Ecuación bicuadrada y fraccionaria

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Ecuación bicuadrada y 
fraccionaria
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 17
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer las ecuaciones bicuadradas y
fraccionarias.
 Utilizar las propiedades de la ecuación
bicuadrada.
 Resolver problemas diversos con las
ecuaciones bicuadradas y fraccionarias.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Expresiones algebraicas
3. Propiedades de las ecuaciones bicuadradas
4. Ecuación fraccionarias
2. Ecuación bicuadrada.
5. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
EXPRESIONES FRACCIONARIAS
Las asíntotas verticales son
rectas verticales a las cuales la gráfica de la
función se va acercando indefinidamente sin
llegar nunca a cortarlas.
Las asíntotas verticales son rectas de
ecuación: 𝑥 = 𝑘.
Ejemplos:
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 1
𝑥 − 2
𝒙 = 𝟐
𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
- ÁLGEBRA
La forma general de una ecuación bicuadrada es:
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ; 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0
Ejemplos
1) Resuelva 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0
(𝑥2 − 4)(𝑥2 − 9) = 0
𝑥2 − 4 = 0 ∨ 𝑥2 − 9 = 0
𝒙𝟐
𝒙𝟐
− 𝟒
− 𝟗
∴ C.S.= 2 ;−2 ; 3 ;−3
𝑥2 = 4
𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −2
∨ 𝑥2= 9
∨ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −3
RESOLUCIÓN:
• 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0
• 2𝑥4 − 6𝑥2 − 8 = 0
La resolución es por factorización (se sugiere el
aspa simple) o cambio de variable. Veamos
ejemplos:
ECUACIÓN BICUADRADA
2) Resuelva 4𝑥4 − 9𝑥2 + 2 = 0
𝟒𝒙𝟐
𝒙𝟐
−𝟏
− 𝟐
(4𝑥2 − 1)(𝑥2 − 2) = 0
4𝑥2 − 1 = 0 ∨ 𝑥2 − 2 = 0
∴ C.S. = 1/ 2 ; −1/2 ; 2;− 2
𝑥2 = 1/4
𝑥 = 1/2 ∨ 𝑥 = −1/2
∨ 𝑥2= 2
∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = − 2
- ÁLGEBRA
Recordar
3) Resuelva 𝑥4 − 4𝑥2 + 2 = 0
El polinomio no es factorizable directamente
por el aspa simple, entonces lo resolveremos
con un cambio de variable y la fórmula general
de la ecuación cuadrática, veamos:
.𝑥2 = 2 + 2 .∨ 𝑥2 = 2 − 2
∴ C.S. = 2 + 2 ;− 2 + 2 ; 2 − 2 ;− 2 − 2
Sea 𝑥2 = 𝑦
Reemplazando en la ecuación:
𝑦2 − 4𝑦 + 2 = 0
𝑦 =
− −4 ± 8
2 1
=
Como 𝑦 = 𝑥2
𝑥4 = 𝑦2
𝑥2 = 2 ± 2
Sea 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
entonces: 𝑥 =
−𝑏 ± Δ
2𝑎
donde: Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Δ = (−4)2−4(1)(2)
4 ± 2 2
2
𝑦 = 2 ± 2
= 8
.𝑥 = ± 2 + 2 .∨ 𝑥 = ± 2 − 2
- ÁLGEBRA
La ecuación 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ; 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0
cumple
1. Tiene 4 raíces y tienen las siguientes formas:
𝛂 ; −𝛂 ; 𝛃 ; −𝛃
Tenga en cuenta que:
En toda ecuación bicuadrada bastara conocerse 
dos de sus raíces para conocer las otras dos, así: 
Raíces conocidas Raíces faltantes
2 y 3 − 2 y − 3
− 1 y 2 1 y − 2
−1/2 y − 4 1/2 y 4
2. α2 + β2 =−
𝑏
𝑎
α2. β2 =
𝑐
𝑎
Ejemplos
• Sea la ecuación 2𝑥4 + 3𝑥2 + 5 = 0 cuyas
raíces son α,−α, β y −β.
α2 + β2 =−
3
2
α2. β2 =
5
2
• Sea la ecuación 𝑥4 − 7𝑥2 + 4 = 0 cuyas
raíces son 𝑚,−𝑚, n y −𝑛.
𝑚2 + 𝑛2 =−
−7
1
𝑚2. 𝑛2 =
4
1
= 7
= 4
PROPIEDADES DE LAS EC. BICUADRADA
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3. Si sus raíces están en progresión aritmética (P.A.)
estas tienen la forma siguiente:
−3α ; −α ; α ; 3α
Ejercicio 
Si las raíces de la ecuación bicuadrada
2𝑥4 − 20𝑥2 + 𝑛 = 0
están en progresión aritmética. Calcule 𝑛
Resolución
Por propiedad
α2. 3α 2 =
α2 + 3α 2 = 10α2 = 10 α2 = 1
α2. 9α2 =
𝑛
2
∴ 𝑛 = 18
𝑛
2
20
2
Sus raíces son: α; −α; 3α; −3α
4. Una ecuación bicuadrada de sus raíces
α,−α, β y − β es:
𝑥4 − α2 + β2 𝑥2 + α2. β2 = 0
Ejemplo
Una ecuación bicuadrada de raíces son 3, −3, 5 y
− 5 es:
𝑥4 − 32 + 52 𝑥2 + 32. 52 = 0
𝑥4 − 34𝑥2 + 225 = 0
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𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 0
𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 son polinomio.
𝑄 𝑥 de grado mayor a 0.
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 0 ↔ 𝑃 𝑥 = 0 ∧ 𝑄 𝑥 ≠ 0
• Resuelva 𝑥
2 − 25
𝑥 − 4
= 0
𝑥2 − 25 = 0 ∧ 𝑥 − 4 ≠ 0
𝑥2 = 25 ∧ 𝑥 ≠ 4
(𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −5) ∧ 𝑥 ≠ 4
𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −5
C.S. = 5 ;−5
Teorema
En la resolución de las ecuaciones fraccionarias
se hace uso de este teorema
Ejemplos
𝑥2 − 25
𝑥 − 4
= 0
𝑥 + 3
𝑥 − 1
=
𝑥 − 2
𝑥 + 1
ECUACIÓN FRACCIONARIA
La forma general de una ecuación fraccionaria es:
Ejemplos
• Resuelva 𝑥2 + 𝑥 +
2
𝑥 − 1
= 2 +
2
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 = 2 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
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• Resuelva
𝑥 + 3
𝑥 − 1
=
𝑥 − 2
𝑥 + 1
(𝑥 + 3)(𝑥 + 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
∧ 𝑥 − 1 ≠ 0 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0
𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2
4𝑥 + 3 = −3𝑥 + 2
7𝑥 = −1
𝑥 = −
1
7
∧ 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1
𝑥 = −
1
7
C.S. = −
1
7
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
𝑥 − 1 𝑥 + 2 = 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
(𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −2) ∧ 𝑥 ≠ 1
𝑥 = −2
C.S. = −2
∧ 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1
∧ 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1
∧ 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1
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