GEOMETRIA- SEMANA 18 (PARÁBOLA)

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PARÁBOLA 
 
Si un plano intersecta a una superficie cónica de 
revolución y es paralelo a una de las generatrices 
forma una curva llamada parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El análisis matemático, nos dice que la parábola es 
una curva plana abierta y que se extiende 
indefinidamente. 
 
a) ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Recta Directriz : 'DD 
 Eje focal : 'EE 
 Foco : F 
 Vértice : V 
 Cuerda : AB 
 Cuerda Focal : RS 
 Lado recto : MN 
 
b) ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA 
 
Para la deducción de la ecuación se aplica la condición 
de que cualquier punto de la parábola equidiste del 
foco y de la recta directriz. 
Abiertas se tendrá que el vértice es el punto medio 
del segmento HF . 
Es decir: HV = VF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON LA 
RECTA DIRECTRIZ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PF = PH 
 )py()py()ox( 22  
 4py = x2 
P : PARÁMETRO 
x V (0,0) 
H 
 F 
P(x,y) 
y 
H 
D’ D 
A 
R 
M 
N 
S 
P P 
H 
‘E 
D’ 
D 
B 
E F 
x (0,0) V 
H 
 F 
P(x,y) 
y 
Plano 
G 
G’ 
. CON VÉRTICE EN CUALQUIER PUNTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P = (x – h)2 = 4p(y – k) 
Obs.- 
Si: p > O  se abre hacia arriba 
 p < O  se abre hacia abajo 
 
 
 
 
3. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON LA 
RECTA DIRECTRIZ PARALELA AL EJE Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde: y2 = 4Px 
 
4. CON EL VÉRTICE EN CUALQUIER PUNTO 
 DEL PLANO CARTESIANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P : (y – k)2 = 4p (x – h) 
 Obs.- 
Si : p > O  se abre hacia la derecha 
 p < O  se abre hacia la izquierda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
D 
(0,0) 
D’ H 
y 
V 
P(x,y) 
F 
(h,k) 
x 
D’ 
O 
H V F 
D y 
P(x,y) 
H 
(h,k) 
V F 
D 
(0,0) x 
y 
E’ E 
PROBLEMAS 
1. De la figura, determine la ecuación de la 
parábola. 
 
 
a) x2 = 4Y 
b) x2 = y 
c) x2 = 2y 
d) 4x2 = Y 
 
 
2. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. 
PQ : Lado recto. (PQ = 4p) 
 
 
a) 5 x = y2 
b) y2 = 4x 
c) y2 = 2x 
d) y2 = 
3
x2 
 
3. Del gráfico, calcule la ecuación de la parábola. Si 
ABCD es un cuadrado de 16m2 de área: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (y – 8)2 = -8(x + 4) b) y2 = -8(x -2) 
c) (y – 8)2 = -8(x + 2) d) y2 = -4(x + 4) 
 
5) En la figura, O y F son vértice y foco de la parábola 
¨P¨ respectivamente. Si AO = AF y la distancia del 
punto A al eje focal es 2√2 cm, halle la ecuación de la 
parábola ¨P¨. 
 
a) 𝑦2 = 6x 
b) 𝑦2 = 8x 
c) 𝑦2 = 4x 
d) 𝑦2 = 5x 
 
 
 
 
6) En la figura se muestra un reflector parabólico de 
revolución, la fuente de luz se coloca en el foco. Si el 
reflector tiene un diámetro de 24 cm en el borde y una 
profundidad de 14 cm, ¿a qué distancia del vértice esta 
la fuente de iluminación? 
 
a) 
16
7
 
b) 
18
7
 
c) 
15
7
 
d) 
18
5
 
 
7) Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro 
es el foco de la parábola ¨P¨: 𝑦2 − 12𝑥 − 36 = 0 y pasa 
por el vértice de ésta. 
 
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 9 b) 𝑥2 + 𝑦2 = 3 
c) 𝑥2 + 𝑦2 = 16 d) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 
 
8) En la figura, halle la ecuación de la parábola ¨P¨, 
cuyo vértice es el punto V. 
 
a) y2 = -8(x -2) 
b) x2 = -4(x -2) 
c) x2 = -8(y +2) 
d) x2 = -8(y -2) 
 
 
 
 
x 
Q 
2p 
p 
y 
2p 
O 
 
P 
B 
A D 
C 
F 
y Directriz 
x 
x 
P 
 F 
(4,4) 
y 
9) En la figura, el puente colgante de 240 m de ancho, 
tiene trayectoria de una parábola sostenida por dos 
torres de igual altura si la directriz de dicha parábola 
se encuentra en la superficie terrestre y el punto más 
bajo de la parábola, esta a 30 m de la superficie 
terrestre, hallar la alturas de las torres. 
 
a) 120m b) 130m c) 150m d) 160m 
 
10) En la figura, el ancho de la antena parabólica 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
mide 32m, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ esta a 12m del vértice, hallar el lado 
recto de la parábola. 
 
A) 4.5 m 
B) 5 m 
C) 6 m 
D) 7 m 
 
11) La sección transversal de un túnel tiene la forma 
de un arco parabólico, su altura máxima mide 20m y 
el ancho de la base mide 36m. Halle la longitud de la 
altura cuando el ancho mide 18m. 
a) 12m b) 17m c) 16m d) 15m 
12) Una parábola contiene al punto R(– 1,– 2), su lado recto 
tiene como longitud 4 m, su eje focal es paralelo al eje X y su 
vértice cuya ordenada es positiva pertenece a la recta x – 3 = 0. 
Halle la ecuación de la parábola. 
A) ((𝑦 − 6)2 = 4(x – 3) B) (𝑦 + 6)2 = – 4(x – 3) 
C) (𝑥 − 2)2 = – 4(y – 2) D) (𝑦 − 2)2 = – 4(x – 3) 
 
13) El agua que fluye de un grifo horizontal que está a 25 m 
del piso, describe una curva parabólica con vértice en el 
grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se ha alejado 10 m 
de la recta vertical que pasa por el grifo, halle a qué 
distancia de esta recta vertical tocará el agua el suelo. 
A) 20 m B) 25 m C) 26 m D) 21 m 
14) En la figura, 𝐶𝑀̅̅̅̅̅ es el lado recto de la parábola P de 
vértice V (1,0) y el área de la región sombreada es 9/8 𝑚2 . 
Halle la ecuación de la parábola. 
a) 𝑦2 = 3(x-1) 
b) (𝑥 − 1)2 = 3y 
c) (𝑥 − 1)2 = 2y 
d) (𝑦 − 1)2 = 3x 
 
15) En la figura, 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ es diámetro, A y V son puntos de 
tangencia y el área del semicírculo es 50. Si el eje X es 
directriz de la parábola ¨P¨ y 2AB = 3AO, halle la ecuación 
de dicha parábola. 
a) (𝑥 + 2)2 = 24(y+6) 
b) (𝑥 − 2)2 = -12(y+6) 
c) (𝑦 − 6)2 = -12(x-2) 
d) (𝑥 − 2)2 = 24(y-6) 
 
 
16) Un arco parabólico tiene 18 m de altura y 24 m de 
ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la 
parábola. Halle la altura donde la parábola tiene un 
ancho de 16 m. 
A) 14 m B) 9 m C) 12 m D) 10 m 
 
17) Una parábola cuya ecuación es y2 = 20x, pasa por 
el punto M de abscisa igual a 7. Halle el radio focal del 
punto M. 
A) 10 m B) 12 m C) 8 m D) 9 m 
18) Halle la ecuación de una circunferencia que tiene 
por diámetro el lado recto de la parábola cuya ecuación 
es 𝑦2 = 16x. 
a) (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 8 b) (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 25 
c) 𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = 32 d) (𝑥 − 4)2 + 𝑦2 = 64 
 19) En la figura, F y V son foco y vértice de la parábola 
P: Si VO = 10 m y ON = 12 m, halle la ecuación de la 
parábola. 
a) (𝑥 − 10)2 = 25y/6 
b) (𝑥 + 5)2 = 15y/2 
c) (𝑥 − 10)2 = 25y/3 
d) (𝑥 − 5)2 = 25y/3 
 
 
 
20) Se tiene una parábola P : y = 𝑥2 , en la cual se traza la 
recta L paralela a L1 : y = 2x – 7, y que pasa por el punto 
(0,3). Halle la longitud del segmento que tiene como 
extremos los puntos de intersección de L y P: 
 
a) 4√2 b) 5√2 c) 4√5 d) 3√2 
 
21) Una pelota describe una curva parabólica alrededor 
de un punto F, siendo este el foco de la parábola. Cuando 
la pelota está a 10 m de F, el segmento de recta de F a la 
pelota hace un ángulo de 60° con el eje de la parábola. 
Halle la ecuación de la parábola. 
 
a) 𝑦2 = 10x b) 𝑦2 = 4x c) 𝑦2 = 10𝑥2 d) 𝑦2 = 5x 
 
22) Calcular el parámetro de la siguiente parábola. 
Sabiendo que pasa por : A(8 , -12) 
P : x2 = 4py 
 
b) 1/3 
c) –4/3 
d) 8/3 
e) 4/3 
 
23) Determine el perámetro de la parábola mostrada en la 
figura, siendo F(foco), V(vértice). 
 
a) - 2 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
 
 
24) Según la figura VO = 5 , el punto “V” es el vértice y el 
punto “F” es el foco. Hallar la ecuación de la parábola. 
 
a) (x + 2)2 = 4(y + 1) 
b) (x + 1)2 = 4(y + 2) 
c) (x + 2)2 = 4y 
d) x2 = 4(y + 2) 
 
y x 
A 
P : x
2
 = 4py 
F V H 
x 
 
y 
V 
O 
x 
y 
F