Oscilaciones II

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ENERGÍA EN UN MAS
PÉNDULO SIMPLE
FÍSICA
OSCILACIONES II
OBJETIVOS
 Analizar energéticamente el movimiento armónico simple.
 Emplear la conservación de la energía mecánica en los problemas 
relacionados con el MAS.
 Describir el movimiento de un péndulo simple y sus aplicaciones como un
caso particular del MAS.
ENERGÍA MECÁNICA EN EL MAS
Consideremos el oscilador armónico formado por 
el bloque de masa m y el resorte de rigidez k que 
se mueve en un plano horizontal liso.
P.E.
Si realizamos el D.C.L.
 𝑥
𝑭𝑬
𝐹𝑔
R
La única fuerza que realiza trabajo es la fuerza 
elástica en consecuencia:
la energía mecánica del sistema se conserva.
𝑣
𝑥
𝐴
𝑣𝑚á𝑥 𝑣 = 0
𝐴
P.E.
𝑃
En el gráfico se observa que en los puntos extremos, la energía
potencial es máxima, debido a que la deformación del resorte es
máxima, y nula cuando está en su posición de equilibrio.
A medida que el bloque se acerca a la P.E. esta energía potencial se va
transformando en energía cinética.
Al llegar a la P.E toda la energía ahora es energía cinética máxima
puesto que allí presenta rapidez máxima.
𝑬𝑴(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂) = 𝑬𝑪 + 𝑬𝑷𝑬 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝑬𝑴(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂) =
Donde:
En cualquier punto P:
En los extremos:
En la posición de 
equilibrio:
Entonces.
La conservación de energía plantea:
Por lo tanto se cumple
𝑬𝑴(𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂) = 𝑬𝑪(𝒎á𝒙) = 𝑬𝑷𝑬(𝒎á𝒙) = 𝒄𝒕𝒆
𝑣
𝑥
𝐴
𝑣𝑚á𝑥 𝑣 = 0
𝐴
P.E.
𝑃
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑝) + 𝐸𝑃𝐸(𝑃)
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥) =
1
2
𝑘𝐴²
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) =
1
2
𝑚𝑣𝑚á𝑥
2
𝑬𝑴(𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔) = 𝑬𝑴(𝑷.𝑬.) =𝑬𝑴(𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑷) = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Aplicación 1:
El bloque de 1 kg experimenta un MAS. ¿Cuál es 
su energía mecánica? Considere que A es la 
amplitud de oscilación
8m/s
P.E
Resolución:
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥)
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) =
1
2
𝑚𝑣𝑚á𝑥
2
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) =
1
2
1 8²
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 32𝐽
Aplicación 2:
El bloque experimenta un MAS horizontal. ¿Cuál es su 
energía cinética máxima? Considere que la amplitud de 
oscilación es 50cm.
Resolución:
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥)
𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 𝐸𝑃𝐸(𝑚á𝑥)
𝐸𝐶(𝑚á𝑥) =
1
2
𝑘𝐴²
𝐸𝐶(𝑚á𝑥) =
1
2
100 0,5²
𝐸𝐶(𝑚á𝑥) = 12,5𝐽
Piden 𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Sabemos:
Piden 𝐸𝐶(𝑚á𝑥)
Como:
Aplicación 3:
El sistema mostrado realiza un M.A.S. y
presenta una energía mecánica de 800J.
Determine la energía cinética del bloque
cuando pasa por la posición 𝑥 = +
𝐴
2
.
Considere que 𝐴 es la amplitud de
oscilación.
−𝐴
Resolución:
−𝐴
+
𝐴
2
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) = 𝐸𝐶(𝑝) + 𝐸𝑃𝐸(𝑃)
En la posición “𝑝”se tiene:
800
800 = 𝐸𝐶(𝑝) +
1
2
𝐾
𝐴²
4
800 = 𝐸𝐶(𝑝) +
Pero también se cumple:
𝐸𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎) =
1
2
𝐾𝐴2
…(1)
En (1)
800 = 𝐸𝐶(𝑝) +
1
4
(800)
𝐸𝐶(𝑝) = 600𝐽
Piden la 𝐸𝐶(𝑝)
𝑣
𝒑
1
2
𝐾(
𝐴
2
)²𝐸𝐶(𝑝) +=
1
4
(
1
2
𝐾𝐴2)
= 800𝐽
Despejando
Péndulo Simple
Si consideramos una pequeña esfera unida 
a un cable de longitud L y lo desviamos de 
su P.E un pequeño ángulo (𝜃 ≤ 10∘)
El movimiento es oscilatorio.
Por lo tanto el movimiento también es periódico.
Además el ángulo central debe ser pequeño con el fin de 
que el arco se aproxime a un segmento recto. 
El movimiento del
péndulo simple es
aproximadamente un
M.A.S, en
consecuencia se
emplean las mismas
ecuaciones.
Se aprecia
Aquí solo realiza trabajo la 𝐹𝑔 entonces la EM se conserva.
En suma:
𝜃
Su periodo (𝑇) viene dado por 
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
𝐿: Longitud de la cuerda (m)
𝑔: aceleración de la gravedad (m/s²)
Observación 
1. El periodo del péndulo simple no depende de la masa.
2. Un péndulo bate segundo cuando su periodo es 2 s.
3. Su frecuencia de oscilación:
𝑓 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑇: en segundos (s)
=
1
𝑇
Por tanto:
𝑇 =
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
= 2𝜋
𝐿
𝑔
𝑚
𝑔
𝐿
2𝑚
𝐿 𝑔
𝑇1 = 𝑇2
𝑻𝟏 𝑻𝟐
El gráfico muestra un péndulo simple de
longitud 1m. Si en la posición mostrada se
suelta la pequeña esfera, ¿Cuántas
oscilaciones realizará el péndulo en 6s?
(g=π² m/s²).
Aplicación 4:
Resolución: 
De la relación:
6
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑇 =
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
= 2𝜋
𝐿
𝑔
= 2𝜋
1
𝜋²
6
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
= 2𝜋(
1
𝜋
)
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 3
Piden 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 en 6s
Despejando
Aplicación 5:
Un péndulo simple consta de una cuerda inextensible
sin masa cuya longitud es 𝐿, del cual cuelga un cuerpo de
masa 𝑚. El péndulo se mantiene fijo en el extremo
superior. Si se lo hace oscilar de tal manera que el ángulo
formado por la cuerda y la vertical sea pequeño (menor a
12°), el periodo del péndulo estará dado en función de la
longitud 𝐿 y del valor de la aceleración local de la
gravedad. Si el tiempo en contemplar una oscilación es 2
s y el valor local de la aceleración de la gravedad es
9,85 𝑚/𝑠2, ¿cuál es la longitud del péndulo?
Resolución: Piden la longitud del péndulo (𝐿)
Datos: • 𝑇 = 2 𝑠
• 𝑔 = 9,85 𝑚/𝑠2 ≈ 𝜋2
𝐿 = 1 𝑚
Se tiene:
2 = 2𝜋
𝐿
𝜋²
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
UNMSM 2017-II
𝑡
3𝑡
=
2𝜋
𝐿
𝑔
2𝜋
𝐿
𝑔𝑃
Aplicación 6:
RESOLUCIÓN:
Sabemos:
T = 2𝜋
𝐿
𝑔
(
1
3
)2 = (
𝑔𝑃
𝑔
)2
𝑔𝑝 =
1
9
g
Para la tierra: 
Para otro planeta: 
𝑇𝑇 = 𝑡
𝑇𝑝 = 3𝑡
1
3
= 
𝑔𝑃
𝑔
1
9
=
𝑔𝑃
𝑔
Dividimos (1) ÷ (2)
𝐿
𝐿
𝑔𝑃
𝑔𝑇
Piden 𝑔𝑝: magnitud de la aceleración 
de la gravedad en el planeta 
…..(1)
…..(2)
= 2𝜋
𝐿
𝑔
= 2𝜋
𝐿
𝑔𝑃
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