Sem 10 - RM en la circunferencia y cuadriláteros

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Geometría
Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTIProfesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS CUERDAS:
𝐴𝐵 y 𝑃𝑄 son cuerdas 
secantes en un punto 
interior 𝑆.
Teorema adicional:
En el gráfico, 
se cumple:
Demostración:
Demostración:
• Por el teorema del rebote:
𝑚∢𝑃𝐴𝐵 = 𝑚∢𝑃𝑄𝐵 = 𝛼
𝑚∢𝐴𝑃𝑄 = 𝑚∢𝐴𝐵𝑄 = 𝛽
• △𝐴𝑃𝑆 ∼△ 𝑄𝐵𝑆:
𝑎
𝑑
=
𝑐
𝑏
∴ 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑∎
• Completamos la
circunferencia.
• Por el teorema
de las cuerdas:
ℎℎ = 𝑚𝑛
∴ ℎ2 = 𝑚𝑛∎
𝒂𝒃 = 𝒄𝒅
Se cumple:
ℎ2 = 𝑚𝑛
En el gráfico,
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TEOREMA DE LAS SECANTES:
En el gráfico 𝐴𝐵𝐶 y 
𝐴𝑃𝑄 son secantes a la 
circunferencia
Teorema adicional:
𝐴𝐶: Toda la secante.
𝐴𝐵: Parte externa de la secante.
Siendo 𝐴𝐵𝐶𝐷: inscriptible
se cumple:
Prueba:
• Como 𝐴𝐵𝐶𝐷 es inscriptible, por los vértices
se puede trazar una misma circunferencia.
• Por el teorema de las secantes:
∴ 𝑃𝐷 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 𝑃𝐶 ∎
Demostración:
• El cuadrilátero 𝐵𝐶𝑄𝑃
es inscrito, entonces:
𝑚∢𝐴𝑄𝐶 = 𝑚∢𝐴𝐵𝑃 = 𝛼
𝑚∢𝐴𝐶𝑄 = 𝑚∢𝐴𝑃𝐵 = 𝛽
• △ 𝐴𝐶𝑄 ∼△ 𝐴𝑃𝐵:
𝑎
𝑛
=
𝑚
𝑏
∴ 𝑎𝑏 = 𝑚𝑛∎
𝑷𝑨 𝑷𝑫 = 𝑷𝑩 𝑷𝑪
𝒂𝒃 = 𝒎𝒏
se cumple:
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TEOREMA DE LA TANGENTE:
En el gráfico, 𝑇 es 
punto de tangencia.
𝒙𝟐 = 𝒎𝒏
Demostración:
Teorema adicional:
Si 𝑇 y S son 
puntos de 
tangencia
entonces:
Prueba:
• Por el teorema de la tangente en 𝒞1:
∴ 𝑥 = 𝑦∎
𝑥2 = 𝐴𝑃 𝐴𝑄
• Por el teorema de la tangente en 𝒞2:
𝑦2 = 𝐴𝑃 𝐴𝑄
• Por ángulo inscrito:
𝑚෢𝐵𝑇 = 2𝛼
• Sea: 𝑚∢𝐴𝐶𝑇 = 𝛼
• Por ángulo semiinscrito:
𝑚∢𝐴𝑇𝐵 = 𝛼
• Por teo. de semejanza:
∴ 𝑥2 = 𝑚𝑛∎
ി𝐿: eje radical
Se cumple:
𝒙 = 𝒚𝐴𝐶: Toda la secante.
𝐴𝐵: Parte externa de la secante.
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TEOREMA DEL PRODUCTO DE LADOS:
Rayos isogonales:
En el gráfico 𝑅 es el 
circunradio del △ 𝐴𝐵𝐶.
se cumple:
𝒂𝒄 = 𝟐𝑹𝒉
Demostración:
• Por el teo. rebote:• Trazamos el diámetro 𝐵𝐹.
→𝐵𝐹 = 2𝑅
y 𝑚∢𝐹𝐴𝐵 = 90°
𝑚∢𝐴𝐹𝐵 = 𝛼
• Sea: 𝑚∢𝐴𝐶𝐵 = 𝛼
• △ 𝐴𝐵𝐹~△ 𝐻𝐵𝐶:
𝑐
ℎ
=
2𝑅
𝑎
∴ 𝑎𝑐 = 2𝑅ℎ∎
𝐵𝐹 y 𝐵𝐻 son rayos isogonales
respecto del ∢𝐴𝐵𝐶.
En el gráfico: 𝑂𝑃 es la bisectriz del ∢𝐴𝑂𝐵
𝑂𝑀 y 𝑂𝑁 son rayos isogonales del ∢𝐴𝑂𝐵
Por definición:
𝑚∢𝐴𝑂𝑀 = 𝑚∢𝐵𝑂𝑁 = 𝜃
La bisectriz es la autoisogonal del ángulo.
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TEOREMA:
Demostración:
En el gráfico
𝑄, 𝑆 y 𝑇 son 
puntos de 
tangencia
𝑥 = 𝑦
TEOREMA:
Demostración:
En el gráfico
𝑄, 𝑆 y 𝑇 son 
puntos de 
tangencia
𝑥 = 𝑦
• Completando la circunferencia:
• 𝑃´ es simétrico de 𝑃 respecto de 𝐴𝐵.
• Por teorema: 𝑚෢𝐴𝑃 = 𝑚 ෢𝐴𝑃´ = 𝛼
• Por teorema: 𝑆 − 𝑄 − 𝐴
• Por teorema de la tangente: 𝑦2 = 𝐴𝑆 𝐴𝑄
• En el △ 𝐴𝑆𝑃: 𝑥2 = 𝐴𝑆 𝐴𝑄 ∴ 𝑥 = 𝑦∎
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 Teorema de Euler:
En el gráfico
Siendo 𝑀 y 𝑁 puntos 
medios de las 
diagonales 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷
𝐴𝐵𝐶𝐷: cuadrilátero 
convexo
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒅𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 + 𝟒𝒙𝟐
RELACIONES MÉTRICAS EN CUADRILÁTEROS
Prueba: • Por el teorema del cálculo de la mediana en el △ 𝐴𝐵𝐶 y △ 𝐴𝐷𝐶
𝑎2 + 𝑏2 = 2𝑓2 + Τ𝑚2 2
𝑐2 + 𝑑2 = 2𝑔2 + Τ𝑚2 2
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 2 𝑓2 + 𝑔2 +𝑚2
△ 𝐵𝑀𝐷: 𝑓2 + 𝑔2 = 2𝑥2 + Τ𝑛2 2
• Reemplazando: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 2 2𝑥2 + Τ𝑛2 2 +𝑚2
∴ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 4𝑥2 + 𝑛2 +𝑚2∎
Teoremas Adicionales:
𝑃𝑄𝑅𝑆: no convexo
Si 𝑀 y 𝑁 son 
puntos medios 
de 𝑃𝑅 y 𝑄𝑆
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑃𝑅 2 + 𝑄𝑆 2 + 4𝑥2
𝑀𝑁𝐿𝑃: cuadrilátero 
alabeado
Si 𝑀𝐹 = 𝐹𝐿 y 
𝑁𝐺 = 𝐺𝑃
𝑚2 + 𝑛2 + ℓ2 + 𝑞2 = 𝑀𝐿 2 + 𝑁𝑃 2 + 4𝑦2
(Para todo cuadrilátero)
Se cumple:
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Consecuencias del Teorema de Euler:
 En un paralelogramo:
En todo paralelogramo las diagonales se bisecan.
Es decir la distancia entre los puntos medios de 
sus diagonales es cero
Recordar:
𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝑨𝑪 𝟐 + 𝑩𝑫 𝟐
Sea: 𝐴𝐵𝐶𝐷 un paralelogramo
 En un trapecio:
Sea: 𝐴𝐵𝐶𝐷 un trapecio de bases 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶
Siendo 𝑀 y 𝑁
puntos medios 
de 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷
Se cumple:
𝑥 =
𝑑 − 𝑏
2
→ 2𝑥 = 𝑑 − 𝑏 ; elevando al cuadrado
4𝑥2 = 𝑑2 − 2𝑏𝑑 + 𝑏2 → 4𝑥2 + 2𝑏𝑑 = 𝑑2 + 𝑏2
Por Euler: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐷 2 + 4𝑥2
Reemplazando: 𝑎2 + 4𝑥2 + 2𝑏𝑑 + 𝑐2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐷 2 + 4𝑥2
𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒃𝒅 = 𝑨𝑪 𝟐 + 𝑩𝑫 𝟐
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 Teorema de Ptolomeo: En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, el producto de las longitudes de sus
diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus lados opuestos.
 Teorema de Viette:
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, la razón de las longitudes de sus
diagonales es igual a la razón de la suma de los productos de las longitudes de los lados que concurren
a los extremos de cada diagonal respectivamente.
Prueba:
En el gráfico
𝐴𝐵𝐶𝐷: inscrito
Se cumple:
𝒎𝒏 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅
En el gráfico anterior:
𝒎
𝒏
=
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
𝒂𝒃 + 𝒄𝒅
• △ 𝐴𝑆𝐵~△ 𝐷𝐶𝐵:
𝑓
𝑐
=
𝑎
𝑛
→ 𝑓 =
𝑎𝑐
𝑛
• △ 𝑆𝐵𝐶~△ 𝐴𝐵𝐷:
𝑔
𝑑
=
𝑏
𝑛
→ 𝑔 =
𝑏𝑑
𝑛
+
𝑓 + 𝑔 =
𝑎𝑐
𝑛
+
𝑏𝑑
𝑛
• Del gráfico: 𝑓 + 𝑔 = 𝑚
• Reemplazando: 𝑚 =
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑛
∴ 𝑚𝑛 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑∎
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 Teorema:
En el △ 𝐴𝐵𝐶, 𝐼 es incentro y 𝑂 es circuncentro
Si: 𝑚∢𝐴𝐼𝑂 = 90°
Se cumple:
𝟐𝒂 = 𝒃 + 𝒄
𝒙 =
𝒃𝒄
𝟑
Prueba:
• Se construye la
circunferencia circunscrita
al △ 𝐴𝐵𝐶.
• Por teorema de
circunferencia:
• Prolongamos 𝐴𝐼
hasta que corta a la
circunferencia en
𝑀.
𝐼𝑀 = 𝑥
• Por teorema del incentro:
𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 = 𝑥
• Por teorema de Ptolomeo: 𝑎 2𝑥 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 ∴ 2𝑎 = 𝑏 + 𝑐∎
• Por teorema de Viette:
2𝑥
𝑎
=
𝑏𝑐 + 𝑥2
𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
→
2𝑥
𝑎
=
𝑏𝑐 + 𝑥2
𝑥(𝑏 + 𝑐)
• Reemplazando: 2𝑥
𝑎
=
𝑏𝑐 + 𝑥2
𝑥2𝑎
→ 4𝑥
2 = 𝑏𝑐 + 𝑥2 ∴ 𝑥 =
𝑏𝑐
3
∎
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 Teorema de Chadú:
En el gráfico:
El △ 𝐴𝐵𝐶 es equilátero
y 𝑃 es un punto 
cualesquiera de la 
circunferencia 
circunscrita
Se cumple:
𝒙 = 𝒂 + 𝒃
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝓵𝟐
Demostración: • Por Ptolomeo: ℓ𝑥 = 𝑎ℓ + 𝑏ℓ ∴ 𝑥 = 𝑎 + 𝑏∎
• Elevando al cuadrado: 𝑥2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
• Por teorema de cosenos en el △ 𝑃𝐵𝐶:
ℓ2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠120° → ℓ2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏
…………… 𝐼
…………… 𝐼𝐼
• 2 𝐼𝐼 − 𝐼 : 2ℓ2 − 𝑥2 = 2𝑎2 + 2𝑏2 + 2𝑎𝑏 − 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
∴ 2ℓ2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑥2∎
Teorema:
En el gráfico:
𝑃 es un punto de la circunferencia inscrita 
al triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐶.
Se cumple:
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 =
𝟓ℓ𝟐
𝟒
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 Teorema de Marlen: En todo cuadrilátero equiángulo, la suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera a sus
vértices opuestos son iguales.
En el gráfico, 𝑃 es un punto interior 
del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷
En el gráfico, 𝑄 es un 
punto exterior del 
rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷
Se cumple:
Se cumple:
𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒅𝟐
𝒎𝟐 + 𝓵𝟐 = 𝒏𝟐 + 𝒒𝟐
En el gráfico, 𝑆 es un 
punto exterior al plano 
𝐴𝐵𝐶𝐷
Se cumple:
𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒚𝟐 +𝒘𝟐
Prueba: • Por Teo. de las proyecciones en el
△ 𝐴𝐵𝑃: 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑚2 − 𝑛2
△ 𝐶𝐷𝑃: 𝑑2 − 𝑐2 = 𝑚2 − 𝑛2
• Igualando: 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑑2 − 𝑐2
∴ 𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑑2∎
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 Teorema:
En el gráfico, Si 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷
Se cumple: 𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑑2
 Teorema de Arquímedes Faure:
Observación:
El teorema anterior también se cumple si el
cuadrilátero es no convexo de diagonales
perpendiculares.
En el gráfico,
𝐴𝐵𝐶𝐷: cuadrilátero inscritode 
diagonales perpendiculares
Se cumple:
𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑑2 = 4𝑅2
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑤2 = 4𝑅2
Demostración:
• Por ángulo interior:
90° =
𝛼 + 𝛽
2
→ 𝛼 + 𝛽 = 180°
• Trazamos el diámetro 𝐷𝐹:
𝑚෢𝐹𝐴 + 𝛽 = 180°→
→ 𝑚෢𝐹𝐴 = 𝛼
• Se observa: 𝑚෢𝐴𝐹 = 𝑚෢𝐵𝐶 = 𝛼
→ 𝐴𝐹 = 𝐵𝐶 = 𝑏
• Por Pitágoras: 𝑏2 + 𝑑2 = 2𝑅 2
∴ 𝑏2 + 𝑑2 = 4𝑅2∎