Ecuaciones de grado superior

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Ecuaciones polinomiales de 
grado superior
ÁLGEBRA
Docente: Álex Bravo
Semana 15
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer la ecuación polinomial de grado
superior.
 Conocer el Teorema de Cardano para la
ecuación cúbica.
 Aplicar nuestra teoría en la resolución de
problemas matemáticos y contextualizado.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
3. Multiplicidad de una raíz 
4. Teorema de Cardano
2. Ecuación polinomial de grado superior
5. Problemas resueltos
- ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN:
Conociendo la resolución de las ecuaciones
cuadráticas, será mas sencillo de entender la
teoría de las ecuaciones cúbicas y lo relacionada a
ella como el teorema de Cardano.
Las ecuaciones cúbicas tienen aplicaciones como
el volumen de un cubo , caja o cono tal como se
muestra en la imagen. ¿Cuánto vale 𝑥?
𝑥 + 6 𝑥 + 2
𝑥
- ÁLGEBRA
Ecuación polinomial de grado superior
Una ecuación polinomial tiene la forma general:
𝑃 𝑥 = 0
• 𝑥4 + 6𝑥2 − 7𝑥 − 1 = 0
• 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0
donde 𝑃 𝑥 es un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1.
Ec. cúbica o de grado 3
Ec. cuártica o de grado 4
Ejemplos:
Resuelva 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0
Factorizando el polinomio
𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0
⟶ 𝑥2(𝑥 − 3) − 4(𝑥 − 3) = 0
⟶ (𝑥 − 3)(𝑥2−4) = 0
⟶ (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0
⟶ 𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0
Así: 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2
Soluciones : 3 , − 2 , 2
Raíces : 3 , − 2 , 2
∴ C.S. = 3 , − 2 , 2
Ejercicio:
Resolución:
- ÁLGEBRA
Multiplicidad de una raíz en una ec. polinomial
Observación 1 :
La raíces se pueden repetir, pero no las soluciones.
Es el número de veces que se repite dicha raíz.
Ejemplo
• (𝑥 + 3)(𝑥 − 4)2= 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)(𝑥 − 4) = 0
𝑥 + 3 = 0 ∨ 𝑥 − 4 = 0 ∨ 𝑥 − 4 = 0
→ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 4
Donde
−3 es una raíz simple
4 es una raíz doble o de multiplicidad 2
∴ C.S. = −3 ; 4
• (𝑥 − 2)(𝑥 + 5)2(𝑥 − 7)3= 0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 5)(𝑥 − 7)(𝑥 − 7)(𝑥 − 7) = 0
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = −5; 𝑥3 = −5 ; 𝑥4 = 7; 𝑥5 = 7 ; 𝑥6 = 7
Donde:
2 es una raíz simple
−5 es una raíz doble o de multiplicidad 2
7 es una raíz triple o de multiplicidad 3
∴ C.S. = 2 ;−5 ; 7
Observación 2 :
Si la ecuación polinomial es de grado 𝒏
entonces tendrá 𝒏 raíces.
- ÁLGEBRA
Observación 3 :
Si la ecuación polinomial tiene la forma
(𝑥 − α)𝒏. 𝑞 𝑥 = 0
→ la raíz α es de multiplicidad 𝒏.
Ejemplos
• (𝑥 − 5)3(𝑥 + 1)4= 0
5 es una raíz triple o de multiplicidad 3
−1 es una raíz de multiplicidad 4
• (𝑥 − 2)4(𝑥 + 3)5(𝑥 − 8)6= 0
2 es una raíz de multiplicidad 4
−3 es una raíz de multiplicidad 5
∴ C.S. = 5 ;−1
8 es una raíz de multiplicidad 6
∴ C.S. = 2 ;−3 ; 8
→ 
→ 
Teorema de Cardano para una ecuación cúbica
Sean 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3 las raíces de la ecuación cúbica
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
se cumple:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =−
𝑏
𝑎
𝑥1𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 =
𝑐
𝑎
𝑥1𝑥2𝑥3 =−
𝑑
𝑎
+ − + −
- ÁLGEBRA
Ejemplos
• 2𝑥3 + 6𝑥2 + 7𝑥 + 8 = 0 de raíces 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3
+ − + −
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3=−
6
2
= −3
𝑥1𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 =
7
2
𝑥1𝑥2𝑥3 =−
8
2
= −4
• 𝑥3 + 7𝑥 − 6 = 0 de raíces 𝑚 , 𝑛 y 𝑝.
+ − + −
𝑚 + 𝑛 + 𝑝 =
0
1
𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 =
7
1
𝑚𝑛𝑝 =
6
1
= 6
𝑥3 + 0𝑥2 + 7𝑥 − 6 = 0𝟏
= 0
= 7
⟶
En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y
grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que
𝑎 + 𝑏 es raíz↔ 𝑎 − 𝑏 es raíz ; 𝑏 ∈ 𝕀
Ejemplos
Sean una ecuación polinomial de grado ≥ 2 y coeficientes 
racionales, entonces: 
𝒙𝟏 𝒙𝟐
3 + 2 3 − 2
1 + 5 1 − 5
2 − 33 + 2
7 − 7
Teorema de paridad de raíces
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