FUNCIONES-I

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FUNCIONES (I)
UNIVERSIDAD NACIONAL D
E LOS 
COMECHINGONES
LICENCIATURA EN CIENCIAS 
DE LA 
ATMÓSFERA Y METEOROLOG
ÍA APLICADA 
Espacio Curricular
CÁLCULO I
Profesora Responsable:
 Lic. Nélida H. Pérez
Profesor Colaborador: I
ng. Bernardo Firpo
INTRODUCCIÓN
Los objetos fundamentales con los que trabaja el Cálculo son las funciones. 
El capítulo 1 tiene por objetivo recordar ideas básicas sobre las gráficas de funciones 
y la manera de transformarlas y combinarlas. 
Veremos los principales tipos de funciones que aparecen en el Cálculo y 
describiremos cómo se utilizan estas funciones para modelar matemáticamente 
fenómenos del mundo real. 
También utilizaremos y analizaremos el uso de programas para graficar funciones.
§ ¿Qué es una Función?
§ Diferentes representaciones.
§ Modelizar situaciones usando funciones.
§ Modelos lineales.
§ Modelos cuadráticos.
§ Funciones por secciones o por trozos.
§ Función valor absoluto.
Pa
rte
 1
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
• Una relación entre dos variables, generalmente designadas por x e 
y, se llamará función siempre que se pueda encontrar una ley que 
asigne a cada valor de x un único valor de y.
• La variable x recibe el nombre de variable independiente y la 
variable y, de variable dependiente.
• En este caso decimos que y es función de x.
¿CÓMO PODEMOS REPRESENTAR UNA FUNCIÓN?
• Mediante una gráfica: Para la representación gráfica de una función utilizamos un 
sistema de ejes cartesianos ortogonales. Sobre el eje de las abscisas (eje x o eje 
horizontal) se representa la variable independiente. Sobre el eje de las ordenadas (eje y 
o eje vertical) se representa la variable dependiente.
• Mediante un enunciado: Expresamos con palabras la relación entre las variables y los 
datos que tenemos.
• Mediante una tabla: Plasmamos en una tabla los datos que tenemos de cada variable 
estudiada.
• Mediante una fórmula: Usamos una expresión algebraica para describir la relación 
entre las variables. 
ESTAS REPRESENTACIONES NO SON INDEPENDIENTES UNA DE OTRA. 
APRENDEREMOS A INTERPRETARLAS Y PASAR DE UNA OTRA CUANDO SEA 
CONVENIENTE O NECESARIO
ENUNCIADO
BFUNCIÓN
BFÓRMULABGRÁFICA
BTABLA
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Veamos algunos ejemplos…
§ ¿Qué día fue el más caluroso del mes de marzo?
§ ¿Qué día hubo menor amplitud térmica?
§ ¿En qué días la temperatura mínima no superó los 17°?
§ ¿En qué días la temperatura máxima fue mayor a 35°?
§ Piensa otras preguntas que puedas responder con el gráfico
u otros datos que se puedan obtener de él.
En el caso del ejemplo anterior, tenemos una función con dominio discreto, es el 
conjunto de los números naturales comprendidos entre 1 y 31. Al graficarla, no 
corresponde unir los puntos del gráfico, ya que la función no está definida para valores 
entre números naturales, pero es usual hacerlo a fin de mostrar la tendencia de los datos 
como una curva y facilitar su interpretación.
Obt
ene
rmo
s 
info
rma
ció
n a
 pa
rtir
 
de 
la l
ect
ura
 de
l 
grá
fico
A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES, 
UNA GRÁFICA EN EL PLANO
Altitud
(m)
Temperatura
de ebullición
del agua
(ºC)
Tiempo de 
cocción
(minutos)
Nivel del mar 100 1
1525 95 1,9
3050 90 3,8
4575 85 7,2
7000 80 13,0
Se sabe que el agua hierve a diferentes temperaturas según la altitud; la 
gente que vive en regiones altas o en la montaña sabe además que la 
comida tarda más en cocinarse. 
La siguiente tabla de datos experimentales muestra que al aumentar la 
altitud decrece la temperatura de ebullición del agua y aumenta el 
tiempo de cocción de los alimentos.
Para visualizar cómo 
varía la temperatura de 
ebullición del agua, 
conviene representar 
los datos en un gráfico 
cartesiano.
Podemos entonces 
estimar para altitudes 
intermedias.
Nos preguntamos
• A medida que aumenta la altitud, ¿que sucede con 
la temperatura de ebullición del agua?
• A medida que aumenta la altitud, ¿que sucede 
con el tiempo de cocción de los alimentos?
rep
res
en
tam
os
 los
 
da
tos
 en
 un
 
grá
fico
 ca
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sia
no
 
y lu
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os 
los
 
pu
nto
s c
on
 
po
rcio
ne
s d
e 
rec
ta.
Evolución de la temperatura de ebullición del agua a 
medida que aumenta la altitud
Evolución del tiempo de cocción a 
medida que aumenta la altitud
Ahora, a partir de una gráfica, analizaremos la situación que describe….
¿Cuántos km recorre en total?
¿Cuánto tiempo dura el viaje?
¿Cuánto tiempo el transporte permanece 
detenido?
¿En qué tramos desarrolla mayor 
velocidad? ¿Al inicio? ¿ o la final del 
recorrido?
La gráfica muestra los kilómetros recorridos por un 
transporte de pasajeros desde que sale de la 
terminal. En el eje horizontal se mide el tiempo en 
horas, y en vertical el espacio recorrido en 
kilómetros.
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MODE
LIZAC
IÓN
• La formulación matemática de una situación 
donde se observa una relación funcional entre 
variables suele denominarse modelización.
• Utilizaremos la matemática para describir o 
solucionar situaciones concretas.
• Si es posible, hacer un gráfico o esquema que represente la situación.
• Identificar las variables (independientes y dependientes) que intervienen y definir 
una notación para ellas.
• Buscar una fórmula que las relacione, en base a lo que pida la consigna.
• Analizar qué valores puede tomar la variable independiente (dominio).
• Poner a prueba la fórmula hallada con algunos valores concretos.
• Resolver las ecuaciones necesarias para dar respuesta a lo pedido.
• Analizar la coherencia de lo obtenido dentro del contexto de la situación dada.
Algunas sugerencias para modelizar una situación….
Diseño de un depósito de agua
Se dispone de una pieza de metal cuadrada, de 2 metros de lado. Debe 
convertirse en un depósito de agua, sin tapa superior, cortando cuadrados en 
sus cuatro esquinas y levantando los rectángulos resultantes a fin de obtener un 
prisma recto o paralelepípedo para el bebedero.
- Determinar una fórmula que exprese el volumen del bebedero, en función de la 
longitud de los cuadrados de las esquinas, que hemos cortado.
- Estimar cuánto debe medir de lado el cuadradito que quitamos para que el 
bebedero tenga la máxima capacidad. Y ¿cuál es esa capacidad?
Como primer paso me 
imagino el material que 
dispongo y cuál es la 
forma del depósito
Diseño de un depósito
Tenemos como dato que la placa mide 2x2.
Designo con el nombre x al lado del cuadrado que debo cortar en las esquinas de la placa. 
Si recortamos x en cada esquina quedará para formar la base del depósito 2-2x. 
El problema es determinar la expresión algebraica de la función Volumen en función de x. 
Para este caso, el volumen es el área de la base por la altura, la fórmula es: V(x)=(2-2x)(2-2x)x.
¿En qué intervalo puede variar x?. (Buscar el dominio de la variable para este problema).
2 m 2-2x
2-2
x
x
Volumen: V(x)=(2-2x)(2-2x)x 0 < x <1
VOLUMEN MÁXIMO
¿Cuánto será conveniente cortar en las esquinas para obtener un 
volumen mayor?
Completar la siguiente tabla puede ayudar a contestar la pregunta de 
volumen máximo, estimando con algunos valores posibles de la variable x.
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
V(x) 
en m3 0 0,324 0,512 0,588 0,576 0,5 0,384 0,252 0,128 0,036 0
!(#
) =
#(2
−2
#)
(
• También podemos utilizar algún 
software para graficar la función 
obtenida y así precisar mejor el 
máximo volumen posible y las 
dimensiones del cuadradito a cortar 
para alcanzar el mismo.
• El gráfico de la función 
V(x) se realizó con el 
programa Geogebra. 
Observar que la porción azul 
es la parte de la función que 
interesa para nuestro 
problema
VOLUMEN MÁXIMO MODELIZACIÓN MEDIANTE UNA 
FUNCIÓN LINEAL
•En numerosas situaciones la relación funcional entre dos variables es 
de tal forma que la variación de la variable dependiente es 
proporcional a la variación de la variable independiente. Cuando esto 
ocurre, la función que sirve para modelar la situación es una función 
lineal. 
•Para recordar: Una función lineal tiene la forma !(#) = &# +(, donde 
m es la pendiente(que indica el aumento o disminución de la variable 
dependiente a medida que la independiente avanza una unidad) y b es 
la ordenada al origen (valor de la función cuando x=0, corte con eje y 
en el gráfico)
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•Pendiente de una recta que pasa por dos puntos.
•Determinar la ecuación de una recta dados un punto y su 
pendiente.
•Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos que 
pertenecen a ella.
•Representación gráfica de rectas: Dada la ecuación hacer la 
representación y dada la gráfica determinar la ecuación.
•Rectas paralelas y perpendiculares
supondremos que se manejan los 
siguientes temas con fluidez RECTAS
En la recta y = 3x+ 2, la 
pendiente es 3, los valores de y
varían 3 unidades hacia arriba 
por cada unidad que 
aumenta la variable x.
En la recta y = −3x+ 2, los 
valores de y varían 3 unidades 
hacia abajo por cada unidad 
que aumenta x.
En ambos casos se aprecia la 
variación constante.
Recordamos….
Represa con pérdida de aguaUna represa tiene inicialmente 
1150 millones de litros de agua. La 
misma pierde agua de manera 
uniforme. Se han registrado los 
siguientes datos, donde se muestra 
la cantidad de agua que queda en 
la represa con el paso de los días: 
c) Encontrar una fórmula para calcular la cantidad de agua que queda con el paso de los días.
d) Si continúa la misma pérdida, en cuántos días se quedará vacía la represa?
e) Dentro de cuántos días quedará en la represa 150 millones de litros de agua?
b) Por los datos dados…¿qué comportamiento tendrá la función que las relaciona?
f) ¿Qué valores podrá tomar la variable independiente?
a) ¿Cuáles son las variables que intervienen? ¿Dependiente? ¿Independiente? Le ponemos nombre.
Solución:
a) ¿Cuáles son las variables que intervienen? ¿Dependiente? ¿Independiente? Le ponemos nombre.
Variable independiente: el tiempo, en días. Le llamaremos x.
Variable dependiente: la capacidad de la reserva en millones de litros de agua. Le llamaremos y.
b) Por los datos dados…¿qué comportamiento tendrá la función que las relaciona?
Como tenemos una cantidad inicial de agua en la represa y ésta tiene una pérdida, la función que 
hallemos debería tener un comportamiento decreciente.
c) Encontrar una fórmula para calcular la cantidad de agua que queda con el paso de los días.
Como la pérdida de agua es uniforme, utilizaremos una función lineal para describir la situación. De 
la tabla sabemos que dicha función pasará por los puntos (1,1130) y (2,1110). La función lineal que 
expresa la cantidad C(x) de agua en x días es entonces: 
Observemos que la pendiente de la 
función es negativa, lo cual confirma lo 
respondido en el ítem b)! = # $ = −20$ +1150
d) Si continúa la misma pérdida, en cuántos días se quedará vacía la represa?
Quedará vacía cuando la cantidad de agua en ella sea cero, es decir, C(x)=0
e) Dentro de cuántos días quedará en la represa 150 millones de litros de 
agua?
Para responder debemos resolver la ecuación C(x)=150 y despejar x
f) ¿Qué valores podrá tomar la variable independiente?
La variable independiente es el tiempo. El mismo varía desde 0, donde comienza la pérdida, hasta 57,5 que es cuando 
queda vacía la represa. Por lo tanto, si bien el dominio de una función lineal son todos los números reales, en este 
contexto el dominio será todos los números reales entre 0 y 57,5
La siguiente gráfica muestra la función determinada 
con los cálculoa anteriores
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CARACTERÍSTICAS DEL MODELO LINEAL:
Cuando se trata de elaborar una función (modelo) que 
represente una situación dada, esta será lineal cuando 
los cambios que se producen en una variable son 
constantes al incrementar la otra variable en pasos fijos.
OTRO EJEMPLO
Jorge es buen vendedor trabaja en un empresa de seguros. 
Cobra 50.000 pesos de sueldo fijo más 8% de las ventas que 
realiza en el mes.
Su jefe quiere premiarlo y le propone un aumento, pero el sueldo 
fijo será de 45.000 y cobraría un adicional del 15% de las ventas 
del mes.
Jorge está indignado, le parece una burla la propuesta, iniciar 
con un sueldo fijo menor al que tiene.
Analizar la información 
disponible para saber si 
realmente le conviene la 
nueva propuesta al 
vendedor o no.
IDEAS PARA HACER EL ANÁLISIS
ventas 
mensual
es en $
sueldo 
actual 
en $
nueva 
propuesta
10000 50800 46500
20000 51600 48000
40000 53200 51000
50000 54000 52500
20000 51600 48000
40000 53200 51000
50000 54000 52500
60000 54800 54000
70000 55600 55500
80000 56400 57000
100000 58000 60000
¿qué función puedo emplear para describir 
el sueldo actual?
Harcer una TABLA 
para comparar USAR FUNCIONES y 
MODELIZAR LA SITUACIÓN 
PLANTEADA
¿qué función puedo emplear para describir 
la nueva propuesta de sueldo?
IDEAS PARA HACER EL ANÁLISIS
Función que describe el sueldo actual:
! = 0,08 & +50000
Función que describe la nueva propuesta 
de sueldo
! = 0,15 & +45000
& = cantidad en pesos de ventas realizadas
USO DE FUNCIONES PARA 
MODELIZAR EL PROBLEMA
GRÁ
FICA
MEN
TE
Observar: el punto 
es la intersección de 
las dos ecuaciones 
lineales.
En ese punto ambas 
propuestas son 
equivalentes.
A partir de 71428,57 
de pesos de venta 
por mes, le 
conviene la nueva 
propuesta.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
• Toda función cuya expresión es 
! " = $"% + '" + (, $ ≠ 0,
(,- $, ' . ( -ú012,3 21$413,
se denomina función cuadrática. 
(Conocida de curso anteriores)
q Su gráfica es una parábola. 
q El coeficiente principal “a” indica si las ramas van 
hacia arriba o hacia abajo. El término independiente 
“c” indica el corte con el eje y.
q Las raíces de una ecuación cuadrática indican los 
cortes de la parábola con el eje x, si los hay. 
q El vértice de la parábola indica el punto máximo o 
mínimo de la misma, según corresponda.
Recordar
MODELO 
CUADRÁTICO
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MODELIZACIÓN MEDIANTE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo: Sin considerar la resistencia del aire, la posición de un objeto que cae admite el 
modelo cuadrático: 
donde g denota la aceleración de la gravedad, !" la velocidad inicial y #" la altura inicial. 
(En la Tierra la constante g vale aproximadamente −9,8(/#*)
.
Un granjero tiene 10000 metros de alambre tejido 
para cercar un terreno rectangular, y además 
hacerle una división en su interior, paralela a uno 
de sus lados. 
a) Hallar una fórmula que permita conocer el 
área a cercar en función de una de las 
dimensiones del terreno.
b) Determinar cuál es el mayor área que puede 
encerrar.
Esquema del terreno a cercar
Damos nombre a las longitudes de los lados:
x
y
Ideas para llegar a la Solución:
DETERMIN
AR LA FUN
CIÓN QUE 
MODELA L
A SITUACI
ÓN
Expresamos los 10000 metros de alambre en función de las variables elegidas 10000= 3x+2y
¿cuál es la función área? ANALIZAR LA FUNCIÓN OBTENIDA PARA RESPONDER b)
Un granjero tiene 10000 metros de alambre tejido para cercar un terreno 
rectangular, y además hacerle una división en su interior, paralela a uno de sus 
lados. 
a) Hallar una fórmula que permita conocer el área a cercar en función de una de 
las dimensiones del terreno.
b) Determinar cuál es el mayor área que puede encerrar.
x
y
MODELO C
UADRÁTIC
O
Solución
 del ejem
plo
1. Expresamos los 10000 metros de alambre en función de las variables elegidas 
10000 = 3% + 2(,
2. ¿cuál es la función área? Área del rectángulo = x.y
Esta fórmula tiene dos variables, para que quede solamente despejamos de la 
fórmula 1 una de las variables.
3. Despejamos la variable y. ( = *++++,-./
4. Ahora estamos en condiciones de contestar la parte a) del problema
0 % = % *++++,-./ = 5000% − (3/2) %
/= 5000 − 1,5x x
PARA RESPONDER b) ANALIZAR LA FUNCIÓN OBTENIDA.
Observando la fórmula sabemos que se trata de una parábola; además el coeficiente de x2 es negativo, 
por lo tanto las ramas se abren hacia abajo. El vértice será el punto máximo.
La coordenada x del vértice, es el punto medio entre las dos raíces, es decir 1666,66. COMPROBAR
b) Determinar cuál es el mayor área que 
puede encerrar.
A(1666.67)=((5000 – 1.5(1666.67))(1666.67)=
4166 666.66 metros cuadrados.Reduciendo a Km2 ,
RESPUESTA: b) 
La mayor área que se puede encerrar es 
aproximadamente 416 Km2 
La curva fue trazada usando geogebra.
Se ajustó los ejes para hacer visible la 
parábola; el eje x entre -10 y 4000. El eje y 
entre -10 y 5000000.
A(x)= 5000 − 1,5+ +
Queda como tarea dar las dimensiones 
del terrero de mayor superficie, con las 
características iniciales, y validar los 
resultados.
RESISTENCIA DE UNA VIGA (ajuste con polinomio de segundo grado)
Los estudiantes de un laboratorio midieron la fuerza de ruptura S (en libras) de una 
pieza de madera de 2 pulgadas de espesor, con x de altura y 12 de longitud. Los 
resultados quedan registrados en la siguiente tabla:
•Ajustar los datos a un modelo cuadrático. 
•Estimar la fuerza de ruptura cuando x=2.
x 4 6 8 10 12
S 2370 5460 10310 16250 23860
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FUNCIONES POR TROZOS O SECCIONES
Hay situaciones que pueden ser 
representadas mediante 
funciones definidas por pedazos, 
secciones o trozos.
En estos casos, la regla de 
correspondencia no es una 
fórmula única, se indica la 
fórmula que se empleará según 
cada porción del dominio.
Ejemplo:
FUNCIONES POR TROZOS O SECCIONES
Ejemplo:
g(x)=!"# − 1 &' " ≤ 12" &' " > 1
Ejemplo:
Dar el conjunto DOMINIO y el 
conjunto IMAGEN de la función 
y=g(x) . GRAFICAR
Función definida por 
pedazos, donde una 
sección es cuadrática y la 
otra lineal
Dar el conjunto DOMINIO y el 
conjunto IMAGEN y graficar
|x|=! " #$ " ≥ 0−" #$ " < 0
FUNCION VALOR ABSOLUTO
f(x)= |3x-1|= ! 3" −1 #$ 3" −1 ≥ 0⟷" ≥ 1/3− 3" −1 = −3" +1 #$ 3" −1 < 0
v Aplicar valor absoluto a la fórmula de una 
función y=f(x) tiene un efecto particular 
desde el punto de vista gráfico, “toda la 
parte de la gráfica de f que está por 
debajo del eje x, cuando 
consideramos ! = |$(&)| queda 
por encima del eje x”. 
DEFINICIÓ/ |2x+1|=0 2& + 1 45 2& + 1 ≥ 0−2& −1 45 2& + 1 < 0
Función valor absoluto, efecto gráfico
Graficar
f(x)= |2x+1|
Partimos dibujando la recta 
y=2x+1 y la sección que 
queda por debajo del eje x, 
la levantamos sobre el 
mismo, el quiebre se 
produce cuando y=0, para 
este caso x=-1/2.
v Recordemos “toda la parte de la gráfica de f que 
está por debajo del eje x, cuando consideramos 
! = |$(&)| queda por encima del eje x”. 
Función valor absoluto, efecto gráfico
Ejemplo: Graficar f(x)= |x2-4|
Partimos dibujando la parábola y=x2 - 4 y 
la sección que queda por debajo del eje x, 
la levantamos sobre el mismo, el quiebre 
se produce cuando y=0, para este caso 
x=2, x=-2. 
En color rojo la gráfica de f(x)= |x2-4|
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Parábola y=x2-4