Ecuaciones cuadráticas

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Ecuación cuadrática II
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 14
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Reforzar el marco teórico de las ecuaciones
cuadráticas.
✓ Utilizar las propiedades de las raíces y el
discriminante de la ecuación cuadrática.
✓ Resolver problemas diversos con las
ecuaciones cuadráticas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Número de oro
3. Discriminante
4. Análisis de las raíces según sus raíces
2. Teorema de Cardano.
5. Construcción de la ecuación cuadrática 
6. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
EL NÚMERO DE ORO
El número de oro está en todas partes. Cuando
miran una fotografía y la encuentran linda, ahí
está el número. Cuando escuchan una melodía
agradable, ahí está el número. Cuando ven a una
persona guapa, también está el número. Desde la
antigua Grecia hasta nuestros días, ha preocupado
a matemáticos, artistas, biólogos y toda clase de
científicos y creadores por igual.
𝜑2 − 𝜑 − 1 = 0 → 𝜑 =
1 + 5
2
= 1,618033...
- ÁLGEBRA
Ejemplos
1) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟓 = 𝟎 de raíces 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐
𝑥1 + 𝑥2 =−
7
2
𝑥1. 𝑥2 =
5
2
2) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒 = 𝟎 de raíces 𝜶 y 𝜷
α + β = −
(−6)
3
α. β =
−4
3
= 2
3) 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟖 = 𝟎 de raíces 𝒎 y 𝒏
𝑚 + 𝑛 =−
(−9)
1
𝑚. 𝑛 =
8
1
= 9
𝟏
= 8
TEOREMA DE CARDANO
Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
𝑥1 ∙ 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2
2 − 𝑥1 − 𝑥2
2 = 4𝑥1𝑥2
Se cumple:
𝑥1+𝑥2 = −
𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
4) En la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 de raíces
𝒎 y 𝒏. Halle un valor de 𝒎−𝒏.
𝑚 + 𝑛 2 − 𝑚 − 𝑛 2 = 4𝑚𝑛Se cumple:
2 3
2
− 𝑚 − 𝑛 2 = 4 −1
12 − 𝑚 − 𝑛 2 = −4
16 = 𝑚 − 𝑛 2 ∴ 𝑚 − 𝑛 = ±4
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Ejercicio 
Resolución 
Piden: 
= αβ
Por el teorema de Cardano
= −
5
4
−
3
4
∴ α2β + αβ2 =
15
16
α + β = αβ =
Dada la ecuación 4𝑥2 + 3𝑥 − 5 = 0 , de
raíces α y β. Calcule el valor de α2β + αβ2
α2β + αβ2
Ejercicio
Si la ecuación cuadrática 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚 + 3 = 0
tiene 𝐶𝑆 =
𝑎
𝑏
+ 1;
𝑏
𝑎
+ 1 calcule el valor de 𝑚.
Resolución
Conocemos las dos raíces, apliquemos el
teorema de Cardano:
𝑎
𝑏
+ 1 +
𝑏
𝑎
+ 1 =
𝑎
𝑏
+ 1
𝑏
𝑎
+ 1 =
•
•
Operando:
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
+
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
+ 1
2𝑚 = m+ 3
∴ m = 3
−
3
4
−
5
4
(α + β)
2𝑚
𝑚 + 3
= m+ 3
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Sea la ecuación cuadrática: 
definimos su discriminante como:
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Ejemplos
1) 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
∆=
𝑎 = 3 ∧
22 − 4(3)(1)
𝑐 = 1𝑏 = 2 ∧
= −8
2) 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟎
∆=
𝑎 = 1 ∧
(−6)2−4(1)(9)
𝑐 = 9𝑏 = −6 ∧
= 0
3) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
∆=
𝑎 = 1 ∧
(2)2−4(1)(−3)
𝑐 = −3𝑏 = 2 ∧
= 16
ANÁLISIS DE LAS RAÍCES SEGÚN SU DISCRIMINATE
En la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 de
coeficientes reales; se cumple:
Ejemplo:
1) 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
2) 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟎
3) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
∆ = −8
∆ = 0
∆ = 16
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
DISCRIMINANTE
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
Raíces reales diferentes
Raíces reales e iguales (única solución )
Raíces no reales.
→ 𝑥 =
−2 ± −8
2 3
→ 𝑥 − 3 2 = 0
→ 𝑥1 = 𝑥2 = 3
→ 𝑥 + 3 𝑥 − 1 = 0
→ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 1
∉ ℝ
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CONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 
Una ecuación cuadrática de raíces α y β será:
𝑥2 − α + β 𝑥 + α. β = 0
Ejemplos
1) Una ecuación cuadrática de raíces 3 y 2 será:
𝑥2
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
2) Una ecuación cuadrática de raíces − 5 y 4 será:
𝑥2
𝑥2 − −1 𝑥 − 20 = 0
𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0
3) Una ecuación cuadrática de raíces
1
2
y 3 será:
𝑥2 −
1
2
+ 3 𝑥 +
1
2
3 = 0
𝑥2 −
7
2
𝑥 +
3
2
= 0
Por 2 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0
4) Una ecuación cuadrática de raíces 3 − 2 y
3 + 2 será:
𝑥2 − 3 − 2 + 3 + 2 𝑥 + (3 − 2). 3 + 2 = 0
𝑥2 − 6 𝑥 + 9 − 2 = 0
𝑥2 − 6𝑥 + 7 = 0
= 0− 3 + 2 𝑥 + 3.2
= 0− −5 + 4 𝑥 + (−5). 4
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