Resolución-Tema-01

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Resolución Parcial 2 - Tema 1
1) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica, y simétrica de la recta que une los puntos P (2,−1,3) y Q(0,1,2)
El vector director es
# »
PQ = (−2,2,−1)
Ecuación Vectorial: r ∶ (2,−1,3) + α(−2,2,−1), α ∈ R
Ecuación Paramétrica: r ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 − 2α
y = −1 + 2α
z = 3 − α
α ∈ R
Ecuación Simétrica:
x − 2
−2
=
y + 1
2
=
z − 3
−1
2) Estudiar la posición relativas de las siguientes rectas (en caso de que sean secantes, dar las coordenadas
del punto donde se cortan): r ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 + µ
y = 1 − µ
z = 4
µ ∈ R ; s ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = β
y = β
z = 3 + β
β ∈ R
Analizando los vectores directores
#»
d1 = (1,−1,0) y
#»
d2 = (1,1,1) vemos que no son paralelos, las rectas pueden
cortarse o cruzarse. Igualamos las ecuaciones paramétricas y obtenemos el sistema
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 + µ = β
1 − µ = β
4 = 3 + β
. Resolviendo
éste por cualquier método vemos que el sistema no tiene solución. Por lo tanto, las rectas dadas son
alabeadas.
3) Analizar la posición relativa entre los siguientes planos (en caso de que sean secantes, dar la ecuación de la
recta donde se intersecan):
π1 ∶ x + 2y − 3z = −4 y π2 ∶ 2x + y − 3z = 4
Consideremos los vectores normales de cada plano #»n1 = (1,2,−3) y
#»n2 = (2,1,−3). Claramente no son paralelos,
por lo tanto los planos serán secantes. Buscaremos la recta de intersección entre ellos (usaremos el método
de Gauss, puede hacerse por cualquier otro método). La matriz ampliada correspondiente es
⎛
⎝
1 2 −3 −4
2 1 −3 4
⎞
⎠
→
⎛
⎝
1 2 −3 −4
0 −3 3 12
⎞
⎠
Al despejar y hacer sustitución hacia atrás obtenemos que la recta de intersección es
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 4 + α
y = −4 + α
z = α
α ∈ R
1
4)
a) Utilizar el método de Gauss para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
3x + 4y − z = 8
6x + 8y − 2z = 3
La matriz ampliada correspondiente al sistema dado es
⎛
⎝
3 4 −1 8
6 8 −2 3
⎞
⎠
Aplicamos el método de Gauss:
⎛
⎝
3 4 −1 8
6 8 −2 3
⎞
⎠
− 2F1 + F2 → F2
⎛
⎝
3 4 −1 8
0 0 0 −13
⎞
⎠
Lo obtenido indica que el sistema no tiene solución.
b) Clasificarlo en compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
Este sistema es incompatible.
c) Dar una interpretación geométrica del sistema y la solución hallada.
Geométricamente son dos planos paralelos no coincidentes.
Verdadero o Falso. Justifique adecuadamente.
a) La recta
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 + µ
y = 1 − µ
z = 4 + 2µ
µ ∈ R es perpendicular al plano x − y + 2z = 4
VERDADERO. El director de la recta
#»
d = (1,−1,2) y el normal del plano #»n = (1,−1,2) son paralelos
(por tratarse del mismo vector)
b) El punto P (−1,2,1) pertenece al plano −x + 2y + z = 4
FALSO. Si reemplazamos x = −1, y = 2, z = 1 en la ecuación del plano, vemos que no se satisface la
igualdad.
c) Dos vectores serán perpendiculares si el producto cruz entre ellos es cero.
FALSO. Para que sean perpendiculares, el producto punto entre ellos debe ser cero.
d) Si una recta está contenida en un plano, el normal del plano y el director de la recta son perpendiculares.
VERDADERO. El normal del plano es perpendicular a cualquier vector en él, en particular al vector
director de cualquier recta contenida en él.
e) Dos planos que se intersecan en una recta se pueden representar mediante un sistema de ecuaciones
Compatible Determinado.
FALSO. La situación planteada se representa con un sistema compatible indeterminado.
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