Prácticos Probabilidad 2019

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Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Tucumán 
Probabilidades y Estadística 
Ing. en Sistemas de Información - 2019 
 
Comisiones 3K1, 3K2, 3K3 y 3K4 
 
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Trabajo Práctico Nº 1 
 
Estadística Descriptiva: Distribución de Frecuencias 
Ejercicio 1 
La siguiente lista de datos corresponde a la demanda diaria (en unidades) de un producto, 
durante 30 días de trabajo. 
 
 20 10 40 20 70 10 
 30 20 30 10 60 30 
 40 30 40 30 30 10 
 40 50 10 40 70 20 
 10 10 20 50 60 60 
 
a) ¿Qué tipo de datos representa la demanda diaria de productos? 
b) Ordenar ascendentemente los datos. 
c) ¿Cuántos valores distintos hay? ¿Cuántas veces se repite cada valor? 
d) Tabular los datos de la lista teniendo en cuenta el ítem c) 
e) Determinar la frecuencia relativa. 
f) Determinar la frecuencia relativa acumulada. 
g) Representar mediante un gráfico adecuado las frecuencias relativas. 
 
Ejercicio 2 
Los siguientes datos corresponden al número de errores cometidos por 25 operadores de 
computación durante la carga de datos: 
 
 4 3 5 6 1 0 3 2 4 0 
 3 1 2 3 5 3 2 4 5 0 
 3 2 4 0 5 
 
a) ¿Qué tipo de datos representa la demanda diaria de productos? 
b) Ordenar ascendentemente los datos. 
c) ¿Cuántos valores distintos hay? ¿Cuántas veces se repite cada valor? 
d) Tabular los datos de la lista teniendo en cuenta el ítem c) 
e) Determinar la frecuencia relativa. 
f) Representar mediante un gráfico adecuado las frecuencias relativas. 
 
Ejercicio 3 
El rédito por dividendo para una acción es el porcentaje del precio de la misma representado 
por su dividendo. Los réditos por dividendos hasta fines del año 1986, para una muestra de 25 acciones 
comunes de banco se muestran en la siguiente tabla: 
 
3.1 4.2 2.3 3.3 2.8 
5.3 3.5 3.1 2.6 3.3 
4.7 3.7 3.0 2.6 4.0 
3.8 4.4 3.2 3.2 3.8 
5.1 3.7 2.3 4.3 3.9 
Réditos Por Dividendo (%) Para 25 Acciones Comunes De Banco 
a) ¿Qué tipo de datos representan los réditos por dividendo para acciones comunes de banco? 
 
 
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b) Ordenar ascendentemente los datos. 
c) ¿Cuál es el menor valor? ¿Cuál es el rédito mayor? 
d) Construir intervalos de clase para los datos dados. Considere una amplitud de 0.5. 
e) Tabular los datos teniendo en cuenta los intervalos de clase formados en el ítem c) 
f) Determinar la frecuencia absoluta. 
g) Determinar la frecuencia relativa de cada intervalo de clase. 
h) Determinar la frecuencia relativa acumulada. 
i) Representar mediante un gráfico adecuado las frecuencias relativas. 
 
Ejercicio 4 
Considere el ejercicio anterior y resuélvalo sin agrupar los datos y determine: 
a) las frecuencias relativa y relativa acumulada 
b) el gráfico correspondiente 
Una vez resuelto el ejercicio compare con el anterior y dé su opinión respecto a trabajar con datos agrupados 
y sin agrupar. ¿Cuál es más conveniente? ¿Por qué? Explique. 
 
Ejercicio 5 
Considere el siguiente conjunto de datos. 
 
3.1 4.9 2.8 3.6 2.5 4.5 3.5 3.7 4.1 4.9 
2.9 2.1 3.5 4.0 3.7 2.7 4.0 4.4 3.7 4.2 
3.8 6.2 2.5 2.9 2.8 5.1 1.8 5.6 2.2 3.4 
2.5 3.6 5.1 4.8 1.6 3.6 6.1 4.7 3.9 3.9 
4.3 5.7 3.7 4.6 4.0 5.6 4.9 4.2 3.1 3.9 
 
a) Construir intervalos de clase de amplitud 0.5, comenzando en 1.55, es decir, de 1.55 a 2.05, de 2.05 a 
2.55, y así sucesivamente. 
b) Determinar las frecuencias absolutas y relativas para cada intervalo de clase. 
c) Construir un histograma de frecuencias relativas para los datos. 
 
Ejercicio 6 
A fin de decidir cuántos mostradores de servicio se necesitarán en tiendas que serán 
construidas en el futuro, una cadena de supermercados quiso obtener información acerca del tiempo (en 
minutos) requerido para atender a los clientes. Con el objeto de obtener la información acerca de la 
distribución de los tiempos de servicio para los clientes, se registraron 1000 tiempos de servicio de los cuales 
se presentan 60 en la siguiente lista: 
 
3.6 1.9 2.1 0.3 0.8 0.2 1.0 1.4 1.8 1.6 1.1 1.8 
0.3 1.1 0.5 1.2 0.6 1.1 0.8 1.7 1.4 0.2 1.3 3.1 
0.4 2.3 1.8 4.5 0.9 0.7 0.6 2.8 2.5 1.1 0.4 1.2 
0.4 1.3 0.8 1.3 1.1 1.2 0.8 1.0 0.9 0.7 3.1 1.7 
1.1 2.2 1.6 1.9 5.2 0.5 1.8 0.3 1.1 0.6 0.7 0.6 
 
a) Ordenar ascendentemente los datos. 
b) ¿Cuál es el menor valor? ¿Cuál es el rédito mayor? 
c) Construir intervalos de clase para los datos dados. Considere una amplitud adecuada. 
d) Tabular los datos teniendo en cuenta los intervalos de clase formados en el ítem c). Determinar la 
frecuencia absoluta. 
e) Determinar la frecuencia relativa de cada intervalo de clase. 
f) Determinar la frecuencia relativa acumulada. 
g) Construir un histograma de frecuencias relativas para los datos. 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 7 
Se registró para una muestra de n = 50 bancos comerciales y/o instituciones de préstamos, el 
número de solicitudes de préstamos para casas otorgados durante un mes en particular. Los datos son los 
siguientes: 
 
2 4 2 32 9 9 2 6 3 1 
14 9 16 7 8 19 6 4 4 2 
4 18 0 6 13 7 2 8 0 1 
14 1 2 2 18 8 24 1 8 5 
1 3 11 18 26 3 12 23 5 4 
 
a) Ordenar ascendentemente los datos. 
b) Construir intervalos de clase para los datos dados. Considere una amplitud adecuada. 
c) Tabular los datos teniendo en cuenta los intervalos de clase formados en el ítem b). Determinar la 
frecuencia absoluta. 
d) Determinar la frecuencia relativa de cada intervalo de clase. 
e) Determinar la frecuencia relativa acumulada. 
f) Construir un histograma de frecuencias relativas para los datos. 
 
 
Ejercicio 8 
 Las siguientes mediciones representan los promedios de calificaciones de 25 estudiantes 
universitarios con especialidad en Sistemas de Información y Computación. Construir un histograma de 
frecuencias relativas para los datos. 
 
2.6 1.8 2.6 3.7 1.9 2.1 2.7 3.0 2.4 2.3 3.1 2.6 
2.6 2.5 2.7 2.7 2.9 3.4 1.9 2.3 3.3 2.2 3.5 3.0 
2.5 
 
 
Ejercicio 9 
 Dada la siguiente tabla, determinar las frecuencias relativas y relativas acumuladas. Construir 
el histograma de frecuencias relativas. 
 
 
Intervalo de 
clase 
Frecuencia 
10 - 20 1 
20 - 30 5 
30 - 40 10 
40 - 50 15 
50 - 60 10 
60 - 70 9 
Total 50 
 
 
 
 
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Trabajo Práctico Nº 2 
Estadística Descriptiva: Medidas de Posición y Medidas de Dispersión 
 
Ejercicio 1 
Encontrar la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar del siguiente conjunto de 
mediciones: 2, 9, 11, 5, 6, 13, 15, 8 
 
 
Ejercicio 2 
Encontrar la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar de los datos del siguiente 
conjunto de valores: 
 
50 48.5 70.2 61.1 50.5 78 
 49 64.3 73.7 44.8 57.4 63.6 
 
Ejercicio 3 
Determinar la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar de los datos. 
 
20 10 40 20 70 10 
30 20 30 10 60 30 
40 30 40 30 30 10 
40 50 10 40 70 20 
10 10 20 50 60 60 
 
Ejercicio 4 
a) Calcular la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar del conjunto de datos. 
 
 4 3 5 6 1 0 3 2 4 0 
 3 1 2 3 5 3 2 4 5 0 
 3 2 4 0 5 
 
b) ¿Cómo se modifican los valores de la media, mediana, modo y desviación estándar si el último 
valor hubiera sido 15? Explique 
 
Ejercicio 5 
Dada la siguiente tabla, 
a) determinar las frecuencias relativas y relativas acumuladas. 
b) Calcular la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar de los datos 
 
Intervalo de clase Frecuencia 
10 - 20 1 
20 - 30 5 
30 - 408 
40 - 50 15 
50 - 60 10 
60 - 70 9 
70 - 80 2 
Total 50 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 6 
Calcular la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar de los datos dados en la 
tabla. 
 
Intervalo de clase 
 
Marca de clase 
mi 
Fcia. absoluta 
fa 
2.25 – 2.75 2.50 4 
2.75 – 3.25 3.00 6 
3.25 – 3.75 3.50 5 
3.75 – 4.25 4.00 5 
4.25 – 4.75 4.50 3 
4.75 – 5.25 5.00 1 
5.25 – 5.75 5.50 1 
Total 25 
 
 
Ejercicio 7 
Dados los siguientes datos: 
a) determinar las frecuencias relativas y relativas acumuladas. 
b) Calcular la media, mediana, modo, varianza y desviación estándar de los datos 
c) ¿Coinciden las medidas de tendencia central? ¿Por qué? 
 
Intervalo de clase Frecuencia 
1,0 - 2,0 20 
2,0 - 3,0 19 
3,0 - 4,0 17 
4,0 - 5,0 13 
5,0 - 6,0 11 
6,0 - 7,0 9 
7,0 - 8,0 5 
8,0 – 9,0 4 
9,0 – 10,0 2 
Total 100 
 
 
 
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Trabajo Práctico Nº 3 
 
Introducción a la Probabilidad: Concepto de Probabilidad - Definiciones de Espacio muestral, Sucesos o 
eventos - Definición Clásica o de Laplace - Relación entre frecuencia y probabilidad - Formulación axiomática 
de probabilidad - Consecuencias de los axiomas 
 
Ejercicio 1 
Determinar un espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos: 
a) se extrae una carta aleatoriamente de una baraja de 52 cartas 
b) contar el número de artículos defectuosos en un lote de 500 
c) lanzar 2 veces una moneda 
d) se lanza una moneda y un dado 
e) se mide el tiempo transcurrido entre dos llegadas sucesivas a una cola de espera 
 
Ejercicio 2 
Un experimento consiste en el lanzamiento de una moneda y un dado. Si A es el evento “cara 
en el lanzamiento de la moneda “y B es el evento “número impar en el lanzamiento del dado”; enumere los 
elementos de los siguientes eventos: 
a) A b) A B c B d A B e A B f A B   −) ) ) ) 
 
Ejercicio 3 
Analice las siguientes proposiciones indicando si son verdaderas ó falsas. Justifique su 
respuesta en cada caso: 
a) Si dos sucesos son complementarios, entonces son mutuamente excluyentes. 
b) Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, entonces son complementarios. 
 
Ejercicio 4 
Un lote consta de 10 artículos sin defecto y 6 con defectos. Se escogen 2 artículos. Encontrar la 
probabilidad de que exactamente uno sea sin defecto: 
 a) con sustitución. b) sin sustitución 
 
Ejercicio 5 
Se extraen 2 cartas sucesivamente de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que: 
a) la primera carta no sea un diez de trébol o un as 
b) la primera carta sea un as pero la segunda no 
c) al menos una carta sea diamante 
d) las cartas no sean del mismo palo 
e) la segunda carta no sea una figura. 
 
Ejercicio 6 
 Una urna contiene 6 bolas rojas y 8 azules. Se extraen 5 bolas aleatoriamente sin reemplazo. 
Hallar la probabilidad de que: a) sean 3 rojas y 2 azules 
b) sean 4 rojas y 1 azul 
c) sean 2 rojas y 3 azules 
 
Ejercicio 7 
 Se extraen 5 cartas sin reemplazo de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de obtener: 
a) 1 nueve, 1 diez, 1reina y un rey en ese orden 
b) 1 nueve, 1 diez, 1reina y un rey en cualquier orden 
c) 3 dieces y 2 jotas d) al menos un as 
 
 
 
 
 
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Introducción a la Probabilidad: Probabilidad condicional - Dependencia e independencia de eventos - 
Teorema de la Probabilidad Total - Teorema de Bayes. 
 
Ejercicio 8 
Un experimento consiste en tirar un solo dado y observar el número de puntos que aparece en 
la cara superior. Los eventos A, B, y C se definen como sigue: 
 A: Aparece un número menor que 4. 
 B: Aparece un número menor o igual que 2. 
 C: Aparece un número mayor que 3. 
a) Determinar P(A|B). 
b) Determinar P(B|A). 
c) Hallar P(A|C). 
d) Encontrar P(B|C) 
e) ¿Son A y B eventos independientes? Justificar la respuesta. 
 
Ejercicio 9 
Un jugador tira dos dados, uno rojo y otro negro. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea siete? 
b)¿Cuál es la probabilidad de que la suma haya sido siete dado que se conoce que en el dado rojo salió 
un dos? 
c) Compare los resultados a) y b) y exprese las conclusiones 
 
Ejercicio 10 
Se definen tres eventos A, B y C sobre un espacio muestral, como se indica en el gráfico. 
Considere los siguientes datos, y responda si las afirmaciones que se enuncian a continuación son 
verdaderas ó falsas. Justifique sus respuestas. 
P(A)= 1/4, P(B) = 1/2 , P(C)= 1/6 , P (A  C) = 1/12 , P ( A  B ) = 1/8 
a) A y B son mutuamente excluyentes 
b) A y B son independientes 
c) A, B y C son independientes 
d) A es independiente de C 
e) A es independiente de B 
 
 
Ejercicio 11 
En una encuesta de mercado para un gran almacén, se clasificó a los clientes de la tienda 
según el sexo y según la residencia, en la ciudad o en los suburbios. La proporción de los clientes que caen 
en las cuatro categorías se muestran en la siguiente tabla: 
 
 Sexo 
Residencia Masculino Femenino 
Suburbios 0.17 0.67 
Ciudad 0.04 0.12 
 
Suponer que se selecciona un adulto de este grupo de consumidores. Encontrar las siguientes 
probabilidades: 
a) Que el consumidor resida en los suburbios 
b) Que el consumidor sea mujer y viva en la ciudad. 
c) Que el consumidor sea hombre 
 
 
 
 
 
B A C 
 
 
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Ejercicio 12 
Una casa vendedora de ropa mediante pedidos por correo, comercia dos líneas de productos, 
una relativamente cara y la otra barata. Una encuesta de 1000 pedidos produjo las frecuencias de los 
pedidos por línea de productos y por género del consumidor, como se ve en la siguiente tabla. Suponga que 
se selecciona uno solo de los pedidos de los 1000. 
 
 Línea de productos 
Sexo 1 2 Total 
Masculino 132 147 279 
Femenino 516 205 721 
Total 648 352 1000 
 
a) Calcular la probabilidad del evento A: el consumidor es mujer. 
b) Hallar la probabilidad del evento B: el pedido es para la línea de productos 1. 
c) Hallar la probabilidad de que el pedido sea para la línea de productos 1 y que el consumidor sea mujer. 
d) Calcular la probabilidad de que el pedido sea para la línea de productos 1, dado que el consumidor es 
mujer. 
e) Demostrar si A y B son o no eventos independientes. 
f) Calcular P(AB) aplicando la regla multiplicativa. 
 
Ejercicio 13 
Una persona tiene un reloj despertador que sonará a la hora deseada con probabilidad 0,7. Si 
suena, la probabilidad de que se despierte es de 0,8. Si no suena, la probabilidad de que se despierte a 
tiempo es de 0,30. ¿Cuál será entonces la probabilidad de que esa persona llegue a tiempo para su trabajo? 
 
Ejercicio 14 
Un artículo puede provenir de tres sucursales distintas de la provincia. De la sucursal A se le 
compra el 30% del total que se necesita, a la sucursal B se le compra el 50% y a la C el 20%. La probabilidad 
de que el artículo sea defectuoso si proviene de A es 0,10; si proviene de B es 0,30 y si proviene de C es 
0,25. 
a) Encuentre la probabilidad de que un artículo elegido al azar sea defectuoso. 
b) Si el artículo elegido al azar es defectuoso, encuentre la probabilidad de que provenga de la sucursal B. 
 
Ejercicio 15 
En la experiencia de una casa bancaria, los clientes que tienen suficiente dinero en sus cuentas, 
firman cheques con fecha adelantada por error una vez cada mil veces. Por su parte los clientes que firman 
sobre cantidades insuficientesde dinero, invariablemente lo hacen con fecha adelantada; éste último grupo 
constituye el 1% del total de clientes. Un cajero recibe un cheque firmado por adelantado. ¿Cuál es la 
probabilidad de que provenga de un cliente que tiene dinero insuficiente? 
 
Ejercicio 16 
Supóngase que tenemos 2 urnas, I y II, cada una con dos cajones. La urna I tiene una moneda 
de oro en un cajón y una de plata en el otro, mientras que la urna II tiene una moneda de oro en cada uno 
de los cajones. Se escoge una urna al azar, y de ésta se escoge un cajón al azar. La moneda que se encontró 
en este cajón es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda provenga de la urna II? 
 
 
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Trabajo Práctico N º 4 
 
Variables aleatorias y Distribuciones de Probabilidad discretas y continuas 
 
Ejercicio1 
Clasificar, por su tipo, las siguientes v.a. (variables aleatorias) 
• El número de kilómetros que viaja un vendedor en un mes dado. 
• El número de cuentas que hay en un banco en un momento dado. 
• El tiempo que un consumidor tiene que esperar en una ventanilla de un banco. 
• El número de clientes nuevos obtenidos por un banco en un mes. 
• El período de vigencia de un medicamento en particular. 
• El peso de la carga de trigo en un vagón. 
• El número de accidentes de trabajo en una fábrica. 
• El número de demandas recibidas por una compañía de seguros durante un día. 
 
Ejercicio2 
Un experimento consiste en tirar un par de dados, uno de color rojo y otro verde. Realizar lo 
siguiente: 
a) Describir el espacio muestral. 
b) Considerar la v.a. X que representa la suma de puntos obtenidos con el par de dados, elaborar una 
tabla consignando los valores que puede tomar esta v.a., el número de ocurrencias de cada valor 
(similar a la frecuencia absoluta) y la probabilidad de que X tome cada valor P(X=x). 
c) Representar en un gráfico cada valor de X y su probabilidad. 
d) Evaluar la función de distribución de la v. a. 
e) Representar gráficamente la función de distribución. 
f) Calcular: P(X > 7), P(X < 5), P(X  6), P(3  X  6). 
 
Ejercicio 3 
De un paquete de cartas se sacan tres en sucesión, sin reemplazo. Encuentre la función de 
probabilidad para la variable aleatoria X = número de cartas de diamante que aparecen. 
 
Ejercicio4 
Verificar si la función dada por: 
f(x) = 
25
2x +
 para x = 1, 2, 3, 4, 5 
puede ser la función de probabilidad. 
 
Ejercicio5 
Determine el valor c de manera que la siguiente función sea la distribución de probabilidad de 
la v.a. X: 
f(x) = c (x2+1) para x = 0, 1, 2 y 3 
 
Ejercicio 6 
Verificar si la función dada por 
f(x) = 
15
x
 para x = 1, 2, 3, 4, 5 
puede ser la función de probabilidad de una v.a.. Si lo verifica, obtener la función acumulativa de probabilidad 
que corresponda a la función de probabilidad. 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 7 
La función de probabilidad de X, el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética 
en rollos continuos de ancho uniforme, es: 
 
x 0 1 2 3 4 
f(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 
 
a) Dibuje la función acumulativa de probabilidad de X. 
b) Calcule P ( X < 3 ) a partir de F (x). 
c) Encuentre P ( 1 < X < 4 ) a partir de F (x). 
d) Encuentre P ( X > 2 ) a partir de F (x). 
 
Ejercicio 8 
Dado que la v.a. discreta X tiene la función acumulativa de probabilidad 
 0 para x < 1 
 1/3 para 1  x < 4 
 F(x) = 1/2 para 4  x < 6 
 5/6 para 6  x < 10 
 1 para x  10 
Determinar: a) P(2 < x  6), b) P(x = 4), c) La función de probabilidad de x. 
 
Ejercicio9 
Sea X una v.a. continua. 
a) Determinar el valor de la constante k, de manera tal que la función cumpla la condición de ser función 
de densidad de probabilidad de X. 
 
f(x) = 




 −
valorotrocualquier para0
1 x 1sikx 2
 
 
b) Determinar la función acumulativa de probabilidad de X. 
c) Graficar f y F. 
d) Calcular P(X 
2
1
) y P( - 
2
1
 X 
2
1
). 
 
Ejercicio 10 
Una variable aleatoria continua tiene fdp f (x) = 6 x ( 1 - x ) si 0 < x < 1. 
a) Verificar que la anterior es una fdp y graficarla. 
b) Obtener una expresión para la función acumulativa de probabilidad F(x) y dibujarla. 
c) Calcular P ( X < 1/2 / 1/3 < X < 2/3 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 11 
Sea X una v.a. continua. 
a) Determinar el valor de la constante k, de manera tal que la función represente la función de densidad 
de probabilidad de X 
 
f(x) = 








valorotrocualquier para0
4 x 0si
x
k
 
b) Determinar la función acumulativa de probabilidad de X. 
c) Calcular P(X >1). 
 
Ejercicio 12 
Obtener la función de densidad de la v.a. X continua cuya función acumulativa de probabilidad 
está dada por: 
 0 para x  0 
 F(x) = x para 0 < x < 1 
1 para x  1 
 
a) Representar gráficamente F(x) y f(x). 
b) Calcular P(x < 1), P(x = 0.5), P(0.5  x  1), P(x > 0.5). 
 
 
Ejercicio 13 
La función acumulativa de probabilidad de una v.a. continua X, está dada por: 
 
F(x) = 






−+
−
2xsi1
2x2si
2
1
4
x
2xsi0
 
 
a) Encontrar la función de densidad f. 
b) Graficar F y f. 
c) Calcular las siguientes probabilidades para la v.a. X : 
 c.1) Menor que 1. 
 c.2) Mayor que 3. 
 c.3) Entre 1.5 y 2. 
 c.4) Menor que 2. 
Nota: Utilizar la función de densidad y la función acumulativa de probabilidad. 
 
Ejercicio 14 
Obtener la función de densidad de la v.a. continua cuya función acumulativa de probabilidad 
está dada por: 
 0 x < 0 
 
2
x
 0  x < 1 
 x - 
2
1
 1  x < 1.5 
1 x  1.5 
a) Representar gráficamente F(x) y f(x). 
 
F(x) = 
 
 
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13 
b) Calcular P(0.4 < x  1.3), P(x > 0.5). 
 
Ejercicio 15 
La función acumulativa de probabilidad de la v.a. X está dada por: 
 
 F(x) = 






−
+
−
2xsi1
2x2si
8
4x
2xsi0
 
 
a) Encontrar la función de densidad f. 
b) Calcular: P(x = -2), P(0  x  2), P(-2 < x < 1) 
 
Ejercicio 16 
 
Suponiendo que la duración (en horas) de cierto dispositivo electrónico es una variable 
aleatoria continúa X con fdp: 
100 / x 2 , x > 100 
f (x) = 
0 para cualquier otro valor 
 
a) Sean los eventos A = “el dispositivo dura menos de 200 horas” y B = “el dispositivo dura más de 150 
horas” . Calcule P (A) y P(B). 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo dure menos de 200 horas, si se sabe que todavía funciona 
después de 150 horas de servicio? 
c) ¿Son independientes ó dependientes los eventos A y B? Justifique. 
 
 
Propiedades de las variables aleatorias: Esperanza y Varianza 
 
Ejercicio 17 
Calcular la esperanza matemática, la varianza y el desvío estándar para la v.a. discreta cuya 
función de probabilidad está dada por: 
f(x) = 
15
x
 para x = 1, 2, 3, 4, 5 
 
Ejercicio 18 
Calcular la esperanza matemática, la varianza y el desvío estándar para la v.a. discreta 
definida en el ejercicio 7. 
 
Ejercicio 19 
Calcular la esperanza matemática, la varianza y el desvío estándar para la v.a. continua dada 
por 
f(x) = 







−
valorotrocualquier para0
1 x 1six
2
3 2
 
 
 
 
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14 
Trabajo Práctico Nº 5 
 
Variable aleatoria discreta. Distribucionesde Probabilidades Especiales 
 
Ejercicio 1 
Todos los días se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de 
manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base 
en información pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. La gerencia ha decidido 
detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o más defectuosas. ¿Cuál es la 
probabilidad de que, en cualquier día, la producción se detenga? 
 
Ejercicio 2 
Utilizar la tabla de la distribución Binomial del Apéndice para encontrar la suma de las 
probabilidades binomiales desde x = 0 hasta x = a para lo siguiente: 
a) n = 10, p = 0.1, a = 3 
b) n = 15, p = 0.6, a = 7 
c) n = 20, p = 0.5, a = 14 
 
Ejercicio 3 
Utilizar la fórmula para la distribución de probabilidad Binomial a fin de calcular el valor de 
P(X = 3) para n = 5, p = 0.5. Luego comparar este resultado con el que se obtendría empleando la tabla de 
la distribución Binomial. 
 
Ejercicio 4 
Utilizar la tabla de la distribución Binomial para calcular: 
a) P(X  5), n = 10, p = 0.4 
b) P(X  17), n = 20, p = 0.5 
c) P(X = 5), n = 10, p = 0.4 
d) P(X = 4), n = 10, p = 0.5 
e) P(X > 5), n = 10, p = 0.4 
f) P(X < 5), n = 15, p = 0.4 
g) P(X < 5), n = 10, p = 0.4 
h) P(X  15), n = 20, p = 0.3 
 
Ejercicio 5 
Un club nacional de automovilistas comienza una campaña telefónica con el propósito de 
aumentar el número de miembros. Con base en experiencias previas, se sabe que una de cada 20 personas 
que reciben la llamada se une al club. Si en un día 25 personas reciben la llamada telefónica ¿cuál es la 
probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban al club? 
 
Ejercicio 6 
Las lesiones laborales graves que ocurren en una planta siderúrgica, tienen una media anual 
de 2.7. Dado que las condiciones de seguridad serán iguales en la planta durante el próximo año, ¿cuál es 
la probabilidad de que el número de lesiones graves sea menor que dos? 
 
Ejercicio 7 
Un basquetbolista sabe por experiencia que encesta aproximadamente 70% de los tiros libres 
que lanza a la canasta desde cierto punto. Si lanza 14 tiros, calcule la probabilidad de que este jugador: 
a) enceste cuando menos 7. 
b) falle entre 3 y 6 inclusive. 
c) falle todos. 
d) enceste todos. 
 
Ejercicio 8 
 
 
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15 
En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes. ¿Cuál es la 
probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección: 
a) Ocurran exactamente 5 accidentes ? 
b) Ocurran menos de 3 accidentes? 
 
 
Ejercicio 9 
El número promedio de llamadas por minuto recibidas en un taller de servicios de televisión 
es de 1.2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado 
a) se reciban menos de dos llamadas? 
b) se reciban más de tres llamadas? 
c) se reciban menos de dos llamadas o más de tres llamadas? 
d) se reciban ya sea dos o tres llamadas? 
 
Ejercicio 10 
Un furgón contiene 20 computadoras grandes, 2 de las cuales estaban defectuosas. Si se 
seleccionan al azar tres computadoras del furgón, ¿cuál será la probabilidad de que dos de ellas tengan 
desperfectos? (Resolver mediante distribución hipergeométrica). 
 
 
Ejercicio 11 
Considerar la v.a. discreta X, cuya distribución de probabilidad sigue el modelo 
hipergeométrico y calcular las siguientes probabilidades: 
a) N = 10, n = 2, A = 3 y x = 0, 1, 2 
b) N = 20, n = 3, A = 3 y x = 0, 1, 2, 3 
 
 
 
 
 
 
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16 
Trabajo Práctico Nº 6 
 
Distribución Normal o de Gauss 
 
 
DISTRIBUCIÓN NORMAL 
 
 
La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la 
Distribución Normal. Describe muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la 
investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de lluvia 
y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más adecuadamente con una distribución 
normal. 
La función de densidad de la variable normal X, con media  y varianza 2, es 
 
 
N(x; ,  ) = 
1
√2 πσ
 e
− 
1
2
(
x - μ 
𝜎
)
2
 - ∞ < x < ∞ 
 
Donde  = 3,14159…. y e = 2,71828… 
 
Importante: La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 se llama 
distribución normal estándar 
 
 
El siguiente ejemplo va a ilustrar la expresión anterior. 
 
Ejemplo: 
Cierto circuito integrado de una computadora, dura, en promedio, 3.0 años, con una desviación estándar de 
0,5 años. Suponga que la duración del circuito se distribuye normalmente, encuentre la probabilidad de que 
el circuito dado dure menos de 2,3 años. 
 
Solución 
Primero construya un diagrama (construir la figura), que muestra la distribución dada de duraciones del 
circuito y el área que se desea. Para encontrar la P(X < 2,3), necesitamos evaluar el área bajo la curva 
normal a la izquierda de 2,3. Esto se logra al encontrar el área a la izquierda del valor x correspondiente. 
De aquí encontramos que (dibujar la curva y aplicar la transformación ortogonal) 
 x -  
 z = 
  
Luego, reemplazando: 
 
 2,3 - 3 
 z = = -1,4 y entonces con el uso de la tabla, se tiene 
 0,5 
 
 
P(X < 2,3) = P (Z < -1,4) = 0,0808 
 
 
 
 
 
 
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17 
Problemas Propuestos: 
 
VARIABLE ALEATORIA NORMAL 
 
Ejercicio 1 
 Siendo X una variable aleatoria normal  = 0,  = 1, hallar utilizando la tabla: 
a) P (-1,5 ≤ X ≤ 0) b) P (-2,5 ≤ X ≤ 1) c) P (0,82 ≤ X ≤ 1,35) 
d) P (0 ≤ X ≤ 1,25) e) P (X ≥ 1,38) f) P (|X| ≤ 1,28) 
 
Ejercicio 2 
 Hallar en el caso de una variable aleatoria normal N(0,1) el valor de “a” tal que: 
a) P(X ≤ a) = 0,85 b) P(X ≥ a) = 0,85 c) P(X ≤ a) = 0,15 
d) P(X > a) = 0,15 e) P(X ≥ a) = 0,4483 f) P(-1,28 ≤ X ≤ a) = 0,7482 
 
Ejercicio 3 
 En una Distribución Normal  = 250,  = 30, hallar: 
a) P(280 ≤ X ≤ 310) b) P(X ≤ 350) c) P(X ≥ 320) d) P(X ≥ 220) 
 
Ejercicio 4 
 En una Distribución Normal N(300,20), hallar el valor de abscisa “a” tal que: 
a) P(X ≤ a) = 0,80 b) P(X ≤ a) = 0,40 c) P(X ≥ a) = 0,80 
c) P(340 ≤ X ≤ a) = 0,0166 
 
Ejercicio 5 
 Una encuesta entre los habitantes de una ciudad, indicó que el ingreso promedio es de 45.000 
con una dispersión de 5.000. Admitiendo una distribución normal para la variable “ingreso”, calcular: 
a) Porcentaje de habitantes con renta superior a 55.000. 
b) Porcentaje de habitantes con renta comprendida entre 50.000 y 52.000. 
c) Nivel de renta a partir del cual encontramos el 10% de mayores ingresos. 
d) Nivel de ingresos tope correspondiente al 15% de menores ingresos. 
 
Ejercicio 6 
 Si la distribución de los salarios semanales de 10.000 trabajadores del campo es normal y 
tiene media 110 y varianza 64. ¿Cuántos trabajadores tienen salarios: 
a) Iguales o inferiores a 110? b) Iguales o inferiores a 125? 
c) Iguales o inferiores a 90? d) Iguales o superiores a 106? 
e) ¿Entre 100 y 120 inclusive? 
 
Ejercicio 7 
Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una 
distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de 
cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un20% de la 
población, un 65% del segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el 
paso de un grupo al otro? 
 
 
 
 
 
 
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18 
Ejercicio 8 
 Una fábrica de harina empaqueta en sacos de tela. El saco de tela se acepta como distribución 
normal con media y desviación típica iguales a 35 libras y 5 libras respectivamente. Si se toma al azar un 
saco. ¿Cuál es la probabilidad de que: 
a) ¿Pese a lo más 24,2875 libras? 
b) ¿Pese por lo menos 26,0025 libras? 
 
Ejercicio 9 
La altura, en posición de sentado (del asiento a la cima de la cabeza), de los conductores 
debe tomarse en cuenta en el diseño de un nuevo modelo de automóvil. Los hombres tienen alturas que se 
distribuyen normalmente, con una media de 36.0 pulgadas y una desviación estándar de 1.4 pulgadas 
(según datos de una encuesta antropométrica de un estudio calificado). Los ingenieros elaboran planes que 
pueden acomodar a hombres con alturas, estando sentados, de hasta 38.8 pulgadas, pero aquellos con 
mayor altura no se ajustan. Si se selecciona un hombre aleatoriamente, calcule la probabilidad de que su 
altura, estando sentado, sea menor que 38.8 pulgadas. Con base en ese resultado, ¿es factible el actual 
diseño de ingeniería? 
 
Ejercicio 10 
 
Sea X el número de llegadas sucesivas a una cola de espera en un tiempo de un minuto, y se 
supone que X tiene una distribución de Poisson con parámetro 5. Sea T el tiempo transcurrido entre dos 
llegadas sucesivas. 
a) ¿Qué tipo de distribución le corresponde a la variable? Justifique su respuesta y especifique el 
valor del/ de los parámetros. 
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre dos llegadas sucesivas sea superior 
a ½ minuto. 
 
Ejercicio 11 
 
La duración de cierto tipo de dispositivo tiene un promedio de 1000 hs. y se aplica la distribución 
exponencial para describir su función densidad de probabilidad. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dure entre 400 y 800 hs? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 200 hs. antes de que se observe una falla? 
 
Ejercicio 12 
 
Una variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial: 
 
f ( x ) = 




−
00
03 3
x
xe x
 
 
Encuentre: a) P ( X > 1/3 ) b) P ( X < 1/2 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trabajo Práctico Nº 7 
 
Muestra y población. Teorema del límite central. Distribuciones muestrales de medias con  conocida 
y con  desconocida. Estimación de parámetros de una población. Intervalos de confianza. 
Estimación de la media poblacional  con  conocida y con  desconocida 
 
 
Ejercicio 1 
Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de n = 36 observaciones de una 
población normal con media  = 8 y  = 0.6 
a) ¿Qué desviación estándar tiene la media muestral X ? 
b) Determine la P ( X > 8,1) 
 
Ejercicio 2 
 En cada caso determine la media y la desviación estándar de la distribución de la media 
muestral X . 
a) n = 25,  = 10, 2 = 9 
b) n = 100,  = 5, 2 = 4 
c) n = 36,  = 120, 2 = 1 
 
Ejercicio 3 
El número de clientes por semana en cada tienda de una cadena de supermercados tiene 
una media de población  = 5000 y  = 500. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 tiendas: 
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 5075 clientes por semana?. 
 
Ejercicio 4 
La duración promedio del mezclador de un cierto fabricante es de 5 años, con una desviación 
estándar de 1 año. Asumiendo que las duraciones de estos mezcladores siguen aproximadamente una 
distribución normal, encuentre. 
a) La Probabilidad de que la vida promedio de una muestra aleatoria de 9 de tales mezcladores caiga entre 
4,4 y 5,2 años. 
b) El valor de X a la derecha del cual caería el 15 % de las medias calculadas de las muestras aleatorias 
de tamaño 9. 
 
Ejercicio 5 
En cada uno de los siguientes casos, determine si es apropiado el uso de la distribución t o 
de la distribución normal estándar (o si no es apropiada ninguna de ellas) para calcular las probabilidades 
relativas a las medias muestrales. 
a) una muestra pequeña proveniente de una población normal con desviación estándar conocida 
b) una muestra pequeña proveniente de una población no normal con desviación estándar conocida 
c) una muestra pequeña proveniente de una población normal con desviación estándar desconocida 
d) una muestra pequeña proveniente de una población no normal con desviación estándar desconocida 
e) una muestra grande proveniente de una población normal con desviación estándar desconocida 
f) una muestra grande proveniente de una población no normal con desviación estándar desconocida 
 
Ejercicio 6 
Suponga que se utiliza una v.a. X para designar el peso de un pasajero de avión, y que 
interesa conocer, la media de peso de todos los pasajeros del avión. Como hay limitaciones de tiempo y 
de dinero para pesar a todos se toma una muestra aleatoria de 36 pasajeros, obteniéndose una media 
muestral x = 80 kg. Suponga además que la distribución de los pesos de todos los pasajeros del avión tiene 
una desviación estándar de 15 kg. ¿Cuál sería entonces el valor probable de  si el nivel de confianza es 
de 0.95? 
 
 
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20 
 
Ejercicio 7 
Sobre la base de una muestra de 144 observaciones, los expertos de seguridad estimaron 
que el tiempo promedio de reacción de los camioneros ante una luz roja era de 2 segundos, con un desvío 
estándar para la población de 0.6 seg. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de 
reacción. 
 
Ejercicio 8 
Un inspector de productos alimenticios selecciona una muestra aleatoria de 40 paquetes de 
alimentos para desayunar de una determinada marca, entre los que están colocados en una estantería de 
un supermercado. Se pesa el contenido de cada uno y se determina que el peso promedio es de 99 gr. El 
peso neto indicado en el envase es de 100 gr. Sabiendo que el peso de todos los envases de ese producto 
tiene una  = 2 gr., determine si el intervalo de confianza del 99% para el peso medio verdadero abarca el 
peso neto anunciado. Realice idéntico análisis con un intervalo del 95% de confianza. 
 
Ejercicio 9 
Los contenidos de siete recipientes similares de ácido sulfúrico son: 9.8 – 10.2 – 10.4 – 9.8 – 
10 – 10.2 – 9.6 litros. Encontrar un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los recipientes, 
suponiendo una distribución aproximadamente normal. 
 
Ejercicio 10 
Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora automática tiene un 
contenido promedio de 21.9 decilitros, con una desviación estándar de 1.42 decilitros. Encuentre el intervalo 
para la media del 99%. 
 
Ejercicio 11 
Los siguientes son los pesos en gramos de 10 paquetes de un producto distribuidos por 
determinada Cía.: 464 - 461 - 458 - 478 - 461 - 459 - 458 - 469 - 452 - 460. Encuentre el intervalo de confianza 
del 95% para la media de todos los paquetes, suponiendo una población normal. 
 
 
 
 
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Trabajo Práctico Nº 8 
 
Tests de hipótesis. Hipótesis referidas a la media poblacional con  conocida y con  desconocida. 
Tipos de errores. 
 
 
Ejercicio 1 
Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución 
aproximadamente normal, y un desvío estándar de 40 hs. Si una muestra de 30 focos tiene una vida 
promedio de 780 hs., pruebe la hipótesis de que = 800 hs en contraposición a la alternativa de que es 
inferior a 800 hs, utilizando un nivel de significancia de 0.04. 
 
Ejercicio 2 
Una medición realizada durante el año pasado mostró una vida promedio de 71.8 años. 
Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8.9 años.Si se considera una muestra de 100 
individuos, ¿parecería esto indicar que la vida promedio hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel 
de significancia del 0.05. 
 
Ejercicio 3 
Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora automática tiene un 
contenido promedio de 21.9 decilitros, con una desviación estándar poblacional de 1.42 decilitros. Pruebe la 
hipótesis de que  = 22.2 decilitros en contraposición a la hipótesis alternativa < 22.2, en el nivel de 
significancia 0.05. 
 
Ejercicio 4 
Un fabricante de llantas dice que la vida media de sus productos es de 35000 kilómetros. Una 
muestra de aleatoria de 16 llantas da una vida media de 34000 Km con una desviación estándar de S = 
2000 Km. ¿Hay alguna razón para creer que < 35000? Utilice un nivel de significancia de 0.025. 
 
Ejercicio 5 
Una empresa ha publicado que un aparato consume en promedio, 46 Kw/h al año. Si una 
muestra aleatoria de 12 hogares indica un consumo promedio de 42 Kw/h al año con una desviación estándar 
poblacional de 11.9 kw/h al año. ¿Sugiere esto, con un nivel de significancia de 0,05 que los aparatos 
consumen en promedio, menos de 46 kw/h al año? 
 
Ejercicio 6 
Por experiencias pasadas se ha encontrado que el tiempo para que realicen un examen los 
estudiantes del último año escolar, es una v.a. normal, con una media de 35 minutos. Si una muestra 
aleatoria de 20 estudiantes del último año arrojó un promedio de 33.1 minutos para realizar este examen, 
con una desviación estándar poblacional de 4.3 minutos; pruebe la hipótesis en el nivel de significancia del 
10% que  = 35, en contraposicion a la alternativa de que es menor que 35. 
 
Ejercicio 7 
a) ¿Cuál es más grave, un error de tipo I o de tipo II? 
b) ¿Por qué es necesario que tengamos en cuenta la probabilidad de cometer un error de 
tipo I o de tipo II? 
 
Ejercicio 8 
Una panadería tuvo que pagar una multa de $ 1200 por vender hogazas de pan con peso 
menor al especificado. Suponga que, de acuerdo a las disposiciones vigentes, hay que comparar 
H0:  = 24 onzas versus Ha: 24 onzas, ya que el peso establecido para las hogazas de pan es de 24 onzas. 
La muestra que se toma es de 1861 hogazas y  es igual a una onza. 
a) Describa verbalmente cómos sería en estas circunstancias un error de tipo I y otro de tipo II ¿Cuáles 
serían las consecuencias de dichos errores en esta situación? 
 
 
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b) ¿Cabría aceptar H0 ó Ha si  = 0,01 y la media muestral fuera de 23,75 onzas? 
c) ¿Es  = 0,01 razonable en este caso? ¿Habría que cambiar la decisión si  = 0,001? 
d) ¿Es aconsejable comprar en esta panadería?