Clase_21

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Matemáticas II
Clase 21: Valores y vectores propios,
determinante (2)
Jorge Rivera
22 de octubre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 222 - 233
1
Agenda
Objetivos de la clase
Aplicaciones
Aplicaciones: encontrar valores propios
2
Objetivos de la clase
• Realizar el cálculo de determinantes para matrices de n × n (regla
usando menores y cofactores).
• Conocer propiedades básicas de los determinantes.
• Conocer aplicaciones de los determinantes al estudio de:
• La invertibilidad de una matriz.
• Solución de un SEL usando determinantes.
• Determinantes y valores propios: polinomio caracteŕıstico de una
matriz.
3
Cálculo de determinantes
• El cálculo de determinantes para matrices de n × n descansa en el
hecho que conocemos el determinante de una matriz de 2× 2: para
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
se tiene que
det(A) = a11 ∗ a22 − a21 ∗ a12.
• La regla que se aplica a matrices de orden superior a 2× 2 se llama
regla de menores y cofactores.
• Lo que sigue ilustra la regla usando menores y cofactores para
encontrar el determinante de la matriz A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ R3×3
4
• Dada A ∈ R3×3 anterior, lo primero es escoger una fila de ella,
digamos, la primera fila: esos elementos definen los cofactores que se
emplearán a continuación.
• Habiendo escogido la primera fila de A para obtener los
cofactores, definamos ahora los menores asociados a esa elección:
• Para el cofactor a11 el menor correspondiente es la submatriz de 2× 2
que se obtiene de A eliminando su primera fila y su primera columna:
a11 −→ A11 =
[
a22 a23
a32 a33
]
• Para el cofactor a12 el menor correspondiente es la submatriz de 2× 2
que se obtiene de A eliminando su primera fila y su segunda columna:
a12 −→ A12 =
[
a21 a23
a31 a33
]
.
• Para el cofactor a13 el menor correspondiente es la submatriz de 2× 2
que se obtiene de A eliminando su primera fila y su tercera columna:
a13 −→ A13 =
[
a21 a22
a31 a32
]
.
5
Ejemplo
Para A =
2 7 53 4 2
1 0 9
, escogiendo la primera fila para definir los
cofactores, los menores correspondientes son:
a11 = 2
menor−→ A11 =
[
4 2
0 9
]
a12 = 7
menor−→ A12 =
[
3 2
1 9
]
a13 = 5
menor−→ A13 =
[
3 4
1 0
]
6
• De manera correspondiente, escogiendo la segunda fila para
definir los cofactores:
A =
2 7 53 4 2
1 0 9

los menores son como sigue:
a21 = 3
menor−→ A21 =
[
7 5
0 9
]
a22 = 4
menor−→ A22 =
[
2 5
1 9
]
a23 = 2
menor−→ A23 =
[
2 7
1 0
]
7
• Finalmente, si escogemos la segunda columna para definir los
cofactores:
A =
2 7 53 4 2
1 0 9

los menores son como sigue:
a12 = 7
menor−→ A12 =
[
3 2
1 9
]
a22 = 4
menor−→ A22 =
[
2 5
1 9
]
a32 = 0
menor−→ A32 =
[
2 5
3 2
]
8
Cálculo del determinante usando menores y cofactores
• Para A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ R3×3, si escogemos la fila i = 1, 2, 3
para obtener los cofactores, los menores correspondientes son las
matrices Ai1,Ai2 y Ai3, las que se obtienen de A eliminando la fila i y las
columnas j = 1, 2, 3 de manera respectiva. Con esto, el determinante de
A es dado por
det(A) = (−1)i+1ai1det(Ai1) + (−1)i+2ai2det(Ai2) + (−1)i+3ai3det(Ai3)
=
3∑
j=1
(−1)i+jaijdet(Aij)
• Si escogemos la columna j = 1, 2, 3, los cofactores son a1j , a2j y a3j , y
los respectivos menores son A1j ,A2j y A3j . Con ellos, el determinante de
A (que debe coincidir con el resultado anterior) es dado por
det(A) =
3∑
i=1
(−1)i+jaijdet(Aij).
9
• De esta manera, si se escoge una fila impar para obtener los cofactores
(es decir, i = 1 o i = 3), el primer término de la sumatoria se multiplica
por 1 (van con +), el segundo por −1 (va con −)y el tercero por 1 (va
con +). En cambio, si uno escoge una fila par, el primer elemento se
multiplica por −1 (va con −), el segundo por 1 (va con +) y el tercero
por −1 (va con −).
• Por otro lado, si se escogen columnas para obtener los cofactores, si
la columna es impar (es decir, j = 1 o j = 3), el primer término de la
sumatoria se multiplica por 1 (van con +), el segundo por −1 (va con
−)y el tercero por 1 (va con +). En cambio, si uno escoge una fila par,
el primer elemento se multiplica por −1 (va con −), el segundo por 1 (va
con +) y el tercero por −1 (va con −).
• Visto de manera resumida: las expresiones de la sumatoria para
obtener el determinante van alternando en signo de modo que si se
elige la fila i para obtener cofactores, la sumatoria comienza con el signo
de (−1)1+i , mientras que si escogemos la columna j , la sumatoria
comienza con el signo de (−1)1+j .
10
Ejemplo
Usando la primera fila para obtener los cofactores, calculemos el
determinante de A =
2 7 53 4 2
1 0 9
.
• En este caso i = 1 y los cofactores son a11 = 2, a12 = 7 y a13 = 5 y los
menores correspondientes son
A11 =
[
4 2
0 9
]
, A12 =
[
3 2
1 9
]
∧ A13 =
[
3 4
1 0
]
.
• Luego, con la elección de i = 1 para obtener cofactores ocurre que el
primer término va con “+” ya que (−1)1+1 = 1, el segundo va con
signo “−” ya que (−1)1+2 = −1 y el tercero va con signo “+” ya que
(−1)1+3 = −1:
det(A) = 2det
[
4 2
0 9
]
− 7det
[
3 2
1 9
]
+ 5 det
[
3 4
1 0
]
= = 2 ∗ (36− 0)− 7 ∗ (27− 2) + 5 ∗ (−4)
= −123. 11
• Si escogemos la segunda fila para obtener los cofactores, i = 2, el
resultado debe coincidir con lo anterior a pesar de que se obtiene usando
otras expresiones.
• Usando la segunda fila, el primer término va con signo “−” ya que
(−1)2+1 = −1, el segundo término va con signo “+” ya que (−1)2+2 = 1
y el tercero va con signo “−” ya que (−1)2+3 = −1:
det(A) = −3det
[
7 5
0 9
]
+ 4 det
[
2 5
1 9
]
− 2det
[
2 7
1 0
]
= −3 ∗ (63) + 4 ∗ (18− 5)− 2 ∗ (0− 7)
= = −123
12
• Por último, si escogemos la segunda columna para obtener los
cofactores, es decir j = 2, se tiene que el primer elemento de la sumatoria
va con signo “−” ya que (−1)1+2 = −1, el segundo elemento de la
sumatoria va con signo “+” ya que (−1)2+2 = 1 y el tercer elemento de
la sumatoria va con signo “−” ya que (−1)3+2 = −1.
• De esta manera, tomando la columna j = 2 para obtener cofactores,
queda:
det(A) = −7 det
[
3 2
1 9
]
+ 4 det
[
2 5
1 9
]
− 0det
[
2 3
5 2
]
= −7 ∗ (27− 4) + 4 ∗ (18− 5)− 0 ∗ (4− 15)
= −123.
13
Ejemplo (determinante de matriz triangular superior)
Calculemos el determinante de A =
a11 a12 a130 a22 a23
0 0 a33
 .
• Conviene escoger la primera columna para definir los cofactores (tiene
muchos ceros). Con eso:
a11 → A11 =
[
a22 a23
0 a33
]
, a21︸︷︷︸
0
→ A21 =
[
a12 a13
0 a33
]
, a31︸︷︷︸
0
→ A31 =
[
a12 a13
a22 a23
]
Luego:
det(A) = a11 ∗ det
[
a22 a23
0 a33
]
− 0 ∗ det(A21)︸ ︷︷ ︸
0
+0 ∗ det(A31)︸ ︷︷ ︸
0
es decir
det(A) = a11 ∗ (a22 ∗ a33 − 0 ∗ a23) = a11 ∗ a22 ∗ a33.
• En resumen: el determinante de una matriz triangular superior es igual
al producto de los elementos de la diagonal, y eso sigue siendo válido
para matrices triangular superior (inferior) de cualquier orden.
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Extensión
• Para matrices de 4× 4 sigue aplicando la regla anterior (menores y
cofactores):
A =

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
 ,
a11 → A11 =
a22 a23 a24a32 a33 a34
a42 a43 a44
 , a12 → A12 =
a21 a23 a24a31 a33 a34
a41 a43 a44
 , etc....
• Usando la primera fila para obtener cofactores, se tiene entonces que
det(A) = a11 ∗ det(A11)− a12 ∗ det(A12)+ a13 ∗ det(A13)− a14 ∗ det(A14).
• El determinante de una matriz de 4× 4 corresponde entonces a calcular
4 determinantes de matrices 3× 3, es decir, 12 determinantes de
matrices de 2× 2.
• Respetando la regla de los signos según se mostró, la extensión a
matrices de n × n es directo.
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Propiedades elementales de los determinantes
No es dif́ıcil probar que se cumple lo siguiente:
(a) Para cualquier par de matrices A,B ∈ Rn×n se tiene que
det(AB) = det(A)det(B) (= det(BA)).
(b) El determinante de la matriz identidad (de cualquier orden) es 1:
para todo n ∈ N se cumple que
det(I n) = 1.
(c) Como consecuencia directade lo anterior, si A es invertible, entonces
det(A−1) =
1
det(A)
.
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Aplicaciones
Invertibilidad de una matriz
• Sabemos que una matriz A ∈ Rn×n es invertible śı y solo śı su
determinante es diferente de cero.
Ejemplo
Establecer condiciones sobre β para que A =
1 β 22 0 1
1 1 1
 sea invertible.
Escogiendo la segunda columna para obtener los cofactores, se tiene que
det(A) = β ∗ det
[
2 1
1 1
]
− 0 ∗ det
[
1 2
1 1
]
+ 1 ∗ det
[
1 2
2 1
]
= β ∗ (2 ∗ 1− 1 ∗ 1)− 0 ∗ (1 ∗ 1− 1 ∗ 2) + 1 ∗ (1 ∗ 1− 2 ∗ 2)
= β − 3
De esta manera, A es invertible cuando β ̸= 3.
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Solución de sistemas de ecuaciones (cuadrados)
• Dadas A ∈ Rn×n y b ∈ Rn, considere el SEL AX = b.
• Lo que sigue supone que A es invertible, de modo que el SEL tiene
solución única.
• Para i = 2, . . . , (n − 1), definamos la matriz (si i = 1 o i = n se
reemplaza la primera o última columna de A por b)
Ai = [A•1 A•2 · · ·A•(i−1) bA•(i+1) · · ·A•n] ∈ Rn×n.
• En otras palabras, la matriz Ai ∈ Rn×n se obtiene reemplazando la
columna A•i por el vector b.
• Se puede demostrar que las componentes del vector (único) que
resuelve el SEL son dadas por:
xi =
det(Ai )
det(A)
, i = 1, 2 . . . , n.
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Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 − x2 = 2
x1 + 2x2 = β.
Se tiene que A =
[
1 −1
1 2
]
y b =
[
2
β
]
. Luego:
A1 =
[
2 −1
β 2
]
∧ A2 =
[
1 2
1 β
]
,
por lo que
x1 =
det(A1)
det(A)
=
4 + β
3
∧ x2 =
det(A2)
det(A)
=
β − 2
3
.
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Aplicaciones: encontrar valores
propios
• Si λ es un valor propio de A ∈ Rn×n es porque existe un vector v ̸= 0n
tal que Av = λv .
• Si I n es la matriz identidad, lo anterior corresponde a decir que
Av = λI nv (recuerde que I nv = v).
• A su vez, lo que está en rojo es equivalente a decir que λ es un valor
propio de A cuando existe v ̸= 0n tal que
(A− λI n)v = 0n.
• Por lo tanto:
λ es un valor propio de A śı y solo śı la matriz (A− λI n) no es
invertible.
• Aśı, por la caracterización de invertibilidad usando determinantes:
λ es un valor propio de A śı y solo śı
det(A− λI n) = 0.
20
Ejemplo
Encontrar los valores propios de A =
[
3 1
1 4
]
. Para el caso, se tiene que:
A− λI 2 =
[
3 1
1 4
]
− λ
[
1 0
0 1
]
=
[
3− λ 1
1 4− λ
]
.
Luego, λ es un valor propio de A cuando
det(A− λI 2) = (3− λ) ∗ (4− λ)− 1 ∗ 1 = 0,
es decir, cuando
λ2 − 7λ+ 11 = 0.
Los valores propios son entonces (resolver la ecuación anterior)
λ1 =
7 +
√
49− 4 ∗ 11
2
=
7 +
√
5
2
∨ λ2 =
7−
√
49− 4 ∗ 11
2
=
7−
√
5
2
.
21
En general, para una matriz A =
[
a11 a12
a21 a22
]
∈ R2×2, sus valores propios
provienen de resolver la ecuación (la incógnita es λ):
det(A− λI 2) = 0 ⇐⇒ det
[
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
]
= 0,
es decir, son las ráıces del siguiente polinomio de segundo grado:
λ2 − (a11 + a22)︸ ︷︷ ︸
tr(A)
λ+ (a11 ∗ a22 − a21 ∗ a12)︸ ︷︷ ︸
det(A)
= 0.
• La expresión
pA(λ) = λ
2 − tr(A)λ+ det(A)
se llama polinomio caracteŕıstico de la matriz A ∈ R2×2.
22
Ejemplo
Mostremos que los valores propios de una matriz triangular superior
(inferior) son los elementos de la diagonal. En efecto, si (caso 3× 3 para
ilustrar)
A =
a11 a12 a130 a22 a23
0 0 a33

entonces
A− λI 3 =
a11 − λ a12 a130 a22 − λ a23
0 0 a33 − λ
 .
• Como el determinante de una matriz triangular superior es el producto
de los elementos de la diagonal, tenemos que
pA(λ) = det(A− λI 3) = (a11 − λ) ∗ (a22 − λ) ∗ (a33 − λ).
• Las ráıces del polinomio caracteŕıstico de A (es decir, donde se hace 0)
son dadas por
λ1 = a11, λ2 = a22 ∧ λ3 = a33.
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Comentarios
• Si la matriz es de 2× 2, el polinomio caracteŕıstico es de grado 2
(segundo grado); si la matriz es de 3× 3, el polinomio caracteŕıstico es
de grado 3 (tercer grado). En general, si la matriz es de n × n, el
polinomio caracteŕıstico es de grado n.
• Una cuestión relevante de lo anterior es que resolviendo la ecuación
pA(λ) = 0 podemos obtener los valores propios sin necesidad de
encontrar vectores propios.
• Obviamente si uno conoce los valores propios de una matriz, entonces
puede encontrar los vectores propios asociados (al menos uno de ellos;
recuerde que los vectores propios asociados a determinado valor propio
conforman un subespacio vectorial): próxima clase...
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	Objetivos de la clase
	Aplicaciones
	Aplicaciones: encontrar valores propios