ResueltoTP3_2do2022

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INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
EJERCICIOS RESUELTOS
PRÁCTICO 3
Andrea Rotnitzky
arotnitzky@utdt.edu
Daniela Cuesta
dcuesta@utdt.edu
Pablo M. Escobar
escobarpm@gmail.com
31 de agosto de 2022
1. (∗) De acuerdo al ministerio de salud, en la Argentina, 35 % de los hombres fuman mientras que en
Estados Unidos, 21.6 % de los hombres fuman. Además, existen estudios epidemiológicos que indican
que en ambos páıses los hombres que fuman tienen 23 veces más probabilidad de desarrollar cáncer de
pulmón que aquellos que no fuman
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre argentino con cáncer de pulmón haya sido fumador?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre norteamericano con cáncer de pulmón haya sido fumador?
Solution:
F = “Hombre fumador”
C = “Hombre ha desarrollado cáncer de pulmón”
A = “Hombre es argentino”
E = “Hombre es norteamericano”
Datos del enunciado:
P (C ∣ F ∩A) = 23 ⋅ P (C ∣ F c ∩A)
P (C ∣ F ∩E) = 23 ⋅ P (C ∣ F c ∩E)
P (F ∣ A) = 0,35
P (F ∣ E) = 0,216
donde las primeras dos igualdades son consecuencia de suponer que los hombres que fuman tienen 23
veces más probabilidad de desarrollar cáncer de pulmón, es una particularidad que se da de manera
uniforme sobre todo el planeta.
(a) Desarrollando la expresión tendremos:
P (F ∣ C ∩A) =
P (F ∩C ∩A)
P (C ∩A)
=
P (C ∩ (F ∩A))
P (C ∩ (F ∩A)) + P (C ∩ (F c ∩A))
=
P (C ∣ F ∩A) ⋅ P (F ∩A)
P (C ∣ F ∩A) ⋅ P (F ∩A) + P (C ∣ F c ∩A) ⋅ P (F c ∩A)
,
luego reemplazando P (C ∣ F ∩A) por 23 ⋅ P (C ∣ F c ∩A):
P (F ∣ C ∩A) =
23 ⋅ P (C ∣ F c ∩A) ⋅ P (F ∩A)
23 ⋅ P (C ∣ F c ∩A) ⋅ P (F ∩A) + P (C ∣ F c ∩A) ⋅ P (F c ∩A)
,
1
y cancelando P (C ∣ F c ∩A) en la división queda:
P (F ∣ C ∩A) =
23 ⋅ P (F ∩A)
23 ⋅ P (F ∩A) + P (F c ∩A)
.
Por último, podemos aplicar regla de la multiplicación, de manera que P (A) se cancelará, y
concluiremos:
P (F ∣ C ∩A) =
23 ⋅ P (F ∣ A) ⋅ P (A)
23 ⋅ P (F ∣ A) ⋅ P (A) + P (F c ∣ A) ⋅ P (A)
=
23 ⋅ P (F ∣ A)
23 ⋅ P (F ∣ A) + P (F c ∣ A)
=
23 ⋅ 0,35
23 ⋅ 0,35 + (1 − 0,35)
= 0,9253
(b) Por idéntico argumento que el inciso anterior:
P (F ∣ C ∩E) =
23 ⋅ P (F ∣ E) ⋅ P (E)
23 ⋅ P (F ∣ E) ⋅ P (E) + P (F c ∣ E) ⋅ P (E)
=
23 ⋅ P (F ∣ E)
23 ⋅ P (F ∣ E) + P (F c ∣ E)
=
23 ⋅ 0,216
23 ⋅ 0,216 + (1 − 0,216)
= 0,8637
2. El Departamento de Recursos Humanos de un banco ha desarrollado un test de aptitudes matemáticas
que, según los gerentes del banco, provee importante información en el momento de contratar nuevos
cajeros. Luego de 6 meses de trabajo los nuevos cajeros son evaluados, resultando que el 60 % de
los cajeros contratados se desempeñan satisfactoriamente, mientras que el resto lo hace en forma no
satisfactoria. De los cajeros que se desempeñan satisfactoriamente, el 90 % aprobó el test de aptitudes
matemáticas mientras que de los que se desempeñan en forma no satisfactoria solo el 20 % aprobó dicho
test.
(a) ¿Cuál es la probabilidad que un cajero se desempeñe satisfactoriamente dado que aprobó el test de
aptitudes matemáticas?
(b) ¿Cuál es la probabilidad que un cajero se desempeñe satisfactoriamente dado que no aprobó el test
de aptitudes matemáticas?
(c) ¿Parece el test una herramienta efectiva en el proceso de selección de nuevos cajeros? Justificá tu
respuesta.
Solution: Consideremos la tabla de contingencia que contiene las probabilidades para los eventos
A = {aprobado}, S = {satisfactorio}:
Test
A ¬A
Desempeño
S P (S ∩A) P (S ∩ ¬A) P (S) = 0,6
¬S P (¬S ∩A) P (¬S ∩ ¬A) P (¬S) = 0,4
P (A) P (¬A)
2
Calculemos las siguientes probabilidades utilizando los datos del enunciado:
P (S ∩A) = P (A ∣ S) ⋅ P (S) = 0,9 ⋅ 0,6 = 0,54
P (¬S ∩A) = P (A ∣ ¬S) ⋅ P (¬S) = 0,2 ⋅ 0,4 = 0,08,
y observando que las sumas por filas y columnas de las 4 probabilidades del centro deben coincidir
con las de los eventos principales (los que no son intersecciones), tenemos que la tabla será:
Test
A ¬A
Desempeño
S 0,54 0,06 0,6
¬S 0,08 0,32 0,4
0,62 0,38
(a)
P (S ∣ A) =
P (S ∩A)
P (A)
=
0,54
0,62
= 0,8709
(b)
P (S ∣ ¬A) =
P (S ∩ ¬A)
P (¬A)
=
0,06
0,38
= 0,1578
(c) Se podŕıa decir que es un test bueno, ya que si un empleado lo aprueba entonces la probabilidad
de que su desempeño sea bueno es de casi 0.9. Esto nos garantiza bajo riesgo de contratar
empleados que no cumplan con las espectativas.
Por otro lado, si un empleado desaprueba el test es poco probable que vaya a tener un desempeño
satisfactorio. Es decir que no solo nos permite contratar gente con bajo riesgo de mal desempeño,
sino que también nos permite afirmar que hay buenas razones para no contratar a los que
desaprueban.
3. Anoche léı en el periódico las siguientes estad́ısticas. Un total del 46 % de los votantes de mi barrio se
clasifican a ellos mismos como independientes, un 30 % como liberales y un 24 % como convervadores. En
las últimas elecciones votaron 35 % de los independientes, 62 % de los liberales y 58 % de los conservadores.
Caminando hoy por mi barrio escuché la conversación de dos vecinos en la que uno de ellos le comentaba
al otro que hab́ıa votado en las últimas elecciones. ¿Cuál es la probabilidad de que ese vecino sea:
(a) Independiente.
(b) Liberal.
(c) Conservador.
(d) Sin que vos sepas nada mas de mı́, ¿qué probabilidad adjudicás a que yo haya votado en las últimas
elecciones? Y si te dijera que soy liberal, ¿qué probabilidad de votar me adjudicaŕıas ahora?
Solution: Definimos los eventos:
I = {Independientes}
L = {Liberales}
C = {Conservadores}
V = {V otantes},
3
y dado que los tres primeros ı́tems involucran a P (V ) comenzamos calculandola usando probabilidad
total:
P (V ) = P (V ∣ I) ⋅ P (I) + P (V ∣ L) ⋅ P (L) + P (V ∣ C) ⋅ P (C)
= 0,35 ⋅ 0,46 + 0,62 ⋅ 0,3 + 0,58 ⋅ 0,24
= 0,161 + 0,186 + 0,1392
= 0,4862
Resolvemos los ı́tems utilizando la regla de Bayes:
(a)
P (I ∣ V ) =
P (I ∩ V )
P (V )
=
P (V ∣ I) ⋅ P (I)
P (V )
=
0,35 ⋅ 0,46
0,4862
=
0,161
0,4862
= 0,3311
(b)
P (L ∣ V ) =
P (L ∩ V )
P (V )
=
P (V ∣ L) ⋅ P (L)
P (V )
=
0,62 ⋅ 0,3
0,4862
=
0,186
0,4862
= 0,3825
(c)
P (C ∣ V ) =
P (C ∩ V )
P (V )
=
P (V ∣ C) ⋅ P (C)
P (V )
=
0,58 ⋅ 0,24
0,4862
=
0,1392
0,4862
= 0,2863
(d) Teniendo en cuenta que esta persona vive en el barrio donde fueron tomados los datos, se podŕıa
esperar que su comportamiento muestre cierta similitud con la de sus vecinos. En ese sentido,
se podrá usar P (V ) para estimar la probabilidad de que esta persona vote y P (V ∣ L) para la
probabilidad de que vote dado que sea Liberal.
4. Una enfermedad afecta a una de cada 500 personas de cierta población. Se usa un examen radiológico
para detectar posibles enfermos. Se sabe que la probabilidad de que el examen aplicado a un enfermo lo
muestre como tal es 0.90 y que la probabilidad de que el examen aplicado a una persona sana la muestre
como enferma es 0.01.
(a) Calculá la probabilidad de que una persona esté realmente enferma si su examen dió positivo. A tu
criterio, ¿por qué la probabilidad calculada es tan baja?
(b) Suponé ahora que la enfermedad afecta a n personas de cada 500, utilizar R para graficar la
probabilidad de que una persona esté realmente enferma si su examen dió positivo vs n entre 1
y 500 (notá que para mayores valores de n, la enfermedad está más propagada sobre la población)
Solution: Consideramos los siguientes eventos:
E = {el paciente está enfermo}
P = {el exámen da positivo},
entonces como la enfermedad afecta a una de cada 500 personas se tiene que P (E) = 1
500
= 0,002.
4
Planteamos el cálculo de la probabilidad de estar enfermo con examen positivo:
P (E ∣ P ) =
P (P ∣ E) ⋅ P (E)
P (P )
=
P (P ∣ E) ⋅ P (E)
P (P ∣ E) ⋅ P (E) + P (P ∣ Ec) ⋅ P (Ec)
=
0,9 ⋅ 0,002
0,9 ⋅ 0,002 + 0,01 ⋅ (1 − 0,002)
=
0,0018
0,0018 + 0,0099
=
0,0018
0,01178
= 0,1528.
En este tipo de exámenes se prioriza que la probabilidad de que a una persona enferma le de positivo
sea alta, ya que el peor escenario en términos de salubridad seŕıa incurrir en el error de no prescribir
tratamiento a un pacienteenfermo. En este caso se tiene que P (P ∣ E) = 0,9, con lo cual podemos
decir que el examen es relativamente aceptable si la enfermedad no es de alta peligrosidad.
Que P (E ∣ P ) haya dado baja, si bien se trata de una probabilidad con un 2do grado de importancia,
se debe a que en el denominador P (P ∣ Ec) ⋅P (Ec) es considerablemente mayor a P (P ∣ E) ⋅P (E).
Esto lo podemos interpretar como que la rareza de la enfermedad es muy elevada en relación a la
capacidad que tiene el exámen para “no preocupar a pacientes sanos”.
Como conclusión de lo dicho anteriormente, podŕıamos decir que P (E ∣ P ) resulta baja debido
fundamentalmente a la rareza de la enfermedad.
5. Hay tres cajas A, B y C con 20 piezas cada una, conteniendo 20, 15 y 10 piezas buenas respectivamente.
La probabilidad de elegir la caja A es igual a la de elegir la caja B, y la de elegir la caja C es igual a la
suma de esas dos probabilidades. A escondidas tuyo, yo elijo al azar una caja y extraigo con reposición
dos piezas. Adiviná qué caja eleǵı si te digo que las dos piezas resultaron ser buenas.
Solution: Sean A, B y C los eventos correspondientes a elegir cada una de las respectivas cajas,
entonces como P (A) = P (B) y P (C) = P (A) + P (B) se tiene que:
P (A) = 0,25
P (B) = 0,25
P (C) = 0,5.
El experimento consiste de dos etapas; en primer lugar se elige una caja, de la cual posteriormente
se extraen 2 piezas con reposición (para extraer la 2da pieza se coloca la 1ra nuevamente en la caja).
Seŕıa razonable elegir la caja que, asumiendo que haya sido elegida, otorgue mayor probabilidad
a que posteriormente se extraigan 2 piezas buenas. Calculemos entonces la probabilidad de haber
elegido la caja A contando con la información de que ambas piezas extráıdas hayan sido buenas:
P (A ∣ 2 piezas buenas) =
P (A ∩ {2 piezas buenas)}
P (2 piezas buenas)
=
P (2 piezas buenas ∣ A) ⋅ P (A)
P (2 piezas buenas)
.
Una vez deterterminada la caja, la probabilidad de obtener una pieza buena en la 2da extracción
no va a depender de lo que ocurrió en la 1ra pues se realiza con reposición:
P (2 piezas buenas ∣ A) =
20
20
⋅
20
20
= 1,
5
en particular tenemos que inevitablemente ambas piezas deberán ser buenas. Por otro lado:
P (2 piezas buenas) = P (2 buenas ∣ A) ⋅ P (A) + P (2 buenas ∣ B) ⋅ P (B) + P (2 buenas ∣ C) ⋅ P (C)
= (
20
20
⋅
20
20
) ⋅ 0,25 + (
15
20
⋅
15
20
) ⋅ 0,25 + (
10
20
⋅
10
20
) ⋅ 0,5
= 1 ⋅ 0,25 + 0,5625 ⋅ 0,25 + 0,25 ⋅ 0,5 = 0,5156,
entonces:
P (A ∣ 2 piezas buenas) =
1 ⋅ 0,25
0,5156
= 0,4848.
Análogamente, para las otras cajas se tendrá que:
P (B ∣ 2 piezas buenas) =
0,752 ⋅ 0,25
1 ⋅ 0,25 + 0,752 ⋅ 0,25 + 0,52 ⋅ 0,5
= 0,2727
P (C ∣ 2 piezas buenas) =
0,52 ⋅ 0,5
1 ⋅ 0,25 + 0,752 ⋅ 0,25 + 0,52 ⋅ 0,5
= 0,2424
esto nos permite concluir que en las circustancias establecidas convendŕıa elegir la caja A.
6. En el 45 % de los juicios llevados a cabo durante los últimos cinco años, el acusado fue sentenciado
a prisión. Entre los sentenciados a prisión, el 40 % hab́ıa elegido declararse culpable voluntariamente.
Entre los que no fueron sentenciados a prisión, el 55 % hab́ıa elegido declararse culpable voluntariamente.
Suponé que sos el abogado defensor de un acusado en un juicio. Tu cliente te pregunta, ¿cuál es la
probabilidad de que sea sentenciado a prisión si me declaro voluntariamente culpable? Sin tener en
cuenta ninguna otra información sobre el caso especifico de tu cliente, ¿cuál es tu respuesta?
Solution: Sin tener en cuenta las particularidades espećıficas del caso, podŕıamos contestar a
nuestro cliente en base a los antecedentes históricos.
Definimos los eventos:
P = “Sentenciado a prisión”
C = “Declarado culpable voluntariamente”,
y calculamos la probabilidad de ser sentenciado a prisión habiéndose declado culpable:
P (P ∣ C) =
P (C ∣ P ) ⋅ P (P )
P (C)
=
0,4 ⋅ 0,45
P (C ∣ P ) ⋅ P (P ) + P (C ∣ P c) ⋅ P (P c)
=
0,4 ⋅ 0,45
0,4 ⋅ 0,45 + 0,55 ⋅ (1 − 0,45)
=
0,18
0,18 + 0,3025
=
0,18
0,4825
= 0,3731.
7. Suponé que el 40 % de todos los emails enviados en la web es basura (SPAM). Suponé además que:
De los mensajes basura, el 60 % contiene la palabra “préstamo”.
De los mensajes leǵıtimos (no basura), el 5 % contiene la palabra “préstamo”.
6
(a) Si un mensaje contiene la palabra “préstamo”, ¿cuál es la probabilidad de que el mensaje sea un
mensaje basura?
(b) Suponé además que
De los mensajes basura: el 70 % contiene la frase “usted ha ganado”, el 60 % contiene la palabra
“préstamo” y el 40 % contiene la palabra “préstamo” y la frase “usted ha ganado”.
De los mensajes leǵıtimos: el 2 % contiene la frase “usted ha ganado”, el 5 % contiene la palabra
“préstamo”, el 1 % contiene la palabra “préstamo” y la frase “usted ha ganado”.
1. Si un mensaje contiene la palabra “préstamo” o la frase “usted ha ganado”, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea un mensaje basura?
2. Si un mensaje contiene la palabra “préstamo” y la frase “usted ha ganado”, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea un mensaje basura?
Solution: Consideramos los eventos:
S = “El mail es considerado SPAM”
P = “Contiene la palabra prestamo”
G = “Contiene la frase usted ha ganado”.
(a)
P (S ∣ P ) =
P (P ∣ S) ⋅ P (S)
P (P )
=
P (P ∣ S) ⋅ P (S)
P (P ∣ S) ⋅ P (S) + P (P ∣ Sc) ⋅ P (Sc)
=
0,6 ⋅ 0,4
0,6 ⋅ 0,4 + 0,05 ⋅ 0,6
=
0,24
0,24 + 0,03
=
0,24
0,27
= 0,8889.
(b) Nos interesa calcular:
P (S ∣ P ∪G) =
P (P ∪G ∣ S) ⋅ P (S)
P (P ∪G)
=
P (P ∪G ∣ S) ⋅ P (S)
P (P ∪G ∣ S) ⋅ P (S) + P (P ∪G ∣ Sc) ⋅ P (Sc)
.
Calculamos P (P ∪G ∣ S) ⋅ P (S):
P (P ∪G ∣ S) ⋅ P (S) = [P (P ∣ S) + P (G ∣ S) − P (P ∩G ∣ S)] ⋅ P (S)
= [0,6 + 0,7 − 0,4] ⋅ 0,4 = 0,9 ⋅ 0,4 = 0,36.
Calculamos P (P ∪G ∣ Sc) ⋅ P (Sc):
P (P ∪G ∣ Sc) ⋅ P (Sc) = [P (P ∣ Sc) + P (G ∣ Sc) − P (P ∩G ∣ Sc)] ⋅ P (Sc)
= [0,05 + 0,02 − 0,01] ⋅ 0,6 = 0,06 ⋅ 0,6 = 0,036.
Reemplazamos en la ecuación del principio:
P (S ∣ P ∪G) =
0,36
0,36 + 0,036
=
0,36
0,396
= 0,9091.
7
(c) Nos interesa calcular:
P (S ∣ P ∩G) =
P (P ∩G ∣ S) ⋅ P (S)
P (P ∩G)
=
P (P ∩G ∣ S) ⋅ P (S)
P (P ∩G ∣ S) ⋅ P (S) + P (P ∩G ∣ Sc) ⋅ P (Sc)
=
0,4 ⋅ 0,4
0,4 ⋅ 0,4 + 0,01 ⋅ 0,6
= 0,9639
8. Un examen consta de una única pregunta multiple-choice que tiene n opciones de respuesta de las cuales
una sola es la correcta. El examinado sólo puede elegir una opción de respuesta. Pedro va a tomar el
examen y su estrategia es la siguiente:
Si conoce la respuesta correcta, elije la opcion correcta.
Si no conoce la respuesta correcta, entonces selecciona como respuesta una de las n opciones
completamente al azar.
Llamemos p a la probabilidad a-priori -esto es, antes de tomar el examen-, de que Pedro conozca la
respuesta correcta. Suponé que Pedro tomó el examen, vos lo corregiste y encontraste que Pedro eligió
como respuesta la opción correcta. Calculá la probabilidad de que Pedro conozca la respuesta correcta,
expresando a esta probabilidad en función de p y n. Luego demostrá que esta probabilidad es siempre
mayor o igual que p. ¿Bajo que circunstancia se verifica la igualdad?
Solution:
A = “Pedro conoce la respuesta correcta”
B = “Pedro marca la respuesta correcta”
Usando Bayes y probabilidad total:
P (A ∣ B) =
P (B ∣ A) ⋅ P (A)
P (B)
=
P (B ∣ A) ⋅ P (A)
P (B ∣ A) ⋅ P (A) + P (B ∣ Ac) ⋅ P (Ac)
=
1 ⋅ p
1 ⋅ p + 1
n
⋅ (1 − p)
=
p
p + 1
n
⋅ (1 − p)
La desigualdad p
p+ 1n ⋅(1−p)
≥ p resulta evidente pues p+ 1
n
⋅(1−p) < 1 por tratarse de una probabilidad.
Para que ocurra la igualdad:
p
p + 1
n
⋅ (1 − p)
= p ⇐⇒ p +
1
n
⋅ (1 − p) = 1
⇐⇒
1
n
⋅ (1 − p) = 1 − p
⇐⇒
1
n
= 1
⇐⇒ n = 1,
8
lo cual indicaŕıa que la única manera de que la probabilidad de que Pedro conozca la respuesta no se
vea modificada por el hecho de conocer si marco la correcta o no, es que la pregunta tenga una única
opción como posible respuesta (hecho completamente sensato, pues en ese caso conocer la respuesta
de Pedro no me brinda información acerca de cuánto pudo haber estudiado).
9. Las pantallas usadas por el celular de marca Manzanitason fabricadas por tres compañ́ıas distintas, A, B
y C. La proporción de pantallas provistas por las compañ́ıas A, B y C son 0.5, 0.3, y 0.2, respectivamente.
1 % de las pantallas provistas por la compañ́ıa A son defectuosas, 2 % de las provistas por B son
defectuosas, y 3 % de las provistas por C son defectuosas. Supongamos que compré un teléfono de la
marca Manzanita con pantalla defectuosa, cuál es la probabilidad de que la pantalla haya sido fabricada
por la compañ́ıa A?
Solution:
A = “La pantalla fue fabricada por la compañia A”
B = “La pantalla fue fabricada por la compañia B”
C = “La pantalla fue fabricada por la compañia C”
D = “El aparato tiene la pantalla defectuosa”
Usando Bayes y probabilidad total:
P (A ∣ D) =
P (D ∣ A) ⋅ P (A)
P (D)
=
P (D ∣ A) ⋅ P (A)
P (D ∣ A) ⋅ P (A) + P (D ∣ B) ⋅ P (B) + P (D ∣ C) ⋅ P (C)
=
0,01 ⋅ 0,5
0,01 ⋅ 0,5 + 0,02 ⋅ 0,3 + 0,03 ⋅ 0,2
= 0,2941
10. Suponé que es agosto y ya sabemos que la final de la copa del mundo de Rusia se jugó entre Argentina
y Brasil (Ojalá!). Poco antes de la final, Messi se lesionó y en ese momento los médicos calcularon una
probabilidad de 0.75 de que Messi pueda jugar la final. Antes del partido, los pronósticos daban una
probabilidad de 0.3 de que Argentina le gane a Brasil sin Messi y de 0.5 de que Argentina le gane a
Brasil con Messi. Si Argentina le ganó a Brasil (Ojalá!)2, ¿cuál es la probabilidad de que Messi haya
jugado en la final?
Solution:
M = “Messi juega la final”
G = “Argentina gana la final”
Sabemos que:
P (M) = 0,75
P (G ∣ M) = 0,5
P (G ∣ M c) = 0,3
9
Usando Bayes y probabilidad total:
P (M ∣ G) =
P (G ∣ M) ⋅ P (M)
P (G ∣ M) ⋅ P (M) + P (G ∣ M c) ⋅ P (M c)
=
0,5 ⋅ 0,75
0,5 ⋅ 0,75 + 0,3 ⋅ (1 − 0,75)
= 0,83
11. Suponé que los chequeos de alcoholemia a conductores en las rutas nacionales se realizan eligiendo
aleatoriamente a los conductores. Se sabe que el test de alcoholemia da un resultado positivo, indicando
ebriedad, en un 90 % de los conductores ebrios y en un 5 % de los conductores sobrios. Si uno de cada
veinte conductores está ebrio, ¿cuál es la probabilidad de que un conductor elegido al azar sea inculpado
injustamente de ebriedad?
Solution:
A = “El conductor está ebrio”
B = “El control da positivo”
Se sabe que
P (B ∣ A) = 0,9
P (B ∣ Ac) = 0,05
La probabilidad de que un conductor sea inculpado injustamente de ebriedad es la probabilidad de
que el conductor este sobrio dado que el control le da positivo:
P (Ac ∣ B) =
P (B ∣ Ac) ⋅ P (Ac)
P (B)
=
P (B ∣ Ac) ⋅ P (Ac)
P (B ∣ Ac) ⋅ P (Ac) + P (B ∣ A) ⋅ P (A)
=
0,05 ⋅ (1 − 0,05)
0,05 ⋅ (1 − 0,05) + 0,9 ⋅ 0,05
= 0,5135
12. En una cierta ciudad Norteamericana operan dos compañ́ıas de taxi, la “Yellow Cab” y la “White Cab”.
La primera tiene sus autos pintados de amarillo, la segunda tiene sus autos pintados de blanco. El
85 % de los taxis que operan en la ciudad son de ”Yellow cab”. Un taxi ha atropellado a un peaton y
el conductor se ha escapado dejando tendida en la acera a la v́ıctima. Un testigo se ha presentado a
declarar indicando el color del taxi que participo en el accidente. Para evaluar la confiabilidad de esta
declaración, se realiza un experimento en el que se repiten las condiciones del accidente con autos de
color amarillo y de color blanco y se evaluan los errores de percepción de color de los participantes del
experimento. Los resultados de este experimento indican que frente a un auto amarillo, el 20 % de las
personas confunden el color, y frente a una auto blanco, también el 20 % de las personas confunden el
color. Calculá la probabilidad de que el auto del accidente sea
(a) de la compañ́ıa “Yellow Cab” si el testigo declaro ver que el taxi era amarillo.
(b) de la compañ́ıa “White Cab” si el testigo declaro ver que el taxi era blanco.
10
Solution: Definimos
Y = “El taxi culpable es de Y ellow Cab”
A = “El testigo vió un taxi amarillo”
entonces sabemos que
P (A ∣ Y ) = 0,8
P (A ∣ Y c) = 0,2
P (Y ) = 0,85
y para esta última probabilidad estamos suponiendo que todos los taxistas que trabajan en ambas
compañ́ıas tienen el mismo nivel de manejo.
(a) Probabilidad de que el culpable sea de la Yellow Cab si el testigo declaró ver un auto amarillo:
P (Y ∣ A) =
P (A ∣ Y ) ⋅ P (Y )
P (A)
=
P (A ∣ Y ) ⋅ P (Y )
P (A ∣ Y ) ⋅ P (Y ) + P (A ∣ Y c) ⋅ P (Y c)
=
0,8 ⋅ 0,85
0,8 ⋅ 0,85 + 0,2 ⋅ (1 − 0,85)
= 0,9577
(b) Probabilidad de que el culpable sea de la White Cab si el testigo declaró ver un auto blanco:
P (Y c ∣ Ac) =
P (Ac ∣ Y c) ⋅ P (Y c)
P (Ac)
=
P (Ac ∣ Y c) ⋅ P (Y c)
P (Ac ∣ Y c) ⋅ P (Y c) + P (Ac ∣ Y ) ⋅ P (Y )
=
(1 − 0,2) ⋅ (1 − 0,85)
(1 − 0,2) ⋅ (1 − 0,85) + (1 − 0,8) ⋅ 0,85
= 0,4138
13. En un aeropuerto, cada pasajero debe pasar por un detector de objetos metálicos. El detector es 100 %
preciso para detectar objetos peligrosos como armas de fuego, pero en 1 de cada 100 pasajeros el
detector da falsa alarma de que el pasajero lleva objetos peligrosos cuando en realidad no los lleva.
Si la probabilidad de que un pasajero lleve un objeto peligroso es 1/100000, ¿cuál es la probabilidad de
que el pasajero lleve un objeto peligroso cuando el detector suena?
Solution:
A = “El pasajero lleva un objeto peligroso”
B = “El detector suena”
Los datos del enunciado son:
P (B ∣ A) = 1
P (B ∣ Ac) =
1
100
P (A) =
1
100000
11
Usando Bayes y probabilidad total:
P (A ∣ B) =
P (B ∣ A) ⋅ P (A)
P (B ∣ A) ⋅ P (A) + P (B ∣ Ac) ⋅ P (Ac)
=
1 ⋅ 1
100000
1 ⋅ 1
100000
+ 1
100
⋅ 99999
100000
= 0,000999
14. Roberto se fue de vacaciones por una semana y le dejó encargado a su vecino que le riegue el jard́ın
durante su ausencia. El vecino de Roberto no es totalmente confiable: una de cada tres veces que se
compromete a regar jardines ajenos, no lo hace. En el jard́ın de Roberto hay un rosal que, al momento
de la partida de Roberto, se encontraba en bastante mal estado: la probabilidad de que el rosal se secase
en caso de no ser regado era 3/4 y la probabilidad de que se secase en caso de ser regado era 1/2. Roberto
regresó de sus vacaciones y encontró a su rosal seco. ¿Cuál es la probabilidad de que su vecino no haya
regado el jard́ın dado que Roberto se percató del mal estado de su rosal?
Solution: Definiendo los eventos:
R = “Rosal está seco”
V = “V ecino no riega el jardin”,
sabemos entonces
P (V ) =
1
3
P (R ∣ V ) =
3
4
P (R ∣ V c) =
1
2
Usando la regla de Bayes y la ley de probabilidad total:
P (V ∣ R) =
P (R ∣ V ) ⋅ P (V )
P (R ∣ V ) ⋅ P (V ) + P (R ∣ V c) ⋅ P (V c)
=
3
4
⋅ 1
3
3
4
⋅ 1
3
+ 1
2
⋅ (1 − 1
3
)
= 0,4286
15. Ignacio es un poco tramposo cuando juega a juegos de azar; la probabilidad que mienta es 1/4. Si Ignacio
sortea al azar una bolilla de un bolillero que contiene 1/6 de las bolillas rojas y te dice que la bolilla
sorteada es roja, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente sea roja?
Solution: Considerando estos eventos:
M = “Ignacio miente”
R = “La bolilla sorteada es roja”
I = “Ignacio dice que la bolilla sorteada es roja”
12
entonces sabemos que
P (M) =
1
4
P (R) =
1
6
Hay varias maneras de desarrollar la resolución de este problema y todas ellas requieren un sutil
entendimiento de como se relacionan los eventos entre śı cuando se suponen ciertos algunos de ellos.
Nos interesa calcular P (R ∣ I), aplicando regla de Bayes:
P (R ∣ I) =
P (I ∣ R) ⋅ P (R)
P (I)
,
ahora es importante entender que bajo es suspuesto que la bolilla sorteada es roja, son idénticas las
chances de que Ignacio diga que la bolilla es roja a que no mienta:
P (R ∣ I) =
P (M c ∣ R) ⋅ P (R)
P (I)
,
para convencerte mejor de ese hecho, podŕıas aplicar probabilidad total con Ω =M∪M c al condicional
(fue lo que hicimos en clase).
Aplicando probabilidad total con Ω = R ∪Rc en el denominador:
P (R ∣ I) =
P (M c ∣ R) ⋅ P (R)
P (M c ∣ R) ⋅ P (R) + P (M ∣ Rc) ⋅ P (R)c
Por último, vamos a suponer la hipótesis razonable de que el color de la bolilla no afecta a la decisión
de Ignacio de decir la verdad o mentir:
P (R ∣ I) =
P(M c) ⋅ P (R)
P (M c) ⋅ P (R) + P (M) ⋅ P (R)c
=
3
4
⋅ 1
6
3
4
⋅ 1
6
+ 1
4
⋅ 5
6
= 0,375
16. (∗) Alicia ha sido asignada para trabajar en un proyecto. Su manager ha establecido dos fechas para la
entrega de reportes de progreso y una fecha posterior para la entrega del reporte del proyecto conclúıdo.
Sea A1 el evento de que la meta establecida para la fecha del primer reporte sea cumplida, sea A2 el
evento de que la meta establecida para la fecha del segundo reporte sea cumplida y sea A3 el evento de
que el proyecto sea finalizado a término en la fecha establecida. Suponé que
P (A1) = 0,75
y que
P (Aj+1∣Aj) = 0,8 y P (Aj+1∣Acj) = 0,3 para j = 1,2
Suponé también que una vez que sabemos si Alicia está o no al d́ıa con la meta establecida para el
segundo informe, ya no importa que haya o no estado al d́ıa con la meta del primer informe, en el sentido
de que
P (A3∣A1 ∩A2) = P (A3∣A2) y P (A3∣A1 ∩A
c
2) = P (A3∣A
c
2)
y
P (A3∣A
c
1 ∩A2) = P (A3∣A2) y P (A3∣A
c
1 ∩A
c
2) = P (A3∣A
c
2)
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(a) Antes de comenzar el proyecto, ¿cuál es la probabilidad de que Alicia lo finalice en la fecha
establecida?
(b) Alicia acaba de entregar el primer informe y está al d́ıa con la meta establecida. ¿Cuál es ahora la
probabilidad de que Alicia finalice el proyecto en la fecha establecida?
(c) Alicia finalizó el proyecto en la flecha establecida. ¿Cuál es la probabilidad de que haya cumplido
la meta establecida para el primer reporte?
Solution:
(a) Vamos a usar probabilidad total considerando Ω = A2 ∪A2
c:
P (A3) = P (A3 ∣ A2) ⋅ P (A2) + P (A3 ∣ A2
c
) ⋅ P (A2
c
)
= 0,8 ⋅ P (A2) + 0,3 ⋅ P (A2
c
),
ahora para calcular P (A2) nuevamente usaremos probabilidad total considerando Ω = A1∪A1
c:
P (A2) = P (A2 ∣ A1) ⋅ P (A1) + P (A2 ∣ A1
c
) ⋅ P (A1
c
)
= 0,8 ⋅ 0,75 + 0,3 ⋅ (1 − 0,75) = 0,675,
y reemplazando en la probabilidad anterior:
P (A3) = 0,8 ⋅ 0,675 + 0,3 ⋅ (1 − 0,675) = 0,6375
(b) Para realizar este ı́tem vamos a hacer uso de la fórmula deducida en clase que resulta de aplicar
probabilidad total a una probabilidad condicional. Sean A,B y C eventos:
P (A ∣ B) = P (A ∣ B ∩C) ⋅ P (C ∣ B) + P (A ∣ B ∩Cc) ⋅ P (Cc ∣ B).
Entonces considerando Ω = A2 ∪A2
c:
P (A3 ∣ A1) = P (A3 ∣ A2 ∩A1) ⋅ P (A2 ∣ A1) + P (A3 ∣ A
c
2 ∩A1) ⋅ P (A
c
2 ∣ A1)
= P (A3 ∣ A2) ⋅ P (A2 ∣ A1) + P (A3 ∣ A
c
2) ⋅ P (A
c
2 ∣ A1)
= 0,8 ⋅ 0,8 + 0,3 ⋅ (1 − 0,8) = 0,7
(c) Usando la regla de Bayes:
P (A1 ∣ A3) =
P (A3 ∣ A1) ⋅ P (A1)
P (A3)
=
0,7 ⋅ 0,75
0,6375
= 0,8235
Ejercicios adicionales para resolver con R.
17. Para el ejercicio 5, resolver los siguientes incisos:
(a) Realizar 10000 simulaciones del experimento aleatorio y calcular la frecuencia relativa con la que se
elige la caja A entre los casos en los que se obtienen 2 piezas buenas.
(b) Repetir el inciso anterior para las cajas B y C (utilizando las mismas simulaciones que las del inciso
anterior)
(c) Armar un gráfico que muestre, en simultáneo, la evolución de las frecuencias relativas de cada caja
para n entre 1 y 100000 (siendo n la cantidad de simulaciones)
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