UG_HG_Unidad_VII_Semana_12

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ESTADISTICA 
HIDROLÓGICA I
Prof: Mg. Ing. Abel Carmona A.
UNIDAD VII: ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
SEMANA N°12
Interés
Fuente: https://bit.ly/30FSFww
¿Cuál es la 
probabilidad que 
ocurra una inundación 
o una sequía?
Fuente: https://bit.ly/2zvTk8C
¿Existe algún error 
en la información 
meteorológica 
obtenida?
AGENDA
1. Periodo de retorno y riesgo admisible
2. Población y muestra
3. Variable Aleatoria
4. Distribución de datos
5. Medidas descriptivas de las 
distribuciones
6. Cálculos estadísticos en hidrología
7. Análisis de consistencia.
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante 
desarrolla una actividad sobre análisis de consistencia 
utilizando métodos estadísticos, mostrando dominio técnico, 
claridad y manejo la terminología estudiada.
Descubrimiento
1. Periodo de retorno y riesgo admisible
• El periodo de retorno es el intervalo de tiempo promedio dentro
del cual un evento de magnitud x, puede ser igualado o
excedido por lo menos una vez en promedio.
• Suponiendo que los eventos anuales son independientes, es
posible calcular la probabilidad de falla para una vida útil de n
años.
• El criterio de riesgo es la fijación, a priori, del riesgo que se
desea asumir por el caso de que la obra no llegase a fallar
dentro de su tiempo de vida útil.
Descubrimiento
1. Periodo de retorno y riesgo admisible
• Riego de falla admisible
𝑅 = 1 − 1 −
1
𝑇
𝑛
Donde:
n: vida útil de la obra en años.
T: periodo de retorno
Descubrimiento
1. Periodo de retorno y riesgo admisible
Figura 1. Riego de falla de por lo 
menos una excedencia del evento 
de diseño durante la vida útil.
Fuente: Chow (1994).
Descubrimiento
1. Periodo de retorno y riesgo admisible
RIESGO 
ADMISIBLE
VIDA ÚTIL DE LAS OBRAS (n años)
R 1 2 3 5 10 20 25 50 100 200
0.01 100 199 299 498 995 1990 2488 4975 9950 19900
0.02 50 99 149 248 495 990 1238 2475 4950 9900
0.05 20 39 59 98 195 390 488 975 1950 3900
0.1 10 19 29 48 95 190 238 475 950 1899
0.2 5 10 14 23 45 90 113 225 449 897
0.25 4 7 11 18 35 70 87 174 348 695
0.5 2 3 5 8 15 29 37 73 154 289
0.75 1.3 2 2.7 4.1 7.7 15 18 37 73 144
0.99 1 1.11 1.27 1.66 2.7 5 5.9 11 22 44
Tabla 1. Valores de periodo de retorno T (años). Fuente: MTC (1994).
Descubrimiento
1. Periodo de retorno y riesgo admisible
Tipo de Obra
Riesgo Admisible (**)
(%)
Puentes (*) 22
Alcantarillas de paso de quebradas importantes y badenes 39
Alcantarillas de paso quebradas menores y descarga de 
agua de cunetas 64
Drenaje de la plataforma (a nivel longitudinal) 64
Subdrenes 72
Defensas Ribereñas 22
(*) Para obtención de la luz y nivel de aguas máximas extraordinarias. 
Se recomienda un período de retorno T de 500 años para el cálculo de socavación.
(**) Vida Útil considerado n=25 años.
Se tendrá en cuenta, la importancia y la vida útil de la obra a diseñarse.
El Propietario de una Obra es el que define el riesgo admisible de falla y la vida útil de las obras.
Tabla 2. Valores recomendados de riesgo admisible de obras de drenaje.
Fuente: MTC (1994).
Descubrimiento
2. Población y muestra de datos
Medimos la muestra usando una estadística con
el objetivo de extraer inferencias acerca de la
población y sus parámetros.
Población
Población
Parámetros
Muestra
Estadística
Muestra
Población
Media: 𝝁
Desviación estándar: 𝝈
Muestra:
Media: ഥ𝑿
Desviación estándar: 𝑺
Descubrimiento
3. Variable Aleatoria (VA)
• Es una variable cuyos posibles valores son resultados
numéricos de un fenómeno aleatorio.
Terminología:
• Experimento: cualquier proceso cuyo resultado esta sujeto a
incertidumbre.
• Población: conjunto de todos los posibles valores de una VA.
• Espacio muestral (S): conjunto de posibles valores de una VA
que se puede extraer de una población
• Dato: un resultado.
• Evento: un subconjunto del espacio muestral (S).
Descubrimiento
3. Variable Aleatoria (VA)
Ejemplo: Número de días lluviosos.
• Experimento: lluvia.
• Variable aleatoria: número de días lluviosos.
• Population: todos los días lluviosos.
• Espacio muestral (S): días lluviosos en una semana.
• Dato: cantidad de lluvia presentado el día miércoles.
• Evento: días lluviosos con precipitación > 20 mm.
Descubrimiento
3. Variable Aleatoria (VA)
Ejemplo: caudales en un río.
• Experimento: caudal en el río.
• Variable aleatoria: medida del caudal en el río.
• Population: todos los caudales medios mensuales.
• Espacio muestral (S): caudales medios mensuales.
• Dato: caudal medio presentado en el mes de febrero.
• Evento: caudales medios mensuales > 10 m³/s.
Descubrimiento
3. VA Discreta y Continua
VA Discreta:
• Tiene un número finito de
resultados que pueden ser
enumerados.
• La posibilidad de un evento
puede ser expresado con
exactitud:
• La posibilidad de 3 días
lluviosos en una semana.
VA Continua:
• Puede tomar valores continuos,
los cuales no pueden ser
enumerados.
• La posibilidad de un evento
puede ser expresado como un
rango de valores:
• La posibilidad que la
precipitación exceda los 10 mm
en una semana.
Descubrimiento
4. Distribución de datos
Histograma Distribución
Descubrimiento
4. Distribución simétrica y asimétrica
Figura 2. Distribución simétrica y asimétrica. Fuente: https://bit.ly/3d3bUmm
Descubrimiento
5. Medidas descriptivas de las 
distribuciones
Media:
ത𝑋 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
Desviación Estándar:
𝑆(𝑥) =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ത𝑋
2
Coeficiente de Variación:
𝐶𝑉 =
𝑆(𝑥)
ത𝑋
𝜎(𝑥) =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ത𝑋
2
𝐶𝑉 =
𝜎(𝑥)
ത𝑋
ESTRUCTURA PPTExperiencia
Actividades de aplicación 
colaborativa
Ejemplo: ¿Qué serie de datos presenta mayor dispersión?
Datos 1 19.9 14.6 22.9 11.6 11.5 9.6 16.1 13.8
Datos 2 5.4 10.3 16.7 21.5 14.5 1.1 26.3 24.2
Datos 1 19.9 14.6 22.9 11.6 11.5 9.6 16.1 13.8
Datos 3 101.7 117.3 173.4 112.5 140.7 178.8 156.7 154.9
Descubrimiento
5. Puntuación Estándar (Z-score)
La puntuación Z (o puntuación estándar) de una observación es el
número de desviaciones estándar que el dato 𝑥𝑖 se desvía de la
media.
𝑧𝑖 =
𝑥𝑖 − ത𝑋
𝑆(𝑥)
ESTRUCTURA PPTExperiencia
Actividades de aplicación 
colaborativa
Ejemplo:
El caudal medio mensual de un río es 75 m³/s y su desviación
estándar es 14.7 m³/s. ¿Cuál será la puntuación estándar de un dato
𝑄1 = 122 m³/s.
Descubrimiento
6. Cálculos estadísticos en Hidrología
Es necesario contar con más de 20 a 30 valores para poder
establecer conclusiones. puntuación Z (o puntuación estándar) de
una observación es el número de desviaciones estándar que el dato
𝑥𝑖 se desvía de la media.
En hidrología se presentan los siguientes escenarios:
• Conocer el valor de la variable (ejem: caudal, precipitación) si se
conoce la probabilidad de ocurrencia.
• Conocer la probabilidad de ocurrencia de una variable (ejem:
caudal, precipitación) si se conoce su valor.
Descubrimiento
• Es el proceso que consiste en la identificación o detección,
descripción y remoción de la no homogeneidad e
inconsistencia de una serie de tiempo hidrológica.
• Se obtiene mediante criterios físicos y métodos estadísticos
que permitan identificar, evaluar y eliminar los posibles
errores sistemáticos que han podido ocurrir, sea por causas
naturales u ocasionados por la intervención de la mano del
hombre.
7. Análisis de Consistencia
Definición
Descubrimiento
• Una serie de tiempo de datos hidrológicos es relativamente
constante si los datos son periódicamente proporcionales a
una serie de tiempo apropiado simultáneamente (Chang y
Lee 1974).
• La consistencia relativa significa que los datos hidrológicos
en una observación de cierta estación son generados por el
mismo mecanismo que genera similares datos de otras
estaciones. Es una práctica común para verificar la
coherencia en relación con el doble de la masa de análisis.
Descubrimiento
• Para determinar la consistencia relativa, se comparan las
observaciones a partir de una cierta estación con la media de
lasobservaciones de varias estaciones cercanas. Este medio
se llama la base o patrón es difícil decir cuántas estaciones el
modelo debe incluir.
• Las estaciones cuanto menor los datos determinados influirá
en la consistencia y la valides de la media patrón.
• Doble masa de análisis, la comprobación requiere eliminar el
patrón de los datos de una determinada estación y
comparándolos con los datos restantes.
Descubrimiento
Los gráficos sirven para analizar la consistencia de la
información hidrológica en forma visual, e indicar el periodo o
periodos en los cuales la información es dudosa, lo cual se
puede reflejar como picos muy altos o valores muy bajos,
saltos y/o tendencias, los mismos que deberán comprobarse,
si son fenómenos naturales que si efectivamente han
ocurrido, o si son producto de errores sistemáticos.
7.1 Análisis Visual Gráfico
Descubrimiento
En coordenadas cartesianas se plotea la información
hidrológica histórica, ubicándose en las ordenadas, los
valores de la serie y en las abscisas el tiempo (años, meses,
días, etc.)
Figura 1. Serie histórica de caudales promedios anuales
Fuente: Villón (2005).
Descubrimiento
Este análisis se usa para tener una cierta confiabilidad en la
información, así como también, para analizar la consistencia
en relacionado a errores, que pueden producirse durante la
obtención de los mismos, y no para una corrección a partir de
la recta doble masa.
7.2 Análisis Doble Masa
Figura 2. Análisis de doble masa para determinar la estación base
Fuente: Villón (2005).
Descubrimiento
De estos doble masas se selecciona como la estación mas
confiable, la que representa el menor numero de quiebres, de
la figura anterior correspondería a la estación C, la cual se
usa con estación base para el nuevo diagrama doble masa,
es decir, se vuelve a construir el diagrama de doble masa
colocando en el eje de las abscisas la estación base y en el
de las ordenadas la estación en estudio.
Descubrimiento
Figura 3. Análisis de doble masa para obtener los periodos de estudio
Fuente: Villón (2005).
ESTRUCTURA PPTExperiencia
Actividades de aplicación 
colaborativa
Corregir los datos de precipitación de la serie siguiente:
Año Precipitación Patrón
1988 1138 983
1987 1129 1121
1986 752 740
1985 1086 959
1984 1101 1234
1983 954 893
1982 1082 1256
1981 979 1015
1980 810 1062
1979 969 1521
1978 913 1165
1977 744 1003
1976 883 1345
P: patrón
C: estación 
a corregir
𝑃𝑐nueva =
𝑚𝑃
𝑚𝑐
𝑃𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
Descubrimiento
Después de obtener de los gráficos construidos para el
análisis visual y de los de doble masa, los periodos de
posible corrección, los periodos de datos que se mantendrán
con sus valores originales, se procede al análisis estadístico
de saltos, tanto en la media como en la desviación estándar.
7.3 Análisis Estadístico
𝑆2(𝑥) =
1
𝑛2 − 1
෍
𝑗=1
𝑛2
𝑥𝑗 − 𝑥2
2
1
2
𝑥2 =
1
𝑛2
෍
𝑗=1
𝑛2
𝑥𝑗
𝑆1(𝑥) =
1
𝑛1 − 1
෍
𝑖=1
𝑛1
𝑥𝑖 − 𝑥1
2
1
2
𝑥1 =
1
𝑛1
෍
𝑖=1
𝑛1
𝑥𝑖
Descubrimiento
a) Consistencia de la Media
Cálculo de la media y desviación estándar para las
submuestras
7.4 Análisis de Saltos
Donde:
𝑥𝑖: Valores de la serie del periodo 1
𝑥𝑗: Valores de la serie del periodo 2
Descubrimiento
Donde:
𝑥1, 𝑥1: Media de los periodos1 y 2 respectivamente
𝑆1(𝑥) , 𝑆2(𝑥) : Desviación estándar de los periodos1 y 2
respectivamente.
n: Tamaño de la muestra
𝑛1, 𝑛2: Tamaño de las submuestras n=𝑛1 + 𝑛2
𝑡𝑐 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 ത𝑑
Descubrimiento
Cálculo del t calculado 𝐭𝐜 según:
𝑆 ത𝑑 = 𝑆𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
1
2
𝑡𝑐 =
𝑥1 − 𝑥2
𝑆 ത𝑑
𝑆𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆1
2 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
1
2
Donde:
𝜇1 − 𝜇2=0 (por hipótesis, las medias son iguales)
Además:
Siendo:
𝑆 ത𝑑: Desviación de las diferencias de los promedios
𝑆𝑝: Desviación estándar ponderada
Descubrimiento
Cálculo del t tabular 𝐭𝐭:
El valor crítico de t se obtiene de la tabla t de Student (𝑡𝒕),
con 95% de probabilidad, o con un nivel de significación del
5%, es decir:
𝛼/2 = 0.025
𝐺𝐿 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2
Figura 4. Valor critico de t
Fuente: https://bit.ly/2r9cqwN
Descubrimiento
Comparacion del 𝐭𝐜 con el 𝐭𝐭:
• Si
En este caso, siendo las medias 𝑥1 = 𝑥2 estadísticamente, no
se debe realizar el proceso de corrección.
• Si
En este caso, siendo las medias 𝑥1 ≠ 𝑥2 estadísticamente, se
debe corregir la información.
𝑡𝑐 = 𝑡𝑡 (95%) → 𝑥1 = 𝑥2
𝑡𝑐 > 𝑡𝑡 (95%) → 𝑥1 ≠ 𝑥2
Descubrimiento
b) Consistencia de la Desviación Estándar
Cálculo de las varianzas de ambos periodos
𝑆1
2(𝑥) =
1
𝑛1 − 1
෍
𝑖=1
𝑛1
𝑥𝑖 − 𝑥1
2
𝑆2
2(𝑥) =
1
𝑛2 − 1
෍
𝑗=1
𝑛2
𝑥𝑗 − 𝑥2
2
Donde:
𝑥𝑖: Valores de la serie del periodo 1
𝑥𝑗: Valores de la serie del periodo 2
Descubrimiento
Cálculo del F calculado (𝐅𝐜), según:
𝐹𝑐 =
𝑆1
2(𝑥)
𝑆2
2(𝑥)
Si 𝑆12 𝑥 > 𝑆22(𝑥)
𝐹𝑐 =
𝑆2
2(𝑥)
𝑆1
2(𝑥)
Si 𝑆22 𝑥 > 𝑆12(𝑥)
Donde:
𝑥𝑖: Valores de la serie del periodo 1
𝑥𝑗: Valores de la serie del periodo 2
Descubrimiento
Cálculo del F tabular (valor critico de F o 𝐅𝐭)
Se obtiene de las tablas de F para una probabilidad del 95%,
o con un nivel de significación del 5% y grados de libertad:
Donde:
G.L.N: Grados de libertad del numerador
G.L.D: Grados de libertad del denominador
𝐺. 𝐿. 𝑁 = 𝑛1 − 1
Si 𝑆12 𝑥 > 𝑆22(𝑥)
Si 𝑆22 𝑥 > 𝑆12(𝑥)
𝐺. 𝐿. 𝐷 = 𝑛2 − 1
𝐺. 𝐿. 𝑁 = 𝑛2 − 1
𝐺. 𝐿. 𝐷 = 𝑛1 − 1
Descubrimiento
Comparación del 𝐅𝐜 con el 𝐅𝐭:
• Si
(estadísticamente)
• Si
(estadísticamente), por lo que se debe corregir
𝐹𝑐 ≤ 𝐹𝑡 (95%) → 𝑆𝑖 𝑆1(𝑥) = 𝑆2(𝑥)
𝐹𝑐 > 𝐹𝑡 (95%) → 𝑆𝑖 𝑆1(𝑥) ≠ 𝑆2(𝑥)
Descubrimiento
En los casos en que los parámetros media y desviación
estándar de las submuestras de las series de tiempo,
resultan estadísticamente iguales, información original no se
corrige, por ser consistente con 95% de probabilidad. En
caso contrario, se corrigen los valores de las sub-muestras
mediante las siguientes ecuaciones.
𝑋(𝑡)
′ =
𝑥𝑡 − 𝑥1
𝑆1 𝑥
𝑆2 𝑥 + 𝑥2
7.5 Corrección de datos
𝑋(𝑡)
′ =
𝑥𝑡 − 𝑥2
𝑆2 𝑥
𝑆1 𝑥 + 𝑥1
Donde:
𝑋(𝑡)
′ : Valor corregido de saltos
𝑥𝑡: Valor a ser corregido
ESTRUCTURA PPTExperiencia
Actividades de aplicación 
colaborativa
Con el registro de volúmenes 
anuales en MM³ que se muestra 
en la Tabla, se realizó el análisis 
de doble masa y se obtuvo un 
punto de quiebre que permitió 
separar los datos en los períodos 
1964-1985 y 1986-1999.
Realizar el análisis estadístico de 
saltos en la media y desviación 
estándar para ambos periodos. Si 
se obtiene diferencia significativa 
(al 95% de probabilidad), realizar 
la corrección del primer periodo.
AÑO Xt AÑO Xt
1964 534.509 1982 318.882
1965 404.034 1983 311.313
1966 504.878 1984 450.2
1967 444.032 1985 386.957
1968 842.122 1986 668.201
1969 437.47 1987 536.824
1970 264.04 1988 598.446
1971 464.628 1989 573.582
1972 436.716 1990 569.369
1973 493.988 1991 330.482
1974 372.984 1992 949.436
1975 333.735 1993 260.183
1976 645.182 1994 430.169
1977 612.295 1995 577.293
1978 620.76 1996 502.513
1979 557.882 1997 1055.812
1980 494.515 1998 792.781
1981 362.199 1999 640.843
Tabla 3. Volúmenes anuales de caudales en MM³. 
Fuente: Villón (2005). 
Descubrimiento
a) Tendencia de la Media
La tendencia de la media 𝑇𝑚, puede ser expresada en forma
general por la ecuación polynomial:
Y en forma particular por la ecuación de regresión lineal
simple:
Donde:
t: Tiempo en años, tomado como variable independiente de la
tendencia.
t=1, 2, 3,….,n
𝑇𝑚 = 𝐴𝑚 + 𝐵𝑚𝑡 + 𝐶𝑚𝑡
2 + 𝐷𝑚𝑡
3 +⋯
7.6 Análisis de tendencias
𝑇𝑚 = 𝐴𝑚 + 𝐵𝑚𝑡
Descubrimiento
𝑇𝑚: Tendencia en la media, para este caso:
𝑇𝑚 = 𝑋(𝑡)
′ valor corregido de saltos, es decir, datos a usarse
para el cálculo de los parámetros
𝐴𝑚, 𝐵𝑚, 𝐶𝑚, 𝐷𝑚: Coeficientes de los polinomios de regresión,
que deben ser estimados con los datos.
Los parámetros de regresión de estas ecuaciones, pueden
ser estimados por el método de mínimoscuadrados, o por el
método de regresión lineal múltiple.
Descubrimiento
Cálculo de los parámetros de la ecuación de simple
regresión lineal:
𝐴𝑚 = 𝑇𝑚 − ҧ𝑡 𝐵𝑚 𝐵𝑚 = 𝑅
𝑆𝑇𝑚
𝑆𝑡
𝑅 =
𝑡 𝑇𝑚 − ҧ𝑡 𝑇𝑚
𝑆𝑡 𝑆𝑇𝑚
𝑇𝑚 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑇𝑚𝑖 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋 𝑡 𝑖
′
ҧ𝑡 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑡𝑖 𝑡𝑇𝑚 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑡𝑖𝑇𝑚𝑖
Donde:
𝑆𝑇𝑚 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑇𝑚𝑖 − 𝑇𝑚
2
𝑛 − 1
1
2
𝑆𝑡 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖 − ҧ𝑡
2
𝑛 − 1
1
2
Descubrimiento
Además:
𝑇𝑚: Promedio de las tendencias 𝑇𝑚, o promedio de los datos
corregidos de saltos 𝑋 𝑡
′
ҧ𝑡: Promedio del tiempo
𝑆𝑇𝑚: Desviación estándar de la tendencia de la media 𝑇𝑚
𝑆𝑡: Desviación estándar del tiempo t
Descubrimiento
Evaluación de la tendencia 𝑻𝒎
Para averiguar si la tendencia es significativa, se analiza el
coeficiente de regresión 𝐵𝑚 o también el coeficiente de
correlación R.
El análisis de R según el estadístico t, es como sigue:
Calculo de estadístico 𝒕𝒄, según:
𝑡𝑐 =
𝑅 𝑛 − 2
1 − 𝑅2
Donde:
𝑡𝑐: Valor del estadístico t calculado
n: Número total de datos
R: Coeficiente de correlación
Descubrimiento
Cálculo del 𝒕𝒕:
El valor crítico de t se obtiene de la tabla t de Student (𝑡𝒕),
con 95% de probabilidad, o con un nivel de significación del
5%, es decir:
Comparación del 𝒕𝒄 con el 𝒕𝒕:
• Si
No es significativo, En este caso, la tendencia no es
significativa y hay que corregir.
• Si
En este caso, la tendencia es significativa y hay necesidad de
corregir la información de tendencia en la media.
𝛼/2 = 0.025
𝐺𝐿 = 𝑛 − 2
𝑡𝑐 ≤ 𝑡𝑡 (95%) → 𝑅
𝑡𝑐 > 𝑡𝑡 (95%) → 𝑅
Descubrimiento
Correlación de la información
La tendencia en la media se elimina haciendo uso de la
ecuación:
𝑌𝑡 = 𝑋 𝑡
′ − 𝑇𝑚
𝑌𝑡 = 𝑋 𝑡
′ − 𝐴𝑚 + 𝐵𝑚 𝑡
𝑌𝑡 = 𝑋 𝑡
′ − 𝑇𝑚+𝑇𝑚
𝑌𝑡 = 𝑋 𝑡
′ − 𝐴𝑚 + 𝐵𝑚𝑡 𝑇𝑚
Donde:
𝑋 𝑡
′ : Serie corregida de saltos
𝑇𝑚: Tendencias en la media
𝑌1: Serie sin tendencia en la media
Descubrimiento
a) Tendencia en la desviación estándar
La tendencia en la desviación estándar, generalmente se
presenta en los datos semanales o mensuales, no asi en
datos anuales. Se expresa en forma general por la ecuación
polinomial:
Y en forma particular por la ecuación de regresión lineal
simple:
Donde:
T: Tendencia en la desviación estándar
𝑇𝑆 = 𝑌𝑡: Valor corregido de tendencia en la media, es decir,
datos a usarse para el cálculo de los parámetros
𝑇𝑠 = 𝐴𝑠 + 𝐵𝑠𝑡 + 𝐶𝑠𝑡
2 + 𝐷𝑠𝑡
3 +⋯
𝑇𝑆 = 𝐴𝑆 + 𝐵𝑆𝑡
Descubrimiento
t: Tiempo en años
t=1, 2, 3,….,n
𝐴𝑆, 𝐵𝑆, 𝐶𝑆, 𝐷𝑆: Coeficientes de los polinomios de regresión, que
deben ser estimados con los datos.
Para calcular y probar si la tendencia en la desviación
estándar es significativa, se sigue el siguiente proceso:
1. La información ya sin tendencia en la media 𝑌𝑡, se divide
en periodos de datos anuales
2. Se calcula las desviaciones estándar para cada periodo
de toda la información:
Descubrimiento
Donde:
𝑆𝑝 : Desviación estándar del año p, es decir de los datos
mensuales del año p
𝑌𝑝: Serie sin tendencia en a media
𝑌𝑝: Promedio de datos mensuales del año p
p: 1, 2, 3,….,12
𝑆𝑝 =
1
11
෍
𝑝=𝑖
12
𝑌𝑝 − 𝑌𝑝
2
1
2
Descubrimiento
3. Se calculan los parámetros de 𝑇𝑆 , a partir de las
desviaciones estándar anuales y el tiempo t (años), utilizando
las ecuaciones dadas para la tendencia en la media.
4. Se realiza la evaluación de 𝑇𝑆 siguiendo el mismo proceso
descrito para 𝑇𝑚.
Si en la prueba R resulta significativo, la tendencia en la
desviación estándar es significativa, por lo que se debe
eliminar la serie, aplicando la siguiente ecuación:
𝑍𝑡 =
𝑋 𝑡
′ − 𝑇𝑚
𝑇𝑆
Descubrimiento
Donde:
𝑍𝑡 : Serie sin tendencia en la media ni en la desviación
estándar. Las demás variables han sido definidas en párrafos
anteriores,
Para que el proceso preserve la media y la desviación
estándar constante, la ecuación toma la forma:
Donde:
ഥ𝑇𝑆, 𝑇𝑚: Son los promedios de la tendencia en la desviación
estándar y media respectivamente.
La serie Z es una serie homogénea y consistente al 95% de
probabilidad
𝑍𝑡 =
𝑋 𝑡
′ − 𝑇𝑚
𝑇𝑆
ഥ𝑇𝑆 + 𝑇𝑚
ESTRUCTURA PPTAprendizaje evidenciado
TRABAJO PRÁCTICO
Con el registro de volúmenes 
anuales en MM³ que se muestra 
en la Tabla, se realizó el análisis 
de doble masa y se obtuvo un 
punto de quiebre que permitió 
separar los datos en los períodos 
1964-1985 y 1986-1999.
Realizar el análisis estadístico de 
saltos en la media y desviación 
estándar para ambos periodos. Si 
se obtiene diferencia significativa 
(al 95% de probabilidad), realizar 
la corrección del primer periodo.
AÑO Xt AÑO Xt
1964 534.509 1982 318.882
1965 404.034 1983 311.313
1966 504.878 1984 450.2
1967 444.032 1985 386.957
1968 842.122 1986 668.201
1969 437.47 1987 536.824
1970 264.04 1988 598.446
1971 464.628 1989 573.582
1972 436.716 1990 569.369
1973 493.988 1991 330.482
1974 372.984 1992 949.436
1975 333.735 1993 260.183
1976 645.182 1994 430.169
1977 612.295 1995 577.293
1978 620.76 1996 502.513
1979 557.882 1997 1055.812
1980 494.515 1998 792.781
1981 362.199 1999 640.843
Tabla 2. Volúmenes anuales de caudales en MM³. 
Fuente: Villón (2005). 
Referencias
• Villón, M. (2005). Hidrología estadística. Editorial Villón, Lima–Perú.
• Monsalve Sáenz, G. (1999). Hidrología en la Ingeniería. Alfaomega: Colombia.
• Chow, V. T. (1994). Hidrología Aplicada. Colombia: McGraw-Hill.
• Aparicio Mijares, F. J. (1999). Fundamentos de hidrología de superficie. México:
Limusa.