4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Relaciones entre la carga, el cortante y el momento flector

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Relación de función de carga q(x) & función de fuerza 
cortante V(x) ; relación de función de fuerza cortante V(x) & 
momento flector M(x). 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
21 de marzo de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Relaciones entre la carga, el cortante y el 
momento flector. 
Cuando una viga lleva más de dos o tres cargas 
concentradas, o cuando lleva cargas distribuidas, el método 
explicado en la sección 5.2 para graficar el cortante y el 
momento flector resulta muy complicado. La construcción 
del diagrama de cortante y, especialmente, del diagrama de 
momento flector se facilitará en gran medida si se toman en 
consideración ciertas relaciones que existen entre la carga, 
el cortante y el momento flector. 
Considere una viga simplemente apoyada AB que lleva una 
carga distribuida w por unidad de longitud (figura 5.12a), y 
sean C y C’ dos puntos en la viga a una distancia ∆x uno 
del otro. El cortante y el momento flector en C se denotarán 
por V y por M, respectivamente, y se supondrán positivos; el cortante y 
el momento flector en C’ se denotarán por V + ∆V y por M + ∆M. 
Ahora se desprende la porción de viga CC’ y se dibuja su diagrama de 
cuerpo libre (figura 5.12b). Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre 
incluyen una carga de magnitud w ∆x y fuerzas y pares internos en C y 
en C’. Ya que el corte y el momento flector se han supuesto positivos, 
las fuerzas y pares se dirigirán como se indica en la figura. 
Relaciones entre la carga y el cortante. 
Escribiendo que la suma de las componentes verticales de las fuerzas 
que actúan sobre el cuerpo libre CC’ son cero, se tiene que 
 
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre x y haciendo que x se 
aproxime a cero, se tiene que 
(5.5) 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
La ecuación (5.5) indica que, para una viga cargada como se muestra 
en la figura 5.12a, la pendiente dV/dx de la curva de cortante es 
negativa; el valor numérico de la pendiente en cualquier punto es igual 
a la carga por unidad de longitud en dicho punto. 
Integrando la ecuación (5.5) entre los puntos C y D, se escribe 
 
Advierta que este resultado también podría haberse obtenido 
considerando el equilibrio de la porción de viga CD, ya que el área bajo 
la curva de carga representa el total de la carga aplicada entre C y D. 
Debe también observarse que la ecuación (5.5) no es válida en un punto 
donde se aplique una carga concentrada; la curva de cortante es 
discontinua en tal punto, como se vio en la sección 5.2. De manera 
similar, las ecuaciones (5.6) y (5.6’) dejan de ser válidas cuando se 
aplican cargas concentradas entre C y D, debido a que no consideran 
el cambio súbito en el cortante causado por la carga concentrada. Por 
lo tanto, las ecuaciones (5.6) y (5.6’) deberán aplicarse sólo entre cargas 
concentradas sucesivas. 
Relaciones entre el cortante y el momento flector. 
Regresando al diagrama de cuerpo libre de la figura 5.12b, y escribiendo 
ahora que la suma de momentos alrededor de C’ es cero, se tiene 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre x y haciendo que x se 
aproxime a cero, se obtiene 
(5.7) 
La ecuación (5.7) indica que la pendiente dM/dx de la curva de momento 
flector es igual al valor del cortante. Esto es cierto en cualquier punto 
donde el cortante tenga un valor bien definido, esto es, en cualquier 
punto donde no se encuentre aplicada una carga concentrada. La 
ecuación (5.7) también muestra que V = 0 en puntos donde M es 
máximo. Esta propiedad facilita la determinación de los puntos donde 
es posible que la viga falle bajo flexión. 
Integrando la ecuación (5.7) entre los puntos C y D, se escribe 
 
Note que el área bajo la curva de cortante deberá considerarse positiva 
donde el esfuerzo cortante es positivo y negativa donde el esfuerzo 
cortante es negativo. Las ecuaciones (5.8) y (5.8’) son válidas aun 
cuando se aplican cargas concentradas entre C y D, en tanto la curva 
de cortante haya sido correctamente dibujada. Las ecuaciones dejan de 
ser válidas, sin embargo, si un par se aplica en un punto entre C y D, ya 
que no toman en consideración el cambio súbito en momento cortante 
causado por un par. 
Beer, F., Johnston E. Russell, JR., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2010). Análisis y diseño de 
vigas para flexión. En Mecánica de Materiales (pp. 322-323). México: McGraw-Hill. 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Para generalizar, considere la viga de la figura 6-8a que está sometida 
a una carga arbitraria. En la figura 6-8b se muestra un diagrama de 
cuerpo libre para un pequeño segmento ∆x de la viga. Como este 
segmento se ha elegido en una posición x donde no hay fuerza 
concentrada o momento, los resultados que se obtengan no se 
aplicarán en estos puntos de carga concentrada. 
Observe que todas las cargas mostradas 
sobre el segmento actúan en sus 
direcciones positivas, de acuerdo con la 
convención de signos establecida (figura 
6-3). Asimismo, tanto la fuerza cortante 
como el momento resultantes que actúan 
en la cara derecha del segmento, deben 
cambiarse por una cantidad pequeña 
para mantener al segmento en equilibrio. 
La carga distribuida, que es aproximadamente constante en todo ∆x, se 
sustituye por una fuerza resultante w∆x que actúa a una distancia 
fraccional ½ (∆x) desde el lado derecho. Al aplicar las ecuaciones de 
equilibrio para el segmento, se tiene: 
 
Al dividir entre ∆x y tomar el límite cuando ∆x → 0, las dos ecuaciones 
anteriores se convierten en: 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
La ecuación 6-1 establece que en cualquier punto la 
pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a 
la intensidad de la carga distribuida. 
Por ejemplo, considere la viga de la figura 6-9a. La 
carga distribuida es negativa y aumenta desde cero 
hasta wB. Esto proporciona un medio rápido para 
trazar la forma del diagrama de fuerza cortante. 
Debe ser una curva con pendiente negativa, la cual 
aumenta desde cero hasta -wB. En la figura 6-9b se 
muestran las pendientes específicas wA = 0, -wC,-wD 
y -wB. 
De manera similar, la ecuación 6.2 establece que en 
cualquier punto la pendiente del diagrama de 
momento es igual a la fuerza cortante. Como el 
diagrama de fuerza cortante en la figura 6-9b 
comienza en +VA, decrece hasta cero y luego pasa 
a ser negativo y disminuye hasta -VB, entonces el 
diagrama (o curva) de momento tendrá una 
pendiente inicial de +VA que decrece hasta cero, 
después la pendiente se vuelve negativa y 
disminuye hasta -VB. En la figura 6-9c se muestran 
las pendientes específicas VA, VC, VD, 0 y -VB. 
Las ecuaciones 6-1 y 6-2 también pueden rescribirse 
en la forma dV = w dx y dM = V dx. Si se tiene en 
cuenta que w dx y V dx representan áreas 
diferenciales bajo la carga distribuida y el diagrama 
de fuerza cortante, estas áreas se pueden integrar 
entre dos puntos cualesquiera C y D de la viga 
(figura 6-9d) y escribir: 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
La ecuación 6-3 establece que el cambio en la fuerza cortante entre C 
y D es igual al área bajo la curva de la distribución de carga entre esos 
dos puntos (figura 6-9d). En este caso, el cambio es negativo ya que la 
carga distribuida actúa hacia abajo. Del mismo modo, a partir de la 
ecuación 6-4, el cambio en el momento entre C y D (figura 6-9f) es igual 
al áreabajo el diagrama de fuerza cortante en la región entre C y D. 
Aquí, el cambio es positivo. 
Hibbeler, R. (2017). Flexión. En Mecánica de Materiales (pp. 270-272). México: Pearson 
Educación. 
Bibliografía. 
1.- Beer, F., Johnston E. Russell, JR., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2010). 
Análisis y diseño de vigas para flexión. En Mecánica de Materiales (pp. 
322-323). México: McGraw-Hill. 
2.- Hibbeler, R. (2017). Flexión. En Mecánica de Materiales (pp. 270-
272). México: Pearson Educación.