Ejemplo4-12 Algebra

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Ejemplo 4.12:
Comprobar que la matriz
A =

−1 −2 2
1 1 2
1 0 2
1 1 2

tiene columnas invertibles y calcular una factorización QR para ésta.
Solución:
Dado que ∣∣∣∣∣∣
−1 −2 2
1 1 2
1 0 2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
−2 −2 2
0 1 2
0 0 2
∣∣∣∣∣∣ = −4 6= 0,
entonces las columnas de A son linealmente independientes y por lo tanto, según el teorema
4.8, existen matrices Q, con columnas ortonormales, y R, triangular superior e invertible,
tales que A = QR. Calculemos tales matrices. Definamos v1 = A
(1), v2 = A
(2), v3 = A
(3) y
apliquemos el proceso de ortonormalización de G-S para calcular los vectores ortonormales
u1, u2 y u3 a partir de las columnas de A.
w1 = v1, ‖w1‖ = ‖v1‖ =
√
1 + 1 + 1 + 1 = 2,
u1 =
1
‖w1‖
w1 =
1
2
v1 =
1
2

−1
1
1
1
 =

−1/2
1/2
1/2
1/2

〈v2 , u1〉 =
1
2
(2 + 1 + 0 + 1) = 2, 〈v2 , u1〉u1 = 2
1
2

−1
1
1
1
 =

−1
1
1
1
 = v1
w2 = v2 − 〈v2 , u1〉u1 = v2 − v1 =

−2
1
0
1
−

−1
1
1
1
 =

−1
0
−1
0

‖w2‖ =
√
1 + 0 + 1 + 0 =
√
2, u2 =
1
‖w2‖
w2 =
1√
2

−1
0
−1
0
 =

−1/
√
2
0
−1/
√
2
0

〈v3 , u1〉 =
1
2
(−2 + 2 + 2 + 2) = 2, 〈v3 , u2〉 =
1√
2
(−2 + 0− 2 + 0) = − 4√
2
〈v3 , u1〉u1 + 〈v3 , u2〉u2 = 2
1
2

−1
1
1
1
− 4√2 1√2

−1
0
−1
0
 =

−1
1
1
1
+

2
0
2
0
 =

1
1
3
1

2
w3 = v3 − (〈v3 , u1〉u1 + 〈v3 , u2〉u2) =

2
2
2
2
−

1
1
3
1
 =

1
1
−1
1

‖w3‖ =
√
1 + 1 + 1 + 1 = 2, u3 =
1
‖w3‖
w3 =
1
2

1
1
−1
1
 =

1/2
1/2
−1/2
1/2

Por lo tanto
Q =
[
u1 u2 u3
]
=

−1/2 −1/
√
2 1/2
1/2 0 1/2
1/2 −1/
√
2 −1/2
1/2 0 1/2
 = 12

−1 −
√
2 1
1 0 1
1 −
√
2 −1
1 0 1
 y
R =
 〈u1 , v1〉 〈u1 , v2〉 〈u1 , v3〉0 〈u2 , v2〉 〈u2 , v3〉
0 0 〈u3 , v3〉
 =
 ‖w1‖ 〈u1 , v2〉 〈u1 , v3〉0 ‖w2‖ 〈u2 , v3〉
0 0 ‖w3‖

=
 2 2 20 √2 − 4√
2
0 0 2
 =
 2 2 20 √2 −2√2
0 0 2

son tales que A = QR (¡verif́ıquelo!).