Vectores en el espacio-Algebra

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES 
 Algebra y Análisis Geométrico 
 VECTORES EN EL ESPACIO 
 
El espacio tridimensional 
En primer lugar veamos a qué se llama espacio numérico tridimensional. Este es el 
conjunto de todas las tri-uplas ordenadas de números reales, donde cada triu-upla ordenada 
(x,y,z) es un punto de dicho espacio numérico, el cual se denota R3. 
Utilizaremos un sistema ortonormado derecho, esto es, ortonormado porque sus ejes 
 x , y, z, son perpendiculares y con la misma norma (módulo, medida) sobre cada eje y , 
derecho, porque para pasar del primer semieje positivo al segundo se debe realizar una 
rotación de 90° en sentido contrario al de las agujas del reloj. 
Para representar los elementos de R3 consideramos las distancias dirigidas de un punto a 
tres planos mutuamente perpendiculares, llamados planos coordenados. 
Dichos planos coordenados xy, xz, yz , dividen al espacio en ocho octantes, como se 
observa a continuación: 
 
 
El primer octante es aquél en el cual las tres coordenadas son positivas. Los otros octantes 
se numeran de tal manera que la coordenada x sea positiva en los primeros cuatro, siendo 
la numeración en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Los cuatro octantes restantes 
son aquellos en los cuales la coordenada x es negativa. 
En el siguiente gráfico se encuentra representado el punto P(2,2,3), el cual, está ubicado en 
el primer octante por tener sus tres coordenadas positivas. 
 
 
Componentes de un vector en el espacio 
En el espacio tridimensional , a un vector se le hace corresponder una triupla ordenada de 
números reales (x,y,z,) como componentes de dicho vector. Siendo su representación 
gráfica la de un segmento orientado como se vio para vectores en el plano. 
Para ubicar un vector en el espacio tridimensional, procedemos como se ve a continuación: 
 
Donde el punto (x,y,z) es el extremo de ese vector y su origen está ubicado en el origen de 
coordenadas. 
 
Ejemplo: Representar en el espacio tridimensional el vector �⃗�=(4,8,7) 
 
 
En base al ejemplo anterior , 
 llamando i, j, k a los respectivos versores sobre los correspondientes ejes : x, y ,z 
¿cómo escribirías a ese vector en función de los respectivos versores? 
 ¿cómo podrías expresar y obtener el módulo de dicho vector? 
 
En general, si el vector es �⃗�=(x1,x2,x3) , su módulo es |�⃗�|= 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 . En efecto: por 
el Teorema de Pitágoras |�⃗�|= 𝑥 + 𝑥 (*) y como |𝑥 |= 𝑥 + 𝑥 también, por el 
Teorema de Pitágoras, resulta entonces que, reemplazando esta expresión en (*): 
|�⃗�|= 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 
 
 x 
 
Observación: 
Las definiciones de las operaciones : suma, resta , producto de un escalar por un vector y 
producto escalar entre vectores en el espacio, son simplemente una extensión de las 
definiciones de dichas operaciones vistas para vectores en el plano .(Por lo tanto, son 
válidas también sus propiedades) 
De modo que, si los vectores tienen la expresión : �⃗� = (𝑣 , 𝑣 , 𝑣 ) y �⃗� = (𝑤 , 𝑤 , 𝑤) 
entonces resulta: 
 La suma : �⃗� + �⃗�=(𝑣 + 𝑤 , 𝑣 + 𝑤 , 𝑣 + 𝑤 ) 
 La resta : �⃗� − w⃗=(𝑣 − 𝑤 , 𝑣 − 𝑤 , 𝑣 − 𝑤 ) 
 La multiplicación de un escalar por un vector : k .𝑣 ⃗= (k 𝑣 , 𝑘 𝑣 , 𝑘 𝑣 ) 
 El producto escalar : �⃗� . �⃗� = |�⃗�|. |�⃗�|cos 𝜃 (𝜃 ángulo entre ambos vectores y 
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋) o bien, como se procedió con vectores en el plano, se puede llegar 
similarmente a que : cuyo resultado es un 
número real y no un vector. 
 
 
Nota: Las condiciones de paralelismo y ortogonalidad entre vectores en el espacio son 
análogas a las vistas para vectores en el plano. 
 
 
El producto vectorial 
Antes de definir esta operación entre vectores, es necesario hacer dos aclaraciones: 
 El producto vectorial sólo se define para vectores en el espacio. 
 Si �⃗� y �⃗� son dos vectores no nulos y no paralelos del espacio, existe un plano que 
los contiene. Para verlo , basta considerar a ambos con igual origen. Es claro que 
este plano no es único, ya que depende donde ubiquemos el origen de dichos 
vectores. Pero, los planos que estos vectores generan son paralelos. Por eso 
podemos hablar de la “dirección perpendicular” al plano determinado por �⃗� y 𝑏 . 
 
Definición: 
Si �⃗� y 𝑏 son dos vectores del espacio, se llama producto vectorial de �⃗� y �⃗� y se 
simboliza �⃗� x 𝑏 , al vector definido del siguiente modo: 
 Si �⃗� =0⃗ ó 𝑏 =0⃗ ó �⃗� // 𝑏 . , entonces �⃗� x �⃗� =0⃗. 
 Si �⃗� ≠ 0⃗ ó 𝑏 ≠ 0⃗ y �⃗� no paralelo a �⃗� , entonces �⃗� x �⃗� es un vector con: 
dirección: perpendicular al plano determinado por �⃗� y �⃗� . 
v  w  v 1  w1  v 2  w2  v 3  w3
 módulo: �⃗� 𝑥 �⃗� = |�⃗�|. �⃗� sin 𝛼 , donde 𝛼 ángulo entre ambos vectores y 
 0 ≤ 𝛼 ≤ π . 
 sentido : determinado por la regla de la mano derecha o del “tirabuzón”. 
 
 
 
Nota : El dibujo muestra cómo se obtiene el producto vectorial entre los vectores �⃗� y 
𝑏 cuando se gira en el sentido del tirabuzón. 
 
 
Caso contrario, se obtiene un vector opuesto al que se obtiene con el tirabuzón. 
 
Ejemplo: Aquí vemos cómo cambia el sentido según se realice �⃗� x �⃗� ó �⃗� x 𝑢 
 
 
Expresión del producto vectorial en términos de sus componentes 
 
La expresión del producto vectorial de dos vectores 𝑢 y �⃗� se obtiene mediante el 
planteo del siguiente determinante : 
 
 
 
Propiedades del producto vectorial: Se puede comprobar que: 
 El producto vectorial entre el vector nulo y cualquier otro vector , es el vector nulo. 
 No es conmutativo ni asociativo. 
 Es distributivo respecto a la suma de vectores. 
 El resultado es un vector perpendicular a cada uno de los vectores factores. 
 Si los vectores son no nulos y paralelos ,su producto vectorial es el vector nulo 
 
Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial 
El módulo del vector 𝑐 , donde 𝑐 = �⃗� x 𝑏 ⃗ es igual al número que representa el área 
del paralelogramo formado a partir de los dos vectores de igual origen. 
 
Observación: 
Si dos vectores no nulos, son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial 
será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).Pero si los vectores están en rectas 
paralelas o coincidentes, el módulo del producto cruz es cero (sen 0° = 0 y sen 180° = 0). 
 
El producto mixto de vectores 
 
Otro producto que se tiene en cuenta por la interpretación geométrica de su módulo , es el 
triple producto escalar o producto mixto .