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Clase 4
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo I
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 4
Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 4:
-Sistemas de Ecuaciones Lineales
-Representación Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales
-Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 4
Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones
Lineales y su
Representación Matricial
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 4
Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
La presente sección está muy relacionada con las OEF y las matrices, y es, quizás, junto con la
sección anterior, la más importante del presente caṕıtulo.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 4
Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas, donde m,n ∈ Z+, es un
conjunto de m ecuaciones de la forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(1)
donde x1, x2, . . . , xn son las incógnitas del sistema (1) y toman valores en R; aij ∈ R son números
fijos para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n} y los llamaremos coeficientes del sistema
(1) y b1, b2, . . . , bm ∈ R son fijos y son los términos independientes del sistema (1).
Si b1 = b2 = · · · = bm = 0, diremos que el sistema (1) es homogéneo, en caso contrario diremos
que es no homogéneo.
Cuando m = n, se dice que el sistema (1) es un sistema cuadrado.
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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
Si hacemos
A = (aij)m×n =

a1,1 a1,2 · · · a1n
a2,1 a2,2 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
 ; b =

b1
b2
.
.
.
bm
 y x =

x1
x2
.
.
.
xn
 ,
el sistema (1) equivale a la ecuación matricial Ax = b (¡verif́ıquelo!), que llamaremos representa-
ción matricial del sistema (1). La matriz A es llamada matriz de coeficientes o matriz del sistema
(1), x es la matriz incógnita o matriz de incógnitas del sistema (1) y b es la matriz de términos
independientes del sistema (1). Finalmente, la matriz siguiente es llamada matriz ampliada del
sistema (1)
[A|b] =

a1,1 a1,2 · · · a1n b1
a2,1 a2,2 · · · a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn bm

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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
El sistema 
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
(2)
es llamado sistema homogéneo asociado al sistema (1).
Diremos que s1, s2, . . . , sn es una solución del sistema (1) si al sustituir x1 = s1, x2 =
s2, . . . , xn = sn en (1), las igualdades son satisfechas, más propiamente hablando, diremos que
s =

s1
s2
.
.
.
sn
 es solución del sistema (1) si As = b.
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
Se dice que el sistema (1) es
Inconsistente si no tiene solución alguna.
Consistente si tiene al menos una solución. Cuando tiene una única solución, se dice que es
consistente determinado. Si tiene más de una solución, se dice que es consistente indetermi-
nado.
OBSERVACIÓN
1 En general, no haremos diferencia al referirnos al sistema y a su representación matricial.
2 Todo sistema homogéneo Ax = 0/m×1 es consistente, x = 0/n×1 es solución de éste, la cual
es llamada solución trivial.
3 Es claro si A ∈ Mm×n(R) y x =

x1
x2
.
.
.
xn
 ∈ Mn×1(R), entonces
Ax = x1A
(1)
+ x2A
(2)
+ · · ·+ xnA(n)
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
EJEMPLO (Sistema lineal no cuadrado ni homogéneo) 3x1 +2x2 −6x3 = 0−x1 +5x2 −7x3 = 4
es un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y tres incógnitas, es no homogéneo, su
representación matricial es
 3 2 −6
−1 5 −7


x1
x2
x3
 =
 0
4

La matrices del sistema, ampliada del sistema, de incógnitas y de términos independientes son,
respectivamente
 3 2 −6
−1 5 −7
 ;
 3 2 −6 0
−1 5 −7 4
 ;

x1
x2
x3
 y
 0
4

�
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
EJEMPLO (Sistema lineal cuadrado no homogéneo)
6x −2y +9z = 1
−5x +12y −3z = −2
x +6z = 6
es un sistema de ecuaciones lineales cuadrado con tres ecuaciones y tres incógnitas, es no homogéneo
y su representación matricial es

6 −2 9
−5 12 −3
1 0 6


x
y
z
 =

1
−2
6

El sistema homogéneo asociado a este sistema es
6x −2y +9z = 0
−5x +12y −3z = 0
x +6z = 0
�
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Antes de continuar con el estudio de los sistemas de ecuacuiones lineales, vamos a considerar
un sistema lineal muy sencillo y el cual sabemos resolver, un sistema lineal 2× 2, el procedimiento
que usaremos nos va a permitir hallar un método general para la resolución de un sistema m × n.
Consideremos el siguiente sistema lineal 3x −2y = 114x 8y = 4
En primer lugar nos damos cuenta que la segunda ecuación en este sistema lineal es equivalente
a la escuación
x+ 2y = 1 (¿por que?)
por lo que el sistema dado es equivalente al sistema 3x −2y = 11x +2y = 1
que a su vez puede ser escrito (solamente por estética) como x +2y = 13x −2y = 11
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ahora bien, si la primera ecuación la multiplicamos por −3 y se la sumamos a la segunda,
obtenemos la eacución
0x− 8y = 8
Ya a estas alturas podemos concluir que y = −1 y en consecuencia x = 3, pero continuemos como
si de esto no nos hayamos enterado, recordemos que nuestra intención es dar con un método que
nos permita resolver sistemas más allá de un simple 2 × 2, que ya sabemos resolver. En el último
sistema, reemplacemos la segunda ecuación por la que hemos obtenido anteriormente, obteniendo
un sistema equivalente (¿por qué?) que es x +2y = 1−8y = 8
que a suvez equivale al sistema  x +2y = 1y = −1
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Si la última ecuación la multiplicamos por −2 y se la sumamos a la primera, obtenemos la
ecuación
x+ 0y = 3
y al reemplazar la primera ecuación del sistema por ésta, nos queda el sistema x = 3y = −1
El cual es un sistema equivalente al anterior (¿por qué?). Como vimos, todos los sistemas en este
proceso son equivalentes entre śı, por lo tanto en sistema dado es equivalente a este último que no
es otra cosa que la solución del sistema dado x = 3y = −1
Solución que ya hab́ıamos encontrado antes sin necesidad de tanto trabajo posterior. Para entender
las razones por las que continiuamos el proceso a pesar de haber ya obtenido la solución, vamos a
tratar el problema de otra manera.
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Consideremos la matriz ampliada del sistema dado, esta es 3 −2 11
4 8 4

y calculemos su FERF 3 −2 11
4 8 4
F2 → 14F2→
 3 −2 11
1 2 1

ésta es la matriz ampliada del se-gundo sistema que obtuvimos en
el proceso anterior

F1 ↔ F2→
 1 2 1
3 −2 11
(ésta es la matriz ampliada del tercer sistema que
obtuvimos en el proceso anterior
)
F2 ↔ F2 − 3F1→
 1 2 1
0 −8 8
(ésta es la matriz ampliada del cuarto sistema que
obtuvimos en el proceso anterior
)
F2 ↔ − 18F2→
 1 2 1
0 1 −1
(ésta es la matriz ampliada del quinto sistema que
obtuvimos en el proceso anterior
)
F1 ↔ F1 − 2F1→
 1 0 3
0 1 −1
(ésta es la matriz ampliada del sexto sistema que
obtuvimos en el proceso anterior
)
Obteniendo entonces el mismo resultado que antes.
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Queda claro que éste último es un procedimiento mucho más sencillo que el anterior, a pesar
de que no es más sencillo que el que ya conocemos para resolver sistemas lineales 2 × 2, pero no
perdamos la perspectiva, recordemos que la idea es buscar un método de resolución de un sistema
de ecuaciones m × n, en general y, al parecer, éste último procedimiento nos da el método que
buscábamos. Vamos a dar las bases teóricas que nos permitan formalizar el método antes expuesto.
Básicamente todo el procedimiento anterior se resume en el siguiente teorema que incluso ampĺıa
un poco más el espectro.
TEOREMA (Sistemas lineales equivalentes)
Sean Ax = b y Cx = d las representaciones matriciales de dos sistemas de ecuaciones lineales con
m ecuaciones y n incógnitas. Supongamos que las matrices [A|b] y [C|d] son equivalentes por
filas. Entonces ambos sistemas tienen exáctamente las mismas soluciones o ninguno tiene solución.
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
EJEMPLO (Resolución de sistemas de ecuanciones)
Decidir cuál(es) de los siguientes sistemas son consistentes y cuál(es) no, en caso de serlo, mostrar
su(s) solución(es).
1

2x +y −z = 1
2x −y +5z = 5
−y +3z = 2
2

2x +y −z = 2
x −2y +4z = −3
5x −4y +8z = −9
−y +3z = 2
3

x +y −2z +w = 1
4x +2y +2z = −2
2y −10z +3w = 3
4

x +y −2z +w = 1
4x +2y +2z = −2
2y −10z +4w = 3
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Solución.
1 La matriz ampliada del sistema es
2 1 −1 1
2 −1 5 5
0 −1 3 2

Calculemos su FERF
2 1 −1 1
2 −1 5 5
0 −1 3 2
F1 → 12F1→

1 12 −
1
2
1
2
2 −1 5 5
0 −1 3 2

F2 → F2 − 2F1→

1 12 −
1
2
1
2
0 −2 6 4
0 −1 3 2
F1 → − 12F1→

1 12 −
1
2
1
2
0 1 −3 −2
0 −1 3 2

F1 → F1 − 12F2→
F3 → F3 + F2

1 0 1 32
0 1 −3 −2
0 0 0 0

La última fila de esta última matriz equivale a la ecuación 0 · x + 0 · y + 0 · z = 0, que no
aporta nada a la solución.
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Aśı que el sistema dado es equivalente al sistema x +z = 32y −3z = −2
que a su vez equivale a  x = −z + 32y = 3z − 2
Luego el sistema dado es consistente indeterminado. Haciendo z = α, con α ∈ R, obtenemos
x = −α+
3
2
; y = 3α− 2
En consecuencia la solución del sistema dado viene dada por
x = −α+
3
2
; y = 3α− 2; z = α; con α ∈ R
o bien 
x
y
z
 =

−α + 32
3α −2
α
 = α

−1
3
1
+

3
2
−2
0
 ; con α ∈ R
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 En este caso la matriz ampliada del sistema es
2 1 −1 2
1 −2 4 −3
5 −4 8 −9
0 −1 3 2

Vamos a calcular su FERF
2 1 −1 2
1 −2 4 −3
5 −4 8 −9
0 −1 3 2
F1 ↔ F2→

1 −2 4 −3
2 1 −1 2
5 −4 8 −9
0 −1 3 2

F2 → F2 − 2F1→
F3 → F3 − 5F1

1 −2 4 −3
0 5 −9 8
0 6 −12 6
0 −1 3 2
F2 ↔ F4→

1 −2 4 −3
0 −1 3 2
0 6 −12 6
0 5 −9 8

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
F2 → −F2→

1 −2 4 −3
0 1 −3 −2
0 6 −12 6
0 5 −9 8

F1 → F1 + 2F2→
F3 → F3 − 6F2
F4 → F4 − 5F2

1 0 −2 −7
0 1 −3 −2
0 0 6 18
0 0 6 18

F3 → 16F3→

1 0 −2 −7
0 1 −3 −2
0 0 1 3
0 0 6 18

F1 → F1 + 2F3→
F2 → F2 + 3F3
F4 → F4 − 6F3

1 0 0 −1
0 1 0 7
0 0 1 3
0 0 0 0

Luego, el sistema dado, es equivalente al sistema

x = −1
y = 7
z = 3
Por lo tanto el sistema es consistente determinado y su solución es
x = −1; y = 7; z = 3
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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
o bien 
x
y
z
 =

−1
7
3

3 Calculemos la FERF de la matriz ampliada del sistema que es
1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 3 3


1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 3 3
F2 → F2 − 4F1→

1 1 −2 1 1
0 −2 10 −4 −6
0 2 −10 3 3

F2 → − 12F2→

1 1 −2 1 1
0 1 −5 2 3
0 2 −10 3 3
 F1 → F1 − F2→
F3 → F3 − 2F2

1 0 3 −1 −2
0 1 −5 2 3
0 0 0 −1 −3

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
F3 → −F3→

1 0 3 −1 −2
0 1 −5 2 3
0 0 0 1 3
 F1 → F1 + F3→
F2 → F2 − 2F3

1 0 3 0 1
0 1 −5 0 −3
0 0 0 1 3

En consecuencia el sistema dado es equivalente al sistema

x +3z = 1
y −5z = −3
w = 3
o equivalentemente 
x = −3z + 1
y = 5z − 3
w = 3
Por lo tanto el sistema original es consistente indeterminado. Si hacemos z = α, con α ∈ R,
tenemos que la solución del sistema es
x
y
z
w
 =

−3α +1
5α −3
α
3
 = α

−3
5
1
0
+

1
−3
0
3
 ; con α ∈ R
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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
4 Calculemos la FERF de la matriz
1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 4 3
que es la matriz ampliada del sistema
1 1 −2 1 1
4 2 2 0 −2
0 2 −10 4 3
F2 → F2 − 4F1→

1 1 −2 1 1
0 −2 10 −4 −6
0 2 −10 4 3

F3 → F3 + F2→

1 1 −2 1 1
0 −2 10 −4 −6
0 0 0 0 −3

Sin necesidad de llegar a la FERF de la matriz, vemos que la última fila de esta última matriz
equivale a la ecuación
0 · x+ 0 · y + 0 · z + 0 · w = −3
la cual es contradictoria, en consecuencia, el sistema original es inconsistente. �
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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEOREMA (Sistema homogéneo consistente indeterminado)
El sistema homogéneo Ax = 0/m×1, con A ∈ Mm×n(R), tiene infinitas soluciones si m < n,
esto es, si el sistema homogéneo Ax = 0/m×1 tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces es
consistente indeterminado.
Demostración.
¡Ejercicio!
TEOREMA (Combinación de soluciones de un sistema homogéneo)
Sea A ∈ Mm×n(R). Supongamos que x1, x2 ∈ Mn×1(R) son soluciones del sistema homogéneo
Ax = 0/m×1. Entonces, para cada α ∈ R, se tiene que x1 + x2 y αx1 son también soluciones del
sistema.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEOREMA (Solución general de un sistema lineal)
Sean A ∈ Mm×n(R) y b ∈ Mm×1(R). Supongamos que xp es una solución del sistema Ax = b.
Entonces, para cada solución xg del sistema Ax = b, existe una solución xh de Ax = 0/m×1 tal
que xg = xh + xp.
EJERCICIO
Sea A ∈ Mm×n(R). Pruebe que si el sistema Ax = b tiene solución para cada b ∈ Mm×1(R),
entonces m ≤ n.
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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
En el ejemplo que daremos a continuación, se trata de una aplicación de los sistemas de ecuaciones
lineales en la vida real.
EJEMPLO (Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales)
Se quiere construir una urbanización residencial, el arquitecto de la obra debe escoger
combinaciones entre tres diseños de manzanas para la obra. En el primer diseño cada manzana
consta de 18 casas tipo estudio, 15 casas familiares y 3 casas de lujo. Para el segundo diseño la
distribución de las casas es de 12 tipo estudio, 24 familiares y 2 de lujo. El tercer diseño de
manzana consta de 12 casas tipo estudio, 31 casas familiares y 2 de lujo. Elabore un cuadro donde
indique la cantidad de casas tipo estudio, casas familiares y casas de lujo por cada uno de los
diseños de manzana. ¿Es posible diseñar una urbanización residencial que tenga exactamente 84
casas tipo estudio, 210 casas familiares y 14 casas de lujo? Elabore y resuelva un sistema de
ecuaciones lineales, el cual represente el problema planteado, para sustentar su respuesta. Si la
respuesta es afirmativa, ¿hay más de una manera de hacerlo? ¿cuántas?.
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Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Solución.
Tipo de manzana:
Diseño 1 Diseño 2 Diseño 3
Cantidad de
casas tipo:
estudio 18 12 12
familiar 15 24 31
de lujo 3 2 2
Veamos si es posible construir una urbanización con 84 casas tipo estudio, 210 casas familiares y
14 casas de lujo, para ello lo primero que debemos hacer es definir las incógnitas del problema. Sean
x: la cantidad de manzanas en la urbanización con el diseño 1.
y: la cantidad de manzanas en la urbanización con el diseño 2.
z: la cantidad de manzanas en la urbanización con el diseño 3.
Aśı que la cantidad total de casas tipo estudio está dada por 18x + 12y + 12z, la cantidad
total de casas familiares viene dada por 15x + 24y + 31z y la cantidad total de casas de lujo es
3x + 2y + 2z. Dado que la urbanización debe tener exactamente 84 casas tipo estudio, 168 casas
familiares y 14 casas de lujo, entonces obtenemos el sistema
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 4
Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Representación Matricial
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

18x +12y +12z = 84
15x +24y +31z = 210
3x +2y +2z = 14
Aparte de las ecuaciones anteriores, debemos notar que x, y, z ∈ N (¿por qué?). Al resolver el
sistema obtenemos como solución x = 13 z−2,y = −
3
2 z+10 (¡verificarlo!) y dado que x, y, z ∈ N,
se tiene, en primer lugar, que z debe ser tanto múltiplo de 3 como de 2 (¿por qué?), luego z = 6k
con k ∈ N, de donde x = 2k − 2 ≥ 0, y = −9k + 10 ≥ 0, aśı que k = 1 (¿por qué?) y en
consecuencia el sistema obtenido tiene una única solución, a saber x = 0, y = 1 y z = 6, es decir,
la urbanización debe tener en total 7 manzanas, 1 manzana del diseño 2 y 6 manzanas del diseño 3.
Resuelva el problema suponiendo que nos dicen que la urbanización residencial debe tener 252
casas tipo estudio, 504 casas familiares y 42 casas de lujo ¿es posible hacerlo? de ser aśı ¿de cuántas
maneras es posible hacerlo?. �
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