Gráfica de funciones II

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Gráfica de funciones II
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 34
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer la grafica de la función cuadrática
y raíz cuadrada.
 Aplicar propiedades de la función
cuadrática y raíz cuadrada.
 Utilizar la gráfica de funciones para
modelar situaciones y resolver problemas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. La parábola y la cuadrática
3. Análisis de la función cuadrática
4. Función raíz cuadrada
2. Función cuadrática
5. Problemas diversos
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
- ÁLGEBRA
Al conocer la función cuadrática, sus propiedades y
su gráfica, podremos entender y describir muchas
situaciones que se presentan en diferentes
disciplinas como, por ejemplo, la física (trayectoria
de proyectiles), la economía (ganancias y costos de
una empresa), la arquitectura (construcciones), etc.
En el presente capítulo vamos a continuar con el
estudio de las gráficas elementales.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
LA PARÁBOLA Y LA CUADRÁTICA 
El 29 de septiembre del 2016 el Banco Central de
Reserva del Perú puso en circulación la moneda de 1
Sol, alusiva al Arco Parabólico de Tacna como la
vigésimo sexta y última de la serie Numismática
Riqueza y Orgullo del Perú.
ARCO 
PARABÓLICO 
DE TACNA 
- ÁLGEBRA
Regla de correspondencia
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0 Dom𝑓 = ℝ
Ejemplos
• 𝑓 𝑥 = 3𝑥
2 + 4𝑥 + 1 • g 𝑥 = 𝑥
2 − 4
Representación gráfica
Su gráfica es una curva llamada PARÁBOLA donde:
𝐒𝐢 𝒂 > 𝟎
Se abre hacia 
arriba 𝐒𝐢 𝒂 < 𝟎
Se abre 
hacia abajo Vértice 
Vértice 
Vértice: Punto más alto o más bajo de la gráfica. 
Observaciones 
• La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥
2 será:
𝐗
𝐘
Vértice 
• La gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥
2 será:
𝐗
𝐘
Vértice 
Para graficar otras funciones cuadráticas es
conveniente conocer las coordenadas de su
vértice V 𝒉;𝒌 , dichas coordenadas se pueden
hallar de la siguiente manera:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
- ÁLGEBRA
1° Forma: Completando cuadrados
Toda función cuadrática 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄,
puede tomar la siguiente forma
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)
2 + 𝑘
Su gráfica es la parábola de vértice: V ℎ; 𝑘
Ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 4𝑥 + 9Grafique:
𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 4𝑥 + 𝟒− 𝟒 + 9
TCP
= 𝑥 − 2 2 + 5
Su vértice es: V(2; 5)
𝐗
𝐘
𝟐
𝟓
𝟎
𝟗
2° Forma: Por fórmula
En toda función cuadrática 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
las coordenadas de su vértice V(ℎ; 𝑘) son :
ℎ =−
𝑏
2𝑎
𝑘 = 𝑓(ℎ)
𝒇
Ejemplo
𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 4𝑥 + 9Grafique:
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = −4 ∧ 𝑐 = 9
𝒉 = −
−4
2(1)
= 2
𝒌 = 𝑓(2)
V(2; 5)
= 5
𝐗
𝐘
𝟐
𝟓
𝟎
𝟗
𝒇
- ÁLGEBRA
La gráfica de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, también se puede conseguir usando sus raíces
𝑥1 𝑦 𝑥2 , dichas raíces dependen de su discriminante (∆ = 𝑏
2 − 4𝑎𝑐) y donde tenemos los siguientes casos:
Raíces reales y diferentes 
∆ > 0
𝑎 > 0
X
Y
𝑥1 𝑥2
𝑎 < 0
X
Y
𝑥1 𝑥2
Raíces reales e iguales
∆ = 0
X
Y
𝑥1 = 𝑥2
X
Y
𝑥1 = 𝑥2
∆ < 0
Raíces NO reales
X
Y
X
Y
- ÁLGEBRA
Ejemplo
Grafique la siguiente función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 6𝑥 + 5
Hallamos sus raíces
𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 6𝑥 + 5 = 𝟎
𝑥 − 1 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 5
𝐗
𝐘
Como 𝑎 = 𝟏 > 𝟎
𝟏 𝟓
𝒇
Aplicación
Calcule 𝑛 para que la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 + 𝑛𝑥 + 9
nunca corte al eje de abscisas.
Resolución 
Para que la gráfica de 𝑓(𝑥) no corte al eje de
abscisas (eje X) la cuadrática no debe tener
raíces reales es decir su ∆ < 𝟎
𝑛2 − 4 1 9 < 0
𝑛2 − 36 < 0
𝑛2 < 36 𝒎
|𝑛| < 6
−6 < 𝑛 < 6
∴ para que la gráfica de la función no corte al eje
de abscisas
𝒏 ∈ −𝟔; 𝟔
1 + 5
2
𝟑
−𝟒
𝟓
𝑓 3 =
𝟎
𝐓. 𝐈.
- ÁLGEBRA
 
1
5
1
Regla de correspondencia
𝒇 𝒙 = 𝒙
Dom𝑓 = ℝ0
+
Ran𝑓 = ℝ0
+
Representación gráfica
Tabulando
𝒙 𝒚
0 0
1 1
4 2
9 3 4 51 2 630 𝐗
𝐘
2
3
1
7 8 9 10
Vértice 
Observaciones
𝑓 𝑥 = 𝒎 𝒂𝑥 + 𝑏 + 𝑘 Su vértice es: (ℎ; 𝑘)
𝒂 > 𝟎
𝒉 =Donde −
𝒃
𝒂
además:
𝒎 > 𝟎
𝐘
𝐗𝒉
𝒌
𝒂 < 𝟎
𝐘
𝐗𝒉
𝒌
→
↑
←
𝒎 < 𝟎
↓
𝐘
𝐗𝒉
𝒌
𝐘
𝐗𝒉
𝒌
Grafique las siguiente funciones 
𝑓 𝑥 = 4 2𝑥 + 3 + 1
 −
3
2
;
𝐘
𝐗
−
𝟑
𝟐
𝟏
𝒇
g 𝑥 = − −𝑥 + 9 + 2
)2(9;
𝐘
𝐗𝟗
𝟐
𝟓
𝐠
−𝟏
Vértice Vértice
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
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