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Clase 6
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo II
Determinantes y Regla de Cramer
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 6
Los determinantes, cronológicamente, aparecen antes que las matrices, de alĺı el nombre que se
les dió a éstas últimas, tratando de indicar que son de donde “nacen” los primeros. Dedicaremos
este caṕıtulo a su estudio, concepto y propiedades, aśı como también a su relación con las matrices
invertibles y su aplicación en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de la
regla de Cramer, al final del caṕıtulo haremos una breve mención a los determinates de las matrices
triangulares por bloques.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 6
Determinantes
Desarollo por Cofactores
Clase 6:
-Determinates
-Desarrollo por Cofactores
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Clase 6
Determinantes
Desarollo por Cofactores
Determinantes y sus
Propiedades
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo II: Determinantes y Regla de Cramer
Clase 6
Determinantes
Desarollo por Cofactores
En esta sección trataremos los determinantes y algunas de sus propiedades, en primer lugar
definiremos los determinantes de orden 2, continuando luego con los determinantes de orden 3, para
finalmente definir los determinantes de orden n y daremos algunas de las principales propiedades
de los determinantes en general.
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
DEFINICIÓN (Determinantes de orden 2)
Sea A =
 a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
 ∈ M2×2(R). Definiremos el determinante de A, como el número real
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣∣ a1,1 a1,2a2,1 a2,2
∣∣∣∣∣∣ = a1,1a2,2 − a1,2a2,1
este tipo de determinante se suele llamar determinante de orden 2.
CONVENCIÓN (Determinante de orden 1)
Vamos a convenir en que si A = [a] es una matriz real de orden 1, entonces det(A) = |A| = a.
EJEMPLO (Determinante de orden 2)
Calcular det(A) para A =
 −6 5
−7 6

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Determinantes
Desarollo por Cofactores
Solución.
det(A) =
∣∣∣∣∣∣ −6 5−7 6
∣∣∣∣∣∣ = (−6)6− 5(−7) = −36 + 35 = −1
�
EJERCICIO
Pruebe que A =
 a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
 ∈ M2×2(R) es invertible si y sólo si
det(A) 6= 0.
Además, si A es invertible, entonces A−1 =
1
det(A)
 a2,2 −a1,2
−a2,1 a1,1
.
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
DEFINICIÓN (Determinantes de orden 3)
Dada la matriz
A =

a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
 ∈ M3×3(R)
Definiremos el determinante de A, denotado por det(A) o |A|, como
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
∣∣∣∣∣∣∣∣
= a1,1
∣∣∣∣∣∣ a2,2 a2,3a3,2 a3,3
∣∣∣∣∣∣− a1,2
∣∣∣∣∣∣ a2,1 a2,3a3,1 a3,3
∣∣∣∣∣∣+ a1,3
∣∣∣∣∣∣ a2,1 a2,2a3,1 a3,2
∣∣∣∣∣∣
este tipo de determinante es llamado determinante de orden 3.
OBSERVACIÓN
Nótese que estamos definiendo el determinante de orden 3 en función de determinantes de orden 2.
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
EJEMPLO (Determinante de orden 3)
Calcular det(A) para A =

2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6

Solución.
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2
∣∣∣∣∣∣ 1 50 6
∣∣∣∣∣∣− (−3)
∣∣∣∣∣∣ −6 5−7 6
∣∣∣∣∣∣+ (−1)
∣∣∣∣∣∣ −6 1−7 0
∣∣∣∣∣∣
= 2(6− 0) + 3(−36 + 35)− (0 + 7) = 2
�
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
OBSERVACIÓN
La siguiente fórmula se conoce como el método de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden
3 y sólo es aplicable a determinantes de orden 3.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 a1,3
↘ ↙
a2,1 a2,2 a2,3
↘↙ ↘↙
a3,1 a3,2 a3,3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a1,1a2,2a3,3 + a2,1a3,2a1,3 + a3,1a1,2a2,3
− a1,3a2,2a3,1 − a2,3a3,2a1,1 − a3,3a1,2a2,1
↘↙ ↘↙
a1,1 a1,2 a1,3
↙ ↘
a2,1 a2,2 a2,3

←
{
no es parte del determinante, es sólo
para ayudar a recordar la fórmula
Puede verificar que la igualdad anterior es cierta. También se puede hacer el cálculo si en lugar de
colocar las dos primeras filas al final, se colocan las dos últimas filas en la parte superior, las dos
primeras columnas a la derecha o las dos últimas columnas a la izquierda.
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
EJEMPLO (Método de Sarrus)
Calculemos el determinante del ejemplo anterior usando el método de Sarrus.
Solución.∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 · 1 · 6 + (−6)0(−1) + (−7)(−3)5− [(−1)1(−7) + 5 · 0 · 2 + 6(−3)(−6)]
2 −3 −1
−6 1 5∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −3 −1
−6 1 5
−7 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 12 + 0 + 105− (7 + 0 + 108) = 2
Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo anterior.
�
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
Desarrollo por Cofactores
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
DEFINICIÓN (Menores de un matriz)
Sea A ∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . . , n} se define la matriz
MAij ∈ M(n−1)×(n−1)(R) como la submatriz de A que se obtiene al eliminar la i-ésima
fila y la j-ésima columna. El determinante de dicha matriz es llamado el ij-ésimo menor de A y lo
denotaremos por mAij , es decir, m
A
ij = det
(
MAij
)
=
∣∣∣MAij∣∣∣.
OBSERVACIÓN
Si en lugar de eliminar una fila y una columna de A, eliminamos r filas y r columnas de A, con
1 ≤ r < n, digamos las filas i1, i2, . . . , ir y las columnas j1, j2, . . . , jr , donde 1 ≤ i1 < i2 <
· · · < ir ≤ n y 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jr ≤ n, la submatriz de A que se obtiene, la denotaremos
por MAIJ , donde I = {i1, i2, . . . , ir} y J = {j1, j2, . . . , jr}. El determinante de dicha submatriz
se denomina IJ-ésimo menor de A y es denotado por mAIJ , esto es, m
A
IJ = det
(
MAIJ
)
=
∣∣∣MAIJ ∣∣∣.
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
EJEMPLO (Menores de una matriz)
Consideremos la matriz
A =

−9 2 −1 4
0 8 −5 7
1 6 3 −6
−4 1 0 3

Calcular MA2,3; M
A
4,2 y M
A
2,2, aśı como también m
A
2,3; m
A
4,2 y m
A
2,2.
Solución.
M
A
2,3 =

−9 2 4
1 6 −6
−4 1 3
 ; MA4,2 =

−9 −1 4
0 −5 7
1 3 −6
 y MA2,2 =

−9 −1 4
1 3 −6
−4 0 3

Además
m
A
2,3 =
∣∣∣MA2,3∣∣∣ = −74; mA4,2 = ∣∣∣MA4,2∣∣∣ = −68 y mA2,2 = ∣∣∣MA2,2∣∣∣ = −54 (¿por qué?)
�
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
Ahora estamos listos para definir los determinantes de orden n. En primer lugar notemos que la
fórmula dada en la definición de determinantes de orden 3 puede ser escrita como
det(A) = |A| = a1,1mA1,1 − a1,2m
A
1,2 + a1,3m
A
1,3
= a1,1(−1)1+1mA1,1 + a1,2(−1)
1+2
m
A
1,2 + a1,3(−1)
1+3
m
A
1,3
= a1,1(−1)1+1 det
(
M
A
1,1
)
+ a1,2(−1)1+2 det
(
M
A
1,2
)
+ a1,3(−1)1+3 det
(
M
A
1,3
)
La idea es generalizar esta fórmula para una matriz A de orden n.
DEFINICIÓN (Determinantes de orden n)
Sea A ∈ Mn×n(R). Definiremos el determinante de A, determinante de orden n, como el número
real
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 · · · a1n
a2,1 a2,2 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∑n
j=1 a1j(−1)
1+j det
(
MA1j
)
=
∑n
j=1 a1j(−1)
1+jmA1j
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
EJEMPLO (Determinante de orden n = 4)
Calcular el determinante de la matriz del ejemplo anterior.
Solución.
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−9 2 −1 4
0 8 −5 7
1 6 3 −6
−4 1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−9)(−1)1+1det
(
M
A
1,1
)
+ 2(−1)1+2 det
(
M
A
1,2
)
+ (−1)(−1)1+3 det
(
M
A
1,3
)
+4(−1)1+4 det
(
M
A
1,4
)
= −9
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 −5 7
6 3 −6
1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣− 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −5 7
1 3 −6
−4 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 8 7
1 6 −6
−4 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
−4
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 8 −5
1 6 3
−4 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
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Determinantes
Desarollo por Cofactores
det(A) = −9(72 + 0 + 30− 21− 0 + 90)− 2(0 + 0− 120 + 84− 0 + 15)
−(0 + 7 + 192 + 168− 0− 24)− 4(0− 5− 96− 120− 0− 0)
= −1539 + 42− 343 + 884 = −956
�
EJEMPLO (Determinante de una matriz tiangular)
Calcular el determinante de la matriz
A =

2 0 0 0 0
12 1 0 0 0
−3 0 −3 0 0
5 −8 7 −1 0
−9 6 −7 0 −6

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Determinantes
Desarollo por Cofactores
Solución. Notemos primero que A es triangular inferior.
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0 0 0
12 1 0 0 0
−3 0 −3 0 0
5 −8 7 −1 0
−9 6 −7 0 −6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2(−1)1+1mA1,1 + 0(−1)
1+2
m
A
1,2 + 0(−1)
1+3
m
A
1,3 + 0(−1)
1+4
m
A
14 + 0(−1)
1+5
m
A
15
= 2(−1)1+1 det
(
M
A
1,1
)
= 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
0 −3 0 0
−8 7 −1 0
6 −7 0 −6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Si hacemos B = det
(
MA1,1
)
, tenemos que
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Desarollo por Cofactores
det(A) = 2 det(B)
= 2
(
1(−1)1+1mB1,1 + 0(−1)
1+2
m
B
1,2 + 0(−1)
1+3
m
B
1,3 + 0(−1)
1+4
m
B
14
)
= 2 · 1(−1)1+1 det
(
M
B
1,1
)
= 2 · 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
−3 0 0
7 −1 0
−7 0 −6
∣∣∣∣∣∣∣∣
Haciendo C = det
(
MB1,1
)
, nos queda
det(A) = 2 · 1 det(C) = 2 · 1
(
−3(−1)1+1mC1,1 + 0(−1)
1+2
m
C
1,2 + 0(−1)
1+3
m
C
1,3
)
= 2 · 1(−3)
∣∣∣∣∣∣ −1 00 −6
∣∣∣∣∣∣ = 2 · 1(−3)[(−1)(−6)− 0 · 0]
= 2 · 1(−3)(−1)(−6) = −36
¡El determinante de A es el producto de las componentes de la diagonal principal! este resultado se
cumple siempre que A es una matriz triangular, superior o inferior, como veremos luego. �
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DEFINICIÓN (Cofactores de una matriz)
Sea A ∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . . , n} definiremos el ij-ésimo cofactor de A como el
número real CAij dado por
C
A
ij = (−1)
i+j
det
(
M
A
ij
)
= (−1)i+jmAij
EJEMPLO (Cofactores de una matriz)
Para la matriz del ejemplo de menores de una matriz, se tiene que
C
A
2,3 = (−1)
2+3
m
A
2,3 = −(−74) = 74
C
A
4,2 = (−1)
4+2
m
A
4,2 = −68
y C
A
2,2 = (−1)
2+2
m
A
2,2 = −54
�
Haciendo uso de los cofactores, podemos escribir
det(A) =
n∑
j=1
a1j(−1)1+j det
(
M
A
1j
)
=
n∑
j=1
a1j(−1)1+jmA1j =
n∑
j=1
a1jC
A
1j
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Desarollo por Cofactores
El primer teorema relevante en el estudio de los determinantes es el siguiente, su demostración
escapa al objetivo del curso, puede revisar el apéndice de demostraciones en la gúıa de clases para
ver una demostración de éste.
TEOREMA (Desarrollo del determinante por medio de filas o columnas)
Si A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R), entonces
1 det(A) =
n∑
j=1
aij(−1)i+j det
(
M
A
ij
)
=
n∑
j=1
aij(−1)i+jmAij =
n∑
j=1
aijC
A
ij para cada
i ∈ {1, . . . , n} (Desarrollo del determinante de A mediante la fila i-ésima).
2 det(A) =
n∑
i=1
aij(−1)i+j det
(
M
A
ij
)
=
n∑
i=1
aij(−1)i+jmAij =
n∑
i=1
aijC
A
ij para cada
j ∈ {1, . . . , n} (Desarrollo del determinante de A mediante la columna j-ésima).
La importancia de éste teorema es que nos permite desarrollar el determinante de una matriz
mediante cualquier fila o columna, en la definición de determinante el desarrollo se hace mediante
la primera fila.
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El teorema a continuación es una consecuencia del teorema precedente.
TEOREMA (Determinante de la Transpuesta)
Si A ∈ Mn×n(R), entonces det
(
AT
)
= det(A).
Demostración.
¡Ejercicio!
Formalicemos el resultado que obtuvimos en uno de los ejemplos previos.
TEOREMA (Determinante de Matrices Triangulares)
Si A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R) es una matriz triangular (superior o inferior), entonces det(A) =
a1,1a2,2 · · · ann.
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