introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-79

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EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS ❍ 211
FIGURA 5.10
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FIGURA 5.11
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Ejercicios suplementarios
5.57 Haga una lista de las cinco características del 
experimento binomial.
5.58 ¿Bajo qué condiciones, puede usarse la variable 
aleatoria de Poisson para aproximar las probabilidades 
asociadas con la variable aleatoria binomial? ¿Qué 
aplicaciones tiene la distribución de Poisson que no sea 
estimar ciertas probabilidades binomiales?
5.59 ¿Bajo qué condiciones, usaría usted la distribución 
hipergeométrica de probabilidad para evaluar la 
probabilidad de x éxitos en n intentos?
5.60 Tiro de una moneda Una moneda justa se 
lanza al aire tres veces. Sea x igual al número de caras 
observado.
a. Use la fórmula para la distribución binomial de 
probabilidad para calcular las probabilidades 
asociadas con x � 0, 1, 2 y 3.
b. Construya la distribución de probabilidad.
c. Encuentre la media y desviación estándar de x, usando 
estas fórmulas: 
 m � np
 s � �
____
 npq 
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212 ❍ CAPÍTULO 5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ÚTILES
d. Usando la distribución de probabilidad del inciso b), 
encuentre la fracción de las mediciones de población 
que estén a no más de una desviación estándar de 
la media. Repita para dos desviaciones estándar. 
¿Cómo concuerdan los resultados con el teorema de 
Chebyshev y la Regla empírica?
5.61 Monedas, continúa Consulte el ejercicio 5.60. 
Suponga que la moneda está en verdad “cargada” 
y la probabilidad de que salga una “cara” es igual a 
p � .1. Siga las instrucciones de los incisos a), b), c) 
y d). Observe que la distribución de probabilidad pierde 
su simetría y se hace sesgada cuando p no es igual a 1/2. 
5.62 Porcentajes para sobrevivir al cáncer El 
porcentaje de sobrevivencia de 10 años al cáncer en la 
vejiga es alrededor del 50%. Si 20 personas que tienen 
cáncer en la vejiga reciben tratamiento adecuado para esa 
enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que
a. al menos 1 sobrevivirá los 10 años?
b. al menos 10 sobrevivirán los 10 años?
c. al menos 15 sobrevivirán los 10 años?
5.63 Recolección de basura El comisionado de un 
municipio dice que 80% de la población de la ciudad está 
a favor de que la recolección de basura sea por contrato a 
una empresa privada (en contraste a la recolección por 
empleados del municipio). Para verifi car la teoría de que 
la proporción de personas en la ciudad a favor de la 
recolección privada es .8, usted muestrea al azar 25 
personas y encuentra que x, el número de personas que 
apoyan lo dicho por el comisionado, es 22.
a. ¿Cuál es la probabilidad de observar al menos 22 que 
apoyen lo dicho por el comisionado si, en efecto, 
p � .8?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea exactamente 
igual a 22?
c. Con base en los resultados del inciso a), ¿qué 
concluiría usted acerca de lo dicho que 80% de todas 
las personas de la ciudad está a favor de la recolección 
privada? Explique.
5.64 Enteros Si a una persona se le da a escoger un 
entero de 0 a 9, ¿es más probable que él o ella escoja 
un entero cercano a la mitad de la sucesión que uno 
de un extremo u otro?
a. Si es igualmente probable que los enteros sean 
escogidos, encuentre la distribución de probabilidad 
para x, el número escogido.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escoja un 
4, 5 o 6?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona no escoja 
un 4, 5 o 6?
5.65 Enteros II Consulte el ejercicio 5.64. A 20 
personas se les pide seleccionar un número de 0 a 9. 
Ocho de ellas escogen un 4, 5 o 6.
a. Si la selección de cualquier número es tan probable 
como cualquier otra, ¿cuál es la probabilidad de 
observar ocho o más selecciones de los números 4, 
5 o 6?
b. ¿Qué conclusiones se sacarían de los resultados del 
inciso a)?
5.66 Seguridad en el trabajo Un artículo de USA 
Today informa que entre personas de 35 a 65 años 
de edad, casi dos terceras partes dicen que no están 
preocupados por ser forzados a jubilarse.7 Suponga que al 
azar seleccionamos n � 15 personas que de esta categoría 
de edades y aproximamos el valor de p como p � .7. Sea 
x el número que dicen que no están preocupados por ser 
forzados a jubilarse.
a. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para x?
b. ¿Cuál es P(x � 8)?
c. Encuentre la probabilidad de que x exceda de 8.
d. ¿Cuál es el valor máximo de c para el cual 
P(x � c) � .10?
5.67 Revistas para adolescentes Aun cuando 
las revistas para adolescentes Teen People, Hachette 
Filipacche y Elle Girl dejaron de funcionar en 2006, 
70% de las personas en una encuesta por teléfono dijeron 
que los adolescentes todavía son un mercado viable 
para ellas, pero no desean títulos que les digan que son 
adolescentes.8 Leen revistas más refi nadas. Se selecciona 
una muestra al azar de n � 400.
a. ¿Cuál es el número promedio en la muestra que dijo 
que los adolescentes son todavía un mercado viable 
para las revistas?
b. ¿Cuál es la desviación estándar de este número?
c. ¿Dentro de qué margen esperaría usted hallar el 
número de la muestra que dijeron que hay un mercado 
viable de revistas para adolescentes?
d. Si sólo 225 en una muestra de 400 personas dijeron 
que los adolescentes aún son un mercado viable para 
las revistas, ¿consideraría esto poco común? Explique. 
¿Qué conclusiones se pueden sacar de la información 
de esta muestra?
5.68 Registrándose Esperamos el momento 
cuando lo dejamos todo y nos damos unas vacaciones. 
No obstante, menos estadounidenses realmente ponen 
distancia al irse cuando están de vacaciones. Entre 
propietarios de pequeños negocios, más de la mitad 
(51%) dicen que se reportan a su ofi cina al menos 
una vez al día cuando están de vacaciones; sólo 27% 
dicen que cortan la comunicación por completo.9 Si se 
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EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS ❍ 213
seleccionan al azar 20 propietarios de pequeños negocios 
y suponemos que exactamente la mitad se reportan a 
su ofi cina al menos una vez al día, entonces n � 20 y 
p � .5. Encuentre las siguientes probabilidades.
a. Exactamente 16 dicen que se reportan a su ofi cina al 
menos una vez al día cuando están de vacaciones.
b. Entre 15 y 18 (inclusive) dicen que se reportan a 
su ofi cina al menos una vez al día cuando están de 
vacaciones.
c. Cinco o menos dicen que se reportan a su ofi cina al 
menos una vez al día cuando están de vacaciones. 
¿Sería esto un acontecimiento poco probable?
5.69 Problemas psicosomáticos Una psiquiatra 
dice que 80% de todas las personas que van a consulta 
tienen problemas de naturaleza psicosomática. Ella 
decide seleccionar 25 pacientes al azar para probar su 
teoría.
a. Suponiendo que la teoría de la psiquiatra es verdadera, 
¿cuál es el valor esperado de x, el número de los 25 
pacientes que tienen problemas psicosomáticos?
b. ¿Cuál es la varianza de x, suponiendo que la teoría es 
verdadera?
c. Encuentre P(x � 14). (Use tablas y suponga que la 
teoría es verdadera.)
d. Con base en la probabilidad del inciso c), si sólo 14 de 
los 25 muestreados tenía problemas psicosomáticos, 
¿a qué conclusiones se llegaría acerca de la teoría de 
la psiquiatra? Explique.
5.70 Colegiaturas de estudiantes Una dirección 
estudiantil dice que 80% de todos los estudiantes están 
a favor de un aumento en las colegiaturas para subsidiar 
una nueva área de recreación. Una muestra aleatoria 
de n � 25 estudiantes produjo 15 a favor de aumentar 
colegiaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que 15 o menos 
de la muestra estén a favor del tema si la dirección está 
en lo correcto? ¿Los datos apoyan la aseveración de la 
dirección estudiantil, o parece que el porcentaje que está 
a favor de un aumento en colegiaturas es menos del 80%?
5.71 Canas en el plantel ¡Los planteles 
universitarios están envejeciendo! De acuerdo a un 
artículo reciente, unode cada cuatro estudiantes tiene 
30 años de edad o más. Muchos de estos estudiantes 
son mujeres que actualizan sus conocimientos para el 
trabajo. Suponga que la cifra de 25% es precisa, que su 
universidad es representativa de universidades en general, 
y que se muestran n � 200 estudiantes, registrándose x, 
el número de estudiantes de 30 años de edad o más.
a. ¿Cuáles son la media y desviación estándar de x?
b. Si hay 35 estudiantes en su muestra que tengan 30 
años de edad o más, ¿estaría usted dispuesto a suponer 
que la cifra de 25% es representativa de su plantel? 
Explique.
5.72 Probabilidad de lluvia Casi todos los que 
pronostican el clima se protegen muy bien cuando 
agregan probabilidades a sus pronósticos, diciendo por 
ejemplo “La probabilidad de lluvia para hoy 
es 40%”. Entonces, si un pronóstico en particular es 
incorrecto, se espera atribuir el error al comportamiento 
aleatorio del clima más que a la imprecisión de quien 
hace el pronóstico. Para comprobar la precisión de un 
meteorólogo particular, se verifi caron registros sólo para 
aquellos días cuando el meteorólogo predijo lluvia “con 
30% de probabilidad”. Una verifi cación de 25 de esos 
días indicó que llovió en 10 de los 25.
a. Si el meteorólogo es preciso, ¿cuál es el valor 
apropiado de p, la probabilidad de lluvia en uno de 
los 25 días?
b. ¿Cuáles son la media y desviación estándar de x, el 
número de días en los que llovió, suponiendo que 
el meteorólogo es preciso?
c. Calcule el puntaje z para el valor observado, 
x � 10. [SUGERENCIA: Recuerde de la sección 2.6 
que el puntaje z es � (x � m)/s.]
d. ¿Estos datos están en desacuerdo con el pronóstico de 
un “30% de probabilidad de lluvia”? Explique.
5.73 ¿Qué hay para desayunar? Se lleva a cabo un 
experimento de empaque al colocar, uno junto a los otros, 
dos diseños diferentes de paquete para desayuno en un 
estante de supermercado. El objetivo del experimento es 
ver si los compradores indican una preferencia por uno 
de los dos diseños del paquete. En un día determinado, 
25 clientes compraron un paquete del supermercado. 
Sea x igual al número de compradores que escogieron el 
segundo diseño de paquete.
a. Si no hay preferencia por alguno de los dos diseños, 
¿cuál es el valor de p, la probabilidad de que un 
comprador escoja el segundo diseño de paquete?
b. Si no hay preferencia, use los resultados del inciso a) 
para calcular la media y desviación estándar de x.
c. Si 5 de los 25 clientes escogieron el diseño del 
primer paquete y 20 escogieron el segundo diseño, 
¿qué concluiría usted acerca de la preferencia de los 
compradores por el segundo diseño de paquete?
5.74 Densidad de la planta Un modelo para 
competencia de plantas supone que hay una zona 
de agotamiento de recursos alrededor de la semilla de 
cada planta. Dependiendo del tamaño de las zonas y la 
densidad de las plantas, las zonas de agotamiento de 
recursos pueden traslaparse con las de otras semillas de la 
cercanía. Cuando las semillas se dispersan al azar en una 
superfi cie amplia, el número de vecinas que una semilla 
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