Oscilaciones I

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FÍSICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
“M.A.S.”
OBJETIVOS
 Reconocer las características del movimiento
armónico simple.
 Describir el movimiento armónico simple
haciendo uso de la cinemática y la dinámica.
 Utilizar adecuadamente las ecuaciones que
gobiernan a este movimiento.
Las oscilaciones o vibraciones, son un tipo de
movimiento presente en la naturaleza, se aprecia en el
latido del corazón, los pulmones, los tímpanos. También
en los átomos y moléculas que están en continua
vibración; y son la base de muchas teorías físicas.
Las vibraciones también están presente en estructuras
como edificios y puentes; sobre todo cuando estos son
sometidos a agentes externos como el viento o los
sismos.
El movimiento vibratorio mas sencillo y al mismo tiempo
el mas importante es el MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE (MAS), en el cual la posición es una función
armónica del tiempo. La importancia de este tipo de
oscilación, reside en que cualquier oscilación más
compleja puede ser descompuesta en una suma
algebraica de movimientos oscilatorios simples.
ASPECTOS PREVIOS Movimiento periódico 
AB
Es aquel movimiento de ida y de
vuelta (sobre la misma trayectoria)
conocido también como movimiento
de vaivén.
𝐴 → 𝐵 → 𝐴: Una oscilación
Movimiento oscilatorio
Es aquel movimiento que se repite
regularmente en iguales intervalos de
tiempo, al que se denomina periodo (𝑇).
MCU
Tener en cuenta que:
frecuencia (𝑓)
𝑓 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒
𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Unidad en el S.I.
(𝑠−1 <> Hz)
𝑓 =
1
𝑇
frecuencia cíclica o ángular (𝜔)
𝜔 =
2𝜋
𝑇
Unidad en el S.I.
(𝑟𝑎𝑑/𝑠)
𝑇 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
en realizar una oscilación completa.
C
𝐴 → 𝐵 : Media oscilación
𝐴 → 𝐶 : Un cuarto de oscilación
𝑇 = 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
en repetir el evento.
En el movimiento oscilatorio
Nos expresa el número de periodos 
contenidos en 2𝜋 segundos.
= 2𝜋𝑓
Oscilador 
Consideremos por ejemplo un sistema formado por un 
resorte Ideal y una masa puntual, libre de rozamiento. 
Posición de equilibrio P:E
Es aquella posición donde la fuerza resultante es nula.
 𝐹𝑅 = 0
𝐹𝑔= R
Si desplazamos al bloque hacia la derecha y lo soltamos
P.E
𝑥 = 0
P.E
𝐹𝑔
R
Apreciamos que.
• El movimiento es oscilatorio.
• El movimiento es periódico.
• El movimiento es rectilíneo.
• Sujeto a una fuerza resultante, que verifique:
𝑭𝑹 = −𝑲𝒙 ( 𝑥: vector posición)
𝑇
 𝑥
𝑭𝑬
𝐹𝑔
R
Aquel movimiento que cumple con estas 
características se denomina. Movimiento 
Armónico Simple “M.A.S.”
M.A.S.
𝑭𝑹 = 𝑭𝑬 = −𝒌𝒙
Además:
Análisis cinemático del M.A.S.
Una de la características más resaltantes del
MAS, es que su análisis cinemático se puede
realizar de forma mucho más sencilla si se lo
hace como la proyección de un MCU en sentido
antihorario.
De donde: El periodo de MAS es el mismo que el
periodo de un MCU.
𝑇𝑀𝐴𝑆 = 𝑇𝑀𝐶𝑈 =
2𝜋
𝜔
𝜔: Frecuencia cíclica o frecuencia angular (𝑟𝑎𝑑/𝑠)
𝑥 = 0
P.E.
+𝑨−𝑨
Amplitud (A):
Es el máximo alejamiento del cuerpo que oscila 
respecto a la posición de equilibrio.
Observe también:
1 oscilación <> 4𝐴Se cumple:
𝐴 𝐴
𝑣 = 0 𝑣 = 0
M.C.U.
P.E.
La rapidez del oscilador 
• En los extremos:
𝑣 = 0
• En la posición de equilibrio:
𝑣𝑚á𝑥
𝑣𝑚á𝑥
𝑣𝑚á𝑥
𝑣𝑚á𝑥
la rapidez es mínima:
la rapidez es máxima :
𝒗𝒎á𝒙 = 𝝎.𝑨
= 𝜔. 𝐴
𝑟 = 𝐴
En general, en cualquier posición:
𝑣 = 𝜔 𝐴2 − 𝑥2
𝑣
𝑥
𝐴
𝑣𝑚á𝑥 𝑣 = 0
𝜔: Frecuencia cíclica (𝑟𝑎𝑑/𝑠)
La aceleración del oscilador 
• En los extremos:
El valor de la aceleración 
es máxima :
𝒂𝒎á𝒙 = 𝝎². 𝑨
𝑎𝑚á𝑥
• En la posición de equilibrio:
El valor de la aceleración 
es mínima:
𝑎 = 0
En general, en cualquier 
posición:
𝒂 = 𝝎². 𝒙
𝑎 = 0
𝑎𝑐𝑝
Análisis cinemático del M.A.S.
Aplicación 1: 
Una partícula describe un movimiento armónico
simple. Si la rapidez máxima y la amplitud es
6m/s y 1,5m, respectivamente, determine la
frecuencia angular y el periodo de oscilación.
Resolución:
Aplicación 2: 
El bloque mostrado realiza un MAS, con amplitud de 50cm. 
Determine su frecuencia de oscilación.
40 cm
P.E. 1,5 m/s
𝑣𝑚á𝑥
Piden 𝜔 y 𝑇
Sabemos:
𝑣𝑚á𝑥 = 𝜔𝐴
𝜔 = 4𝑟𝑎𝑑/𝑠
También se tiene:
𝜔 =
2𝜋
𝑇
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
2𝜋
4
𝑇 =
𝜋
2
𝑠
Resolución:
40 cm
P.E. 1,5 m/s
De la relación:
𝑣 = 𝜔 𝐴2 − 𝑥2
1,5 = 𝜔 0,52 − 0,42
1,5 = 𝜔 0,09
1,5 = 𝜔0,3
𝜔 = 5rad/s
𝜔 = 2𝜋𝑓
En (1)
6 =
Sabemos:
5 = 2𝜋𝑓
𝑓 =
5
2𝜋
𝐻𝑧
𝐴
= 6m/s
= 1,5m
P.E
𝜔(1,5)
Piden 𝑓
…(1)
A = 50 cm
En P:
P
Ecuación del movimiento del MAS
𝑣 = 0 𝑣 = 0
𝑣𝑚á𝑥
𝐴 𝐴
𝑥
𝑥 = 0
𝛼
𝛼: Fase inicial
(se mide desde la P.E. en 
sentido antihorario hasta 
donde 𝑡 = 0).
𝑡 = 0
𝑡 = 0
 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
La ecuación del movimiento 
viene dado por
P.E.
𝑥 = −𝐴 𝑥 = +𝐴
Aplicación 3:
La ecuación del movimiento de un oscilador armónico 
es 𝑥 = 0,1𝑠𝑒𝑛 5𝑡 +
𝜋
2
𝑚. Determine el módulo de la 
aceleración máxima.
Resolución:
A
P.E. 𝑎𝑚á𝑥
Piden 𝑎𝑚á𝑥
Recordemos: 𝑎𝑚á𝑥 = 𝜔
2𝐴 …(1)
Del dato: 𝑥 = 0,1𝑠𝑒𝑛(5𝑡 + 𝜋/2)m.
 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
Comparando: 𝐴 = 0,1𝑚 y 𝜔 = 5𝑟𝑎𝑑/𝑠
Reemplazando en (1)
𝑎𝑚á𝑥 = 5
2(0,1) 𝑎𝑚á𝑥 = 2,5𝑚/𝑠²
 𝑥 : Posición del oscilador 
en cualquier instante
𝐴: Amplitud de oscilación
𝜔: frecuencia angular o 
frecuencia cíclica. 
2. Dinámica en el M.A.S.
𝑣 = 0
𝐴 𝐴
𝑣 = 0P.E.
𝐹𝐸𝐹𝐸
De la segunda ley de Newton
en los extremos
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎
𝐹𝐸 = 𝑚𝜔
2𝑥
𝐾𝐴 = 𝑚𝜔2A
𝜔 =
𝐾
𝑚
En el MAS el periodo (𝑇) 
viene dado por
𝜔 =
2𝜋
𝑇
Además recuerda que
𝐾
𝑚
=
2𝜋
𝑇
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝐾
𝐾
En el gráfico, el bloque de masa M oscila 
sobre una superficie inclinada lisa con un 
periodo de 2 s. Si su masa aumenta en 4 
kg, el nuevo periodo sería 6 s. Calcule M.
Aplicación 4
Resolución: Nos piden la masa (𝑀) del bloque .
• Para la masa 𝑀
𝑇1 = 2𝜋
𝑀
𝐾
• Para la masa M + 4 kg
𝑇2 = 2𝜋
𝑀 + 4
𝐾
Dividiendo ambas 
ecuaciones
𝑀
𝑀 + 4
=
2
6
𝑀 = 0,5 𝑘𝑔
𝑀
𝑀 + 4
=
4
36
Elevando al cuadrado
36𝑀 = 4𝑀 + 16
= 2 𝑠
= 6 𝑠
𝑇
2
𝑇
2
Aplicación 5. RESOLUCIÓN
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
𝑇 = 2𝜋
1
100
𝑇 =
𝜋
5 𝑇 = 0,2𝜋 𝑠
P.E.
20 𝑐𝑚 20 𝑐𝑚
Hallando el periodo T : Hallando el recorrido en dos oscilaciones 
completas
Datos: 𝐴 = 20 𝑐𝑚
𝑚 = 1𝑘𝑔
𝐾 = 100𝑁/𝑚
Recorrido en una 
oscilación completa
4𝐴 = 80 𝑐𝑚
Recorrido en dos 
oscilaciones completas
8𝐴 = 160 𝑐𝑚
𝑣 = 0 𝑣 = 0
Piden 𝑇 y recorrido en dos oscilaciones
Tener en cuenta que en el eje vertical:
Resorte sin 
deformar
P.E.
𝑣𝑚á𝑥
𝐹𝑔
𝐹𝐸
𝐹𝑔 = 𝐹𝐸
𝑣 = 0
𝑣 = 0
𝐴
𝐴
El tratamiento cinemático es de la misma 
manera que en el caso horizontal.
Aplicación 6. 
El bloque se encuentra en su posición de equilibrio y el resorte 
está deformado 10cm, si lo desplazamos una pequeña distancia 
hacia abajo y lo soltamos . Determine su frecuencia natural. 
(g=10m/s²)
Resolución:
Resorte sin 
deformar
P.E.
𝐹𝐸
𝐹𝐸 = 𝐹𝑔
𝑣 = 0
𝑣 = 0
𝐴
𝐴
𝑥0 =10cm
Sabemos: 𝜔 = 2𝜋𝑓
…(1)
De la posición de equilibrio
𝐹𝐸 = 𝐹𝑔
𝑘𝑥 = 𝑚𝑔
𝑘
𝑚
=
𝑔
𝑥
=
10
0,1
𝑘
𝑚
= 2𝜋𝑓
En (1): 100 = 2𝜋𝑓
𝑓 =
5
𝜋
𝐻𝑧
Piden 𝑓
𝑣𝑚á𝑥
𝐹𝑔 = 100
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