DIFERENCIALES

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DIFERENCIALES 
 
EJERCICIO 1: Dada la función 𝑦 = 5𝑥 + 𝑥2. Calcular 𝑑𝑦 𝑦 ∆𝑦 para 𝑥 = 2; ∆𝑥 = 0,001 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (5 + 2𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (5 + 2.2). 0,001 → 𝑑𝑦 = 0,009 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) → ∆𝑦 = (5.2,001 + 2,0012) − (5.2 + 22) = 14,009001 − 14 → ∆𝑦 = 0,009001 
 
EJERCICIO 2: Si 𝑦 = 30𝑥 − 6𝑥2 determine la diferencia ∆𝑦 − 𝑑𝑦 
𝑎. − 𝑥 = 3 ∆𝑥 = 0,1 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) → ∆𝑦 = (30.3,1 − 6. 3,12) − (30.3 − 6. 32) = 35,34 − 36 → ∆𝑦 = −0,66 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (30 − 12𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (30 − 12.3). 0,1 → 𝑑𝑦 = −0,6 
∆𝑦 − 𝑑𝑦 = −0,66 − (−0,6) = −0,06 
EJERCICIO 3: Hallar la diferencial de las siguientes funciones. 
𝑎. − 
2
√𝑥
 𝑥 = 9 ∆𝑥 = −0,01 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (−
1
𝑥. √𝑥
) . 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (−
1
9.3
) . −0,01 → 𝑑𝑦 = 0,00037̅̅ ̅̅ ̅ 
EJERCICIO 4: Determine 𝑑𝑦 de las siguientes funciones. 
𝑎. − 𝑦 =
𝐶𝑜𝑠 3𝑥
2𝑥
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = [
(−𝑆𝑒𝑛 3𝑥). 3.2𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 3𝑥. 2
4𝑥2
] . 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = − [
6𝑥. 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 + 2. 𝐶𝑜𝑠 3𝑥
4𝑥2
] . 𝑑𝑥 
𝑐. − 𝑦 = 𝑥. ln 𝑥 − 𝑥 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (1. ln 𝑥 + 𝑥.
1
𝑥
− 1) . 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = ln 𝑥 . 𝑑𝑥 
𝑒. − (𝑥 + 𝑦)2. (2𝑥 + 𝑦) = 1 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = − [
2. (𝑥 + 𝑦). 1. (2𝑥 + 𝑦) + (𝑥 + 𝑦)2. 2
2. (𝑥 + 𝑦). 1. (2𝑥 + 𝑦) + (𝑥 + 𝑦)2. 1
] . 𝑑𝑥 
 
EJERCICIO 5: Utilizando aproximación lineal calcular. 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒅𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 
𝒂. − √𝟑𝟑
𝟓
 𝒙 = 𝟑𝟐; ∆𝒙 = 𝟏 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = √𝟑𝟐
𝟓
+
𝟏
𝟓
.
𝟏
√𝟑𝟐𝟒
𝟓 . 𝟏 → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 = 𝟐, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
𝒆. − √𝟏, 𝟎𝟐 𝒙 = 𝟏; ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟐 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = √𝟏 +
𝟏
𝟐
.
𝟏
√𝟏
. 𝟎, 𝟎𝟐 → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟏 
𝒈. − 𝐥𝐧(𝟏, 𝟎𝟎𝟑) 𝒙 = 𝟏; ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝟏 +
𝟏
𝟏
. 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 
𝒉. − 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝟑° 𝒙 = 𝟒𝟓°; ∆𝒙 = −𝟐° 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 
𝝅
𝟒
+ (−𝑺𝒆𝒏 
𝝅
𝟒
) . (−𝟎, 𝟎𝟑𝟓) → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟕𝟎𝟕. 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟕 = 𝟎, 𝟕𝟑𝟏𝟕 
 
PROBLEMAS 
 
PROBLEMA 1: Calcular el incremento del Área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 
1 mm su lado. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 4: Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de 2 m, al 
aumentar el lado 0,003 m. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 6: Un disco metálico se dilata por la acción del calor de manera que su radio aumenta 
de 12 a 12,03 cm; hallar el valor aproximado del incremento del área. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 7: Un móvil se mueve según la relación 𝑠 = 5𝑡2 + 𝑡, donde (s) representa el espacio 
recorrido medido en metros y (t) el tiempo recorrido en segundos. Se quiere saber los metros que 
recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 segundos y (7 +
1
3
)segundos 
 
 
𝑨 = 𝒍𝟐 𝒍 = 𝟐 𝒎; ∆𝒍 = 𝒅𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝑨 = 𝑨′. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝒍. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝟐𝒎. 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒎 
𝒅𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝒎𝟐 
𝑽 = 𝒍𝟑 𝒍 = 𝟐 𝒎; ∆𝒍 = 𝒅𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝑽 = 𝑽′. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑽 = 𝟑. 𝒍𝟐. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑨 = 𝟑. 𝟒𝒎𝟐. 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝒎 
𝒅𝑽 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝒎𝟑 
𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐 𝒓 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎; ∆𝒓 = 𝒅𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒄𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝑨 = 𝑨′. 𝒅𝒓 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝝅. 𝒓. 𝒅𝒓 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝝅. 𝟏𝟐𝒄𝒎. 𝟎, 𝟎𝟑𝒄𝒎 
𝒅𝑨 = 𝟐, 𝟐𝟔𝟏𝟗𝒄𝒎𝟐 
 𝒔 = 𝟓𝒕𝟐 + 𝒕 𝒕 = 𝟕 𝒔𝒆𝒈; ∆𝒕 = 𝒅𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟑 𝒄𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝒔 = 𝒔′. 𝒅𝒕 → 𝒅𝒔 = (𝟓. 𝟐. 𝒕 + 𝟏). 𝒅𝒕 → 𝒅𝒔 = (𝟏𝟎. 𝟕 + 𝟏)𝟎, 𝟑𝟑 
𝒅𝒔 = 𝟐𝟑, 𝟒𝟑𝒎