Hidrologia Probabilística

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12/10/2021
Hidrología - Universidad de Piura 1
Ingeniería Civil
Cap. 9 
Hidrología probabilística
II. Análisis hidrológico
M.Sc. Marina Farías de Reyes
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Contenido
1. Probabilidades
2. Introducción a la Estadística
3. Estadística descriptiva
4. Función de probabilidad
5. Modelos de probabilidad
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Definiciones
• Experimento: Reproducción controlada de un fenómeno.
• Evento: Resultado de un experimento. Simples o 
compuestos.
• Espacio muestra: Representación de todos los eventos de 
un experimento. Gráfica o analítica.
• Punto muestral: Resultado de un experimento. Uno de los 
resultados posibles. Pertenece al espacio muestral.
Probabilidades
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Variable aleatoria
Función definida sobre un espacio muestra.
A cada evento le corresponde un número real.
A partir de un espacio muestra, diferentes variables. 
Será:
• Discreta: Número de eventos es finito.
• Continua: Número de eventos es infinito.
Dominio: espacio muestra
Rango: v.a.
X(ei) = xi
Probabilidades
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Ejemplos
• Experimento: Llegada de autos a un estacionamiento.
Evento: Hora de llegada 
Espacio muestra: S={00:00, 00:18, 00:52, ... 22:20, 23:45}
Variable aleatoria continua: tiempo entre llegada de dos autos.
Variable aleatoria discreta: Número de autos al día.
• Experimento: Preguntar el número de créditos matriculados a los 
alumnos.
• Evento: No. de créditos
• Espacio muestra: S={1,2,3, ... 28, 29, 30}
• Variable aleatoria discreta:
• Número de alumnos con más de 20 créditos.
• Número total de créditos inscritos.
Probabilidades
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Probabilidad
• Su estudio surge por el afán del hombre por las competencias y las 
apuestas. Hoy en día abarca más que los juegos de azar.
• Expresa resultados de los que no se tiene la total certeza.
• Expresa la posibilidad de que ocurra un evento como resultado de un 
experimento estadístico.
• Se evalúa por números reales, probabilidades, del 0 al 1. 
• A cada punto del espacio muestral se le asigna una probabilidad tal 
que la suma es igual a 1. Pueden ser equiprobables o con diferentes 
valores.
• La probabilidad de ocurrencia de un evento es la suma de 
probabilidades asignadas a los puntos muestrales.
0 <= P(A) <= 1; P() = 0; P(S) = 1.
Probabilidades
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• Probabilidad a priori
• Probabilidad experimental
• Probabilidad subjetiva
Tipos de probabilidad
Probabilidades
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Probabilidad a priori
• Se conoce de antemano basados en que los 
eventos simples o puntos muestrales son 
equiprobables.
• P = # eventos éxito / eventos totales
• Monedas, dados, naipes, etc.
Probabilidades
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Probabilidad experimental
• No en todos los experimentos los diversos resultados tienen 
la misma ocurrencia. 
• Si se repiten muchas veces, podemos observar mejor la 
frecuencia con que se repiten.
• A mayor número de experimentos:
frecuencias relativas observadas →probabilidades de ocurrencia
p = frecuencia observada = f_
# repeticiones del experimento N
Probabilidades
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Probabilidad subjetiva
• Está asociada a la experiencia, habilidad o conocimiento 
que tiene una persona para juzgar cierta situación.
• Se aplica a fenómenos que no se pueden repetir o cuya 
repetición no tiene sentido.
• Ejemplos: 
• Un topógrafo opina que tiene el 30% de posibilidades de 
terminar su trabajo en el cauce del río a tiempo si el nivel de agua 
no le causa retrasos.
• Existe un 20% de probabilidad que el nivel del río esté alto 
durante la próxima semana.
Probabilidades
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Contenido
1. Probabilidades
2. Introducción a la Estadística
3. Estadística descriptiva
4. Función de probabilidad
5. Modelos de probabilidad
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Introducción a la Estadística
• Es la ciencia que recopila, clasifica, presenta, describe e
interpreta conjuntos de datos.
• Generalmente se ocupa de estudiar fenómenos aleatorios.
• Es una ciencia que ha llegado a emplearse en casi todas las
ciencias.
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Definiciones
• Universo: Conjunto de datos cuyas propiedades se van a 
estudiar.
• Muestra: Conjunto de datos seleccionados de un universo.
• Muestra representativa: Si refleja bien las características del 
universo.
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Tipos de Estadística
• Estadística descriptiva
Se encarga de recopilar, clasificar, presentar y describir un conjunto 
de datos. 
Como generalmente estos conjuntos o universos son muy grandes, 
se estudian muestras.
• Estadística inferencial
Se encarga de interpretar los datos descritos por la anterior. 
De las muestras analizadas saca conclusiones para el universo, 
lógicamente con ciertos márgenes de incertidumbre que pueden 
ser cuantificados.
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Contenido
1. Probabilidades
2. Introducción a la Estadística
3. Estadística descriptiva
4. Función de probabilidad
5. Modelos de probabilidad
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• Media aritmética o promedio: la suma de los valores
entre el número de sumandos.
• Mediana: es el valor de la variable que deja el mismo
número de datos antes y después que él, una vez
ordenados éstos.
• Moda: es el valor con una mayor frecuencia en una
distribución de datos.
Medidas descriptivas de tendencia central
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AÑO Q (m
3
/s)
1926 860
1927 610
1928 124
1929 135
1930 95
1931 450
1932 1900
1933 620
1934 438
1935 379
1936 390
1937 39
1938 508
1939 1525
1940 185
1941 2220
1942 405
1943 2250
1944 273
1945 220
1946 134
1947 41
1948 43
1949 1010
1950 0
media 594
AÑO Q (m
3
/s) orden
1943 2250 1
1941 2220 2
1932 1900 3
1939 1525 4
1949 1010 5
1926 860 6
1933 620 7
1927 610 8
1938 508 9
1931 450 10
1934 438 11
1942 405 12
1936 390 13
1935 379 14
1944 273 15
1945 220 16
1940 185 17
1929 135 18
1946 134 19
1928 124 20
1930 95 21
1948 43 22
1947 41 23
1937 39 24
1950 0 25
mediana
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• Amplitud
• Desviación media
• Varianza
• Desviación estándar
• Coeficiente de variación
Medidas descriptivas de variabilidad o dispersión
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AÑO Q (m
3
/s)
Desviaciónre
specto de la 
media
Valor absoluto 
de la desviación
Desviación al 
cuadrado
1926 860 266 266 70682
1927 610 16 16 252
1928 124 -470 470 221032
1929 135 -459 459 210810
1930 95 -499 499 249141
1931 450 -144 144 20776
1932 1900 1306 1306 1705270
1933 620 26 26 669
1934 438 -156 156 24380
1935 379 -215 215 46285
1936 390 -204 204 41673
1937 39 -555 555 308180
1938 508 -86 86 7420
19391525 931 931 866500
1940 185 -409 409 167396
1941 2220 1626 1626 2643421
1942 405 -189 189 35774
1943 2250 1656 1656 2741872
1944 273 -321 321 103131
1945 220 -374 374 139981
1946 134 -460 460 211729
1947 41 -553 553 305964
1948 43 -552 552 304307
1949 1010 416 416 172940
1950 0 -594 594 353002
10952585 10952585
media 594 0 499 438103 456358
661.89 675.54
n n-1
desviación estándar
Desviación estándar de
la muestra:
Desviación estándar de
el universo:
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• Cuartiles
• Percentiles
Medidas descriptivas de posición
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• Asimetría: Distorsión respecto del 
eje de simetría.
• Positivo → cola hacia la derecha
• Negativo → cola hacia la izquierda
• Curtosis: Agudeza. 
• Positivo → distribución aguda
• Negativo → distribución plana
Medidas descriptivas de forma
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Contenido
1. Probabilidades
2. Introducción a la Estadística
3. Estadística descriptiva
4. Función de probabilidad
5. Modelos de probabilidad
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Función de probabilidad
• Una función de probabilidad de una variable aleatoria X se 
define como el conjunto de parejas ordenadas {xi, f(xi)} 
donde xi es el valor que puede tomar X y f(xi) representa la 
probabilidad de que X asuma dicho valor , de tal forma que 
Sf(xi) = 1.
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Función de probabilidad
• La probabilidad total se divide entre le número de puntos muestrales:
• Pero cuando tenemos infinitos puntos muestrales ¿?
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x f(x) 2 monedas x=Nº caras x f(x)
1 1/6 CC 2 0 1/4
2 1/6 CS 1 1 1/2
3 1/6 SC 1 2 1/4
4 1/6 SS 0 Suma = 1
5 1/6
6 1/6
Suma = 1
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…
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Contenido
1. Probabilidades
2. Introducción a la Estadística
3. Estadística descriptiva
4. Función de probabilidad
5. Modelos de probabilidad
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Modelos probabilísticos en Hidrología
Modelo matemático: Descripción de un fenómeno de la 
naturaleza por medio de formulaciones matemáticas.
• M. M. determinístico: Resultado determinado por las condiciones en 
que se realiza el experimento. Sólo cambia si se cambian las 
condiciones.
• M. M. probabilístico o no determinístico: Las condiciones en que se 
produce el fenómeno no determinan el resultado.
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Modelos probabilísticos en Hidrología
Dan resultados aproximados, con cierto grado de confiabilidad.
Características:
• Sin variar las condiciones se obtienen diferentes resultados.
• Se puede describir el conjunto de todos los resultados 
posibles.
• Al inicio los resultados parecen sin patrón.
Ejemplo: Lluvias en Piura, sismos en Lima.
Modelo matemático probabilístico 
o no determinístico
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Es necesario:
• Espacio muestral, S.
• Probabilidad, asociada a c/punto de S.
Ejemplo: Lluvias en Piura.
v.a.: Total de lluvia mensual en Piura.
Registros: 0 – 820 mm
Espacio muestral: 0 – a
Probabilidad: función de probabilidad.
Modelos probabilísticos en Hidrología
Modelo matemático probabilístico 
o no determinístico
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Analogía con modelos determinísticos
X Y
0.1 0.5
0.5 0.8
1 2
1.8 2.5
2.5 3
3 3.6
4.2 4.8
5 6.5
5.6 6.8
6.5 7
8 7.8
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Analogía con modelos determinísticos
X Y
0.1 0.5
0.5 0.8
1 2
1.8 2.5
2.5 3
3 3.6
4.2 4.8
5 6.5
5.6 6.8
6.5 7
8 7.8
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Ahora, qué pasa si extrapolamos hasta x=20?
X Y
0.1 0.5
0.5 0.8
1 2
1.8 2.5
2.5 3
3 3.6
4.2 4.8
5 6.5
5.6 6.8
6.5 7
8 7.8
y = 0.99x + 0.68
R² = 0.97
y = -0.05x2 + 1.38x + 0.25
R² = 0.98
y = 1.03e0.32x
R² = 0.82
y = 1.85x0.68
R² = 0.96
0
100
200
300
400
500
600
700
0 5 10 15 20 25
Y
Lineal (Y)
Polinómica (Y)
Exponencial (Y)
Potencial (Y)
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Hidrología - Universidad de Piura 17
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Y hasta x=50? Lo mismo va a suceder con los modelos 
probabilísticos.
X Y
0.1 0.5
0.5 0.8
1 2
1.8 2.5
2.5 3
3 3.6
4.2 4.8
5 6.5
5.6 6.8
6.5 7
8 7.8
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Conclusiones de la analogía
• A partir de unos datos (x, y) se pueden establecer modelos que 
intentan explicar la relación entre ellos. Lo mismo para (x, f(x)).
• Ningún modelo es la verdad absoluta.
• Son válidos en mayor o menor medida para el rango de los datos y 
algo más. No son buenas las extrapolaciones.
• Los modelos tienen o son formas predeterminadas. Ajustarlos 
significa determinar sus parámetros.
• Nos permiten estimar el valor de y para un x dado. Y viceversa.
• De igual modo para x y su frecuencia o probabilidad.
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Hidrología - Universidad de Piura 18
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Principales modelos 
probabilísticos discretos
•Binomial
•Poisson
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Distribución Binomial
• Número de éxitos en n ensayos independientes de tipo 
Bernoulli (solo dos posibles resultados: éxito y fracaso)
• Por ejemplo, la probabilidad de que uno de los próximos 
diez años se produzca un Fenómeno del Niño de magnitud 
muy fuerte (que se produzca fuerte o que no se produzca). 
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Hidrología - Universidad de Piura 19
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…Distribución Binomial
Usada en problemas cuando se tiene:
• Un número fijo de pruebas o ensayos.
• Los resultados del ensayo son sólo éxito o fracaso.
• Los ensayos son independientes (año hidrológico 
ok), y
• Probabilidad de éxito es constante durante todo el 
experimento. 
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La función de masa de probabilidad 
binomial es: 
donde: 
La distribución binomial acumulada es: 
Está en Excel.
es el combinatorio(n; x). 
…Distribución Binomial
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Hidrología - Universidad de Piura 20
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• El criterio de riesgo es la fijación, a priori, del riesgo que se
desea asumir por el caso de que la obra llegase a fallar dentro
de su tiempo de vida útil, lo cual implica que no ocurra un
evento de magnitud superior a la utilizada en el diseño durante
el primer año, durante el segundo, y así sucesivamente para
cada uno de los años de vida de la obra (Manual MTC).
Probabilidad de falla para una vida útil de 
n años
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Probabilidad de falla para una vida útil de 
n años
• Período de retorno: Tr años
• Probabilidad de falla en un año dado: 1/Tr
• Prob. de que no falle en ese año:1-1/Tr
• Prob. que no falle en los n años: (1-1/Tr)n
• Prob. que falle en los n años: R =1-(1-1/Tr)n
• O con Binomial, prob. que no falle en los n años: 
nnn
TrTrTrTr
n
Trnxb 





−=





−=





−











==
−
1
1
1
1*1*1
1
1
1
0
)/1;;0(00
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Hidrología - Universidad de Piura 21
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Riesgo R =1-(1-1/Tr)n
Tr=1/(1-(1-R) 1/n)
• Si la obra tiene una vida 
útil de n años, se calcula 
Tr, fijando el riesgo de 
falla admisible R, el cual 
es la probabilidad de 
ocurrencia del pico de la 
creciente estudiada, 
durante la vida útil de la 
obra.
1 2 3 5 10 20 25 50 100 200
0.01 100 199 299 498 995 1,990 2,488 4,975 9,950 19,900 
0.02 50 99 149 248 495 990 1,238 2,475 4,950 9,900 
0.05 20 39 59 98 195 390 488 975 1,950 3,900 
0.1 10 19 29 48 95 190 238 475 950 1,899 
0.2 5 9 14 23 45 90 113 225 449 897 
0.25 4 7 11 18 35 70 87 174 348 696 
0.5 2 3 5 8 15 29 37 73 145 289 
0.75 1.3 2.0 2.7 4.1 7.7 15 19 37 73 145 
0.99 1.0 1.1 1.3 1.7 3 5 6 11 22 44 
VIDA ÚTIL DE LAS OBRAS (n años)R 
(%)
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Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Principales modelos probabilísticos 
continuos
• Normal
• Log-normal
• Valores extremos tipo I. Gumbel
• Familia Gamma: Pearson III, Exponencial, etc.
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Hidrología - Universidad de Piura 22
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Para cualquier modelo probabilístico
• Función densidad o probabilidad bruta: 𝑓 𝑥
• Función de probabilidad acumulada: F 𝑥
𝐹 𝑥 = න
−∝
𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Quiere decir que si tenemos una función f(x) debemos 
integrarla para hallar F(x)
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Para cualquier modelo probabilístico
Las variables aleatorias continuas presentan “infinitos” valores posibles →
infinitos eventos.
Sus probabilidad individuales no son iguales, no son eventos equiprobables. Pero 
sí podemos decir que c/u es pequeñísima→ 0
 -
 0.1
 0.1
 0.2
 0.2
 0.3
 0.3
 0.4
 0.4
 0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(
x)
v.a.
Pexc
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Pno exc
Por tanto, no nos interesa la 
probabilidad individual f(x) sino la 
acumulada F(x).
Si dividimos todos los eventos 
posibles en “los que exceden un valor 
x” y “los que no lo exceden”, 
tendremos solo dos eventos 
compuestos y sus probabilidades 
suman 1:
Las probabilidades son las 
áreas bajo la curva y suman 
uno
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Hidrología - Universidad de Piura 23
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Para cualquier modelo probabilístico
Entonces F(x) = P no exc
Y Pexc + P no exc = 1 
Además: 
1
𝑇𝑟
= 𝑃𝑒𝑥𝑐→muy importante!!
 -
 0.1
 0.1
 0.2
 0.2
 0.3
 0.3
 0.4
 0.4
 0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(
x)
v.a.
Pexc
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Pno exc
Las probabilidades son las 
áreas bajo la curva y suman 
uno
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Distribución Normal
Función densidad:
Función acumulada: No se puede 
obtener, por eso recurrimos a 
tablas.
Pero como no podemos tener 
infinitas tablas, estandarizamos las 
variables a una nueva v.a. “z”:
-
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -2 0 2 4
v.a.
f(
x)

−
=
x
z
P(z)
: Z
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Hidrología - Universidad de Piura 24
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Tabla de distribución normal “z versus P”
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
+ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
0.10 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
0.20 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
0.30 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
0.40 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
0.50 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776
0.60 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
0.70 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
0.80 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
0.90 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
1.00 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
1.10 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
1.20 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
1.30 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
1.40 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
1.50 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
1.60 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
1.70 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
1.80 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
1.90 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233
2.00 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
2.10 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143
2.20 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110
2.30 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
2.40 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
2.50 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
2.60 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
2.70 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
2.80 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019
2.90 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
3.00 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
3.10 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007
3.20 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005
3.30 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003
3.40 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002
3.50 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
3.60 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
3.70 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
3.80 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
3.90 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
DESCARGAS MAXIMAS EXTREMAS (m3/s)
Q ORDENADOS F(x) f(x) MEDIA 666.21 
4424.0 1.0000 0.000000 DESV.EST. 883.43 
3200.0 0.9979 0.000007 
3107.0 0.9971 0.000010 
2500.0 0.9810 0.000052 
2250.0 0.9635 0.000091 
2220.0 0.9607 0.000096 
2200.0 0.9587 0.000100 
1900.0 0.9187 0.000170 
1793.0 0.8989 0.000200 
1700.0 0.8790 0.000228 
1616.0 0.8588 0.000253 
1530.0 0.8359 0.000280 
1525.0 0.8345 0.000282 
1108.0 0.6915 0.000399 
1042.0 0.6647 0.000413 
1010.0 0.6514 0.000419 
980.0 0.6388 0.000424 
900.0 0.6044 0.000436 
860.0 0.5868 0.000441 
 -
 0.00005
 0.00010
 0.00015
 0.00020
 0.00025
 0.00030
 0.00035
 0.00040
 0.00045
 0.00050
0 1000 2000 3000 4000 5000
histograma
Distribución Normal en Excel
…
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
12/10/2021
Hidrología - Universidad de Piura 25
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Distribución Log-Normal
• Es la distribución Normal aplicada habiendo hecho un cambio de variable.
• Existendos tipos de Log Normal: 
• De dos parámetros:
• De tres parámetros:
y
yy
zxy

−
== );ln(
y
yy
zaxy

−
=−= );ln(
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Distribución LogNormal2 en Excel
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
AÑO Q Q ORD. y = ln (x) F(x) f(x)
1926 860.0 4424 8.395 0.9495 0.0576 
1927 610.0 3200 8.071 0.9280 0.0760 
1928 124.0 3107 8.041 0.9257 0.0779 
1929 135.0 2500 7.824 0.9073 0.0920 
1930 95.0 2250 7.719 0.8972 0.0992 
1931 450.0 2220 7.705 0.8959 0.1002 
1932 1900.0 2200 7.696 0.8949 0.1008 
1933 620.0 1900 7.550 0.8794 0.1112 
1934 438.0 1793 7.492 0.8728 0.1154 
1935 379.0 1700 7.438 0.8666 0.1193 
1936 390.0 1616 7.388 0.8604 0.1231 
1937 39.0 1530 7.333 0.8536 0.1271 
1938 508.0 1525 7.330 0.8532 0.1274 
1939 1525.0 1108 7.010 0.8087 0.1510 
1940 185.0 1042 6.949 0.7993 0.1555 
1941 2220.0 1010 6.918 0.7944 0.1577 
1942 405.0 980 6.888 0.7896 0.1599 
1943 2250.0 900 6.802 0.7758 0.1659 
1944 273.0 860 6.757 0.7681 0.1690 
1945 220.0 845 6.739 0.7652 0.1702 
1946 134.0 845 6.739 0.7652 0.1702 
1947 41.0 690 6.537 0.7293 0.1835 
1948 42.5 646 6.471 0.7171 0.1875 
1949 1010.0 638 6.458 0.7148 0.1882 
1950 0.0 620 6.430 0.7093 0.1899 
1951 0.0 610 6.413 0.7062 0.1908 
 -
 0.05
 0.10
 0.15
 0.20
 0.25
0 1000 2000 3000 4000 5000
x (Caudales)
histograma x
 -
 0.05
 0.10
 0.15
 0.20
 0.25
0 2 4 6 8 10
y = ln x
histograma ln x
12/10/2021
Hidrología - Universidad de Piura 26
Universidad de PiuraUniversidad de PiuraM.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
Datos originales Si quiero conocer el caudal para Tr = 100 años,
MEDIA 666.21 
DESV.EST. 883.43 sabiendo que Tr = 1 / P exc
C.ASIMETRIA 2.0567 --> Pexc = 1 / 100 = 0.01
 --> Pno exc = 1-P exc = 0.99
ln Q z = f ( Pno exc) =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,99)
MEDIA 5.4346 
DESV.EST. 1.8046 z = 2.326
C.ASIMETRIA (0.8016) y =  + z S
y = 5,435 + 2,326 * 1,805
y = 9.6327 
y = ln (x)
x = e (y)
x = 15256 m3/s
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Distribución LogNormal3 en Excel
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
Q ORD y = ln (x-a) F(x) f(x)
4424.0 8.400 0.97458 0.04336 Datos originales
3200.0 8.079 0.95705 0.06678 MEDIA 666.21 
3107.0 8.049 0.95506 0.06926 DESV.EST. 883.43 
2500.0 7.834 0.93803 0.08937 
2250.0 7.730 0.92816 0.10020 C.ASIMETRIA 2.0567 
2220.0 7.716 0.92682 0.10163 
2200.0 7.708 0.92590 0.10260 
1900.0 7.563 0.90987 0.11892 ln Q
1793.0 7.506 0.90288 0.12566 MEDIA 5.4346 
1700.0 7.453 0.89612 0.13199 DESV.EST. 1.8046 
1616.0 7.403 0.88938 0.13811 
1530.0 7.349 0.88176 0.14482 C.ASIMETRIA (0.8016) 
1525.0 7.346 0.88130 0.14522 
1108.0 7.033 0.82951 0.18546 
1042.0 6.973 0.81815 0.19319 ln (Q-a)
1010.0 6.942 0.81221 0.19709 MEDIA 5.7310 
980.0 6.913 0.80636 0.20084 DESV.EST. 1.3670 
900.0 6.830 0.78927 0.21126 a (25.07) 
860.0 6.786 0.77981 0.21671 
845.0 6.769 0.77609 0.21880 C.ASIMETRIA 6.61E-06
845.0 6.769 0.77609 0.21880 
690.0 6.572 0.73089 0.24148 
646.0 6.509 0.71534 0.24822 
638.1 6.497 0.71239 0.24943 
620.0 6.469 0.70545 0.25223 
610.0 6.454 0.70150 0.25377 
574.0 6.395 0.68653 0.25933 
568.0 6.385 0.68391 0.26025 
545.0 6.346 0.67355 0.26377 
508.0 6.279 0.65566 0.26933 
 -
 0.05
 0.10
 0.15
 0.20
 0.25
 0.30
 0.35
0 2 4 6 8 10
LN3; C.A.=0
 -
 0.05
 0.10
 0.15
 0.20
 0.25
0 2 4 6 8 10
LN2; C.A.=-0,8
12/10/2021
Hidrología - Universidad de Piura 27
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
Datos originales Si quiero conocer el caudal para Tr = 100 años,
MEDIA 666.21 
DESV.EST. 883.43 sabiendo que Tr = 1 / Pno exc
C.ASIMETRIA 2.0567 --> P exc = 1 / 100 = 0.01
 --> Pno exc = 1-P exc = 0.99
ln Q z = f ( Pexc) =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,99)
MEDIA 5.4346 
DESV.EST. 1.8046 z = 2.3263479
C.ASIMETRIA (0.8016) y =  + z 
y = 5,731 + 2,326 * 1,367
ln (Q-a)
MEDIA 5.7310 y = 8.9111 
DESV.EST. 1.3670 
a (25.07) y = ln (x - a)
C.ASIMETRIA 6.61E-06 x - a = e (y)
x - a = 7413.4854
x = 7413,477 - 25,068
x = 7388 m3/s
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
VE I o Gumbel
La probabilidad acumulada:
donde y es una variable auxiliar:
a y u son los parámetros de la función:
Sx y yn vienen a ser unos “preparámetros”
𝑭 𝑿 = 𝒆−𝒆
−𝒚
𝐹 𝑋 = 𝑃𝑛𝑜𝑒𝑥𝑐 = 1 − 𝑃𝑒𝑥𝑐 = 1 −
1
𝑇𝑟
a
ux
y
−
=
ayxu n.−=
Sn
Sx
a =
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
-
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -2 0 2 4
v.a.
f(
x)
Pexc
Pno exc
12/10/2021
Hidrología - Universidad de Piura 28
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Valores de Gumbel
Media reducida Yn
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0,4952 0,4996 0,5035 0,5070 0,5100 0,5128 0,5157 0,5181 0,5202 0,5220
20 0,5230 0,5252 0,5268 0,5283 0,5296 0,5309 0,5320 0,5332 0,5343 0,5353
30 0,5362 0,5371 0,5380 0,5388 0,5396 0,5402 0,5410 0,5418 0,5424 0,5430
40 0,5436 0,5442 0,5448 0,5453 0,5458 0,5463 0,5468 0,5473 0,5477 0,5481
50 0,5485 0,5489 0,5493 0,5497 0,5501 0,5504 0,5508 0,5511 0,5515 0,5518
60 0,5521 0,5524 0,5527 0,5530 0,5533 0,5535 0,5538 0,5540 0,5543 0,5545
70 0,5548 0,5550 0,5552 0,5555 0,5557 0,5559 0,5561 0,5563 0,5565 0,5567
80 0,5569 0,5570 0,5572 0,5574 0,5576 0,5578 0,5580 0,5581 0,5583 0,5585
90 0,5586 0,5587 0,5589 0,5591 0,5592 0,5593 0,5595 0,5596 0,5598 0,5599
100 0,5600
Desviación tipica reducida Sn
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0,9496 0,9676 0,9833 0,9971 1,0095 1,0206 1,0316 1,0411 1,0493 1,0565
20 1,0628 1,0696 1,0754 1,0811 1,0864 1,0915 1,0961 1,1004 1,1047 1,1086
30 1,1124 1,1159 1,1193 1,2260 1,1255 1,1285 1,1313 1,1339 1,1363 1,3880
40 1,1413 1,1430 1,1458 1,1480 1,1499 1,1519 1,1538 1,1557 1,1574 1,1590
50 1,1607 1,1623 1,1638 1,1658 1,1667 1,1681 1,1696 1,1708 1,1721 1,1734
60 1,1747 1,1759 1,1770 1,1782 1,1793 1,1803 1,1814 1,1824 1,1834 1,1844
70 1,1854 1,1863 1,1873 1,1881 1,1890 1,1898 1,1906 1,1915 1,1923 1,1930
80 1,1938 1,1945 1,1953 1,1959 1,1967 1,1973 1,1980 1,1987 1,1994 1,2001
90 1,2007 1,2013 1,2020 1,2026 1,2032 1,2038 1,2044 1,2049 1,2055 1,2060
100 1,2065
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Gumbel en Excel
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
AÑO Q Q ORD y = (x - u)/a Tr
1986 25.0 44.0 (0.28) 1.36 
1987 574.0 42.0 (0.28) 1.36 
1988 6.0 41.0 (0.29) 1.36 
1989 845.0 39.0 (0.29) 1.36 
1990 6.0 37.0 (0.29) 1.36 
1991 14.0 33.0 (0.30) 1.35 
1992 1793.0 29.0 (0.30) 1.35 
1993 1042.0 25.0 (0.31) 1.35 
1994 1108.0 21.0 (0.31) 1.34 Si quiero conocer el caudal para Tr = 100 años,
1995 75.0 14.0 (0.32) 1.34 sabiendo que:
1996 111.0 6.0 (0.33) 1.33 
1997 638.0 6.0 (0.33) 1.33 1 - e(-e(-y))= 0.01 = 1/Tr
1998 4424.0 0.0 (0.34) 1.32 e(-e(-y))= 0.99
1999 3107.0 0.0 (0.34) 1.32 
 -e(-y)= -0.01005
x medio 666.20 0.5557 e(-y)= 0.0100503
desv. Est x (Sx) 883.44 1.1890 
 -y = -4.600149
n = número datos 74 y = 4.6001492
yn medio = 0.5557
Sn = 1.1890 y = x-u
a
parámetros, según n
a = Sx / Sn = 743.01 x = u + a.y
u = x-yn*a= 253.31 x = 3671 m3/s
𝑭 𝑿 = 𝒆−𝒆
−𝒚
𝐹 𝑋 = 𝑃𝑛𝑜𝑒𝑥𝑐 = 1− 𝑃𝑒𝑥𝑐 = 1 −
1
𝑇𝑟a
ux
y
−
=
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Hidrología - Universidad de Piura 29
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Distribución Gamma o Pearson III
• Posee gran flexibilidad y diversidad de formas, según los parámetros.
• Se utiliza esta función para estudiar variables cuya distribución es 
asimétrica, tales como las hidrológicas.
• De uso corriente en análisis de las colas de espera.
• Gamma de 3 parámetros:





 −
−
−





 −

=

a


a
a
x
e
x
xf
1
)(
1
);;;(
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Familia Gamma o Pearson III
• Dependiendo de los valores de los parámetros, se trata de Gamma de 3p o 
Gamma de 2p. 
• Si  = 0 → Gamma de 2 parámetros (Excel):
• Si  = 1 → Gamma de 1 parámetro o estándar:
• Si a = 1, equivale a la distribución exponencial con: l = 1/.
a
a a
a xexxf −−

= 1
)(
1
);;(





 −
−
−





 −

=

a


a
a
x
e
x
xf
1
)(
1
);;;(
xexxf −−

= 1
)(
1
);( a
a
a

lll

 l 1
);(;
1
);1;( === −− conexfexf xx
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Hidrología - Universidad de Piura 30
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…Distribución Gamma 2 parámetros
• La ecuación para la función de densidad de la probabilidad es: 
a
a a
a xexxf −−

= 1
)(
1
);;(
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Gamma 2 en Excel
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
GAMMA DE 2 PARAMETROS
DATOS ORD f(x) F(x) x (media) 666.2
4424.0 7.0E-06 9.9E-01 s2 (varianza) 780417.4
3200.0 2.3E-05 9.8E-01 a 0.569 
3107.0 2.5E-05 9.7E-01  1,171.38 
2500.0 4.7E-05 9.5E-01
2250.0 6.0E-05 9.4E-01
2220.0 6.2E-05 9.4E-01 Si quiero conocer el caudal para Tr = 100 años,
2200.0 6.4E-05 9.4E-01
1900.0 8.7E-05 9.1E-01 sabiendo que Tr = 1 / Pexc
1793.0 9.8E-05 9.0E-01
1700.0 1.1E-04 8.9E-01 --> Pexc = 1 / 100 = 0.01
1616.0 1.2E-04 8.8E-01 --> Pno exc = 1-P exc = 0.99
1530.0 1.3E-04 8.7E-01
1525.0 1.3E-04 8.7E-01 x = f ( Pexc) =DISTR.GAMMA.INV(P;a;)
1108.0 2.2E-04 8.0E-01
1042.0 2.4E-04 7.9E-01 x = 4122 m3/s
1010.0 2.5E-04 7.8E-01
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Hidrología - Universidad de Piura 31
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
Bondad de ajuste de los modelos
Los test de bondad de ajuste son una prueba de
hipótesis que se usa para evaluar si un conjunto
de datos es una muestra independiente de la
distribución F elegida.
Ho: Los datos son una muestra independiente e
idénticamente distribuida de F(x).
Ojo: No rechazar Ho no quiere decir aceptar Ho.
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Pruebas de bondad de ajuste
• Prueba c2: Se necesita agrupar los valores y 
es más trabajosa.
• Prueba Kolmogorov-Smirnov: Se trabaja con 
los valores individuales.
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Hidrología - Universidad de Piura 32
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Prueba Kolmogorov-Smirnov
• Compara las P exc empíricas: 
P = m/(n+1) m:# orden; n:# datos
con las teóricas según cada distribución de los datos 
individuales, sin agrupar.
• Producto de dicha comparación se obtienen unos valores D.
• El Dmáximo se compara con un valor Dcrítico:
Dcrítico = 1.36 / √n
• Se acepta si Dmáximo < Dcrítico Nivel de 
significancia
Numerador
20% 1,07 
10% 1,22 
5% 1,36 
1% 1,63 M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
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Test en Excel
M.Sc. Marina Farías de Reyes - UDEP
DATOS Empírica Normal LN2 LN3 Gumbel Gamma Normal LN2 LN3 Gumbel Gamma
56 75.0 0.747 0.748 0.732 0.795 0.720 0.770 0.00166 0.01462 0.04810 0.02715 0.02344
57 74.0 0.760 0.749 0.734 0.797 0.720 0.772 0.01132 0.02551 0.03685 0.04001 0.01178
58 58.0 0.773 0.754 0.777 0.831 0.728 0.800 0.01891 0.00348 0.05796 0.04569 0.02701
59 49.0 0.787 0.758 0.804 0.852 0.732 0.818 0.02905 0.01703 0.06490 0.05474 0.03143
60 45.0 0.800 0.759 0.816 0.861 0.734 0.826 0.04097 0.01650 0.06077 0.06617 0.02649
61 44.0 0.813 0.759 0.820 0.863 0.734 0.829 0.05395 0.00645 0.04976 0.07903 0.01531
62 42.0 0.827 0.760 0.825 0.867 0.735 0.832 0.06676 0.00188 0.03991 0.09142 0.00524
63 41.0 0.840 0.760 0.830 0.870 0.736 0.835 0.07956 0.01012 0.03008 0.10428 0.00477
64 39.0 0.853 0.761 0.837 0.875 0.737 0.840 0.09220 0.01653 0.02144 0.11666 0.01358
65 37.0 0.867 0.762 0.844 0.879 0.738 0.844 0.10483 0.02278 0.01283 0.12905 0.02228
66 33.0 0.880 0.763 0.859 0.889 0.740 0.854 0.11676 0.02142 0.00900 0.14050 0.02599
67 29.0 0.893 0.765 0.874 0.899 0.741 0.864 0.12870 0.01932 0.00523 0.15195 0.02915
68 25.0 0.907 0.766 0.890 0.908 0.743 0.875 0.14064 0.01643 0.00152 0.16340 0.03164
69 21.0 0.920 0.767 0.907 0.918 0.745 0.887 0.15259 0.01268 0.00218 0.17485 0.03331
70 14.0 0.933 0.770 0.939 0.935 0.748 0.910 0.16351 0.00599 0.00129 0.18491 0.02350
71 6.0 0.947 0.773 0.978 0.953 0.752 0.944 0.17410 0.03157 0.00673 0.19451 0.00249
72 6.0 0.960 0.773 0.978 0.953 0.752 0.944 0.18743 0.01824 0.00660 0.20785 0.01583
73 0.0 0.973 0.775 0.999 0.965 0.755 0.980 0.19872 0.02537 0.00871 0.21839 0.00649
74 0.0 0.987 0.775 0.999 0.965 0.755 0.980 0.21206 0.01203 0.02204 0.23173 0.00685
Delta téorico 0.21206 0.10310 0.07179 0.23173 0.07129
Delta tabular
Resultado Rechazada Aceptada Aceptada Rechazada Aceptada
0.1581
Probabilidad de excedencia F(x) Diferencia Delta D
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Hidrología - Universidad de Piura 33
Universidad de PiuraUniversidad de Piura
¿Cómo se elige el mejor modelo? 
• Un criterio es el menor delta.
• Una vez ajustado el modelo probabilístico se predicen los 
valores y se llega a la curva de diseño Q vs Tr.
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