cuadrilateros definicion

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CUADRILÁTEROS
DEFINICIÓN
ELEMENTOS BÁSICOS
Un cuadrilátero es un polígono cerrado compuesto por cuatro lados.
Son los mismos que en un polígono cualquiera, excepto el triángulo, ya que un triángulo no tiene
diagonales.
Nomenclatura del cuadrilátero
Los vértices deben designarse con letras mayúsculas y los lados con minúsculas, en sentido circular,
mejor en sentido contrario a las agujas del reloj. El lado siguiente a un vértice se nombra con la misma
letra que éste. Date cuenta de que en un cuadrilátero no hay un lado opuesto a un vértice, sino lados y
vértices opuestos entre sí.
DEFORMABILIDAD DE UN CUADRILÁTERO
Imaginemos unas varillas planas metálicas, rígidas, con agujeros en los extremos para formar figuras,
como en un mecano.
Si tomamos, por ejemplo, cuatro de diferentes tamaños y las unimos, obtenemos un cuadrilátero. Pero
estirando o apretando en los vértices podemos conseguir muchos cuadriláteros diferentes. A esta
figura la llamamos .deformable
Para que sea indeformable debemos
descomponerla en dos triángulos, cada uno
de ellos indeformable, utilizando otra
varilla como una diagonal.
Apretando los vértices 1 y 2. Estirando de los vértices 1 y 2.
Una diagonal divide a un
cuadrilátero en dostriángulos,
indeformables, (ver capítulo de
“Triángulos”)
Cuadrilátero original.
VÉRTICES:
LADOS:
DIAGONALES:
no
ÁNGULOS:
Puntos en el plano formados por los
extremos de los lados del cuadrilátero.
Segmentos comprendidos entre dos
vértices.
Segmentos que unen dos vértices
consecutivos
Los formados por cada dos lados.
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B
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VÉRTICES
LADOS
DIAGONALES
ÁNGULOS
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CLASIFICACIÓN
Se clasifican en tres grupos, según las medidas de lados y ángulos, al igual que en los triángulos.
A continuación estudiaremos uno por uno sus características. Para ello debemos ver qué relaciones
existen entre las medidas de los lados, las de los ángulos y las de las diagonales.
PARALELOGRAMOS
dos a dosSon los cuadriláteros que tienen los lados paralelos e iguales .
TRAPECIOS
dosSon los cuadriláteros que tienen únicamente lados paralelos.
TRAPEZOIDES (o cuadrilátero en general)
Son los cuadriláteros que no tienen ninguna de las características de todos los anteriores, es
decir que no pertenece a ninguno de los otros grupos.
CUADRILÁTEROS
CUADRADO
TR. RECTÁNGULO
Dsitintos ejemplos de cuadriláteros que no pertenecen a los paralelogramos o a los trapecios.
TR. ISÓSCELES
RECTÁNGULO ROMBO
TR. ESCALENO
ROMBOIDE
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CUADRADO
Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales y sus ángulos rectos.
RECTÁNGULO
Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales dos a dos y sus ángulos rectos.
CARACTERÍSTICAS
DIAGONALES: son iguales y perpendiculares entre sí. Se cortan por su punto
medio, es decir, cada una corta en su punto medio a la otra. Forman 45º grados
con los lados, por lo que son bisectrices de los ángulos del cuadrado. El punto de
corte de las diagonales es el centro del cuadrado.
Al tener lados y ángulos iguales es un por lo tanto tiene
siendo su centro el centro del cuadrado.
polígono regular,
circunferencia circunscrita e inscrita,
CARACTERÍSTICAS
DIAGONALES: son iguales y pueden formar cualquier ángulo, excepto 90º, es
decir, no pueden ser perpendiculares entre sí; si lo fuesen no sería un rectángulo
sino un cuadrado. Se cortan por su punto medio, es decir, cada una corta en su
punto medio a la otra. El punto de corte de las diagonales es el centro del
rectángulo.
Tiene pero no inscrita, siendo su centro el centro del
rectángulo.
circunferencia circunscrita
CUADRILÁTEROS
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
CIRCUNFERENCIA INSCRITA
45º
H=L
H=a
b a
H=b
Esta circunferencia NO es inscrita,
ya que no es tangente a todos los
lados del polígono.
La altura del cuadrado coincide
con la medida del lado.
La altura del rectángulo coincide con
uno de sus lados, según su posición.
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La circunferencia NO es circunscrita,
ya que no pasa por todos los vértices
del polígono.
FIG. 1 La altura del rombo es la
distancia entre dos lados opuestos.
Se “ve” de otra forma pero es el
mismo.
FIG. 2 Esto es un porque tiene lados iguales y
ángulos rectos. Suele decirse erróneamente que es un
rombo porque los rombos se suelen representar así.
cuadrado
ROMBO
Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales y sus ángulos distintos de 90º
Conviene acostumbrarse a no confundir las figuras geométricas porque estén colocadas de una forma u
otra. Lo que define una figura son sus características, no cómo está situada en el papel. La figura 1 es el
mismo rombo que el primero, solo que apoyado en un lado.Así podemos ver mejor su altura:
Si tomamos un cuadrado y lo “deformamos” apretando
o estirando de dos vértices, obtenemos un rombo.
CARACTERÍSTICAS
DIAGONALES: son desiguales y perpendiculares entre sí, y se cortan por su punto
medio. Son bisectrices de los ángulos del rombo. El punto de corte de las
diagonales es el centro del rombo. Se denominan diagonal mayor y menor.
Tiene y su centro es el centro del rombo, pero no tiene
circunferencia circunscrita.
circunferencia inscrita,
ÁNGULOS: son distintos de 90º, porque si fuesen rectos tendríamos un
cuadrado. Además son iguales y opuestos dos a dos, es decir, los opuestos son
iguales entre sí.
Por el paralelismo de los lados opuestos se da la propiedad de que dos ángulos
siempre suman 180º.contiguos
a b+ = 180º
4CUADRILÁTEROS
CIRCUNFERENCIA INSCRITA
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5CUADRILÁTEROS
ROMBOIDE
Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales dos a dos y sus ángulos distintos de 90º.
La altura es la distancia entre lados opuestos, según su posición puede tomarse como base un lado u
otro, como el el rectángulo.
Si tomamos un rectángulo y lo “deformamos”
apretando o estirando de dos vértices, obtenemos un
romboide.
CARACTERÍSTICAS
DIAGONALES: son desiguales y pueden formar cualquier ángulo excepto 90º, ya
que entonces sería un rombo. Se cortan por el punto medio. El punto de corte de
las diagonales es el centro del romboide. Se denominan diagonal mayor y menor.
No tiene circunferencias ni inscrita ni circunscrita.
ÁNGULOS: son distintos de 90º, porque si fuesen rectos tendríamos un
rectángulo. Además son iguales y opuestos dos a dos, es decir, los opuestos son
iguales entre sí.
Por el paralelismo de los lados opuestos se da la propiedad de que dos ángulos
siempre suman 180º.contiguos
a b+ = 180º
H
a a
a
a
b b
b
b
H
No es posible hacer una circunferencia que sea tangente a los
cuatro lados o que pase por los cuatro vértices.
Conviene no confundir la altura con el lado, ya que no pueden medir lo mismo, a diferencia del rectángulo.
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TRAPECIO RECTÁNGULO
Es el trapecio que tiene dos ángulos de 90º. Para recordarlo podemos relacionarlo con el triángulo
rectángulo, cortándolo con una paralela a la base, como en el ejemplo inferior:
TRAPECIO ISÓSCELES
Es el trapecio que tiene los ángulos iguales dos a dos. Para recordarlo podemos relacionarlo con el
triángulo isósceles, cortándolo con una paralela a la base, como en el ejemplo inferior:
CARACTERÍSTICAS
LADOS: los de los trapecios se llaman Siempre hay dos y
una es mayor que la otra, llamándose por lo tanto base y base . En
el trapecio rectángulo los otros dos lados son desiguales.
DIAGONALES: son desiguales y pueden formar cualquier ángulo. No tiene
circunferencias ni inscrita ni circunscrita.
lados paralelos bases.
mayor menor
CARACTERÍSTICAS
LADOS: los de los trapecios se llaman Siempre hay dos y
una es mayor que la otra, llamándose por lo tanto base y base . En
el trapecio isósceles los otros dos lados son iguales entre sí.
DIAGONALES: son iguales y pueden formar cualquier ángulo.
ÁNGULOS: los ángulos adyacentes a las bases son iguales entre sí; la suma de los
ángulos desiguales es un ángulo llano: + = 180º
Tiene siempre circunferencia circunscrita, pero puede tener o no circunferencia
inscrita.
lados paralelos bases.
mayor menor
a b
La altura es la distancia entre las bases, sin importar la
posición que tenga el trapecio.
La altura es la distancia entre las bases, sin importar la
posición que tenga el trapecio.
6CUADRILÁTEROS
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7CUADRILÁTEROS
TRAPECIO ESCALENO
Es el trapecio sin ninguna característica especial de ángulos. Para recordarlo podemos relacionarlo con
un triángulo escaleno, del que obtenemos un trapecio trazando una paralela a uno de sus lados.
TRAPEZOIDES o cuadriláteros en general
El cuadrilátero que no pertenece a ningún grupo de los anteriores suele llamarse trapezoide. Por lo
tanto un trapezoide se define por lo que de los otros, aunque puede tener alguna
característica aislada.
no tiene
CARACTERÍSTICAS
LADOS: los de los trapecios se llaman Siempre hay dos y
una es mayor que la otra, llamándose por lo tanto base y base . En
el trapecio escaleno los otros dos lados son desiguales.
DIAGONALES: son desiguales y pueden formar cualquier ángulo. No puede
tener circunferencia circunscrita, pero podría tener inscrita, según sean las
dimensiones.
La altura, como en todos, es la distancia entre las bases.
lados paralelos bases.
mayor menor
CARACTERÍSTICAS QUE PUEDEN TENER AISLADAMENTE
LADOS: no pueden ser paralelos aunque podrían ser dos o tres iguales., incluso
ser dos iguales y los otros dos también entre sí.
DIAGONALES: podrían formar 90º y ser iguales, pero sin cortarse por el punto
medio.
ÁNGULOS: podrían tener dos ángulos iguales, pero los otros dos no, y no pueden
ser rectos. Podría tener un ángulo recto.
Pueden tener o no circunferencias inscrita y circunscrita, una sola de ellas o
ambas. No podemos definir la altura de un trapezoide.
B
b
H
L
L
L
a
b b
a
dd
Trapezoide con tres
lados iguales.
Trapezoide con
pares de lados
iguales y diagonales
perpendiculares.
Trapezoide con
diagonales iguales.
Trapezoide con
circunferencia
inscrita y
circunscrita.