UG_HG_Unidad_VII_Semana_13

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UNIDAD VII: ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
SEMANA N°13
OBTENCIÓN Y 
EXTENSIÓN DE 
INFORMACIÓN 
HIDROMETEOROLÓGICA
Prof: Mg. Ing. Abel Carmona A.
Interés
https://bit.ly/33mvSnf
¿Cómo se puede 
extender datos 
hidrometeorológicos
si no se tiene la 
información?
AGENDA
1.1 Definición
1.2 Técnicas
1.3 Proceso
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante 
desarrolla actividades para completar y extender la 
información de datos faltantes, mostrando dominio técnico, 
claridad y manejo la terminología estudiada.
Descubrimiento
• Extensión: proceso de transferencia de información desde
una estación de un “largo” registro histórico a otra con un
“corto” registro.
• Completación: proceso por el cual, se llenan “huecos” que
existen en un registro de datos. La completación es un caso
particular de la extensión.
1. Completación y extensión
1.1 Definición (Villón, 2005):
Descubrimiento
• La extensión es más importante que la completación, pues
modifica a los estimadores de parámetros, por ejemplo la
media de una muestra corta, será diferente a la media de una
muestra extendida.
• La completación y extensión de la información
hidrometeorológica faltante, se efectúa para tener en lo
posible series completas, más confiable y de un periodo
uniforme.
Descubrimiento
Para la completación, en orden de prioridad son:
• Regresión lineal simple, entre éstas:
o Correlación cruzada entre dos o más estaciones,
situación (1) sin desfasaje de la Figura 5.
o Autocorrelación, situación (2) de la Figura 5.
• Relleno con criterios prácticos.
Para la extensión se usan modelos de:
• Regresión lineal simple
• Regresión lineal múltiple
1.2 Técnicas
El modelo más usado para transferir información hidrológica,
entre estaciones medidas, es la regresión lineal simple.
Descubrimiento
Figura 5. Serie histórica de caudales de las cuencas A y B. 
Fuente: Villón (2005).
Descubrimiento
1.3 Proceso de completación o extensión:
• Obtener la serie de tamaño 𝑁1, a
completar o extender (Figura 6):
𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,…, 𝑦𝑁1
• Seleccionar la estación, que
guarde una buena relación con la
estación con la que se esta
trabajando, y cuya longitud de la
serie sea mayor, como por
ejemplo: 𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,…, 𝑥𝑁1, 𝑥𝑁1+1, …., 𝑥𝑁1+𝑁2
Figura 6. Serie de tamaños 𝑁1 y 𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2
Fuente: Villón (2005).
Descubrimiento
Donde:
𝑦𝑡: serie de registro “corto”
𝑥𝑡: serie de registro “largo”
𝑁1: tamaño del registro común a ambas series o tamaños del registro
corto.
𝑁2: tamaño del registro no común
𝑁 = 𝑁1 + 𝑁2: tamaño del registro largo.
• Seleccionar el modelo de correlación, en este caso, la ecuación de
regresión lineal:
𝑦𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑡
Donde:
𝑦𝑡: serie de registro “corto”
𝑥𝑡: serie de registro “largo”
a y b: parámetros de la ecuación de regresión lineal simple
Descubrimiento
Estimar los parámetros:
Los estimadores de a, b y r se calculan con las siguientes
ecuaciones:
𝑏 =
𝑁1 σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
𝑁1 σ𝑥𝑖
2 − σ𝑥𝑖
2
𝑎 = 𝑦1 − 𝑏𝑥1
𝑦1 =
σ𝑦𝑖
𝑁1
𝑥1 =
σ𝑥𝑖
𝑁1
𝑟 =
𝑁1 σ𝑥𝑖𝑦𝑖 − σ𝑥𝑖 σ𝑦𝑖
𝑁1σ𝑥𝑖
2 − σ𝑥𝑖
2 𝑁1 σ𝑦𝑖
2 − σ𝑦𝑖
2
𝑆1(𝑦) =
1
𝑁1 − 1
෍
𝑖=1
𝑁1
𝑦𝑖 − 𝑦1
2
1
2
𝑆1(𝑥) =
1
𝑁1 − 1
෍
𝑖=1
𝑁1
𝑥𝑖 − 𝑥1
2
1
2
𝑏 = 𝑟
𝑆1(𝑦)
𝑆1(𝑥)
Descubrimiento
Donde:
𝑦1 𝑦 𝑥1: Son los estimados de las medias, de los periodos comunes,
de tamaño 𝑁1 de las variables 𝑦𝑡 é 𝑥𝑡
𝑆1(𝑦) , 𝑆1(𝑥) : Son los estimados no sesgados de las desviaciones
estándar, de 𝑦𝑡 y 𝑥𝑡 de los periodos comunes de tamaño 𝑁1
r: coeficiente de correlación
Ecuación de completación o extensión:
Sustituyendo valores de la ecuación, resulta:
𝑦𝑡 = 𝑦1 + 𝑟
𝑆1(𝑦)
𝑆1(𝑥)
𝑥𝑡 − 𝑥1
Descubrimiento
Para mejorar la información, a la ecuación anterior se le agrega una
variable aleatoria, para dar una mejor representatividad de la seria
hidrológica, especialmente cuando se quiere extender la información a
un periodo largo (por ejemplo incrementar el registro en 20 ó 30 años),
por lo cual, la ecuación de puede expresar:
𝑦𝑡 = 𝑦1 + 𝑟
𝑆1(𝑦)
𝑆1(𝑥)
𝑥𝑡 − 𝑥1 + 𝛼𝜃 1 − 𝑟
2 . 𝑆1(𝑦)𝜀𝑡
Descubrimiento
Donde:
𝑦1 𝑦 𝑥1: Son los estimados de las medias, de los periodos comunes, de
tamaño 𝑁1 de las variables 𝑦𝑡 é 𝑥𝑡
𝑆1(𝑦) , 𝑆1(𝑥) : Son los estimados no sesgados de las desviaciones
estándar, de 𝑦𝑡 y 𝑥𝑡 de los periodos comunes de tamaño 𝑁1
r: coeficiente de correlación
𝜀𝑡: variable aleatoria normal e independiente, con media cero y varianza
unitaria
𝜀𝑡~𝑁𝐼 0, 1 .
𝜃 = 0 se usa en completación, en este caso del ruido aleatorio no es
considerado
Descubrimiento
Donde:
𝜃 =1 se usa en extensión, en este caso del ruido o factor
aleatorio si es considerado
𝛼 = 𝑓 𝑁1, 𝑁2 corrige el sesgo en la variancia del proceso
• Criterios de confiabilidad.
La ecuación de 𝑦𝑡, sólo se podrá usar si hay una correlación
significativa entre las variables 𝑦𝑡 y 𝑥𝑡 es decir, si el coeficiente
de correlación r, es estadísticamente significativo con un cierto
nivel de confiabilidad, utilizando el estadístico t, para esto se
procede de la siguiente forma:
𝛼 =
𝑁2 𝑁2 − 4 𝑁1 − 1
𝑁2 − 1 𝑁1 − 3 𝑁1 − 2
Descubrimiento
a) Cálculo del estadístico 𝐭𝐜, según:
𝛼
2
= 0.025
𝐺. 𝐿. = 𝑁1 − 2
𝑡𝑐 =
𝑟 𝑁1 − 2
1 − 𝑟2
Donde:
𝑡𝑐: valor del estadístico t calculado
𝑁1: tamaño del registro común de las series
r: coeficiente de correlación
b) Cálculo de 𝐭𝐭
El valor crítico de t (𝑡𝑡), se obtiene de las tablas t de Student, con 95%
de probabilidad, o con un nivel de significación del 5%, es decir:
Descubrimiento
c) Comparación del 𝒕𝒄 con el 𝒕𝒕
• Si 𝑡𝑐 ≤ 𝑡𝑡 → 𝑟 no es significativo, por lo tanto no hay correlación
significativa.
• Si 𝑡𝑐 > 𝑡𝑡 → 𝑟 es significativo, por lo que sí existe correlación
significativa entre las variables 𝑦𝑡 y 𝑥𝑡, y se puede hacer uso de la
ecuación para la completación y extensión.
Si 𝑟 resulta no significativo se puede aplicar el proceso de
autocorrelación o probar con otra serie.
ESTRUCTURA PPTExperiencia
Actividades de aplicación 
colaborativa
1. En la Tabla 3, se muestran los datos de precipitación anual, en
mm, de las estaciones San Antonio y Cachí.
Con este registro, completar los datos faltantes de los años 1990 y
1998, de la estación San Antonio, a partir de su correlación con la
estación Cachí.
Año San Antonio Cauchi Año
San 
Antonio Cachí
1986 4151.0 2149.2 1994 3633.3 2020.1
1987 3736.6 2115.5 1995 3606.8 2095.2
1988 3263.2 2195.1 1996 3945.4 2104.3
1989 3438.1 1882.0 1997 3004.1 1678.0
1990 2616.7 1998 1703.0
1991 3140.4 1739.8 1999 2918.8 2083.5
1992 3474.4 1799.0 2000 3116.1 1621.7
1993 2987.7 1888.1
Tabla 3. Datos de Precipitación anual.
ESTRUCTURA PPTAprendizaje evidenciado
TRABAJO PRÁCTICO
2. En la Tabla 4, se muestran los registros de caudales medios anuales,
en m3/s, para el periodo de 1959-1998, de las estaciones A y B.
Año A(m³/s)
B
(m³/s) Año
A
(m³/s)
B
(m³/s)
1959 26.26 34.25 1979 22.14 25.89
1960 22.12 30.82 1980 22.57 20.70
1961 33.39 42.56 1981 20.14 17.88
1962 21.15 12.54 1982 26.51 34.85
1963 25.64 41.35 1983 15.06 21.92
1964 20.99 36.20 1984 28.83 31.58
1965 22.06 34.22 1985 26.03 27.15
1966 25.74 29.87 1986 21.02 15.99
1967 30.90 20.42 1987 25.88 36.95
1968 25.97 30.35 1988 13.62 9.25
1969 20.56 31.24 1989 22.42 17.49
1970 15.81 10.76 1990 25.11 21.22
1971 17.28 11.72 1991 35.84 35.57
1972 18.86 25.67 1992 24.11 36.19
1973 33.48 44.30 1993 29.16 51.40
1974 19.75 17.95 1994 24.29 24.76
1975 20.82 25.01 1995 38.08 41.25
1976 26.23 35.26 1996 21.36 27.76
1977 23.99 37.06 1997 18.16 35.83
1978 21.56 23.02 1998 14.98 11.00
• Indicar las ecuaciones de
extensión, para 𝜃 = 0 y
𝜃 = 1.
• Comparar los valores
registrados, con los
resultados obtenidos de
la extensión, con ambas
ecuaciones y obtener la
diferencia en cada caso.
Tabla 4. Tabla 2. Volúmenes anuales de caudales en MM³. Fuente: Villón (2005). 
Referencias
• Villón, M. (2005). Hidrologíaestadística. Editorial Villón, Lima–Perú.
• Monsalve Sáenz, G. (1999). Hidrología en la Ingeniería. Alfaomega: Colombia.
• Chow, V. T. (1994). Hidrología Aplicada. Colombia: McGraw-Hill.
• Aparicio Mijares, F. J. (1999). Fundamentos de hidrología de superficie. México:
Limusa.