Ejercicio37_TP2

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SO
a
37. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y
la demanda de un determinado artículo. Los resultados obtenidos fueron los
siguientes:
La oferta quedó caracterizada por la función p(q) = 1/30 q2 + 24 en la que q representa
las unidades del artículo y p el precio por unidad.
La demanda tiene un comportamiento lineal, siendo la máxima demanda de 120
unidades, y por cada aumento en 10 unidades el precio disminuye en $6
Se pide:
a. Hallar la función que caracteriza la demanda.
b. Representar gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema de
ejes.
c. Hallar analíticamente el punto de equilibrio. (Recordar que el punto de equilibrio es el
precio para el cual coinciden la cantidad de productos ofrecidos y demandados).
d. Hallar la expresión analítica de la función ingreso considerando la demanda.
e. Hallar el máximo ingreso.
ctico 2. Funciones – Ejercicio 37 1
LUCIÓN Y COMENTARIOS:
. Hallar la función que caracteriza la demanda.
Sabemos que al subir el precio, disminuye la cantidad demandada de unidades, la gráfica de la
demanda decrece, y en las 120 unidades (demanda máxima) estará la intersección con el eje de
abscisas, la gráfica pasa por el punto (120; 0),
Además,
 Como la demanda tiene un comportamiento lineal, su ecuación es de la forma:
D(q)=mq+b,
siendo b = D(0) la ordenada al origen que aún desconocemos y vamos a calcular.
 Como la recta decrece, entonces tendrá una pendiente negativa.
Para hallar la pendiente
consideramos que, por cada
aumento de 10 unidades, el
precio disminuye en $6.
Podemos hallar un punto a la
izquierda de (120; 0):
disminuimos 10 unidades
la abscisa (120-10) y
aumentamos 6 unidades
en la ordenada (0 + 6).
Nos queda (110; 6).
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Práctico 2. Funciones – Ejercicio 37 2
Tenemos ahora dos puntos que pertenecen a la función demanda: (120; 0) y (110; 6).
Con ellos encontramos la ecuación de D, siendo D(q)=mq+b.
D(120) = 0  m. 120 + b = 0  b = – 120m
D(110) = 6  m. 110 + b = 6  b = 6 – 110m
Luego es:
– 120m = 6 – 110m  – 120m + 110m = 6
 -10m = 6 
10
6
-m 
Reemplazamos el valor de m hallado en b = -120 m.
72b
10
6-120-b 





Así, la ecuación de la demanda es: 72q
10
6)q(D 
b. Representar gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema de ejes.
 La función oferta, 24q
30
1)q(p 2  , cuyo dominio son los números reales mayores o iguales
que cero (Domp = 0), se representa por medio de una rama de parábola, cuya ordenada al
origen es 24.
 La función demanda, 72q
10
6)q(D  , cuyo dominio es DomD = [0; 120] mediante una
recta cuya ordenada al origen es 72 y que interseca al eje x en 120.
c. Hallar analíticamente el punto de equilibrio. (Recordar que el punto de equilibrio es el
precio para el cual coinciden la cantidad de productos ofrecidos y demandados).
Para hallar el punto de equilibrio igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación
resultante:
048q
10
6q
30
1
072q
10
624q
30
172q
10
6-24q
30
1
2
22


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Práctico 2. Funciones – Ejercicio 37 3
Usamos la fórmula resolvente para una ecuación de segundo grado, teniendo en cuenta que:
48-c;
10
6
b;
30
1
a 
30
1.2
)48(
30
14
10
6
10
6
q
2
2;1











 con lo cual es q1 = 30 y q2 = -48.
Como q se refiere a cantidad de unidades debe ser un número natural por lo que sólo aceptamos
la solución positiva.
Luego para que la demanda iguale a la oferta, deben ofrecerse 30 unidades.
Reemplazamos en cualquiera de las funciones el valor hallado para obtener la ordenada del
punto de equilibrio:
547230.
10
6)30(D 
Por lo tanto, el punto de equilibrio es P = (30; 54).
d. Hallar la expresión analítica de la función ingreso considerando la demanda.
La función ingreso está dada por: I = D · q
Y que la función demanda es 72q
10
6)q(D 
Reemplazamos D en ingreso I = q72q
10
6 




 
I = q72q
10
6 2 
Calculamos el valor de la función en el vértice de la parábola asociada:
60x
12
720
x
10
12
72
10
6
.2
72
a.2
b
x vvv 










Reemplazamos el valor hallado en la función Ingreso para hallar la ordenada del vértice:
I(60) = 6072)60(
10
6 2   I(60) = 2160
El vértice está en el punto V = (60; 2160).
Entonces cuando la demanda es de 60 unidades el ingreso es máximo e igual a $2160.