Modelos I - Resueltos

Vista previa del material en texto

Ejercicios resueltos
Modelos y Optimización I
Segundo cuatrimestre 2020
Ejercicios resueltos Índice
Índice
1.1 5
1.2 10
1.3 16
1.6 20
2.1 25
2.2 30
2.3 37
2.5 42
2.7 46
2.10 50
2.16 58
2.17 65
2.23 72
2.33 78
3.3 84
3.4 90
3.6 99
3.7 108
3.9 118
3.13 123
3.16 130
Segundo cuatrimestre 2020 2
Ejercicios resueltos Índice
3.20 141
3.34 149
4.2 169
4.8 173
4.10 177
4.12 183
5.1 187
5.6 192
5.7 202
6.1 205
6.2 209
6.12 218
6.16 224
7.2 227
Coloquio 2019-12-19 232
Coloquio 2020-09-07 240
Coloquio 2020-09-14 246
Coloquio 2020-09-21 253
Coloquio 2020-10-05 260
Coloquio 2021-03-22 267
Extra del 6.2 275
Parcial 2020-07-11 278
Parcial 2020-08-01 284
Segundo cuatrimestre 2020 3
Ejercicios resueltos Índice
Parcial 2020-08-27 290
Teórico-práctica 296
Segundo cuatrimestre 2020 4
Ejercicios resueltos 1.1
1.1
1. Enunciado
Una pequeña empresa de productos químicos debe consumir más de 40 M3mes de un determinado alcohol,
debido a que ha firmado un contrato con la municipalidad de la zona (este alcohol es producido allí
mismo). En compensación recibe beneficios impositivos.
Produce dos tipos de fertilizantes: A y B. En la tabla siguiente se da la información básica:
Producto A Producto B
Consumo de alcohol 3 M3unit
2
3
M3
unit
Consumo de ciclohexano 1 tnunit 2
tn
unit
Disponibilidad de ciclohexano: 20 tn. por mes.
Con estas restricciones, y sabiendo que la contribución marginal es 1200$/u para el producto A y 400$/u
para el producto B, ¿cuál es el plan óptimo de producción?
2. Análisis de la situación problemática.
Al tener dos productos diferentes para fabricar, se debe plantear cuántos de cada uno se debe producir
considerando la restricción del alcohol mínimo a consumir y la disponibilidad de ciclohexano.
3. Objetivo
Los productos tienen contribuciones por unidad y a su vez se sabe cuánto de alcohol y ciclohexano se
necesita para producir una unidad de cada uno. No se considerarán los precios de alcohol y ciclohexano
por no conocerlos.
El objetivo será maximizar la ganancia: producir la cantidad máxima de productos A y B con la mayor
ganancia asociada considerando las restricciones de material.
4. Hipótesis y supuestos
• Se vende todo lo que se produce.
• No se encuentran límites físicos de almacenamiento de los productos.
Segundo cuatrimestre 2020 5
Ejercicios resueltos 1.1
• No hay fallas de producción.
• No hay desperdicio al producir.
• No hay restricciones de mano de obra.
• No hay inflación ni variación de precios.
5. Definición de variables (con tipos y unidades)
• A: La cantidad del producto A a producir por mes.
• B: La cantidad del producto B a producir por mes.
A partir de esto se conoce:
• Ganancia por producto A:
GA = A ·
1200$
unit
• Ganancia por producto B:
GB = B ·
400$
unit
• Función a maximizar:
G = GA +GB
• Consumo de alcohol:
Ca =
3M3
unit
A+ 23
M3
unit
B ≥ 40M
3
mes
• Consumo de ciclohexano:
Cc =
1tn
unit
A+ 2 tn
unit
B ≥ 20tn
mes
6. Modelo de programación lineal
• Nuestra función objetivo es: MAX 1200 A + 400 B
• La restricción de alcohol: ALCOHOL)3 A + 2 B / 3 >= 40
• La restricción de ciclohexano: CICLOHEXANO)A + 2 B <= 20
7. Resolución gráfica
Los ejes X e Y representan la cantidad de productos de A y B, respectivamente.
Segundo cuatrimestre 2020 6
Ejercicios resueltos 1.1
8. Resolución por so�ware (modelo y resultados)
• Modelo
1 MAX 1200 A + 400 B
2 ST
3 ALCOHOL) 3 A + 0.666 B >= 40
4 CICLOHEX) A + 2 B <= 20
5 END
• Resultado
1 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
2
3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
4
5 1) 24000.00
6
7 VARIABLE VALUE REDUCED COST
8 A 20.000000 0.000000
9 B 0.000000 2000.000000
10
11
12 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
13 ALCOHOL) 20.000000 0.000000
14 CICLOHEX) 0.000000 1200.000000
15
16 NO. ITERATIONS= 1
17
18
19 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
20
21 OBJ COEFFICIENT RANGES
22 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
Segundo cuatrimestre 2020 7
Ejercicios resueltos 1.1
23 COEF INCREASE DECREASE
24 A 1200.000000 INFINITY 1000.000000
25 B 400.000000 2000.000000 INFINITY
26
27 RIGHTHAND SIDE RANGES
28 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
29 RHS INCREASE DECREASE
30 ALCOHOL 40.000000 20.000000 INFINITY
31 CICLOHEX 20.000000 INFINITY 6.666667
9. Informe de la solución óptima (recomendación al tomador de la decisión)
Se tiene una cantidad limitada de ciclohexano y se requiere menos de este para producir del producto
A que del producto B. Adicionalmente, la ganancia del producto A es mayor a la del producto B por lo
que la solución óptima será fabricar solo del producto A, en particular 20 unidades del mismo
Correcciones
Calificación general: Bien +
Análisis: Regular
El anális que hacés es un resumen del enunciado. ¿Qué clase de problema es? También podrías
usar un diagrama para ayudarte en el entendimiento del problema y la modelización.
Objetivo: Regular
El objetivo definido está bien encausado pero está incompleto. Un objetivo correcto y completo
responde tres preguntas: ¿Qué determinar? ¿Para maximizar/minimizar qué cosa? ¿Durante
cuánto tiempo? Cuidado también cuando decís “producir la cantidad máxima de A y B”, ya que
no es lo mismo que “maximizar las ganancias”.
Hipótesis: Bien
Las hipótesis están muy bien, tienen sentido y ayudan a acotar el modelo. Las hipótesis de “certeza”
están cubiertas. Podrías agregar alguna hipótesis de “proporcionalidad” (que el consumo de
los recursos es directamente proporcional a la cantidad fabricada) y “divisibilidad” (se pueden
producir cantidades arbitrariamente pequeñas de producto); en este ejercicio no aplican las
hipótesis de “aditividad”.
Variables: Excelente
La identificación de las variables principales es correcta, y guarda coherencia con el objetivo
que planteaste. También es positivo que hayas indicado las unidades. No es necesario indicar
todas las varibles que no sean de decisión, sino únicamente las que utilices dentro del modelo
Segundo cuatrimestre 2020 8
Ejercicios resueltos 1.1
matemático.
Modelo: Excelente
Las restricciones y la función objetivo son correctas. El funcional guarda coherencia con el objetivo
definido. Las unidades cierran perfectamente. No hay restricciones redundantes. Las restricciones
están claramente identificadas.
Resolución gráfica: Muy Bien
El poliedro de soluciones está bien graficado. La traza del funcional está graficada correctamente.
Podrías indicar las coordenadas de los vértices del poliedro. El valor del óptimo es correcto.
Podrías calcular analíticamente las coordenadas de los vértices del poliedro y el valor del funcional
en ellos.
Resolución por so�ware: Excelente
La resolución es correcta, y están incluidos el modelo y la salida del so�ware.
Informe solución: Bien -
El informe es correcto: está redactado en términos del dominio del problema; deberías agregarle
el valor del funcional en el óptimo. El informe podría incluir los sobrantes y recursos saturados.
Presentación: Bien
El documento entregado es claro, y las secciones están claramente separadas. A medida que los
modelos vayan creciendo, podrías incluir también carátula, numeración de páginas, e índice. De
paso, te va a servir también para las entregas del TP.
Segundo cuatrimestre 2020 9
Ejercicios resueltos 1.2
1.2
1. Enunciado
Hay tres máquinas disponibles para la producción de dos productos. Cada uno de ellos requiere los
tiempos de proceso que se indican en la tabla siguiente (expresados en horas/unidad).
Producto Máq. A Máq. B Máq. C
X 2 3 4
Y 4 2 2
Disponibilidad (hr/mes) 80 60 100
El esquema del proceso productivo es el siguiente: - Ambos productos deben pasar sucesivamente por
las tres máquinas (en el orden “A ⇒ B ⇒ C”) para quedar totalmente terminados. Una máquina
puede procesar un solo producto por vez. - El precio de venta de X es de 60 $/u y el de Y es de 50 $/u. Se
planea la operación para el mes que viene. ¿Cuál es el uso óptimo de estos recursos frente al objetivo
de maximizar las ventas?
2. Análisis de la situación problemática.
Se quiere optimizar el uso de las máquinascuya disponibilidad por mes se encuentra limitada.
3. Objetivo
Al tener un límite de disponibilidad de máquina por mes para fabricar dos productos con precio de
venta diferentes, se busca obtener la cantidad de productos X e Y por mes para fabricar, maximizando
la ganancia.
4. Hipótesis y supuestos
• Se vende todo lo que se produce.
• No se encuentran límites físicos de almacenamiento de los productos.
• No hay fallas de producción cuando un producto pasa por las tres máquinas.
• No hay desperdicio al producir.
• No hay restricciones de materiales de producción.
• No hay inflación ni variación de precios.
Segundo cuatrimestre 2020 10
Ejercicios resueltos 1.2
5. Definición de variables (con tipos y unidades)
• X : La cantidad del producto X a producir por mes.
• Y : La cantidad del producto Y a producir por mes.
A partir de esto se conoce:
• Ganancia por producto X:
GX = X ·
60$
unit
• Ganancia por producto Y:
GY = Y ·
50$
unit
• Función a maximizar:
G = GX +GY
• Uso de máquina A por mes:
CA =
2hrs
unit
X + 4hrs
unit
Y ≤ 80hrs
mes
• Uso de máquina B por mes:
CB =
3hrs
unit
X + 2hrs
unit
Y ≤ 60hrs
mes
• Uso de máquina C por mes:
CC =
4hrs
unit
X + 2hrs
unit
Y ≤ 100hrs
mes
6. Modelo de programación lineal
• Nuestra función objetivo es: MAX 60 X + 50 Y
• La restricción de la máquina A: MAQ_A)2 X + 4 Y <= 80
• La restricción de la máquina B: MAQ_B)3 X + 2 Y <= 60
• La restricción de la máquina C: MAQ_C)4 X + 2 Y <= 100
Segundo cuatrimestre 2020 11
Ejercicios resueltos 1.2
7. Resolución gráfica
8. Resolución por so�ware (modelo y resultados)
• Modelo
1 MAX 60 X + 50 Y
2 ST
3 MAQ_A) 2 X + 4 Y <= 80
4 MAQ_B) 3 X + 2 Y <= 60
5 MAQ_C) 4 X + 2 Y <= 100
6 END
• Resultado
1 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
2
3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
4
5 1) 1350.000
6
7 VARIABLE VALUE REDUCED COST
8 X 10.000000 0.000000
9 Y 15.000000 0.000000
10
11
12 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
13 MAQ_A) 0.000000 3.750000
14 MAQ_B) 0.000000 17.500000
15 MAQ_C) 30.000000 0.000000
16
17 NO. ITERATIONS= 2
Segundo cuatrimestre 2020 12
Ejercicios resueltos 1.2
18
19
20 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
21
22 OBJ COEFFICIENT RANGES
23 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
24 COEF INCREASE DECREASE
25 X 60.000000 15.000000 35.000000
26 Y 50.000000 70.000000 10.000000
27
28 RIGHTHAND SIDE RANGES
29 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
30 RHS INCREASE DECREASE
31 MAQ_A 80.000000 40.000000 40.000000
32 MAQ_B 60.000000 20.000000 20.000000
33 MAQ_C 100.000000 INFINITY 30.000000
9. Informe de la solución óptima (recomendación al tomador de la decisión)
Considerando el precio de venta y la disponibilidad de las máquinas, la mejor opción para maximizar
la ganancia es producir 10 unidades del producto X y 15 unidades del producto Y, obteniendo así una
ganancia de 1350$.
¿Es conveniente conseguir 20 horas/mes más de equipo B?
Si. Observando el gráfico, el tiempo de la máquina B es una restricción limitante. Volviendo a correr el
so�ware con el modelo considerando la nueva restricción MAQ_B)3 X + 2 Y <= 80 obtenemos que la
nueva solución óptima es producir 20 de X, y 10 de Y para una ganancia de 1700$.
1 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
2
3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
4
5 1) 240.0000
6
7 VARIABLE VALUE REDUCED COST
8 X 4.000000 0.000000
9 Y 0.000000 70.000000
10
11
12 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
13 MAQ_A) 0.000000 30.000000
14 MAQ_B) 68.000000 0.000000
15 MAQ_C) 84.000000 0.000000
16
17 NO. ITERATIONS= 1
18
19
20 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
21
22 OBJ COEFFICIENT RANGES
23 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
24 COEF INCREASE DECREASE
25 X 60.000000 INFINITY 35.000000
26 Y 50.000000 70.000000 INFINITY
27
Segundo cuatrimestre 2020 13
Ejercicios resueltos 1.2
28 RIGHTHAND SIDE RANGES
29 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
30 RHS INCREASE DECREASE
31 MAQ_A 8.000000 42.000000 8.000000
32 MAQ_B 80.000000 INFINITY 68.000000
33 MAQ_C 100.000000 INFINITY 84.000000
Correcciones
Buenas tardes Javier, Te dejo mis impresiones sobre la entrega. Saludos, PC
Calificación general: Bien
Análisis: Regular Cuidado cuando decis “se quiere optimizar el uso de las máquinas”, en realidad
no nos importa cuánto se usan las máquinas en este problema sino qué cantidad de cada producto
se fabrica. Lo que buscamos en este apartado es que puedan abstraer las características salientes
y distintivas del problema. En este caso se puede hablar de un problema con dos productos y tres
máquinas. Podría incluirse un pequeño gráfico que muestre cómo es el proceso.
Objetivo: Regular Como comentáramos en clase, lo que el modelo hace no es calcular el valor
de una incógnita sino determinar los valores de las variables del problema. En este caso lo que
se determina es la cantidad de producto 1 y 2 a fabricar (eso, a su vez determina el uso de los
recursos, pero no es necesario aclararlo). Lo que el enunciado indica es que se desea maximizar
las ventas (cantidad total de unidades vendidas), no las ganancias. Los productos son 1 y 2, no X
e Y
Hipótesis: Bien Las hipótesis son correctas se podrían agregar: + No se considera la secuencia
entre máquinas (o se asume que se procesa todo en A, luego todo en B y finalmente todo en C
y un mes alcanza para hacerlo). + No hay otras restricciones (financieras, mano de obra) + No
hay restricciones de demanda sobre los productos + El consumo de los recursos es directamente
proporcional a la cantidad fabricada + Se pueden producir cantidades arbitrariamente pequeñas
de producto
Variables: Bien La nomenclatura de los productos es incorrecta. Se deberían incluir las unidades
de las variables [u/mes] No es necesario indicar las distintas variables calculables, basta con las 2
variables principales del problema.
Modelo: Muy Bien El funcional es coherente con el objetivo indicado.
Resolución gráfica: Muy Bien El gráfico es clarísimo, usando todas las herramientas del so�ware.
Se marca la traza del funcional y el punto óptimo. Se podría agregar el valor del funcional en cada
vértice del poliedro como método alternativo de resolución.
Resolución por so�ware: Bien(+) Se incluye el fuente y la salida del so�ware.
Segundo cuatrimestre 2020 14
Ejercicios resueltos 1.2
Informe solución: Bien(+) Se podría agregar algo que mencionás luego al analizar la pregunta
adicional: el uso de los recursos.
Pregunta adicional: Bien(-) Si bien es correcto el análisis preliminar que hacés respecto de que
B es limitanteo, la idea de estas preguntas de análisis de sensibilidad no es volver a resolver el
problema desde cero sino trabajar a partir de la solución óptima (en este caso, desplazando la
recta en el gráfico). Veremos más herramientas para hacerlo en las prácticas 5 y 6.
Presentación: Bien La presentación es correcta y no hay un exceso de archivos (está bien que el
modelo esté aparte por si se quiere correr). A medida que los modelos vayan creciendo, podrías
incluir también separación de secciones, numeración de páginas, carátula e índice. De paso, te va
a servir también para las entregas del TP.
Segundo cuatrimestre 2020 15
Ejercicios resueltos 1.3
1.3
1. Enunciado
Se desea definir las cantidades a fabricar de dos productos, A y B cuyo procesamiento se realiza en dos
centros de máquinas, conociéndose los datos referentes a los tiempos de proceso y disponibilidades
en los centros. Se sabe además que debe cumplirse con un pedido mínimo de 50 unidades de A. Al
mismo tiempo, la producción de B debe ser por lo menos cuatro veces superior a la producción de A.
Se conocen los márgenes brutos de beneficio de cada producto.
2. Análisis de la situación problemática.
Se quiere optimizar el uso de las máquinas, cuya disponibilidad se encuentra limitada, a su vez
cumpliendo con una producción mínima.
3. Objetivo
Además de tener un límite de disponibilidad para cada máquina, se debe fabricar un mínimo de
productos de A y B. Considerando esto, se busca obtener la cantidad de productos A y B para fabricar,
maximizando la ganancia.
4. Hipótesis y supuestos.
• Se vende todo lo que se produce.
• No se encuentran límitesfísicos de almacenamiento de los productos.
• No hay fallas de producción cuando un producto pasa por las máquinas.
• No hay desperdicio al producir.
• No hay restricciones de materiales de producción.
• No hay inflación ni variación de precios.
Segundo cuatrimestre 2020 16
Ejercicios resueltos 1.3
5. Definición de variables (con tipos y unidades)
• A: La cantidad del producto A a producir por mes.
• B: La cantidad del producto B a producir por mes.
A partir de esto se conoce:
• Ganancia por producto A:
GA = A×
12$
unit
• Ganancia por producto B:
GB = B ×
8$
unit
• Función a maximizar:
G = GA +GB
• Uso de máquina 1:
C1 =
1
unit
A+ 0.4
unit
B ≤ 200
• Uso de máquina 2:
C2 =
0.5
unit
A+ 1
unit
B ≤ 200
• Mínimo de productos A:
A ≥ 50
• Mínimo de productos B:
B ≥ 4A
6. Modelo de programación lineal
• Nuestra función objetivo es: MAX 12 A + 8 B
• La restricción de la máquina A: MAQ_1)A + 0.4 B <= 200
• La restricción de la máquina B: MAQ_2)0.5 A + B <= 200
• La restricción del producto A: PROD_A)A >= 50
• La restricción del producto B: PROD_B)B >= 4 A
7. Resolución gráfica.
Los ejes X e Y representan la cantidad de productos de A y B, respectivamente.
Segundo cuatrimestre 2020 17
Ejercicios resueltos 1.3
8. Resolución por so�ware (modelo y resultados).
• Modelo:
1 MAX 12 A + 8 B
2 ST
3 MAQ_1) A + 0.4 B <= 200
4 MAQ_2) 0.5 A + B <= 200
5 PROD_A) A >= 50
6 PROD_B) B - 4 A >= 0
7 END
• Resultados:
1 Status: Infeasible
2 Iterations: 2
3 Infeasibility: 5.55556
4 Objective: 1955.56
5 Best IP: N/A
6 IP Bound: N/A
7 Branches: N/A
8 Elapsed Time: 00:00:02
9. Informe de la solución óptima
No existe una región factible donde se cumplan las cuatro restricciones, por lo que el modelo es
incompatible.
Segundo cuatrimestre 2020 18
Ejercicios resueltos 1.3
Observando el gráfico, para que el modelo tenga solución óptima se podría eliminar o modificar una
de las restricciones existentes.
Correcciones
Análisis: Cuidado cuando decis “se quiere optimizar el uso de las máquinas”, en realidad no nos
importa cuánto se usan las máquinas en este problema, por más que intuitivamente un uso
óptimo de ellas conlleven a una obtención óptima del margen bruto, no es algo que queramos
optimizar.
Objetivo: Bien en términos generales. Cumplir con el marco propuesto de “Determinar X para
maximizar/minimizar Y en el período de tiempo Z” (acá el período de tiempo puede ser abstracto,
“para un período dado”, al no estar especificado en el enunciado)
Hipótesis correctas. Una adicional marcada en clase sería la de que los productos deben pasar
por ambas máquinas para considerarse completados.
Modelo correcto. La definición de variables no debería llevar las ecuaciones asociadas, esas van
directamente en el modelo. Simplemente definiendo A y B es suficiente, al esas dos nuestras
únicas variables de decisión. G, G_A, G_B no aparecieron en el modelo como variables, entonces
están de más en la definición
Correcta la resolución e informe.
Segundo cuatrimestre 2020 19
Ejercicios resueltos 1.6
1.6
1. 1.6
Dado el siguiente sistema de inecuaciones:
1 4 X1 - 2 X2 <= 4
2 4 X1 + 2 X2 <= 8
3 X1 + X2 >= 1
Y el funcional:
1 MAX Z = 8 X1 + 4 X2
Encontrar un enunciado compatible con el modelo.
2. Enunciado
Pedro está interesado en hacer dinero extra desde su casa, y decide investigar sobre el mundo de las
criptomonedas.
Por un lado encontró una la plataforma web Kraken para el intercambio de las criptomonedas, con las
siguientes tasas de cambio:
• 1 Taler = 8 pesos
• 1 Zcoin = 4 pesos
Los términos y condiciones de uso le exigen intercambiar al menos una moneda al mes para que su
cuenta no se vea desactivada.
Para el minado de las monedas en sí, encontró un servicio que ofrece tiempo de procesamiento gratuito
mensual con su correo electrónico de la facultad. Investigando los recursos que necesita cada moneda
y los planes disponibles, encontró cuánto tiempo en horas de CPU y GPU necesita para cada moneda y
el tiempo disponible que provee el servicio mensualmente.
Criptomoneda GPU CPU
Taler 4 4
Zcoin 2 -2
Disponibilidad (hrs/mes) 8 4
Segundo cuatrimestre 2020 20
Ejercicios resueltos 1.6
3. Resolución gráfica.
Valor deX1,X2 yZ sobre los vértices de la región factible:
• A:
– X1 = 0
– X2 = 4
– Z = 16
• B:
– X1 = 1.5
– X2 = 1
– Z = 16
Segundo cuatrimestre 2020 21
Ejercicios resueltos 1.6
• C:
– X1 = 1
– X2 = 0
– Z = 8
• D:
– X1 = 0
– X2 = 1
– Z = 4
4. Indicar la o las soluciones que optimicen el funcional.
Observando los límites de la región factible y sus vértices, cualquier punto que se encuentra alineado
y entre los puntosA yB optimizan la función. De esta forma la ganancia sería de 16.
5. Dar el valor de las variables débiles o slacks, sus unidades y significado en cada uno
de los vértices del poliedro.
• X1: Cantidad de moneda Taler.
• X2: Cantidad de moneda Zcoin.
• S1: Sobrante de tiempo de CPU [hrs/mes].
• S2: Sobrante de tiempo de GPU [hrs/mes].
• S3: Moneda sobrante para marcar la cuenta de Kraken como activa.
Las restricciones con las variables slack:
4X1 − 2X2 + S1 = 4
4X1 + 2X2 + S2 = 8
X1 +X2 − S3 = 1
Valor de S1, S2, S3 yZ sobre los vértices de la región factible:
• A: Solo el uso de GPU mensual es limitante.
– S1 = 12
– S2 = 0
– S3 = 3
Segundo cuatrimestre 2020 22
Ejercicios resueltos 1.6
– Z = 16
• B: El uso de GPU y CPU mensual es limitante.
– S1 = 0
– S2 = 0
– S3 = 1.5
– Z = 16
• C: El uso de CPU mensual y el mínimo de moneda mensual necesario es limitante.
– S1 = 0
– S2 = 4
– S3 = 0
– Z = 8
• D: El mínimo de moneda mensual necesario es limitante.
– S1 = 6
– S2 = 6
– S3 = 0
– Z = 4
Correcciones
Calificación general: Muy Bien
Enunciado: Bien -
El tema que redactaste es muy original! El enunciado que armaste está bien, aunque haría falta
encontrarle una explicación al consumo negativo de CPU de los ZCoin.
Resolución Gráfica: Excelente
El poliedro de soluciones factibles está bien graficado. La traza del funcional es correcta. El
segmento óptimo de soluciones está correctamente indicado.
Soluciones Alternativas: Excelente
La descripción de las soluciones alternativas es correcta. El valor del funcional que se indica es
correcto.
Slacks: Excelente
La incorporación de las variables slack al modelo es correcta. Los valores de las slacks son
correctos. La descripción de las variables slack es correcta. Indicás las unidades de las slacks.
Segundo cuatrimestre 2020 23
Ejercicios resueltos 1.6
Presentación: Bien
El documento entregado es claro, y las secciones están claramente separadas. A medida que los
modelos vayan creciendo, podrías incluir también carátula, numeración de páginas, e índice. De
paso, te va a servir también para las entregas del TP.
Segundo cuatrimestre 2020 24
Ejercicios resueltos 2.1
2.1
1. Enunciado
Un taller de tejido elabora varios modelos de pullóver. Estos modelos de pullóver se pueden agrupar,
desde un punto de vista técnico-económico, en tres tipos diferentes de prendas, a los cuales llamaremos
A,B yC.
El taller posee dos máquinas (I y II). Los pullóveresA sólo pueden hacerse en la máquina I , losC
sólo pueden hacerse en la máquina II y losB pueden hacerse tanto en la máquina I como en la II .
Las dos máquinas trabajan dos turnos por día, 8 horas en cada turno, de lunes a viernes.
La materia prima utilizada es lana de dos calidades distintas (Mejorada yNormal). La lana Mejorada se
utiliza para los pullóveres de tipoA yC. Los pullóveres de tipoB se hacen con lana Normal. De la lana
Mejorada se pueden conseguir hasta 20kg./semana y de la lana Normal hasta 36kg./semana.
Existe un compromiso de entregar 10 pullóveresB por semana a un importante distribuidor.
No es necesario que las prendas que comienzan a fabricarse en una semana se terminen durante la
misma, es decir que pueden quedar pullóveres a medio hacer de una semana para la próxima.
Los estándares de producción y materia prima y los beneficios unitarios para cada tipo de pullóver, se
indican en el siguiente cuadro:
¿Qué es lo mejor quese puede hacer con la información disponible?
2. Análisis de la situación problemática
El problema tiene tres productos distintos,A,B yC.
Se tiene una cantidad limitada de materia prima por semana, donde los productosA yC se producen
con la misma tela.
Para la producción se utilizan dos máquinas con una disponibilidad de 8horasturno ×
2turnos
dia ×
5dias
semana =
80horas
semana por máquina. Una de ellas se utiliza para producirA yB, y la otra para producirB yC, donde
se observar que el tiempo de para producirB varía entre las dos máquinas.
Segundo cuatrimestre 2020 25
Ejercicios resueltos 2.1
Finalmente, cada producto tiene un costo de venta respectivo por unidad.
3. Objetivo
Determinar la cantidad de pullóver A y B a producir en el plazo de una semana para maximizar la
ganancia mediante ventas de dichos pullóvers.
4. Hipótesis y supuestos
• Se vende todo lo que se produce dentro del plazo del modelo.
• Se podrá producir todo el producto dentro del plazo del modelo, considerando las restricciones.
• No hay stock inicial ni final de producto.
• No se encuentran límites físicos de almacenamiento de los productos.
• No hay fallas de producción.
• No hay desperdicio al producir ni desgaste al dejar un producto a medio hacer.
• No hay restricciones de mano de obra ni financieras.
• No hay inflación ni variación de precios.
• El consumo de los recursos es directamente proporcional a la cantidad fabricada.
• Se pueden producir cantidades arbitrariamente pequeñas de producto.
5. Definición de variables
• AM1: La cantidad de pulloversA a producir en la máquina 1 por semana.
• BM1: La cantidad de pulloversB a producir en la máquina 1 por semana.
• BM2: La cantidad de pulloversB a producir en la máquina 2 por semana.
• CM2: La cantidad de pulloversC a producir en la máquina 2 por semana.
6. Modelo de programación lineal
La función objetivo a maximizar será la ganancia por la producción de producto:
Z = 10$
pullóverAM1 +
15$
pullóverBM1 +
15$
pullóverBM2 +
18$
pullóverCM2
Las restricciones serán:
Segundo cuatrimestre 2020 26
Ejercicios resueltos 2.1
• Producir 10 pullóveresB por semana para un distribuidor.
BM1 +BM2 ≥
10pullóver
semana
• Límite de lana mejorada:
LM =
1.6kg
pullóverAM1 +
1.2kg
pullóverCM2 ≤
20kg
semana
• Límite de lana normal:
LN =
1.8kg
pullóverBM1 +
1.8kg
pullóverBM2 ≤
36kg
semana
• Límite de uso de la máquina 1:
M1 = 5hrs
pullóverAM1 +
6hrs
pullóverBM1 ≤
80horas
semana
• Límite de uso de la máquina 2:
M2 = 4hrs
pullóverBM2 +
4hrs
pullóverCM2 ≤
80horas
semana
7. Resolución por so�ware (modelo y resultados)
• Modelo de programación lineal en LINDO:
1 MAX 10 AM1 + 15 BM1 + 15 BM2 + 18 CM2
2 ST
3 DIST) BM1 + BM2 >= 10
4 LM) 1.6 AM1 + 1.2 CM2 <= 20
5 LN) 1.8 BM1 + 1.8 BM2 <= 36
6 M1) 5 AM1 + 6 BM1 <= 80
7 M2) 4 BM1 + 4 CM2 <= 80
8 END
• Resultado:
1 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
2
3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
4
5 1) 550.0000
6
7 VARIABLE VALUE REDUCED COST
8 AM1 0.000000 6.500000
9 BM1 13.333333 0.000000
10 BM2 3.333333 0.000000
Segundo cuatrimestre 2020 27
Ejercicios resueltos 2.1
11 CM2 16.666666 0.000000
12
13
14 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
15 DIST) 6.666667 0.000000
16 LM) 0.000000 2.500000
17 LN) 6.000000 0.000000
18 M1) 0.000000 2.500000
19 M2) 0.000000 3.750000
20
21 NO. ITERATIONS= 1
22
23
24 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
25
26 OBJ COEFFICIENT RANGES
27 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
28 COEF INCREASE DECREASE
29 AM1 10.000000 6.500000 INFINITY
30 BM1 15.000000 INFINITY 7.800000
31 BM2 15.000000 3.000000 15.000000
32 CM2 18.000000 INFINITY 3.000000
33
34 RIGHTHAND SIDE RANGES
35 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
36 RHS INCREASE DECREASE
37 DIST 10.000000 6.666667 INFINITY
38 LM 20.000000 4.000000 4.000000
39 LN 36.000000 INFINITY 6.000000
40 M1 80.000000 20.000000 39.999996
41 M2 80.000000 13.333334 13.333333
8. Informe de la solución óptima
La solución óptima considerando las restricciones de tela y máquina será producir por semana:
• 13 y un tercio más de pullóvers B con la máquina I.
• 3 y un tercio más de pullóvers B con la máquina II.
• 16 y dos tercio más de pullóvers C con la máquina II.
Al vender dicho stock, se obtendría una ganancia de $550.
Los recursos limitantes serán el tiempo de las dos máquinas y la cantidad de lana mejorada. Adicional-
mente, sobrarán 6 kilos de lana normal para la semana siguiente.
Correcciones
Buenas noches Javier, Te dejo nuestras correcciones. Saludos, PC
El análisis de la situación problemática no tiene que ser un resumen del enunciado. Se puede
decir “se trata de un problema de producción con recursos limitantes” en este caso. Cuando
tengamos problemas más complejos, por ejemplo de armado o metas, se indicará eso en el
Segundo cuatrimestre 2020 28
Ejercicios resueltos 2.1
análisis. También se puede hacer un diagrama.
Habría que agregar al objetivo que hay que determinar también en qué máquina se producen los
pulóveres (en el caso de los pulóveres B)
En las hipótesis faltaría incluir que los pulóveres B son de la misma calidad, independientemente
de en qué máquina se hayan fabricado.
El modelo está bien y el informe de la solución óptima es correcto.
Segundo cuatrimestre 2020 29
Ejercicios resueltos 2.2
2.2
1. Enunciado
“Copani”, una compañía dedicada a la minería, explota tres yacimientos (Sierra Alta, Sierra Chica y
El Abra), de cada uno de los cuales obtiene un mineral que contiene cuatro metales: Cobre, Estaño,
Manganeso y Zinc. Con estos cuatro metales, y siguiendo las especificaciones que pueden verse en el
cuadro que figura a continuación, Copani elabora dos aleaciones: A y B.
La proporción de cada metal que está en el mineral depende del yacimiento del cual proviene ese
mineral. La siguiente tabla indica esos datos, así como los costos de extracción de mineral:
La aleación A se vende a $A por tonelada y la aleación B a $B por tonelada. Con la información indicada:
¿Qué es lo mejor que puede hacer “Copani”?
Para facilitar el análisis se incluyen las siguientes definiciones: - Aleación: Producto homogéneo de
propiedades metálicas, compuesto de dos o más elementos, uno de los cuales, al menos, debe ser un
metal. Ej: Bronce, Acero. - Metal: Cada uno de los elementos químicos, buenos conductores del calor y
de la electricidad. Ej: Oro, Cobre, Hierro. - Mineral: Sustancia inorgánica que se halla en la superficie o
en diversas capas de la tierra, cuya explotación ofrece interés. Ej: Ferrita, Pirita
Segundo cuatrimestre 2020 30
Ejercicios resueltos 2.2
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de producción con recursos limitantes. Los metales pueden provenir de tres
yacimientos con extracción limitada y costo asociado, los cuales se utilizan para la producción de dos
aleaciones diferentes.
3. Objetivo
Se busca optimizar la cantidad en toneladas de cobre, estaño, manganeso y zinc destinadas a la
producción de aleaciones A y B, y las toneladas de mineral a obtener de los yacimientos, para maximizar
la ganancia en el plazo de tiempo de los datos.
4. Hipótesis y supuestos
• Los metales obtenidos de yacimientos distintos son indistinguibles entre si.
• Las aleaciones se producen solo con los tres metales especificados.
• Los precios de venta de aleaciones son constantes.
• Los datos son todos sobre el mismo plazo de tiempo genérico T.
• Se vende todo lo que se produce dentro del plazo del modelo.
• Se produce lo necesario dentro del plazo del modelo.
• No hay fallas de producción ni desperdicio.
Segundo cuatrimestre 2020 31
Ejercicios resueltos 2.2
• Todo lo extraído de los yacimientos es utilizable.
• No hay límites físicos de almacenamiento de productos.
• Se puede extraer cantidades arbitrariamente pequeñas de metales.
• El consumo de metales es directamente proporcional a la cantidad fabricada.
• No hay restricciones de mano de obra ni financieras.
• No hay inflación ni variación de precios.
5. Definición de variables
• CA: Toneladas de cobre utilizadas para la producción de aleación A.
• EA: Toneladas de estañoutilizadas para la producción de aleación A.
• EB : Toneladas de estaño utilizadas para la producción de aleación B.
• MB : Toneladas de manganeso utilizadas para la producción de aleación B.
• ZA: Toneladas de zinc utilizadas para la producción de aleación A.
• ZB : Toneladas de zinc utilizadas para la producción de aleación B.
• YSA: Toneladas de metal obtenidas en el yacimiento Sierra Alta.
• YSC : Toneladas de metal obtenidas en el yacimiento Sierra Chica.
• YEA: Toneladas de metal obtenidas en el yacimiento El Abra.
6. Modelo de programación lineal
La función objetivo a maximizar será la ganancia por la producción de producto:
Z = A$
tn
(CA + EA + ZA) +
B$
tn
(EB +MB + ZB)−
10$
tn
YSA −
40$
tn
YSC −
50$
tn
YEA
Las restricciones serán:
• Obtención de cobre:
0.2YSA + 0.1YSC + 0.05YEA ≥ CA
• Obtención de estaño:
0.1YSA + 0.2YSC + 0.05YEA ≥ EA + EB
• Obtención de manganeso:
0.3YSA + 0.3YSC + 0.7YEA ≥MB
Segundo cuatrimestre 2020 32
Ejercicios resueltos 2.2
• Obtención de zinc:
0.3YSA + 0.3YSC + 0.2YEA ≥ ZA + ZB
• Porcentajes de aleación A:
0.8(CA + EA + ZA) ≥ CA
0.3(CA + EA + ZA) ≥ EA
0.5(CA + EA + ZA) ≤ ZA
• Porcentajes de aleación B:
0.4(EB +MB + ZB) ≤ EB ≤ 0.6(EB +MB + ZB)
0.3(EB +MB + ZB) ≤MB
0.7(EB +MB + ZB) ≥ ZB
• Disponibilidad de los yacimientos:
YSA ≤ 1000
YSC ≤ 2000
YEA ≤ 3000
7. Resolución por so�ware
• Para la resolución del modelo, utilizo los siguientes valores de precio de ventaA yB:
– A = 70
– B = 60
• Modelo de programación lineal en LINDO:
1 MAX 70 CA + 70 EA + 70 ZA + 60 EB + 60 MB + 60 ZB
2 - 10 YSA - 40 YSC - 50 YEA
3 ST
4 COB) 0.2 YSA + 0.1 YSC + 0.05 YEA - CA >= 0
5 EST) 0.1 YSA + 0.2 YSC + 0.05 YEA - EA - EB >= 0
6 MNG) 0.3 YSA + 0.3 YSC + 0.7 YEA - MB >= 0
7 ZNC) 0.3 YSA + 0.3 YSC + 0.2 YEA - ZA - ZB >= 0
8 A_COB) - 0.2 CA + 0.8 EA + 0.8 ZA >= 0
9 A_EST) 0.3 CA - 0.7 EA + 0.3 ZA >= 0
10 A_ZNC) 0.5 CA + 0.5 EA - 0.5 ZA <= 0
11 B_EST_1) - 0.6 EB + 0.4 MB + 0.4 ZB <= 0
12 B_EST_2) - 0.4 EB + 0.6 MB + 0.6 ZB >= 0
13 B_MNG) 0.3 EB - 0.7 MB + 0.3 ZB <= 0
14 B_ZNC) 0.7 EB + 0.7 MB - 0.3 ZB >= 0
15 MAX_YSA) YSA <= 1000
16 MAX_YSC) YSC <= 2000
Segundo cuatrimestre 2020 33
Ejercicios resueltos 2.2
17 MAX_YEA) YEA <= 3000
18 END
• Resultado:
1 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
2
3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
4
5 1) 76000.00
6
7 VARIABLE VALUE REDUCED COST
8 CA 400.000000 0.000000
9 EA 0.000000 80.000000
10 ZA 900.000000 0.000000
11 EB 500.000000 0.000000
12 MB 750.000000 0.000000
13 ZB 0.000000 70.000000
14 YSA 1000.000000 0.000000
15 YSC 2000.000000 0.000000
16 YEA 0.000000 25.000000
17
18
19 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
20 COB) 0.000000 -70.000000
21 EST) 0.000000 -150.000000
22 MNG) 150.000000 0.000000
23 ZNC) 0.000000 -70.000000
24 A_COB) 640.000000 0.000000
25 A_EST) 390.000000 0.000000
26 A_ZNC) 250.000000 0.000000
27 B_EST_1) 0.000000 150.000000
28 B_EST_2) 250.000000 0.000000
29 B_MNG) 375.000000 0.000000
30 B_ZNC) 875.000000 0.000000
31 MAX_YSA) 0.000000 40.000000
32 MAX_YSC) 0.000000 18.000000
33 MAX_YEA) 3000.000000 0.000000
34
35 NO. ITERATIONS= 0
36
37
38 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
39
40 OBJ COEFFICIENT RANGES
41 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
42 COEF INCREASE DECREASE
43 CA 70.000000 500.000000 70.000000
44 EA 70.000000 80.000000 INFINITY
45 ZA 70.000000 125.000000 59.999996
46 EB 60.000000 500.000000 80.000000
47 MB 60.000000 333.333313 53.333332
48 ZB 60.000000 70.000000 INFINITY
49 YSA -10.000000 INFINITY 40.000000
50 YSC -40.000000 INFINITY 18.000000
51 YEA -50.000000 25.000000 INFINITY
52
53 RIGHTHAND SIDE RANGES
54 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
55 RHS INCREASE DECREASE
56 COB 0.000000 400.000000 500.000000
57 EST 0.000000 500.000000 100.000000
58 MNG 0.000000 150.000000 INFINITY
Segundo cuatrimestre 2020 34
Ejercicios resueltos 2.2
59 ZNC 0.000000 500.000000 INFINITY
60 A_COB 0.000000 640.000000 INFINITY
61 A_EST 0.000000 390.000000 INFINITY
62 A_ZNC 0.000000 INFINITY 250.000000
63 B_EST_1 0.000000 60.000000 166.666672
64 B_EST_2 0.000000 250.000000 INFINITY
65 B_MNG 0.000000 INFINITY 375.000000
66 B_ZNC 0.000000 875.000000 INFINITY
67 MAX_YSA 1000.000000 INFINITY 999.999939
68 MAX_YSC 2000.000000 INFINITY 2000.000000
69 MAX_YEA 3000.000000 INFINITY 3000.000000
8. Informe de la solución óptima
Existe una región factible donde se cumplen todas las restricciones. Para ayudar a Compani, habría
que determinar los valores de venta de las aleaciones para encontrar la o las soluciones óptimas.
Correcciones
Calificación general: Bien +
Análisis: Excelente
El análisis que presentás es un resumen del enunciado, pero el diagrama que hiciste para las
variables es un excelente análisis: me quedo con el diagrama.
Objetivo: Muy Bien
La idea del objetivo está bien, pero se puede mejorar la redacción. Para formalizarlo adecuada-
mente, recordá utilizar siempre la estructura "Determinar xxxx, para maximizar/minimizar yyyy,
durante zzzz).
Hipótesis: Excelente
Las hipótesis están bien, tienen sentido y ayudan a acotar el modelo. Las hipótesis de “certeza”,
“proporcionalidad”, “divisibilidad” y “aditividad” están correctamente contempladas.
Variables: Excelente
La identificación de las variables principales es correcta, y guarda coherencia con el objetivo que
planteaste. También es positivo que hayas indicado las unidades.
Modelo: Muy Bien
Las restricciones de apertura de los metales de las minas son correctas. Las restricciones de
composición de las aleaciones están bien, pero permiten la producción de aleación A con un solo
metal. La función objetivo es correcta y guarda coherencia con el objetivo definido. Las unidades
Segundo cuatrimestre 2020 35
Ejercicios resueltos 2.2
cierran perfectamente. No hay restricciones redundantes. Las restricciones están claramente
identificadas.
Resolución por so�ware: Bien
La resolución presenta un resultado coherente. Están incluidos el modelo y la salida del so�ware.
Informe de solución: Mal
El informe que entregás carece de contenido.
Presentación: Muy Bien
El documento entregado es claro, y las secciones están claramente separadas. Incluye carátula e
índice. Podrías incluir también numeración de páginas. De paso, te va a servir también para las
entregas del TP.
Segundo cuatrimestre 2020 36
Ejercicios resueltos 2.3
2.3
1. Enunciado
Tu grupo de Modelos I quiere entrar al negocio de los dulces. Se está considerando producir dos tipos
de dulces: Candy y Sweety, que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate.
Actualmente se cuenta con 100 kg. de azúcar, 20 kg. de nueces y 30 kg. de chocolate.
La mezcla para producir Candy tiene que contener por lo menos un 20% de nueces.
La mezcla para producir Sweety tiene que contener por lo menos un 10% de nueces y por lo menos un
10% de chocolate.
Cada kg. de mezcla de Candy se vende a 25 pesos y cada kg. de mezcla de Sweety se vende a 20
pesos.
¿Qué es lo mejor que se puede hacer con los datos disponibles?
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de producción con mezclas, con tres tipos de materia prima para fabricar dos
productos distintos.
3. Objetivo
Determinar la cantidad de azúcar, nueces y chocolate para utilizar en las mezclas de Candy y Sweety
para maximizar la ganancia por ventas en el periodo de los datos.
Segundo cuatrimestre 2020 37
Ejercicios resueltos 2.3
4. Hipótesis y supuestos
• La producción es indistinguible, sin importar cómo está compuesta la mezcla.
• Se vende todo lo que se produce.
• El precio de venta es proporcional a la cantidad vendida.
• Se puede fabricar cantidades arbitrariamente pequeñas de producto.
• Se puede producir Sweety y Candy con cualquier proporción de la materia prima indicada, con
tal de respetar los porcentajes indicados por los datos.
• No hace falta que las mezclas de Sweety y Cando estén compuestos por los tres tipos de materia
prima.
• La mezcla es aditiva.
• No hay fallas de producción ni desperdicio.
• No hay otras restricciones además de las indicadas por los datos.
5. Definición de variables
Las variablesde decisión son:
• Mi,j : Kilos de materia prima i utilizados para la fabricación de producto j.
– Donde i ∈MAT = {Azucar,Nueces, Chocolate}.
– Donde j ∈ PROD = {Candy, Sweety}.
También se definen las siguientes variables:
• Pj : Kilos de producto j a fabricar.
6. Modelo de programación lineal
Se considera la cantidad limitada de cada tipo de materia prima.
• Azucar:
MAzucar,Candy +MAzucar,Sweety ≤ 100kg
• Nueces:
MNueces,Candy +MNueces,Sweety ≤ 20kg
• Chocolate:
MChocolate,Candy +MChocolate,Sweety ≤ 30kg
Segundo cuatrimestre 2020 38
Ejercicios resueltos 2.3
Se vinculan las variables de producto P y de materia primaM :
∀ j ∈ PROD : Pj =
∑
i∈MAT
Mi,j
La mezcla de Candy tiene que contener por lo menos un 20% de nueces:
PCandy · 0.20 ≤MNueces,Candy
La mezcla de Sweety tiene que contener por lo menos un 10% de nueces y un 10% de chocolate:
PSweety · 0.10 ≤MNueces,Sweety
PSweety · 0.10 ≤MChocolate,Sweety
Finalmente, el funcional a maximizar:
MAX Z = 25$
kg
· PCandy +
20$
kg
· PSweety
7. Resolución por so�ware
El modelo en GLPK es:
1 set MAT;
2 set PROD;
3
4 var M{i in MAT, j in PROD} >= 0;
5 var P{j in PROD} >= 0;
6
7 s.t. LIMITE_AZUCAR: M['AZUCAR', 'CANDY'] + M['AZUCAR', 'SWEETY'] <= 100;
8 s.t. LIMITE_NUECES: M['NUECES', 'CANDY'] + M['NUECES', 'SWEETY'] <= 20;
9 s.t. LIMITE_CHOCOLATE: M['CHOCOLATE', 'CANDY'] + M['CHOCOLATE', 'SWEETY'] <= 30;
10
11 s.t. VINCULACION_PROD{j in PROD}: P[j] = sum{i in MAT} M[i, j];
12
13 s.t. PROP_NUECES_CANDY: P['CANDY'] * 0.2 <= M['NUECES', 'CANDY'];
14 s.t. PROP_NUECES_SWEETY: P['SWEETY'] * 0.1 <= M['NUECES', 'SWEETY'];
15 s.t. PROP_CHOCOLATE_SWEETY: P['SWEETY'] * 0.1 <= M['CHOCOLATE', 'SWEETY'];
16
17 maximize z: 25 * P['CANDY'] + 20 * P['SWEETY'];
18
19 data;
20
21 set MAT := 'AZUCAR' 'NUECES' 'CHOCOLATE';
22 set PROD := 'CANDY' 'SWEETY';
Y su resolución:
1 Problem: 2
2 Rows: 9
Segundo cuatrimestre 2020 39
Ejercicios resueltos 2.3
3 Columns: 8
4 Non-zeros: 22
5 Status: OPTIMAL
6 Objective: z = 3250 (MAXimum)
7
8 No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
9 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
10 1 LIMITE_AZUCAR
11 NU 100 100 15
12 2 LIMITE_NUECES
13 NU 20 20 65
14 3 LIMITE_CHOCOLATE
15 NU 30 30 15
16 4 VINCULACION_PROD[CANDY]
17 NS 0 -0 = 15
18 5 VINCULACION_PROD[SWEETY]
19 NS 0 -0 = 15
20 6 PROP_NUECES_CANDY
21 NU 0 -0 50
22 7 PROP_NUECES_SWEETY
23 NU 0 -0 50
24 8 PROP_CHOCOLATE_SWEETY
25 B -20 -0
26 9 z B 3250
27
28 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
29 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
30 1 M[AZUCAR,SWEETY]
31 B 60 0
32 2 M[AZUCAR,CANDY]
33 B 40 0
34 3 M[NUECES,SWEETY]
35 B 10 0
36 4 M[NUECES,CANDY]
37 B 10 0
38 5 M[CHOCOLATE,SWEETY]
39 B 30 0
40 6 M[CHOCOLATE,CANDY]
41 NL 0 0 < eps
42 7 P[CANDY] B 50 0
43 8 P[SWEETY] B 100 0
44
45 Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:
46
47 KKT.PE: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
48 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
49 High quality
50
51 KKT.PB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
52 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
53 High quality
54
55 KKT.DE: max.abs.err = 0.00e+00 on column 0
56 max.rel.err = 0.00e+00 on column 0
57 High quality
58
59 KKT.DB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
60 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
61 High quality
62
63 End of output
Segundo cuatrimestre 2020 40
Ejercicios resueltos 2.3
8. Informe de la solución óptima
Para obtener una ganancia por venta de producción de $3250, se deben producir:
• 50kg de Candy, utilizando 40kg de azucar y 10kg de nueces.
• 100kg de Sweety, utilizando 60kg de azucar, 10kg de nueces y 30kg de chocolate.
Se puede observar que se respeta las proporciones necesarias indicadas por los datos y las hipótesis.
Segundo cuatrimestre 2020 41
Ejercicios resueltos 2.5
2.5
1. Enunciado
“Takayama”, una tintorería textil cuenta con dos tipos de Estampadoras: Rápidas y Lentas. Dispone de
70 estampadoras Rápidas y 60 Lentas.
Aclaremos que estampar consiste en imprimir dibujos con colores sobre tela cruda, de modo que el
rollo de tela cruda va pasando por la estampadora y ésta le va imprimiendo el dibujo con los colores y
formas seleccionados.
Takayama ha tomado dos trabajos para hacer: Dibujo Snoopy y Dibujo Scooby. Cada uno de estos
estampados se puede hacer en una máquina de cualquiera de los dos tipos, sólo que la eficiencia será
distinta según el tipo. Una máquina Rápida estampa R m. de dibujo Snoopy por hora. Una máquina
Lenta estampa 2 m. de dibujo Snoopy por hora. Una máquina Rápida estampa 7 m. de dibujo Scooby
por hora. Una máquina Lenta estampa L metros de dibujo Scooby por hora. Una misma estampadora
(sea Rápida o Lenta) no puede destinarse en el mismo día a trabajar en dos tipos distintos de dibujo.
Cada metro de tela Snoopy se vende a $K y un metro de tela Scooby se vende a $M.
Para mañana le han pedido a Takayama que entregue 10000 metros de tela Snoopy y 9000 metros de
Scooby. Tiene todo el día de hoy (ocho horas) para trabajar.
¿Qué es lo mejor que puede hacer con la información disponible?
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de planificación de producción. A cada una de las máquinas se les puede
asignar dos posibles trabajos, resultando en diferentes tiempos de producción.
Segundo cuatrimestre 2020 42
Ejercicios resueltos 2.5
3. Objetivo
Determinar cuántas máquinas de cada tipo destinar a la fabricación de los dos tipos de estampados
para maximizar la ganancia del día.
4. Hipótesis y supuestos
• La demanda indicada es una demanda mínima, y se vende (al precio correspondiente) toda
producción que supere dichos números.
• No hay fallas, interrupciones ni pérdidas en la producción.
• Los estampados hechos por máquinas de distintos tipos son indistinguibles entre sí.
• No hay restricciones financieras, de mano de obra, físicas o de materia prima.
• El precio de venta es proporcional a la cantidad vendida.
• Los tiempos de producción son exactos.
• No hay stock inicial.
5. Definición de variables
Las variables de control son:
• Mi,j [maq/dia] [entera]: Cantidad de máquinas i destinadas a la producción de estampados j
durante el día.
– Donde i ∈MAQUINAS = {Rapida, Lenta}
– Donde j ∈ ESTAMPADOS = {Snoopy, Scooby}
También se definen las siguientes variables:
• Pj [m/dia]: Cantidad de metros de estampado j fabricado durante el día.
6. Modelo de programación lineal
Solo se dispone de 70 máquinas rápidas y 60 lentas.
MRapida,Snoopy +MRapida,Scooby ≤
70maq
dia
MLenta,Snoopy +MLenta,Scooby ≤
60maq
dia
Segundo cuatrimestre 2020 43
Ejercicios resueltos 2.5
Vinculación de la producción de estampados con las máquinas utilizadas:
PSnoopy =
(
Rm
maq · hora
·MRapida,Snoopy +
2m
maq · hora
·MLenta,Snoopy
)
· 8horas
dia
PScooby =
( 7m
maq · hora
·MRapida,Scooby +
Lm
maq · hora
min ·MLenta,Scooby
)
· 8horas
dia
La demanda mínima de cada tipo de estampado:
10000m
dia
≤ PSnoopy
9000m
dia
≤ PScooby
Finalmente, el funcional a maximizar:
MAX Z = K$
m
· PSnoopy +
M$
m
· PScooby
7. Resolución por so�ware
El modelo en GLPK, fijando los valores de las constantes, es el siguiente:
1 param R := 10;
2 param L := 4;
3 param K := 3;
4 param M := 6;
5
6 var M_RAPIDA_SNOOPY >= 0, integer;
7 var M_RAPIDA_SCOOBY >= 0, integer;
8 var M_LENTA_SNOOPY >= 0, integer;
9 var M_LENTA_SCOOBY >= 0, integer;
10
11 var P_SNOOPY >= 0;
12 var P_SCOOBY >= 0;
13
14 s.t. MAX_RAPIDAS: M_RAPIDA_SNOOPY + M_RAPIDA_SCOOBY <= 70;
15 s.t. MAX_LENTAS: M_LENTA_SNOOPY + M_LENTA_SCOOBY <= 60;
16
17 s.t. VINCULACION_SNOOPY: P_SNOOPY = (R * M_RAPIDA_SNOOPY + 2 * M_LENTA_SNOOPY) * 8;
18 s.t. VINCULACION_SCOOBY: P_SCOOBY = (7 * M_RAPIDA_SCOOBY + L * M_LENTA_SCOOBY) * 8;
19
20 s.t. DEMANDA_MINIMA_SNOOPY: 10000 <= P_SNOOPY;
21 s.t. DEMANDA_MINIMA_SCOOBY: 9000 <= P_SCOOBY;
22
23 maximize z: K * P_SNOOPY + M * P_SCOOBY;
Y su resolución:
1 Problem: 2
2 Rows: 7
3 Columns: 6 (4 integer, 0 binary)
Segundo cuatrimestre 2020 44
Ejercicios resueltos 2.5
4 Non-zeros: 14
5 Status: INTEGER EMPTY
6 Objective:z = 0 (MAXimum)
7
8 No. Row name Activity Lower bound Upper bound
9 ------ ------------ ------------- ------------- -------------
10 1 MAX_RAPIDAS 0 70
11 2 MAX_LENTAS 0 60
12 3 VINCULACION_SNOOPY
13 0 -0 =
14 4 VINCULACION_SCOOBY
15 0 -0 =
16 5 DEMANDA_MINIMA_SNOOPY
17 0 -10000
18 6 DEMANDA_MINIMA_SCOOBY
19 0 -9000
20 7 z 0
21
22 No. Column name Activity Lower bound Upper bound
23 ------ ------------ ------------- ------------- -------------
24 1 M_RAPIDA_SNOOPY
25 * 0 0
26 2 M_RAPIDA_SCOOBY
27 * 0 0
28 3 M_LENTA_SNOOPY
29 * 0 0
30 4 M_LENTA_SCOOBY
31 * 0 0
32 5 P_SNOOPY 0 0
33 6 P_SCOOBY 0 0
34
35 Integer feasibility conditions:
36
37 KKT.PE: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
38 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
39 High quality
40
41 KKT.PB: max.abs.err = 1.00e+04 on row 5
42 max.rel.err = 1.00e+00 on row 5
43 SOLUTION IS INFEASIBLE
44
45 End of output
8. Informe de la solución óptima
Suponiendo que las constantes R y L tienen valores aptos para sus tipos de máquinas, el modelo
no tendrá solución. Es decir que no es posible producir los suficientes metros de estampados para
cumplir la demanda.
Para que el modelo tenga solución se podrían conseguir más máquinas, o bien bajar la demanda
mínima.
Segundo cuatrimestre 2020 45
Ejercicios resueltos 2.7
2.7
1. Enunciado
“Tasmania”, una empresa de muñecos de peluche, quiere planificar la producción de sus famosos
muñecos de para los próximos dos meses. Fabricar un muñequito les insume 2 horas máquina y 1,5 kg.
de materia prima. Por mes se puede disponer de 150 kilos de materia prima y de M horas máquina. El
primer mes se comprometió a entregar 70 muñequitos y el segundo mes el compromiso asciende a
110 muñequitos. Puede vender más de lo comprometido, pero no menos. Cada muñequito vendido le
reporta una ganancia de $P.
¿Qué es lo mejor que puede hacer “Tasmania” con la información disponible?
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de planificación de ventas con recursos limitantes y varios periodos.
Cada muñeco necesita un tiempo de máquina y materia prima para su producción. La diferencia entre
los dos periodos son la demanda mínima a cumplir.
3. Objetivo
Determinar la cantidad de muñecos a producir y vender en cada mes para cumplir con la demanda
mínima y maximizar la ganancia.
4. Hipótesis y supuestos
• No hay defectos de producción.
• No hay defectos al usar la máquina o en la materia prima.
• No hay stock inicial en el primer mes.
• En el último mes se puede vender todo el stock restante.
• Se vende todo lo que se produce en el mes.
• No hay inflación ni variación de precios.
• No hay límites físicos de almacenamiento de productos.
• Se pueden dejar muñecos por medio hacer.
• No hay restricciones de mano de obra ni financieras.
• El consumo de los recursos es directamente proporcional a la cantidad fabricada.
Segundo cuatrimestre 2020 46
Ejercicios resueltos 2.7
• La constanteM , que representa las horas máquina por mes, no será mayor que la cantidad de
horas de ese mes.
• La materia prima no utilizada en un mes se puede utilizar en el siguiente.
• Las horas máquina no utilizadas en un mes no se pueden utilizar en el siguiente (por ser un
servicio).
5. Definición de variables
• Pi: Muñecos producidos en el mes i.
• Vi: Muñecos vendidos en el mes i.
6. Modelo de programación lineal
La función a maximizar será:
Z = (V1 + V2) ∗
P$
muñeco
La restricción de ventas mínimas por mes:
V1 ≥ 70
V2 ≥ 110
La restricción del stock disponible por mes:
V1 ≤ P1
V2 ≤ P2 + (P1 − V1)
La restricción de producción: - Materia prima primer mes:
150kg
mes
≥ 1.5kg
muñecoP1
- Materia prima segundo mes:
300kg
mes
− 1.5kg
muñecoP1 ≥
1.5kg
muñecoP2
- Horas máquina primer mes:
Mhr
mes
≥ 2hr
muñecoP1
Segundo cuatrimestre 2020 47
Ejercicios resueltos 2.7
- Horas máquina segundo mes:
Mhr
mes
≥ 2hr
muñecoP2
7. Resolución por so�ware
Para encontrar una solución, asigno un valor a las constantes P yM : - P = 30 -M = 180
El modelo en GLPK será:
1 /* Variables */
2 var P1 >= 0;
3 var P2 >= 0;
4 var V1 >= 0;
5 var V2 >= 0;
6
7 /* Funcional */
8 maximize z: (V1 + V2) * 30;
9
10 /* Restricciones */
11 s.t. VentasMes1Min: V1 >= 70;
12 s.t. VentasMes2Min: V2 >= 110;
13
14 s.t. StockMes1: V1 <= P1;
15 s.t. StockMes2: V2 <= P2 + (P1 - V1);
16
17 s.t. MateriaPrimaMes1: 150 >= 1.5 * P1;
18 s.t. MateriaPrimaMes2: 300 - 1.5 * P1 >= 1.5 * P2;
19 s.t. HorasMaquinaMes1: 180 >= 2 * P1;
20 s.t. HorasMaquinaMes2: 180 >= 2 * P2;
El resultado:
1 Problem: 2
2 Rows: 9
3 Columns: 4
4 Non-zeros: 15
5 Status: OPTIMAL
6 Objective: z = 5400 (MAXimum)
7
8 No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
9 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
10 1 z B 5400
11 2 VentasMes1Min
12 B 70 70
13 3 VentasMes2Min
14 NL 110 110 < eps
15 4 StockMes1 B -20 -0
16 5 StockMes2 NU 0 -0 30
17 6 MateriaPrimaMes1
18 B -135 -150
19 7 MateriaPrimaMes2
20 B -270 -300
21 8 HorasMaquinaMes1
22 NL -180 -180 -15
23 9 HorasMaquinaMes2
24 NL -180 -180 -15
25
26 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
27 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
Segundo cuatrimestre 2020 48
Ejercicios resueltos 2.7
28 1 P1 B 90 0
29 2 P2 B 90 0
30 3 V1 B 70 0
31 4 V2 B 110 0
32
33 Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:
34
35 KKT.PE: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
36 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
37 High quality
38
39 KKT.PB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
40 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
41 High quality
42
43 KKT.DE: max.abs.err = 0.00e+00 on column 0
44 max.rel.err = 0.00e+00 on column 0
45 High quality
46
47 KKT.DB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
48 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
49 High quality
50
51 End of output
8. Informe de la solución óptima
La solución óptima dependerá de la cantidad de horas máquina por mes. - SiM < 180, el modelo
será incompatible por no llegar a producir suficientes muñecos en ambos meses. - Si 180 ≤M < 200,
el modelo tendrá solución óptima, siendo las horas máquina por mes la restricción limitante. - Si
200 ≤M , el modelo tendrá solución óptima, siendo la materia prima la restricción limitante.
Correcciones
Buenas tardes Javier, Te dejo nuestras impresiones sobre la entrega. Saludos PC
Buen objetivo
Interesante la opción de guardar materia prima.
Bien el modelo y la resolución y muy completo el informe de la solución
Segundo cuatrimestre 2020 49
Ejercicios resueltos 2.10
2.10
1. Enunciado
Un amigo florista se dedica a comprar flores al por mayor en un mercado. Con esas flores arma ramos
que vende al público. Los precios actuales, por cada atado de flores (así como la cantidad de flores por
atado), son los siguientes:
Los ramos que arma el florista son una creación propia. Tiene siete tipos de ramos, y para cada uno
definió una composición (en términos de cuántas flores de cada tipo necesita para armar un ramo
de cada tipo) y estudió cuál puede ser la demanda máxima diaria. Eso se muestra en el siguiente
cuadro:
¿Qué es lo mejor que puede hacer el florista con la información disponible?
Segundo cuatrimestre 2020 50
Ejercicios resueltos 2.10
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de planificación de producción con demanda máxima y costo de materia
prima.
Hay cuatro productos que necesitan solo un tipo de flor para su producción. Para la producción de
ramos chicos se utilizan crisantemos y margaritas, mientras que los ramos medianos y grandes utilizan
estos dos y alguna de las rosas. Al plantear el modelo, hay que considerar cuáles son las rosas que se
utilizan para estos ramos y cuáles no.
3. Objetivo
Determinar la cantidad de los distintos tipos de ramos producir, considerando también las distintas
formas de armar los ramos, para maximizar la ganancia diaria.
Segundo cuatrimestre 2020 51
Ejercicios resueltos 2.10
4. Hipótesis y supuestos
• No hay límite de stock del mercado de flores.
• Las flores compradas del mercado son indistinguibles entre si, y siempre son utilizables.• Los ramos producidos son indistinguibles entre si, independiente de cómo fueron formados.
• Se puede comprar atados parciales.
• Se vende todo lo que se produce en el día, con tal de que esté debajo de la demanda máxima
estimada.
• La demanda máxima para cada ramo no varía.
• No hay restricciones de mano de obra ni financieras.
• El consumo de los recursos es directamente proporcional a la cantidad fabricada.
• No hay inflación ni variación de precios.
• No hay límites físicos de almacenamiento de productos.
5. Definición de variables
• Ff,r: Cantidad de flores f destinadas a producir un ramo de r en el día.
– Donde f puede ser: rosas de tallo largoL, rosas amarillasA, rosas rojasR, crisantemosC
o margaritasM .
– Donde r puede ser: rosas tallo largo L, rosas amarillas A, rosas rojas R, crisantemos C,
ramos chicosRC, ramos medianosRM , ramos grandesRG.
6. Modelo de programación lineal
Algunas igualdades para simplificar la función objetivo y las restricciones:
• Pr: Cantidad de ramos r a producir en el día.
PL = FL,L
9flor
ramo
PA = FA,A
7flor
ramo
PR = FR,R
18flor
ramo
PC = FC,C
6flor
ramo
PRC = FC,RC
Segundo cuatrimestre 2020 52
Ejercicios resueltos 2.10
8flor
ramo
PRC = FM,RC
10flor
ramo
PRM = FC,RM
10flor
ramo
PRM = FM,RM
2flor
ramo
PRM = FL,RM + FA,RM + FR,RM
15flor
ramo
PRG = FC,RG
10flor
ramo
PRG = FM,RG
5flor
ramo
PRG = FL,RG + FA,RG + FR,RG
• Af : Cantidad de atados de f para comprar en el día.
20flor
atado
AL = FL,L + FL,RM + FL,RG
50flor
atado
AA = FA,A + FA,RM + FA,RG
50flor
atado
AR = FR,R + FR,RM + FR,RG
100flor
atado
AC = FC,C + FC,RC + FC,RM + FC,RG
100flor
atado
AM = FM,RC + FM,RM + FM,RG
Con esto, la función objetivo a maximizar será:
Z = 3$
ramo
PL +
10$
ramo
PA +
8$
ramo
PR +
3$
ramo
PC +
2$
ramo
PRC +
4$
ramo
PRM
+ 6$
ramo
PRG −
20$
atado
AL −
20$
atado
AA −
10$
atado
AR −
5$
atado
AC −
3$
atado
AM
Y las restricciones a partir de la demanda estimada:
PL ≤ 650ramos
PA ≤ 350ramos
PR ≤ 250ramos
Segundo cuatrimestre 2020 53
Ejercicios resueltos 2.10
PC ≤ 600ramos
PRC ≤ 1100ramos
PRM ≤ 990ramos
PRG ≤ 625ramos
7. Resolución por so�ware
El modelo en GLPK será:
1 /* Variables */
2
3 /* Rosas de tallo largo */
4 var FLL >= 0;
5 var FLRM >= 0;
6 var FLRG >= 0;
7
8 /* Rosas amarillas */
9 var FAA >= 0;
10 var FARM >= 0;
11 var FARG >= 0;
12
13 /* Rosas rojas */
14 var FRR >= 0;
15 var FRRM >= 0;
16 var FRRG >= 0;
17
18 /* Crisantemos */
19 var FCC >= 0;
20 var FCRC >= 0;
21 var FCRM >= 0;
22 var FCRG >= 0;
23
24 /* Margaritas */
25 var FMRC >= 0;
26 var FMRM >= 0;
27 var FMRG >= 0;
28
29 /* Atados */
30 var AL >= 0;
31 var AA >= 0;
32 var AR >= 0;
33 var AC >= 0;
34 var AM >= 0;
35
36 /* Ramos */
37 var PL >= 0;
38 var PA >= 0;
39 var PR >= 0;
40 var PC >= 0;
41 var PRC >= 0;
42 var PRM >= 0;
43 var PRG >= 0;
44
45 /* Funcional */
46 maximize z: 3*PL + 10*PA + 8*PR + 3*PC + 2*PRC + 4*PRM + 6*PRG - 20*AL - 20*AA - 10*AR -
5*AC - 3*AM;
Segundo cuatrimestre 2020 54
Ejercicios resueltos 2.10
47
48 /* Igualdades */
49 s.t. ProdTaloLargo: PL = FLL;
50 s.t. ProdAmarillas: 9*PA = FAA;
51 s.t. ProdRojas: 7*PR = FRR;
52 s.t. ProdCrisantemos: 18*PC = FCC;
53 s.t. ProdRamoChico_Crisantemos: 6*PRC = FCRC;
54 s.t. ProdRamoChico_Margaritas: 8*PRC = FMRC;
55 s.t. ProdRamoMediano_Crisantemos: 10*PRM = FCRM;
56 s.t. ProdRamoMediano_Margaritas: 10*PRM = FMRM;
57 s.t. ProdRamoMediano_Rosas: 2*PRM = FLRM + FARM + FRRM;
58 s.t. ProdRamoGrande_Crisantemos: 15*PRG = FCRG;
59 s.t. ProdRamoGrande_Margaritas: 10*PRG = FMRG;
60 s.t. ProdRamoGrande_Rosas: 5*PRG = FLRG + FARG + FRRG;
61
62 s.t. CompraAtadoTaloLargo: 20*AL = FLL + FLRM + FLRG;
63 s.t. CompraAtadoAmarillas: 50*AA = FAA + FARM + FARG;
64 s.t. CompraAtadoRojas: 50*AR = FRR + FRRM + FRRG;
65 s.t. CompraAtadoCrisantemos: 100*AC = FCC + FCRC + FCRM + FCRG;
66 s.t. CompraAtadoMargaritas: 100*AM = FMRC + FMRM + FMRG;
67
68 /* Restricciones */
69 s.t. DemandaTaloLargo: PL <= 650;
70 s.t. DemandaAmarillas: PA <= 350;
71 s.t. DemandaRojas: PR <= 250;
72 s.t. DemandaCrisantemos: PC <= 600;
73 s.t. DemandaRamoChico: PRC <= 1100;
74 s.t. DemandaRamoMediano: PRM <= 990;
75 s.t. DemandaRamoGrande: PRG <= 625;
76
77 end;
La solución al problema:
1 Problem: 2
2 Rows: 25
3 Columns: 28
4 Non-zeros: 68
5 Status: OPTIMAL
6 Objective: z = 13296.75 (MAXimum)
7
8 No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
9 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
10 1 z B 13296.8
11 2 ProdTaloLargo
12 NS 0 -0 = 1
13 3 ProdAmarillas
14 NS 0 -0 = 0.4
15 4 ProdRojas NS 0 -0 = 0.2
16 5 ProdCrisantemos
17 NS 0 -0 = 0.05
18 6 ProdRamoChico_Crisantemos
19 NS 0 -0 = 0.05
20 7 ProdRamoChico_Margaritas
21 NS 0 -0 = 0.03
22 8 ProdRamoMediano_Crisantemos
23 NS 0 -0 = 0.05
24 9 ProdRamoMediano_Margaritas
25 NS 0 -0 = 0.03
26 10 ProdRamoMediano_Rosas
27 NS 0 -0 = 0.2
28 11 ProdRamoGrande_Crisantemos
29 NS 0 -0 = 0.05
30 12 ProdRamoGrande_Margaritas
Segundo cuatrimestre 2020 55
Ejercicios resueltos 2.10
31 NS 0 -0 = 0.03
32 13 ProdRamoGrande_Rosas
33 NS 0 -0 = 0.2
34 14 CompraAtadoTaloLargo
35 NS 0 -0 = -1
36 15 CompraAtadoAmarillas
37 NS 0 -0 = -0.4
38 16 CompraAtadoRojas
39 NS 0 -0 = -0.2
40 17 CompraAtadoCrisantemos
41 NS 0 -0 = -0.05
42 18 CompraAtadoMargaritas
43 NS 0 -0 = -0.03
44 19 DemandaTaloLargo
45 NU 650 650 2
46 20 DemandaAmarillas
47 NU 350 350 6.4
48 21 DemandaRojas NU 250 250 6.6
49 22 DemandaCrisantemos
50 NU 600 600 2.1
51 23 DemandaRamoChico
52 NU 1100 1100 1.46
53 24 DemandaRamoMediano
54 NU 990 990 2.8
55 25 DemandaRamoGrande
56 NU 625 625 3.95
57
58 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
59 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
60 1 FLL B 650 0
61 2 FLRM NL 0 0 -0.8
62 3 FLRG NL 0 0 -0.8
63 4 FAA B 3150 0
64 5 FARM NL 0 0 -0.2
65 6 FARG NL 0 0 -0.2
66 7 FRR B 1750 0
67 8 FRRM B 1980 0
68 9 FRRG B 3125 0
69 10 FCC B 10800 0
70 11 FCRC B 6600 0
71 12 FCRM B 9900 0
72 13 FCRG B 9375 0
73 14 FMRC B 8800 0
74 15 FMRM B 9900 0
75 16 FMRG B 6250 0
76 17 AL B 32.5 0
77 18 AA B 63 0
78 19 AR B 137.1 0
79 20 AC B 366.75 0
80 21 AM B 249.5 0
81 22 PL B 650 0
82 23 PA B 350 0
83 24 PR B 250 0
84 25 PC B 600 0
85 26 PRC B 1100 0
86 27 PRM B 990 0
87 28 PRG B 625 0
88
89 Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:
90
91 KKT.PE: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
92 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
93 High quality
94
Segundo cuatrimestre 2020 56
Ejercicios resueltos 2.10
95 KKT.PB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
96 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
97 High quality
98
99 KKT.DE: max.abs.err = 5.55e-17 on column 7
100 max.rel.err = 3.97e-17 on column 7
101 High quality
102
103 KKT.DB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
104 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
105 High quality
106
107 End of output
8. Informe de la solución óptima
Para obtener una ganancia de $13296.75, se deben comprar atados hasta llegar a la demanda máxima
de cada ramo. Luego para los ramos medianos y grandes deberían usarse rosas rojas, ya que el atado
de esta son las más baratas por flor.
Correcciones
Análisis y objetivo: Muy buenos, sólo marco que en vez de hablar de “producción” podríamos
hablar de “armado”
Hipótesis: Lo marcaste en el análisis, lo hiciste así en el modelo, pero falta explicitar la idea de que
se puede usar cualquier tipo de rosas para los ramos medianos y grandes, porque el enunciado
es ambiguo.
Muy bien planteado y resuelto el modelo. Ojo con declarar variables en la sección (el modelo
en sí), por más que sean auxiliares deberían estar bajo la definición de variables, en la sección
anterior.
Segundo cuatrimestre 2020 57
Ejercicios resueltos 2.16
2.16
1. Enunciado
Una empresa vende un único producto. Para planificar y organizar la producción del mismo cuenta
con un pronóstico trimestral de ventas para el año próximo. La demanda de un trimestre puede ser
satisfecha con unidades producidas en el mismo trimestre o con unidades producidas en trimestres
anteriores. La capacidad de almacenamiento está limitadaa 5.000 unidades de producto.
La producción programada para el cuarto trimestre del corriente año es de 6.000 unidades y se quiere
que el nivel de inventarios a fin del año próximo sea de 1.000 unidades.
Incrementar en una unidad la capacidad productiva, de un trimestre a otro, cuesta 1$/unidad y
disminuir en una unidad la capacidad productiva, de un trimestre a otro, cuesta 0.50 $/unidad.
El pronóstico trimestral para el año próximo es el que se indica a continuación:
Trimestre Pronóstico de Ventas (unidades)
1° 9.000
2° 24.000
3° 20.000
4° 7.000
Se quiere definir el programa de producción trimestral que haga mínimo el costo de variaciones del
nivel de producción y que asegure un stock suficiente para satisfacer las cantidades pronosticadas de
ventas.
Segundo cuatrimestre 2020 58
Ejercicios resueltos 2.16
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de planificación de producción multiperiodo.
Se debe considerar un mínimo de stock a cumplir por periodo, un costo asociado al variar la producción
entre periodos, una cantidad máxima de almacenamiento, y las condiciones iniciales de stock inicial y
final del año.
3. Objetivo
Determinar la cantidad de producto a producir en cada trimestre del año, cumpliendo con un stock
necesario para las ventas, para minimizar el costo de variación de nivel de producción.
4. Hipótesis y supuestos
• El stock inicial se encuentra en buen estado, y es indistinguible del stock producido del próximo
año.
• La producción de cada trimestre es indistinguible.
• No hay diferencia en los productos al subir o bajar la producción entre trimestres.
• No hay defectos ni fallas de producción.
• Se vende exactamente lo pronosticado en ventas por trimestre.
• La restricción de almacenamiento solo se considera al almacenar el stock no vendido de un
trimestre.
• Se puede dejar un producto a medio hacer para finalizarse el siguiente trimestre.
• El stock al comienzo del año es cero. Es decir, todo el stock producido en el último trimestre del
año anterior fue vendido.
• Se necesitan exactamente 1000 unidades a fin de año.
• No hay restricciones de mano de obra ni financieras.
Segundo cuatrimestre 2020 59
Ejercicios resueltos 2.16
• No hay inflación ni variación de precios.
5. Definición de variables
• Pi [ unidadtrimestre ]: Cantidad de producto a fabricar en el trimestre i.
– Donde i puede ser 1, 2, 3 o 4.
– P0, la producción del último trimestre del año anterior, es dato del enunciado: P0 =
6000 unidadtrimestre
• SFi [ unidadtrimestre ]: Stock a fin del trimestre i. Con i = 0, se trata del stock al comienzo del año.
• Ei [ unidadtrimestre ]: Exceso de diferencia de producción entre el trimestre i y i− 1.
• Di [ unidadtrimestre ]: Defecto de diferencia de producción entre el trimestre i y i− 1.
6. Modelo de programación lineal
Variables para considerar la restricción de cada trimestre: - Vi: Cantidad de producto a vender en el
trimestre i.
V1 = 9000
unidad
trimestre
V2 = 24000
unidad
trimestre
V3 = 20000
unidad
trimestre
V4 = 7000
unidad
trimestre
El stock restante, a partir de los datos e hipótesis:
SF0 = 0unidades
SF4 = 1000unidades
Para cada trimestre i se relaciona la cantidad producida y vendida con el stock restante:
Vi + SFi = Pi + SFi−1
Considerando la capacidad de almacenamiento:
SF1 ≤ 5000
unidad
trimestre
Segundo cuatrimestre 2020 60
Ejercicios resueltos 2.16
SF2 ≤ 5000
unidad
trimestre
SF3 ≤ 5000
unidad
trimestre
SF4 ≤ 5000
unidad
trimestre
Función a minimizar es costo por diferencia de producción entre trimestres. Se usa el dato de la
producción del último trimestre del año pasado:
P0 = 6000
unidad
trimestre
Para distinguir los casos donde la diferencia de producción es positiva o negativa se utilizan las variables
de exceso y defecto:
Ei −Di = Pi − Pi−1
Finalmente, la función a minimizar:
Z = (E1 + E2 + E3 + E4) ·
1$
unidad
+ (D1 +D2 +D3 +D4)
0.5$
unidad
7. Resolución por so�ware
El modelo en GLPK será:
1 /* Variables */
2
3 /* Producción trimestral */
4 var P0 = 6000;
5 var P1 >= 0;
6 var P2 >= 0;
7 var P3 >= 0;
8 var P4 >= 0;
9
10 /* Stock a fin de cada trimestre */
11 var SF0 = 0;
12 var SF1 >= 0;
13 var SF2 >= 0;
14 var SF3 >= 0;
15 var SF4 = 1000;
16
17 /* Exceso de diferencia de producción trimestral */
18 var E1 >= 0;
19 var E2 >= 0;
20 var E3 >= 0;
21 var E4 >= 0;
22
23 /* Defecto de diferencia de producción trimestral */
Segundo cuatrimestre 2020 61
Ejercicios resueltos 2.16
24 var D1 >= 0;
25 var D2 >= 0;
26 var D3 >= 0;
27 var D4 >= 0;
28
29 /* Ventas por trimestre */
30 var V1 = 9000;
31 var V2 = 24000;
32 var V3 = 20000;
33 var V4 = 7000;
34
35
36 /* Restricciones */
37
38 /* Relación ventas y cantidad producida de cada trimestre */
39 s.t. V1 + SF1 = P1 + SF0;
40 s.t. V2 + SF2 = P2 + SF1;
41 s.t. V3 + SF3 = P3 + SF2;
42 s.t. V4 + SF4 = P4 + SF3;
43
44 /* Relación por la diferencia de producción trimestral */
45 s.t. E1 - D1 = P1 - P0;
46 s.t. E2 - D2 = P2 - P1;
47 s.t. E3 - D3 = P3 - P2;
48 s.t. E4 - D4 = P4 - P3;
49
50 /* Funcional */
51 minimize z: (E1 + E2 + E3 + E4) + (D1 + D2 + D3 + D4) * 0.5;
52
53 end;
La solución al problema:
1 Problem: 2
2 Rows: 13
3 Columns: 22
4 Non-zeros: 44
5 Status: OPTIMAL
6 Objective: z = 19250 (MINimum)
7
8 No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
9 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
10 1 TRIM1 NS 0 -0 = < eps
11 2 TRIM2 NS 0 -0 = -0.75
12 3 TRIM3 NS 0 -0 = -0.75
13 4 TRIM4 NS 0 -0 = 0.5
14 5 DIFPROD1 NS 0 -0 = 1
15 6 DIFPROD2 NS 0 -0 = 1
16 7 DIFPROD3 NS 0 -0 = 0.25
17 8 DIFPROD4 NS 0 -0 = -0.5
18 9 STOCK1 NU 5000 5000 -0.75
19 10 STOCK2 B 500 5000
20 11 STOCK3 B 0 5000
21 12 STOCK4 B 1000 5000
22 13 z B 19250
23
24 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
25 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
26 1 P0 NS 6000 6000 = -1
27 2 P1 B 14000 0
28 3 P2 B 19500 0
29 4 P3 B 19500 0
30 5 P4 B 8000 0
31 6 SF0 NS 0 0 = < eps
Segundo cuatrimestre 2020 62
Ejercicios resueltos 2.16
32 7 SF1 B 5000 0
33 8 SF2 B 500 0
34 9 SF3 NL 0 0 1.25
35 10 SF4 NS 1000 1000 = -0.5
36 11 E1 B 8000 0
37 12 E2 B 5500 0
38 13 E3 NL 0 0 0.75
39 14 E4 NL 0 0 1.5
40 15 D1 NL 0 0 1.5
41 16 D2 NL 0 0 1.5
42 17 D3 NL 0 0 0.75
43 18 D4 B 11500 0
44 19 V1 NS 9000 9000 = < eps
45 20 V2 NS 24000 24000 = 0.75
46 21 V3 NS 20000 20000 = 0.75
47 22 V4 NS 7000 7000 = -0.5
48
49 Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:
50
51 KKT.PE: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
52 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
53 High quality
54
55 KKT.PB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
56 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
57 High quality
58
59 KKT.DE: max.abs.err = 0.00e+00 on column 0
60 max.rel.err = 0.00e+00 on column 0
61 High quality
62
63 KKT.DB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0
64 max.rel.err = 0.00e+00 on row 0
65 High quality
66
67 End of output
8. Informe de la solución óptima
Para gastar solo $19250 en el año, se debe producir 14000 unidades en el primer trimestre, 19500 en el
segundo y el tercero, y finalmente 8000 en el cuarto.
Se puede observar que el único punto donde decrece la cantidad de producción es en el último
trimestre, fabricando 11500 unidades menos que el trimestre anterior. Esto se debe principalmente a
las restricción de 5000 unidades de almacenamiento y la restricción que exige 1000 unidades de stock
a fin de año. Para bajar este costo, se podría evaluar la posibilidad de expandir el almacenamiento y/o
admitir más de 1000 unidades de stoc a fin de año.
Correcciones
Calificación General: Muy Bien
Análisis: Muy Bien
Segundo cuatrimestre 2020 63
Ejercicios resueltos 2.16
Identificás correctamente el tipo de problema. El resto es un resumen del enunciado: no está
mal, pero suma poco. Sin embargo, el gráfico es muy bueno y refleja perfectamente tu modelo.
Objetivo: Excelente
El objetivo definido es correcto. Brillante redacción!
Hipótesis: Muy Bien
Las hipótesis están bien, tienen sentido y ayudan a acotar el modelo. Las hipótesis de“certeza”,
“divisibilidad” y “aditividad” están correctamente contempladas. Entre las hipótesis de “propor-
cionalidad”, podrías indicar que el costo de variación del nivel de producción es directamente
proporcional a la cantidad variada.
Variables: Excelente
La identificación de las variables principales es correcta, y guarda coherencia con el objetivo que
planteaste. También es positivo que hayas indicado las unidades.
Modelo: Excelente
Las restricciones y la función objetivo son correctas. El funcional guarda coherencia con el objetivo
definido. Las unidades cierran perfectamente. No hay restricciones redundantes. Las restricciones
están claramente identificadas. Las ecuaciones de stock están correctamente planteadas. Las
metas para establecer las variaciones del nivel de producción son correctas.
Resolución: Excelente
La resolución es correcta, y está incluida la salida del so�ware. Entiendo que el modelo es simple,
y no hace falta incluir la modelización en el so�ware, pero en los próximos ejercicios convendría
que la incluyas.
Informe: Bien
El informe es correcto: está redactado en términos del dominio del problema.
Presentación: Excelente
El documento entregado es claro, y las secciones están claramente separadas. Incluye carátula,
numeración de páginas e índice.
Segundo cuatrimestre 2020 64
Ejercicios resueltos 2.17
2.17
1. Enunciado
El encargado de un supermercado está organizando el trabajo para los próximos días viernes, sábado
y domingo. Cuenta con 18 empleados. Las tareas a realizar cada día son las siguientes: - Reponer
mercadería (viernes, sábado y domingo). - Ordenar mercadería (viernes y domingo). - Marcar códigos
en la mercadería (viernes, sábado y domingo).
Está probado que el personal que cambia de tarea (de un día para otro) aumenta su eficiencia en un
10% (se aburre menos).
La eficiencia normal de un empleado en cada tarea y la tarea total diaria a realizar son:
El personal propio tiene un costo de $12 por día. Sólo cobran los que trabajan. La jornada de trabajo
es de 8 horas.
¿Qué es lo mejor que se puede hacer con la información disponible?
Segundo cuatrimestre 2020 65
Ejercicios resueltos 2.17
2. Análisis de la situación problemática
Se trata de un problema de planificación diaria de mano de obra, con un mínimo de cada tarea a
cumplir cada día.
3. Objetivo
Administrar la cantidad de personal en cada área de cada día para minimizar el costo de los empleados
durante el fin de semana.
4. Hipótesis y supuestos
• El aumento de eficiencia del 10% no se considera si un empleado no trabajó el día anterior.
• El aumento de eficiencia no se vuelve a aplicar más de una vez.
• No hay variación en los datos de tareas a realizar por día.
Segundo cuatrimestre 2020 66
Ejercicios resueltos 2.17
• El costo del empleado diario es el mismo, y no depende del aumento de eficiencia.
• Se puede usar parcialmente el tiempo del empleado.
• La cantidad de tiempo de cada empleado es proporcional a lo que gana.
• No hay costos adicionales.
• La eficiencia de cada empleado es exactamente como indican los datos.
• El valor de las variables A y C es positivo.
5. Definición de variables
• Vt [ empleadodia ]: Cantidad de empleados realizando la tarea t el viernes, donde t puede ser:
Reponer,Ordenar,Marcar oLibre.
• St,p [ empleadodia ]: Cantidad de empleados realizando la tarea t el sábado y que hicieron la tarea p
el viernes.
• Dt,p [ empleadodia ]: Cantidad de empleados realizando la tarea t el domingo y que hicieron la tarea p
el sábado.
6. Modelo de programación lineal
La función a minimizar será el costo del personal que trabajó en cada día:
Z = (VR + VO + VM + SR,R + SR,O + SR,M +DR,R +DR,M +
DR,L +DO,R +DO,M +DO,L +DM,R +DM,M +DM,L) ∗
12$
empleado
Se deben vincular las variables del trabajo del día actual con el trabajo del día anterior. Sea T =
{Reponer,Ordenar,Marcar, Libre}:
• Vinculación variables viernes/sábado:
∀t ∈ T : Vt =
∑
p∈T
Sp,t
• Vinculación variables sábado/domingo:
∀t ∈ T :
∑
p∈T
St,p =
∑
q∈T
Dq,t
Mínimo a realizar por día:
Segundo cuatrimestre 2020 67
Ejercicios resueltos 2.17
• Mínima tarea a realizar el viernes:
VR ∗
15unidad
hora
∗ 8hora >= Aunidad
dia
VO ∗
30unidad
hora
∗ 8hora >= 300unidad
dia
VM ∗
35unidad
hora
∗ 8hora >= 150unidad
dia
• Mínima tarea a realizar el sábado:
(SR,R ∗ 1.1 + SR,O + SR,M ) ∗
15unidad
hora
∗ 8hora
empleado
>= 500unidad
dia
(SM,R + SM,O + SM,M ∗ 1.1) ∗
35unidad
hora
∗ 8hora
empleado
>= 139unidad
dia
• Mínima tarea a realizar el domingo:
(DR,R ∗ 1.1 +DR,M ) ∗
15unidad
hora
∗ 8hora
empleado
>= 350unidad
dia
(DO,R +DO,M ) ∗
30unidad
hora
∗ 8hora
empleado
>= Cunidad
dia
(DM,R +DM,M ∗ 1.1) ∗
35unidad
hora
∗ 8hora
empleado
>= Cunidad
dia
7. Resolución por so�ware
Tomando A := 450 y C := 360, el modelo en GLPK será:
1 /* Parametros */
2 param A := 450;
3 param C := 360;
4 param HORAS := 8;
5
6 /* Variables viernes */
7 var V_R >= 0;
8 var V_O >= 0;
9 var V_M >= 0;
10 var V_L >= 0;
11
12 /* Variables sabado */
13 var S_R_R >= 0;
14 var S_R_O >= 0;
15 var S_R_M >= 0;
16 var S_R_L >= 0;
17
18 var S_M_R >= 0;
19 var S_M_O >= 0;
20 var S_M_M >= 0;
Segundo cuatrimestre 2020 68
Ejercicios resueltos 2.17
21 var S_M_L >= 0;
22
23 var S_L_R >= 0;
24 var S_L_O >= 0;
25 var S_L_M >= 0;
26 var S_L_L >= 0;
27
28 /* Variables domingo */
29 var D_R_R >= 0;
30 var D_R_M >= 0;
31 var D_R_L >= 0;
32
33 var D_O_R >= 0;
34 var D_O_M >= 0;
35 var D_O_L >= 0;
36
37 var D_M_R >= 0;
38 var D_M_M >= 0;
39 var D_M_L >= 0;
40
41 var D_L_R >= 0;
42 var D_L_M >= 0;
43 var D_L_L >= 0;
44
45 /* Restricciones */
46
47 s.t. MAXEMP_V: V_R + V_O + V_M + V_L <= 18;
48 s.t. MAXEMP_S: S_R_R + S_R_O + S_R_M + S_R_L + S_M_R
49 + S_M_O + S_M_M + S_M_L + S_L_R + S_L_O + S_L_M + S_L_L <= 18;
50 s.t. MAXEMP_D: D_R_R + D_R_M + D_R_L + D_O_R + D_O_M
51 + D_O_L + D_M_R + D_M_M + D_M_L + D_L_R + D_L_M + D_L_L <= 18;
52
53 /* Vinculacion tareas viernes/sabado */
54 s.t. VINC_REP_S: V_R = S_R_R + S_M_R + S_L_R;
55 s.t. VINC_ORD_S: V_O = S_R_O + S_M_O + S_L_O;
56 s.t. VINC_MAR_S: V_M = S_R_M + S_M_M + S_L_M;
57 s.t. VINC_LIB_S: V_L = S_R_L + S_M_L + S_L_L;
58
59 /* Vinculacion tareas sabado/domingo */
60 s.t. VINC_REP_D: S_R_R + S_R_O + S_R_M + S_R_L = D_R_R + D_O_R + D_M_R + D_L_R;
61 s.t. VINC_MAR_D: S_M_R + S_M_O + S_M_M + S_M_L = D_R_M + D_O_M + D_M_M + D_L_M;
62 s.t. VINC_LIB_D: S_L_R + S_L_O + S_L_M + S_L_L = D_R_L + D_O_L + D_M_L + D_L_L;
63
64 /* Mínima tarea a realizar el viernes */
65 s.t. MIN_REP_V: V_R * 15 * HORAS >= A;
66 s.t. MIN_ORD_V: V_O * 30 * HORAS >= 300;
67 s.t. MIN_MAR_V: V_M * 35 * HORAS >= 150;
68
69 /* Mínima tarea a realizar el sábado */
70 s.t. MIN_REP_S: (S_R_R * 1.1 + S_R_O + S_R_M) * 15 * HORAS >= 500;
71 s.t. MIN_MAR_S: (S_M_R + S_M_O + S_M_M * 1.1) * 35 * HORAS >= 139;
72
73 /* Mínima tarea a realizar el domingo */
74 s.t. MIN_REP_D: (D_R_R * 1.1 + D_R_M) * 15 * HORAS >= 350;
75 s.t. MIN_ORD_D: (D_O_R + D_O_M) * 30 * HORAS >= C;
76 s.t. MIN_MAR_D: (D_M_R + D_M_M * 1.1) * 35 * HORAS >= C;
77
78 /* Funcional */
79 minimize z: (V_R + V_O + V_M + S_R_R + S_R_O + S_R_M
80 + D_R_R + D_R_M + D_R_L + D_O_R + D_O_M
81 + D_O_L + D_M_R + D_M_M + D_M_L) * 12;
Y su resolución:
Segundo cuatrimestre 2020 69
Ejercicios resueltos 2.17
1 Problem: 2
2 Rows: 19
3 Columns: 28
4 Non-zeros: 98
5 Status: OPTIMAL
6 Objective: z = 175.7727273 (MINimum)
7
8 No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
9 ------ ------------ -- ------------- ------------- ------------- -------------
10 1 MAXEMP_V B 5.53571 18
11 2 MAXEMP_S B 5.53571 18
12 3 MAXEMP_D B 5.53571 18
13 4 VINC_REP_S NS 0 -0 = 1.2
14 5 VINC_ORD_S NS 0 -0 = < eps
15 6 VINC_MAR_S NS 0 -0 = < eps
16 7 VINC_LIB_S NS 0 -0 = < eps
17 8 VINC_REP_D NS 0 -0 = < eps
18 9 VINC_MAR_D NS 0 -0 = < eps
19 10 VINC_LIB_D NS 0 -0 = < eps
20 11 MIN_REP_V NL 450 450 0.09
21 12 MIN_ORD_V NL 300 300 0.05
22 13 MIN_MAR_V NL 150 150 0.0428571
23 14 MIN_REP_S NL 500 500 0.1
24 15 MIN_MAR_S B 435.833 139
25 16 MIN_REP_D NL 350 350 0.0909091
26 17 MIN_ORD_D NL