μ = 2000/0.5 = 4000. Para que la normal se reduzca a este valor el hombre debe jalar con 
una fuerza de 1000. 
(b) Hacer las cosas como en la figura 41 no es eficiente. Es mejor que el hombre empuje horizontalmente la 
caja con una  fuerza de 500. Entonces entre el pony y el hombre producirán una  fuerza de 2000 + 500 = 
2500, que iguala la fricción máxima a vencer. 
  A continuación están  los DCL’s correspondientes a  (a) y  (b)  junto con  la resolución matemática 
detallada del problema. 
 
Inciso (a) 
 
 
 
  fm – 2000 = 0 
  N + T – 5000 = 0 
  fm = 0.5 N 
 
  N = 4000 
  T = 1000 
Inciso (b) 
 
 
 
 
  F + 2000 − fm = 0 
  N – 5000 = 0 
  fm = 0.5 N 
 
  fm = 2500 
  F = 500 
 
   
27 
 
6. Algunos ejemplos de equilibrio. 
 
EJEMPLO 14. 
  Introduciremos una  regla más,  en  el  contexto de un problema  concreto de  equilibrio. Resolve‐
remos el problema representado en la figura 43. 
  He aquí los datos del problema: 
− La tensión de la cuerda vale 40 newton. 
− El peso del Bloque1 es de 60 newton. 
−  La  fuerza  del  Resorte  no  se  conoce  ni  en 
magnitud  ni  en  dirección  (no  se  sabe  si  está  en 
tensión o en compresión). 
− El peso del Bloque2, W2, es otra incógnita. 
− La normal Bloque2−Bloque3, N1, también es 
   incógnita. 
− La normal Bloque3−Piso vale 200 newton. 
− El peso del Bloque3 vale 80 newton. 
 
 
 
Figura 43 
 
  Las cantidades a determinar son tres: la fuerza del resorte, N1 y W2. 
  ¿Qué  hacer  en  un  problema  como  éste  en  que  interviene  un  resorte  cuyo  estado  (tensión  o 
compresión) no se conoce de antemano? He aquí la regla al respecto: 
 
  Regla 15.  Si no conoce a priori el estado de un resorte (tensión o compresión): 
  −  Haga  una  hipótesis  de  trabajo:  trace  la  fuerza  del  resorte  hacia  alguna  dirección  supuesta. 
Desígnela con “R” o “C”, según la haya supuesto de tensión o compresión, respectivamente. 
  − Resuelva el problema bajo semejante hipótesis. Si obtiene un valor positivo de R o C, acertó a la 
dirección correcta. Si obtiene un valor negativo (absurdo) de R o C, entonces la hipótesis queda invalidada 
y  la dirección de R o C es en realidad  la contraria de  la supuesta al comienzo (la  tensión era realmente 
compresión, o viceversa, así que hay que modificar el DCL y replantear las ecuaciones de equilibrio). 
 
  Supongamos que el Resorte esté en tensión. Tendríamos los DCL’s de las figuras 44a,b,c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 44a Figura 44b Figura 44c
 
  Las ecuaciones de equilibrio son inmediatas: 
 
  40 – 60 – R =    0 
  N1 + R – W2 = 0 
  200 – N1 – 80 = 0 
   
28 
 
Su solución es 
 
    R = − 20 
 
    N1 = 200 − 80 = 120 
 
    W2 = N1 + R = 120 + (−20) = 100. 
 
  El  valor  negativo  absurdo  de  R  significa  que  el  resorte  realmente  está  en  compresión, 
contradiciendo nuestra hipótesis. Debemos corregir los DCL’s, invirtiendo la dirección de la fuerza R que 
aparece  en  ellos  y  renombrándola  “C”.  Luego  debemos  replantear  las  ecuaciones  de  equilibrio  y 
resolverlas de nuevo. Se encuentran los valores correctos 
 
     
 
  La Regla 15 recién dada es de utilidad no solamente con resortes. Existen otros tipos de fuerzas 
(fricción,  fuerzas  en  una  varilla,  fuerza  normal,  etc.)  cuyas  direcciones  no  siempre  son  conocidas  de 
partida, para las que también habría que hacer una hipótesis acerca de su dirección. 
 
EJEMPLO 15. Resolvamos ahora un caso en que aparece una fuerza normal de dirección desconocida a 
priori. En la figura 45a tenemos un collarín (cilindro acanalado) que encaja dentro de una guía cilíndrica 
recta. El peso del collarín es de 50 newtons, la tensión de la cuerda se ha prefijado al valor de 100 newtons, 
y el resorte tiene una tensión de 300 newtons. Se trata de calcular la fuerza normal en el contacto simple 
collarín−guía. 
 
 
 
 
 
Figura 45a  Figura 45b 
 
  En  la  Figura  45b  podemos  ver  el  contacto  con más  detalle.  Imagine  que  el  collarín  no  ajusta 
perfectamente en la guía, sino que hay cierta holgura o juego en el canal. Si el contacto canal–collarín tiene 
lugar en la parte de arriba del collarín, la normal N apuntaría hacia arriba (la normal incide en el punto de 
contacto con el cuerpo considerado −el collarín−, viniendo desde el cuerpo externo o actuante −la guía−). 
La dirección de N se invierte si el contacto es en la superficie inferior del collarín. 
   
29 
 
  Hagamos el DCL del collarín, bajo la hipótesis de que N apunta hacia arriba (figura 46). 
 
 
 
Figura 46 
 
 
  De la ecuación de equilibrio, 
 
  N +100 –50 –300 = 0 
 
obtenemos N = 250. El hecho de que N haya salido positiva indica que efectivamente apunta hacia arriba, 
es decir, que el contacto collarín−guía tiene lugar en la parte superior del canal. 
  Si el resorte estuviera en compresión, la fuerza de 300 en el DCL estaría dirigida hacia arriba. El 
valor resultante para N sería N = −350, que correspondería a un contacto en la parte inferior del canal del 
collarín. 
 
EJEMPLO 16.  Fuerzas negativas. 
  De las fuerzas que hemos introducido las siguientes tienen dirección conocida de antemano: 
 
  – El peso W (vector que apunta siempre verticalmente hacia  abajo) 
  – La tensión de cables, resortes o varillas,  T o R o V 
    (vector que siempre “emana” del cuerpo) 
  – La compresión de resortes o varillas, C ó K 
                    (vector que se “clava” en el cuerpopaciente, viniendo desde el cuerpo agente). 
 
Entre ellas se contaría la normal N a condición de que se conozca el punto de contacto, en cuyo caso incide en el 
cuerpo pasivo en este punto, viniendo desde el cuerpo activo. 
 
  Tip. Una  fuerza  cuya  dirección  ya  es  conocida  antes  de  resolver  el  problema  siempre  debe  resultar 
positiva. Un resultado negativo significa que existe un error en la resolución, o que los datos usados no 
son consistentes con la situación física. 
 
Ilustremos con un ejemplo muy simple. 
  En el conjunto en equilibrio de la figura 47a, el resorte superior tiene tensión de 120 N y el inferior 
tiene compresión de 80 N. La fuerza normal entre el Bloque2 y el Piso vale 380 N. Queremos calcular los 
pesos de los bloques. Digamos que hiciéramos los DCL’s como vemos en la figura 47b, donde la fuerza de 
tensión del resorte superior no está trazada correctamente. 
   
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 47a  Figura 47b 
 
  Las ecuaciones serían 
 
    80 – 120 – W1 = 0                  y                       380 – W2 – 80 = 0 
 
de donde obtendríamos 
 
    W1 = −40  ( ! )        y           W2 = 300 
 
  El signo negativo de W1 señala un error en el problema, pues  indicaría que el peso del Bloque1 
actúa  en  dirección  opuesta  a  la  que  tiene  en  los  DCL’s,  o  sea,  ¡actúa  verticalmente  hacia  arriba! 
Corrigiendo  la  fuerza  de  120  del  resorte  superior  en  el DCL  del  Bloque1  (trazándola  hacia  arriba)  y 
volviendo a plantear las ecuaciones y a hacer los cálculos obtenemos los valores correctos:  
W1 = 200, W2 = 300. 
   
31 
 
7. Diagramas de cuerpo libre de sistemas compuestos de dos o más cuerpos. 
  Por supuesto, un sistema físico puede constar de 2 o más cuerpos. Con miras a hacer los DCL’s de 
tales tipos de sistemas, introduciremos la siguiente terminología: 
 
  Definición.  Se  denomina  contactos  internos  de  un  sistema  formado  por  varios  cuerpos  a  los 
contactos que  tienen  lugar  entre  los propios  cuerpos pertenecientes  al  sistema. Por otra parte,  los  contactos 
externos de un sistema son  los que tienen  lugar entre al menos un cuerpo del sistema y algún cuerpo no 
perteneciente (ajeno) al sistema.  
 
EJEMPLO  17. En  la  figura  48  se muestra un  conjunto de  cuerpos  en  equilibrio. Está  formado por un 
amigo que jala hacia arriba una cuerda atada a un bloque; el bloque descansa sobre una tabla, que a su vez 
presiona un resorte, comprimiéndolo contra el piso. 
 
 
 
Figura 48 
 
 
 
 
Figura 49 
  En  la figura 49 hemos señalado con puntos 
gruesos  a,  b,  c,  d,  e  y  f    los  contactos  entre  los 
diversos  cuerpos  del  conjunto,  así  como  los 
contactos con el piso.  
  Definamos  el  sistema  que  consta  de  todos 
los  cuerpos  mostrados  (excepto  el  Piso). 
LLamémosle sistema global: 
 
  Sistema global ≡  
{Amigo, Cuerda, Bloque, Tabla, Resorte} 
 
Para este sistema,  todos  los contactos son  internos, 
excepto los contactos con el Piso, que es un cuerpo 
no  perteneciente  al  sistema  global  (La  Tierra 
también es un cuerpo ajeno al sistema global). 
 
 
   
32 
 
 
  Regla 16. El DCL de un sistema formado por varios cuerpos incluye, además de los pesos de tales 
cuerpos,  las  fuerzas debidas  solamente a  los  contactos  externos del  sistema  (llamadas  fuerzas externas). 
NO incluye fuerzas que surgen en los contactos internos del sistema (llamadas fuerzas internas). 
 
  Apliquemos  la Regla 16 para hacer el DCL del sistema global  {Amigo, Cuerda, Bloque, Tabla, 
Resorte}. 
  El DCL del sistema global incluirá, aparte de las fuerzas debidas a la Tierra (los pesos), las fuerzas 
debidas solamente al Piso, que es el único contacto externo del sistema. Vea el DCL en la figura 50. 
 
 
 
Figura 50 
 
  En este DCL, W1, W2 y W3 son los pesos del bloque, el amigo y la tabla, respectivamente, y C y N2 
son  las  fuerzas del piso  sobre el  resorte y el amigo,  respectivamente. Note que en el DCL no aparecen 
fuerzas que se ejerzan entre sí el amigo, la cuerda, el bloque, la tabla y el resorte, puesto que estos cuerpos 
son los que forman el sistema, así que sus contactos mutuos son internos. 
  Solamente en los contactos externos del sistema es donde existen fuerzas que aparecen en su DCL. 
 
  PREGUNTA. ¿Cuáles son los contactos externos del sistema {Bloque, Tabla}? 
  RESPUESTA. La Cuerda y el Resorte. 
    (El contacto simple Bloque‐Tabla es interno, pues ambos cuerpos pertenecen al sistema). 
 
  PREGUNTA. ¿Qué cuerpos ejercen fuerzas sobre el sistema {Amigo, Cuerda, Bloque}? 
  RESPUESTA. Aparte de la Tierra, son: la Tabla y el Piso. 
 
  PREGUNTA. ¿Ejerce fuerza el Resorte sobre el sistema {Cuerda, Bloque}? 
  RESPUESTA. No,  porque  aunque  el  Resorte  es  un  cuerpo  externo  al  sistema  dado,  no  tiene 
contacto ni con la Cuerda ni con el Bloque. 
   
33 
 
EJEMPLO 18. Se tienen 2 bloques, B1 y B2, acoplados a unos resortes R1 y R2 (figura 51a). El resorte R1 
está elongado, y el R2 comprimido. Hacer el DCL del sistema {B1, B2} formado por los dos bloques. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 51a  Figura 51b 
 
  Para el sistema de 2 bloques {B1, B2} de la figura 51a, el contacto simple entre ambos bloques es 
interno, y los contactos de B1 con el resorte R1, y de B2 con el resorte B2, son externos. En otras palabras, 
los resortes R1 y R2 son ajenos (no pertenecen) al sistema {B1, B2}. Naturalmente, la Tierra también es un 
cuerpo ajeno al sistema {B1, B2}. Por la Regla 16, los cuerpos que ejercen fuerzas sobre el sistema {B1, B2} 
son: la Tierra, el resorte R1 y el resorte R2. 
  Observe bien el DCL del sistema {B1, B2} en la figura 51b. Incluye las fuerzas debidas al resorte R1 
(fuerza R), al resorte R2  (fuerza C) y a  la Tierra  (fuerzas W1 y W2). No  incluye  la  fuerza de  interacción 
normal entre ambos bloques, pues esta surge en el contacto interno entre los mismos. 
 
EJEMPLO 19. Para el conjunto de cuerpos mostrados en la figura 52, ¿Cuáles son los contactos internos y 
externos del sistema {Bloque‐1, Bloque‐2, Bloque‐3, Cuerda}? 
 
 
 
Figura 52 
 
  Note que los contactos 
     Bloque‐1 ↔ Bloque‐2,  
    Bloque‐2 ↔ Cuerda, y  
    Cuerda ↔ Bloque‐3  
son  internos del  sistema,  pues  todos  los  cuerpos  implicados  en  ellos  pertenecen  al  sistema  dado.  Los 
contactos externos del sistema son: el Agente que ejerce la fuerza P, el Piso y la Pared. 
   
34 
 
EJEMPLO 20. Determinar  la  fuerza con que debe  jalar 
la cuerda el obrero para sostenerse a sí mismo. El obrero 
pesa 700 N y el andamio 100 N. Suponer poleas  ideales 
(lisas y ligeras). 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
  Asignemos nombres a  los diversos cuerpos del 
conjunto, tal como vemos en la figura 54a. 
  Haremos  los DCL’s de  los  sistemas  {Polea A}, 
{Polea B} y  {Obrero, Andamio}. Los dos primeros  son 
inmediatos  (figura  54b),  recordando  cómo  es  la  acción 
de cuerdas sobre poleas, explicada en  la Regla 11 dada 
en la página 11. 
 
 
 
Figura 53 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 54a  Figura 54b 
 
  Con  respecto  al DCL  del  sistema  {Obrero, Andamio}, 
notamos  que  dicho  sistema  tiene  contactos  externos  solamente 
con la cuerda 3 y con la cuerda 2. Entonces, aparte de los pesos 
del obrero  (700 N) y del andamio  (100 N), debemos  incluir  las 
fuerzas T3 y T2 debidas a estas cuerdas,  tal como vemos en  la 
figura 55. 
  Hemos usado aquí el hecho que el contacto simple entre 
el obrero y el andamio es interno al sistema {Obrero, Andamio}, 
de  tal  manera  que  la  fuerza  normal  que  ambos  cuerpos  se 
ejercen allí no aparece en el DCL de dicho sistema. 
 
 
 
Figura 55 
 
  He aquí las ecuaciones de equilibrio: 
 
  {Polea A}    {Polea B}    {Obrero, Andamio} 
 
  2T1 = T3     2T2 = T1     T2 + T3 = 100 + 700 
   
35 
 
  La fuerza con que se soporta el Obrero, o sea T2, resulta igual a 
 
   2
1T = +(100 700) 160
5
=
 
⇒   T1 = 320        T3 = 640 
 
  Aprovechemos este problema para introducir otra regla útil: 
 
  Regla17. Para poder calcular una fuerza debemos definir un sistema para el cual esta fuerza sea 
externa, de modo que aparezca en su DCL. 
 
  Para ilustrar esta regla, supongamos que deseamos calcular la interacción Obrero−Andamio. No 
podemos valernos del  sistema  {Obrero, Andamio} ya que  la  fuerza  a  calcular  es  interna  a  ese  sistema 
(Mire en la Figura 56a los tres contactos existentes). 
  Podemos usar cualquiera de los dos sistemas simples {Obrero} o {Andamio}, cuyos DCL’s son las 
figuras 56b y 56c,, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 56a  Figura 56b Figura 56c
 
  El sistema {Obrero} tiene contacto solamente con la Cuerda 2 (fuerza T2) y con el Andamio (fuerza 
normal N) 
  Por otra parte, el sistema {Andamio} tiene contacto solamente con la Cuerda 3 (fuerza T3) y con el 
Obrero (fuerza normal N) 
  Las ecuaciones de equilibrio de {Obrero} y {Andamio} son respectivamente 
 
  T2 + N = 700 
 
  T3 = N + 100 
 
⇒   N = 700 − 160 =  540  
 
  T3 = 540 + 100 = 640 
 
mismo resultado que antes. 
   
36 
 
8. Problemas. 
  Hacer los DCL’s de los bloques individuales y demás partículas que intervienen en cada conjunto 
en equilibrio. 
 
1. Por medio de una cuerda se aplica una fuerza de 
100 N al bloque superior, como se ve en  la  figura. 
Hacer el DCL de cada bloque y calcular las fuerzas 
desconocidas. 
 
 
 
2. Dos  bloques,  de  8  kg  y  12  kg,  son  empujados 
contra  una  pared mediante  una  fuerza  de  200 N 
aplicada  sobre  el  primero.  Del  segundo  bloque 
pende otro bloque de masa 6 kg. Hacer el DCL de 
cada bloque y calcular las fuerzas desconocidas. 
 
 
 
3.  El  hombre,  que  pesa  600  newton,  trata  de 
levantar  (infructuosamente)  una mesa  fija  al  piso, 
con  el  fin  de  aliviar  una  comezón  en  el  pie.  La 
fuerza  que  aplica  a  la  mesa  vale  120  newton. 
¿Cuánto vale la fuerza normal 
hombre ↔  piso  antes  de  aplicar  dicha  fuerza  y 
después de aplicarla? Explique con ayuda del DCL del 
hombre  y  de  las  ecuaciones  de  equilibrio.  Haga  el 
experimento. 
 
 
 
Ahora el hombre presiona sobre la mesa hacia abajo 
con sus manos, con una  fuerza de 80 newton, con 
el  fin de aliviar el dolor en un callo. Analizar este 
caso. 
 
Resp. 600 N, 720 N; 520 N. 
 
 
4. Malú Mora sube a la báscula con un bastón de peso despreciable. Supongamos que el peso de Malú es 
de  800 newtons,  y  que  el plato de  la  báscula no pesa nada.  ¿Cuál  es  la  lectura de  la  báscula  si Malú 
presiona el bastón contra el plato con una fuerza de 50 newtons?  Haga el DCL de los sistemas {Malú} y 
{Plato, Resorte}. 
Resp. 800 N. 
   
37 
 
 
 
 
5. Pancho se sostiene de dos cables jalándolos con sendas fuerzas de 100 newtons. Está parado sobre una 
plataforma de 50 newtons de peso, la cual descansa sobre un muelle sujeto a un baúl de 400 newtons de 
peso. El peso de Pancho es de 600 newtons. 
  Intente deducir mentalmente los valores de las siguientes fuerzas: 
– La fuerza de contacto entre Pancho y la Plataforma. 
– La compresión del resorte. 
– La fuerza de contacto Baúl – Piso. 
 
 
 
Resp. 400; 450; 850. 
 
6. Determinar la tensión en todas las cuerdas del colgadijo mostrado en la figura. El peso del bloque es de 
600 N. La polea grande pesa 100 N, y las pequeñas pesan 40 N cada una. 
 
 
 
Resp. 480, 126.6, 213.3, 213.3, 386.6 
 
7. Calcular  la  fuerza que debe aplicar Elmer Homero para sostenerse a sí mismo. Elmer pesa 800 N y el 
andamio 200 N. Calcular también la fuerza con que pisa el andamio. 
38 
 
 
 
 
Resp. 100; 700 
 
8.  El  sistema  está  sometido  a  las  fuerzas  indicadas.  Sin  usar  lápiz  y  papel,  compruebe  que  está  en 
equilibrio. 
 
 
 
9. Calcule  la  fuerza normal guía−collarín. El  resorte  superior está en  compresión  (200 N), el  inferior en 
tensión (300 N). El peso del collarín es 100 N. 
 
 
 
Resp. 600 N 
 
10. Hay en total 9 fuerzas sobre el cuerpo A mostrado abajo. ¿Cuáles son? 
 
 
39 
 
 
 
11. Haga el DCL de cada bloque de los conjuntos mostrados. 
 
 
 
(Resortes en tensión.) 
 
 
 
(Resorte superior en tensión, inferior en compresión) 
 
 
 
(Resorte izquierdo en compresión, derecho en tensión) 
 
 
 
(Resorte en compresión, cuerda en tensión.) 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. ¿Qué fuerza F es necesaria para mantener a la esferita de masa 6 kg en equilibrio? La esferita descansa 
sobre una superficie cilíndrica lisa. 
 
41 
 
 
 
Resp. 40.22 N. 
 
 
13. La esfera de peso 46 N pende de una varilla rígida ligera y recta, y descansa sobre una superficie lisa. 
Calcular la tensión de la varilla, “K”. 
 
 
 
Resp. K = 33.38 N. 
 
14. La esferilla de peso 50 N se apoya sobre la superficie parabólica. El resorte forma un ángulo de 20° con 
la vertical. Calcular su tensión, así como la normal sobre la esfera. 
 
 
Resp. R = 44.6;   N = 17.3. 
 
15. Calcular las fuerzas normales entre todas las superficies. Pesos: esfera menor, 200 N; esfera mayor, 500 
N. 
42 
 
 
 
Resp. 666.66; 700; 833.33; 666.66. 
 
16. Calcular la tensión del cable y la fuerza normal con el plano inclinado. 
 
 
 
Resp. 29.8; 45.7. 
 
17.  ¿Qué  fuerza  aplicada  (a)  horizontalmente,  (b)  a  lo  largo  del  plano,  es  necesaria  para mantener  al 
bloque en equilibrio? Suponer superficies lisas. 
 
 
 
Resp. 28.3 N; 24.5 N. 
 
18. El peso de la esfera es 300 N, la tensión del resorte es 500 N. Calcular la normal y la fuerza F. 
 
 
 
Resp. 182; 376. 
 
19. Calcular las fuerzas normales sobre la esfera de peso 100 N. El resorte tiene una compresión de 50 N. 
 
 
43 
 
 
Resp. 81.2 N, 111.1 N. 
 
20. Se pasa una cuerda por un anillo liso de peso W. Se aplica al anillo una fuerza horizontal P de modo 
que esté en equilibrio en la configuración mostrada. Calcular la tensión de la cuerda y el valor de la fuerza 
F en términos del peso W. 
 
 
 
Resp. T = 0.732W;   F = 0.268 W. 
 
21. Calcular el peso W que produce el equilibrio en el sistema mostrado. Todas las superficies son  lisas. 
Calcular la reacción en el apoyo de articulación de la polea, supuesta de masa despreciable. 
 
 
 
22. Calcular las tensiones en todas las cuerdas. El peso del bloque es 120 newton. 
 
 
 
Resp. 121.8;   21.1;  138.5;  90.4;   120. 
 
 
23. Un aparato para  levantar pesos consiste de una barra  ligera rígida AB de 100 cm de  largo, que está 
atada al punto C por un cable BC de 60 cm de largo. Un peso de 600 N está suspendido por otro cable en B. 
Calcular las fuerzas en la cuerda BC y la barra AB. 
44 
 
 
 
Resp. 500 N, 300 N. 
 
 
 
Resp. (77.25 N ∠ – 29.52°), (136.45 N ∠ – 119.52°) 
 
 
 
Resp. 4.8 kgf, 3.6 kgf, 6.4 kgf. 
 
24. Un pequeño collarín de peso W, que puede deslizarse a lo largo de un anillo vertical liso, se mantiene 
fijo mediante  una  cuerda  atada  al  punto más  alto  del  anillo.  Calcular  la  reacción  del  anillo  sobre  el 
collarín. 
 
 
Resp. W. 
45 
 
 
25. La barra rígida AD soporta un bloque de 5000 N mediante una polea lisa en D y un cable fijo en C y D. 
Calcular la fuerza en la barra y en el cable CD. 
 
 
 
Resp. T = 4090 N, C = 12100 N. 
 
 
 
 
26. Con los datos m1 = 28 kg, m2 = 22 kg, θ1 = 30° y 
θ2 = 32°, calcular la fuerza F necesaria para mantener el equilibrio de los dos cuerpos.     
 
 
Resp. F = 148.2 N. 
 
 
27. El collarín de peso 20 N es guiado por una barra circular vertical. El resorte tiene constante elástica 
k = 1000 N/m y su elongación es δ = 22 mm. Calcular el ángulo α que forma el resorte con la vertical. 
 
46 
 
 
 
Resp. 25°. 
 
28. Calcular el valor de la masa M para que exista equilibrio en el sistema mostrado. 
 
 
 
Resp. M = 324.7 kg. 
 
29. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
Resp. 344 N; Permanece. 
 
30. Una barra rígida y ligera se acopla mediante pasadores lisos a dos bloques de pesos 50 N y 36 N como 
se muestra  en  la  figura. El  coeficiente de  fricción  entre  los bloques y  la  superficie  es 0.325. Calcular  la 
fuerza P que motivará que el sistema esté a punto de resbalar hacia la derecha.Resp. 57 N. 
 
 
 
31. Para el sistema mostrado, suponer conocidas las cantidades M, m, y θ. ¿Cuánto vale el coeficiente de 
fricción μ si el bloque grande está a punto de resbalar (a) hacia abajo; (b) hacia arriba?