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Clase 13
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 13 Independencia y Dependencia Lineal
Clase 13:
Independencia y Dependencia Lineal
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 13 Independencia y Dependencia Lineal
Independencia y
Dependencia Lineal
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 13 Independencia y Dependencia Lineal
Uno de los conceptos más importantes en espacios vectoriales, y en el álgebra lineal en general,
es el de independencia lineal, por lo que pedimos se estudie con mucho detenimiento y cuidado la
presente sección. Daremos una variedad de ejemplos para tratar de explicar lo mejor posible dicho
concepto.
Dados un espacio vectorial V y cualesquiera vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V, sabemos que el vector
nulo 0/V = 0v1 + 0v2 + · · · + 0vn, es decir, siempre podemos escribir el vector nulo 0/V como
combinación lineal de cualquier cantidad finita de vectores en V.
Ahora bien, si en M2×3(R) escogemos las matrices A1, A2 y A3 del ejemplo previo, sabemos
que A3 = 2A1 − 3A2 y aśı 0/2×3 = 2A1 − 3A2 − A3.
En conclusión, la forma de expresar al vector nulo como combinación lineal de una cantidad finita
de vectores, no necesariamente es única, pero cuando śı es aśı, estamos en presencia de vectores
linealmente independientes. Tal concepto lo definiremos, formalmente, a continuación.
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Clase 13 Independencia y Dependencia Lineal
Definición 7 (Independencia y dependencia lineal)
Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. Diremos v1, v2, . . . , vn son linealmente inde-
pendientes (l.i.) o que {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto linealmente independiente (c.l.i.) si la
única manera de escribir el vector nulo 0/V, como combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vn,
es aquella en la cual todos los escalares son iguales a cero (0), esto es, si α1v1+α2v2+· · ·+αnvn =
0/V, entonces α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Diremos que v1, v2, . . . , vn son linealmente dependientes (l.d.) o que {v1, v2, . . . , vn}
es un conjunto linealmente dependiente (c.l.d.) si v1, v2, . . . , vn no son linealmente in-
dependientes, es decir, existen escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R, no todos nulos, tales que
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0/V.
Convención 2
El conjunto vaćıo ∅ es un conjunto linealmente independiente.
Ejemplo 12 (Independencia y dependencia lineal)
1 Según el ejemplo dado previamente a la definición 7, se tiene que A1, A2, A3 son linealmente
dependientes. �
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Clase 13 Independencia y Dependencia Lineal
Ejemplo 12 (Independencia y dependencia lineal (continuación))
2 No es dif́ıcil probar que los conjuntos
{1, x, . . . , xn}, {e1, e2, . . . , en} y
{E11, E12, . . . , E1n,E21, E22, . . . , E2n, . . . , Em1, Em2, . . . , Emn}
son linealmente independientes (en sus correspondientes espacios). �
3 Dados un espacio vectorial V y v1, v2, . . . , vn ∈ V, entonces {v1, v2, . . . , vn, 0/V} es lineal-
mente dependiente pues
0/V = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn + 1 0/V
es decir, en un espacio vectorial, cualquier conjunto finito de vectores que contenga al vector
nulo, es linealmente dependiente. �
4 Sea v un vector no nulo en un espacio vectorial V, entonces el conjunto {v} es linealmente
independiente ya que si αv = 0/V y dado que v 6= 0/V, entonces α = 0 (¿por qué?). �
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Clase 13 Independencia y Dependencia Lineal
Antes de dar algún otro ejemplo, debemos hacer notar que para determinar si un conjunto de
vectores {v1, v2, . . . , vn}, en un espacio vectorial V, es linealmente independiente o dependiente,
debemos plantearnos la ecuación α1v1+α2v2+· · ·+αnvn = 0/V, la cual conduce, en general, a un
sistema de ecuaciones homogéneo con n incógnitas, a saber, α1, α2, . . . , αn. Si la solución de este
sistema es única, y en consecuencia α1 = α2 = · · · = αn = 0, entonces {v1, v2, . . . , vn} es un
conjunto linealmente independiente, en caso contrario, {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto linealmente
dependiente.
Ejemplo 13 (Vectores l.d.)
Consideremos los vectores p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) ∈ P2[x] dados en el ejemplo 6. Decidir si
estos vectores son o no linealmente independientes.
Solución. Como se comentó antes del ejemplo, debemos estudiar la ecuación
α1p1(x) + α2p2(x) + α3p3(x) + α4p4(x) = 0 (para todo x ∈ R)
Pero
α1p1(x) + α2p2(x) + α3p3(x) + α4p4(x) = α1(2− x+ 2x2) + α2(2− 2x+ 6x2)
+α3(x− 4x2) + α4(1− 2x+ 3x2)
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α1p1(x) + α2p2(x) + α3p3(x) + α4p4(x) = (2α1 + 2α2 + α4)
+(−α1 − 2α2 + α3 − 2α4)x
+(2α1 + 6α2 − 4α3 + 3α4)x2
Obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo
2α1 +2α2 +α4 = 0
−α1 −2α2 +α3 −2α4 = 0
2α1 +6α2 −4α3 +3α4 = 0
El cual sabemos tiene infinitas soluciones (¿por qué?) y en consecuencia los polinomios p1(x),
p2(x), p3(x) y p4(x) son linealmente dependientes. �
Ejemplo 14 (Vectores l.i.)
Consideremos los polinomios p1(x), p2(x) y p4(x) del ejemplo 13 ¿son linealmente
independientes?
Solución. Como en el ejemplo anterior, debemos plantearnos la ecuación
α1p1(x) + α2p2(x) + α4p4(x) = 0 (para todo x ∈ R) (1)
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Obteniendo el sistema 
2α1 +2α2 +α4 = 0
−α1 −2α2 −2α4 = 0
2α1 +6α2 +3α4 = 0
La matriz de este sistema es 
2 2 1
−1 −2 −2
2 6 3

Calculemos su FERF.
2 2 1
−1 −2 −2
2 6 3
F1 → F1 + F2→

1 0 −1
−1 −2 −2
2 6 3

F2 → F2 + F1→
F3 → F3 − 2F1

1 0 −1
0 −2 −3
0 6 5
F2 → − 12F2→

1 0 −1
0 1 32
0 6 5

F3 → F3 − 6F2→

1 0 −1
0 1 32
0 0 −4
F3 → − 14F3→

1 0 −1
0 1 32
0 0 1

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F1 → F1 + F3→
F2 → F2 − 32F3

1 0 0
0 1 0
0 0 1

De donde
α1 = α2 = α4 = 0.
En consecuencia la ecuación 1 tiene como única solución la trivial y por lo tanto p1(x), p2(x) y
p4(x) son linealmente independientes. �
Ejemplo 15 (Conjunto l.i.)
Consideremos las matrices
A1 =
 5 4
2 −1
 , A2 =
 3 −1
1 3
 y A3 =
 1 −1
−4 5
 .
¿Es {A1, A2, A3} un conjunto linealmente independiente?
Solución. Sean α1, α2, α3 ∈ R tales que α1A1 + α2A2 + α3A3 = 0/2. Entonces 5α1 + 3α2 + α3 4α1 − α2 − α3
2α1 + α2 − 4α3 −α1 + 3α2 + 5α3
 =
 0 0
0 0

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De donde 
5α1 +3α2 +α3 = 0
4α1 −α2 −α3 = 0
2α1 +α2 −4α3 = 0
−α1 +3α2 +5α3 = 0
Resolvamos este sistema. La matriz del sistema es
5 3 1
4 −1 −1
2 1 −4
−1 3 5

Calculemos su FERF.
5 3 1
4 −1 −1
2 1 −4
−1 3 5
F1 → F1 − F2→

1 4 2
4 −1 −1
2 1 −4
−1 3 5

F2 → F2 − 4F1→
F3 → F3 − 2F1
F4 → F4 + F1

1 4 2
0 −17 −9
0 −7 −8
0 7 7
F2 ↔ F4→

1 4 2
0 7 7
0 −7 −8
0 −17 −9

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F2 → 17F2→

1 4 2
0 1 1
0 −7 −8
0 −17 −9

F1 → F1 − 4F2→
F3 → F3 + 7F2
F4 → F4 + 17F2

1 0 −2
0 1 1
0 0 −1
0 0 8

F3 → −F3→

1 0 −2
0 1 1
0 0 1
0 0 8

F1 → F1 + 2F3→
F2 → F2 − F3
F4 → F4 − 8F3

1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0

Por lo tanto α1 = α2 = α3 = 0 y en consecuencia {A1,A2, A3} es un conjunto linealmente
independiente. �
Teorema 9 (Independencia lineal de un par de vectores)
Sean V un espacio vectorial y u, v ∈ V. Los vectores u y v son linealmente dependientes si y sólo
si existe α ∈ R tal que u = αv o v = αu.
Teorema 10 (Dependencia lineal de las columnas de una matriz)
Sea A ∈ Mm×n(R). Las columnas de A, A(1), A(2), . . . , A(n), son linealmente dependientes en
Mm×1(R) si y sólo si el sistema Ax = 0/m×1 tiene soluciones no triviales.
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Como consecuencia del teorema 10 obtenemos el siguiente corolario.
Corolario 11
Sea A ∈ Mn×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.
1 det(A) 6= 0.
2 Las columnas de A, A(1), A(2), . . . , A(n), son linealmente independientes.
3 Las filas de A, A(1), A(2), . . . , A(n), son linealmente independientes.
Demostración.
¡Ejercicio!
Recordemos que det(A) 6= 0 equivale a que A es invertible (¿por qué?), por lo tanto, el corolario
anterior nos da dos nuevas equivalencias acerca de la inversibilidad de una matriz A.
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Teorema 12
Sean A,F ∈ Mm×n(R) tales que F es la FERF de A. Supongamos que j1, j2, . . . , jr ∈
{1, . . . , n} son tales que F (j1), F (j2), . . . , F (jr) son las distintas columnas pivotes de
F . Entonces A(j1), A(j2), . . . , A(jr) son linealmente independientes. Además, para cada
j ∈ {1, . . . , n}, se tiene que
A
(j)
= f1jA
(j1) + f2jA
(j2) + · · ·+ frjA(jr) =
r∑
i=1
fijA
(ji).
Demostración.
Ver el apéndice D en la gúıa de clases.
Observación 8
La última igualdad en el teorema 12 nos muestra, de forma expĺıcita, la expresión para cada co-
lumna de la matriz A, como combinación lineal de aquellas columnas de A que son linealmente
independientes.
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Ejemplo 16
Consideremos la matriz
A =

2 3 3 1 5
−1 −2 −1 −1 −4
1 0 3 2 1
2 4 2 −2 4

Decidir, razonadamente, cuáles de las columnas de A son l.i. y además expresar cada columna de
A como combinación lineal de aquellas que son l.i.
Solución. Vamos a usar el teorema 12 para resolver el problema que se nos plantea. Al calcular
la FERF de A, obtenemos la matriz (¡verif́ıquelo!)
F =

1 0 3 0 −1
0 1 −1 0 2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0

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Ahora bien, en virtud de dicho teorema, dado que los pivotes en F se encuentran en las columnas
1, 2 y 4, se tiene que las columnas 1, 2 y 4 son linealmente independientes, es decir, A(1), A(2) y
A(4) son l.i., además, usando de nuevo el mismo teorema, podemos garantizar que
A
(3)
= 3A
(1) − 1A(2) + 0A(4)
y
A
(5)
= −1A(1) + 2A(2) + 1A(4)
note que, para efectos de tal teorema, en este ejemplo en particular, tenemos que r = 3 (la cantidad
de columnas pivotes de F ) y j1 = 1, j2 = 2 y j3 = 4 (las posiciones de las columnas pivotes de
F ) �
Teorema 13
Sean {v1, v2, . . . , vn} un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V y u ∈ V
tal que u /∈ span({v1, v2, . . . , vn}). Entonces {v1, v2, . . . , vn, u} es linealmente independiente.
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Ejemplo 17
Consideremos la matriz A del ejemplo anterior. Sabemos que A(1), A(2) y A(4) son l.i.
Además, sin mucha dificultad, el lector puede verificar que la matriz B =

5
−4
0
4
 es tal
que B /∈ span
({
A(1), A(2), A(4)
})
. Por lo tanto, en virtud del teorema 13, se tiene que{
A(1), A(2), A(4), B
}
es también l.i. �
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