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Clase 1
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo I
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 1
Las matrices juegan un papel fundamental en el estudio del Álgebra Lineal, es por ello que
dedicaremos un caṕıtulo entero a su estudio y su relación con los sistemas de ecuaciones lineales. Nos
centraremos primero en el estudio de las matrices en śı, las operaciones con éstas y sus propiedades,
para finalmente pasearnos por la relación que tienen las matrices con el estudio y la resolución de
los sistemas de ecuaciones lineales, herramienta que usaremos a lo largo de todo el curso.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 1
Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
Clase 1:
-Matrices
-Tipos de Matrices
-Operaciones con Matrices: Suma y Multiplicación por Escalar
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 1
Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
Matrices
Tipos de Matrices
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 1
Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
DEFINICIÓN (Matriz)
Sean m,n ∈ Z+. Una matriz real A de orden m por n (m × n) es un arreglo bidimensional de
números reales dispuestos en m filas y n columnas como sigue
A = (aij)m×n =

a1,1 a1,2 · · · a1n
a2,1 a2,2 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
 =

a1,1 a1,2 · · · a1n
a2,1 a2,2 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn

donde aij ∈ R para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}, el cual es llamado componente
ij-ésima de A.
Para cada i ∈ {1, . . . ,m} la i-ésima fila de A la denotaremos por A(i) y está dada por
A(i) =
[
ai1 ai2 · · · ain
]
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Clase 1
Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
DEFINICIÓN (Matriz)
Para cada j ∈ {1, . . . , n} la j-ésima columna de A la denotaremos por A(j) y está dada por
A
(j)
=

a1j
a2j
.
.
.
amj

Cuando m = n, diremos que A es una matriz cuadrada de orden n, en este caso, las componentes
a1,1, a2,2, . . . , ann, forman lo que llamaremos diagonal principal de A.
Cuando m = 1, diremos que A es una matriz fila y cuando n = 1, diremos que A es una matriz
columna.
La notación A = (aij)m×n, significa que A es la matriz de orden m×n cuya ij-ésima componente
es aij para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.
El conjunto formado por todas las matrices reales de orden m× n lo denotaremos por Mm×n(R).
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
OBSERVACIÓN
1 Cuando pueda haber error a confusión, entonces usaremos una coma entre los sub́ındices, por
ejemplo a2,5 en lugar de a25, cuando en la matriz A nos refiramos a la componente en la fila
2 y columna 5.
2 Podemos considerar matrices sobre un campo K, por ejemplo
K = C, en lugar de matrices reales, en cuyo caso las componentes de las matrices son
elementos de K. La notación para el conjunto de todas las matrices de orden m× n sobre K,
análogo al caso real, es Mm×n(K).
3 Se debe tener cuidado cuando se usa la notación (aij)m×n, el cambio de ı́ndices no significa
que se trata de otra matriz, los ı́ndices son “mudos”, esto es
(aij)m×n = (akr)m×n = (apq)m×n = (aji)m×n
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
Vamos a ilustrar algunos de los conceptos dados en la definición de matriz.
A =

a1,1 · · · a1j · · · a1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1 · · · aij · · · ain
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 · · · amj · · · amn

← i-ésima fila de A
↑j-ésima columna de A
A =

a1,1 a1,2 · · · a1n
ai1 a2,2 · · · ain
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
an1 an2 · · · ann

← matriz cuadrada (de orden n)
↖diagonal principal de A
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Matrices)
1 A =

√
3 π −4
4 0,001 36
12 45 0
−9 −18 −0,0215
 es una matriz real de orden 4 × 3, las componentes
1, 1 y 4, 3 de A son, respectivamente, a1,1 =
√
3 y a4,3 = −0,0215, la fila 3 de A es
A(3) =
[
12 45 0
]
y la columna 2 de A es A(2) =

π
0,001
4
5
−18
 �
2 B =

−π 5 0 33
45 −e 327 1
√
12 −0,0125 15 101
0 −6 14 67
 es una matriz cuadrada real de orden 4, las com-
ponentes de la diagonal principal de A son a1,1 = −π, a2,2 = −e, a3,3 = 15, a4,4 = 67 .
�
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Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Matriz identidad)
La matriz In = (δij)n×n, donde, para cada i, j ∈ {1, . . . , n},
δij =
 1 si i = j0 si i 6= j
es llamada matriz identidad de orden n, esto es,
In =

1 0 · · · 0
0 1
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . . 0
0 · · · 0 1

n×n
La función δij , que define la componente ij de la matriz identidad, es llamada función delta de
Kronecker (Es llamada aśı en honor al matemático alemán Leopold Kronecker).
�
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Matriz nula)
La matriz 0/m×n = (ξij)m×n, donde ξij = 0 para cada i ∈ {1, . . . ,m} y para cada j ∈
{1, . . . , n}, es llamada matriz nula de orden m× n, es decir,
0/m×n =

0 · · · 0
.
.
.
.
.
.
0 · · · 0

m×n
Cuando m = n, sólo escribiremos 0/n en lugar de 0/n×n, es decir,
0/n =

0 · · · 0
.
.
.
. . .
.
.
.
0 · · · 0

n×n
�
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
DEFINICIÓN (Matrices tirangulares, diagonales y escalares)
Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que A = (aij)n×n es
1 Triangular superior si aij = 0 para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n} con i > j.
2 Triangular inferior si aij = 0 para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n} con i < j.
3 Diagonal si aij = 0 para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n} con i 6= j, es decir, A es triangular
superior e inferior simultáneamente.
4 Escalar si es diagonal y además existe λ ∈ R tal que aii = λ para cada i ∈ {1, . . . , n}.
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
OBSERVACIÓN
1 Cualquier matriz que sea triangular superior o inferior es llamada matriz triangular.
2 Una matriz cuadrada es triangular superior (respectivamente inferior) si y sólo si todas sus
componentes bajo (respectivamente sobre) la diagonal principal son iguales a cero.
3 Cuando A ∈ Mn×n(R) es diagonal y las componentes en la diagonal principal son
λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, escribiremos A = diag(λ1, λ2, . . . , λn).
4 Note que la matriz identidad In es una matriz escalar, más adelante veremnos la relación entre
toda matris escalar de orden n y la matriz identidad In.
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Matrices triangulares)
1 Para cada n ∈ Z+, In y 0/n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y consecuente-
mente triangulares superior e inferior. �
2 A =

−e ln(7) 4 0
0 −5 10114
0 0 0 0,0003
0 0 0 π
 es triangular superior pero no inferior. �
3 A =

− ln(4) 0 0 0
1 27 0 0
0 cos(π/8) 0 0
7 −1 3, 07 19
 es triangular inferior pero no superior.
�
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Matrices diagonal y escalar)
1 A =

12 0 0 0
0 7 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −29
 es diagonal, por lo tanto es posible escribir, de manera más
práctica, A = diag(12, 7, 0,−29). �
2 A =

tan(3) 0 0 0
0 tan(3) 0 0
0 0 tan(3) 0
0 0 0 tan(3)
 es escalar, aśı que podemos escribir A =
diag(tan(3), tan(3), tan(3), tan(3)). �
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
DEFINICIÓN (Igualdad de matrices)
SeanA,B ∈ Mm×n(R). Diremos queA yB son matrices iguales, lo cual denotaremos porA = B,
si la componente ij-ésima de A es igual a la componente ij-ésima de B para cada i ∈ {1, . . . ,m}
y cada j ∈ {1, . . . , n}, es decir, si A = (aij)m×n y B = (bij)m×n, diremos que A y B son
iguales si aij = bij para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.
OBSERVACIÓN
Nótese que para que dos matrices sean iguales, en primer lugar, deben ser del mismo orden. En
algunos textos, cuando dos matrices no son del mismo orden, simplemente se dice que no son
comparables.
EJEMPLO (Igualdad de matrices)
Si A =
 9 −5 x
7 0 −1
; B =

9 7
−5 0
x −1
 y C =

9 y
−5 0
11 −1
, entonces A 6= B
pues ni siquiera son del mismo orden (o simplemente A y B no son comparables) y además B = C
si y sólo si x = 11 e y = 7. �
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TEOREMA (Igualdad de matrices)
Sean A,B ∈ Mm×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes
1 A = B.
2 A(i) = B(i) para cada i ∈ {1, . . . ,m}.
3 A(j) = B(j) para cada j ∈ {1, . . . , n}.
Demostración.
¡Ejercicio!
DEFINICIÓN (Submatriz)
Dada una matriz A ∈ Mm×n(R), cualquier matriz que se obtiene al eliminar ciertas filas o columnas
de A es llamada submatriz de A.
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Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Submatrices)
Las matrices
A1 =

2 −1 3 4
0 3 2 7
7 −5 9 −3
 y A2 =

2 −1 4 −5
0 3 7 6
−4 8 5 2
7 −5 −3 0

son submatrices de la matriz
A =

2 −1 0 3 4 −5
0 3 −1 2 7 6
−4 8 2 −11 5 2
7 −5 12 9 −3 0

para obtener A1 se eliminaron la fila 3 y las columnas 3 y 6; A2 se abtuvo eliminando las columnas
3 y 4. De algunos otros ejemplos.
�
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Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
Suma de Matrices y
Multiplicación por Escalar
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Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
DEFINICIÓN (Suma de matrices)
Sean A,B ∈ Mm×n(R), con A = (aij)m×n y B = (bij)m×n. Definiremos la matriz suma de
A con B como la matriz A+B ∈ Mm×n(R) cuya ij-ésima componente viene dada por aij + bij
para cualesquiera i ∈ {1, . . . ,m} y j ∈ {1, . . . , n}, esto es, si A + B = C = (cij)m×n,
entonces cij = aij + bij para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.
OBSERVACIÓN
Para poder sumar dos matrices éstas deben ser del mismo orden.
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Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Suma de matrices)
Si A =

4 −9 0 8
−7 3 5 −12
1 0 −6 2
 y B =

−3 9 5 −4
1 −13 3 9
10 4 7 11
, entonces
A+ B =

4 −9 0 8
−7 3 5 −12
1 0 −6 2
 +

−3 9 5 −4
1 −13 3 9
10 4 7 11

=

4 + (−3) −9 + 9 0 + 5 8 + (−4)
−7 + 1 3 + (−13) 5 + 3 −12 + 9
1 + 10 0 + 4 −6 + 7 2 + 11

=

1 0 5 4
−6 −10 8 −3
11 4 1 13

�
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Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
DEFINICIÓN (Multiplicación por escalar)
Sean A ∈ Mm×n(R) y α ∈ R (α es llamado escalar), con A = (aij)m×n. Definiremos la
multiplicación de α por A ( multiplicación por escalar) como la matriz α · A o simplemente αA
cuya ij-ésima componente es αaij para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}, esto es, si
αA = B = (bij)m×n, entonces bij = αaij para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.
OBSERVACIÓN
1 La notación de multiplicación por escalar es α · A o αA y no A · α ni Aα, se debe colocar
primero el escalar luego la matriz.
2 Toda matriz escalar de orden n es un múltiplo escalar de In, más aún, se puede probar que
A ∈ Mn×n(R) es una matriz escalar si y sólo si existe λ ∈ R tal que A = λIn.
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Matrices. Tipos de Matrices
Suma de Matrices y Multiplicación por Escalar
EJEMPLO (Multiplicación por escalar)
Sea A la matriz del ejemplo anterior, entonces
2 · A = 2 ·

4 −9 0 8
−7 3 5 −12
1 0 −6 2

=

2 · 4 2(−9) 2 · 0 2 · 8
2(−7) 2 · 3 2 · 5 2(−12)
2 · 1 2 · 0 2(−6) 2 · 2

=

8 −18 0 16
−14 6 10 −24
2 0 −12 4

�
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