_funciones secciones 1 3-1 4-1 5

Vista previa del material en texto

Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
14 
1.3 Funciones de una variable real 
 
En este curso abordaremos el estudio de algunas funciones reales de una variable real (funciones 
numéricas), entendiendo como tales, a aquellas funciones en las cuales la x toma valores sobre 
un subconjunto de números reales y los correspondientes valores de y también serán reales. 
Recordaremos la definición de Dominio y ampliaremos con ejemplos. 
 
Dominio es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable 
independiente; será un subconjunto no vacío de números reales o todo ℝ. 
Con frecuencia, el dominio de una función f no se especifica, sólo se da una regla o ecuación 
que define a la función. En esos casos decimos que f está definida en su dominio natural, o 
dicho de otra manera, es el conjunto de todos los números reales tales que f(x) es también un 
número real. 
Para determinar el dominio de una función es necesario analizar las operaciones que 
intervienen en la regla o ecuación que define a dicha función. 
 
Ejemplos: 
a) Dominio de es el conjunto de todos los números reales, dado que las 
operaciones que intervienen en la fórmula que la define (suma y multiplicación) siempre 
tienen resultado en el conjunto de los números reales. 
b) Determinar el dominio de 𝑔(𝑥) = '
()*
 . Para encontrar el dominio debemos garantizar 
que la fórmula tenga sentido. En este caso el denominador no puede ser cero. 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ 	ℝ		/𝑥 − 5 ≠ 0} equivale a pedir 𝑥 ≠ 5. Puede expresarse también el 
dominio así: ℝ− {5}, o como unión de dos intervalos (−∞, 5) ∪ (5,+∞). 
 
Es decir que, se tendrá especial atención cuando en la fórmula que define a la función aparezcan 
operaciones que tienen “problemas” en el campo de los números reales y sólo tienen significado 
para algunos valores. 
 
Casos Problema Recordar que: Para determinar el dominio: 
Cuando en la fórmula de la 
función aparece la 
operación división. 𝑓(𝑥) =
<(()
=(()
 
Sólo es posible dividir por 
cualquier número real 
diferente de cero. 
Encontrar los valores x que 
hacen igual a cero el 
denominador de la función y 
excluirlos. Es decir: 
 
Cuando en la fórmula de la 
función aparece la 
operación radicación de 
índice par. 
𝑓(𝑥) = >𝑔(𝑥)?@A 
Solamente está definida la 
operación para base 
positiva o cero. 
Considerar que los únicos 
valores para los cuales tiene 
sentido la fórmula son aquellos 
para los que . 
 
Cuando en la fórmula de la 
función aparece el 
logaritmo. 
𝑓(𝑥) = logE 𝑔(𝑥) 
 
El logaritmo solamente está 
definido para positivos. 
Considerar aquellos x tales que 
. 
( ) 32 += xxf
{ }0)(/))(( =-= xhxRxfDom
0)( ³xg
{ }0)(/))(( ³Î= xgRxxfDom
.0)( >xg
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
15 
Ya que el dominio de una función es el conjunto de valores de la variable independiente para 
los que puede ser evaluada la función, esta consideración es importante especialmente cuando 
la expresión algebraica de la función está en un contexto especial, por ejemplo, si se usa para 
describir medidas, velocidades, etc. que son magnitudes positivas. 
Ejemplos 
a) 𝑉𝑥) = 𝑥'	es la función que sirve para expresar el volumen de un cubo de 
arista x, como la arista no puede ser negativa, la función Volumen está 
definida 𝑥 ≥ 0, en notación de intervalo: [0, ∞), y por lo tanto el dominio 
en este caso es justamente los números reales mayores o iguales a cero. 
b) Si la fórmula representa al área de una región en 
función del ancho x de un rectángulo, entonces los valores que pertenecen al dominio 
deben cumplir que: . 
Queda para el lector encontrar el dominio de la función para este caso. 
c) Veamos otro ejemplo donde la fórmula de la función involucra una raíz de índice par. 
 Sea ℎ(𝑥) = √2𝑥 − 3 entonces 𝐷𝑜𝑚	(ℎ) = {𝑥 ∈ ℝ	/2𝑥 − 3 ≥ 0} 
Para determinar explícitamente el Dominio de esta función es necesario resolver la inecuación 
o desigualdad 2𝑥 − 3 ≥ 0. 
2𝑥 − 3 ≥ 0 es equivalente a 𝑥 ≥ '
L
 esto 
significa que el dominio es el conjunto 
de los números reales mayores o iguales 
a tres medios. 
Expresando el dominio como un 
intervalo: [	'
L
, ∞). 
La representación en el eje real: 
 
 
 
1.4 Gráficas de funciones 
 
Recordemos que el conjunto Imagen o el rango de una función, como algunos autores lo 
designan, es el conjunto de los valores que toma la variable dependiente o sea todas las 
imágenes de los elementos del dominio. Para el caso de funciones de variable real, será un 
subconjunto no vacío de números reales o todo ℝ. 
Determinar el conjunto imagen de una función, cuando 
está definida por una ecuación no es tarea fácil. Por 
consiguiente, nos limitaremos a determinarlo a partir 
de la gráfica de la función considerada. 
 
Una función de variable real se representa 
gráficamente en el plano cartesiano. 
 
)100(2)( xxxA -=
[ ] 0)100(20 ³-> xxyx
)(xAy =
x 
y 
dominio 
Im
ag
en
 f(x) 
x 
P(x,f(x)) 
𝑉(𝑥) = 𝑥' 
Para resolver una inecuación debemos tener en cuenta 
las propiedades de las desigualdades de números reales: 
Si a < b , entonces a +c < b+c para todo número c 
Si a < b y c > 0 , entonces a.c < b.c 
Si a < b y c < 0, entonces a.c > b.c 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
16 
El gráfico de una función f: A®	ℝ, (con A subconjunto de ℝ, dominio de f) es el conjunto de 
todos los puntos P(x, f(x)) del plano. 
Es decir es el conjunto de todos los pares ordenados, cuyo primer elemento pertenece al 
dominio de f y el segundo a su imagen, que es un subconjunto de	ℝ. 
Los puntos de corte de la gráfica con el eje x son los de ordenada cero. Si se dispone de la 
fórmula se encuentran resolviendo la ecuación 𝑓(𝑥) = 0. 
El punto de corte con el eje y se obtiene calculando 𝑓(0). 
 
Ejemplo: Dada la siguiente gráfica donde se indica que el dominio es el intervalo [-3,6] 
determinar el conjunto imagen gráficamente y dar los puntos de corte con los ejes. 
 
Para determinar el conjunto imagen gráficamente, proyectamos f(-3) y f(6) sobre el eje y (trazar 
una perpendicular al eje y desde el punto), de este modo obtenemos el conjunto imagen, un 
intervalo sobre el eje y. 
En gráfica de la derecha, observar el conjunto Imagen, es el intervalo [D,C]=[-2, 2.25]. 
Los puntos de corte de la gráfica con los ejes son: 
(-1,0) con eje x; (0, 0.45) con eje y. 
 
No toda colección de puntos del plano representa la gráfica de una función. Recuerde que para 
que una relación sea función, para cada x, perteneciente al dominio de la misma, debe tener una 
y solo una imagen, f(x). 
Por lo tanto, la gráfica de una función no puede contener dos puntos con la misma abscisa y 
diferentes ordenadas. Es decir 
 
 
 
En caso de tener dada una gráfica, es posible determinar si corresponde o no a la gráfica de una 
función; para ello empleamos la llamada prueba de la recta vertical. 
Esta prueba consiste en verificar que: para cualquier recta vertical sobre la gráfica, la 
intersección con la gráfica es sólo un punto; es decir si alguna recta cortara a la gráfica en más 
de un punto, no correspondería a una función. 
Este criterio se apoya en la idea de que cada intersección de una recta vertical representa un y 
para un x; si hay más de una intersección hay más de un valor y para un x, lo cual contradice la 
definición de función. 
 
Si x, y( ) pertenece a la gráfica de una función
 y x, z( ) pertenece a la gráfica de la misma función
!
"
#
$#
⇒ y = z 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
17 
Ejemplo: ¿Cuándo un gráfico representa una función y cuándo no? 
Analizaremos los siguientes gráficos de relaciones 𝑓:𝐴 → ℝ con 𝐴 ⊂ ℝ.La gráfica (a) representa una función, porque para cada x del 
dominio 𝐴 = ℝ	le corresponde un único y del conjunto 
imagen. 
La segunda (b) no lo es, porque para algunos valores de x, 
por ejemplo, para x=2 le corresponden varios valores de y 
del conjunto Imagen. En este caso consideramos como 
dominio el intervalo . 
El gráfico (c), de una circunferencia, no es función. Explique 
porqué. 
(d) Si lo es, para cada x del dominio ℝ hay un único y del 
conjunto Imagen. 
 
1.4.1 Función Creciente y Función Decreciente 
Sea la función f: A → ℝ. (A subconjunto de ℝ). Diremos que f es creciente en A si al aumentar 
los valores de x, también aumentan los valores de f(x); si al aumentar los valores de x 
disminuyen los de f(x) diremos que f es decreciente. 
 
f es creciente, si y sólo si, para todo 𝑥S ∈ 𝐴, 	𝑥L ∈ 𝐴	, 𝑠𝑖	𝑥S < 𝑥L	𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠	𝑓(𝑥S) < 𝑓(𝑥L	) 
 
f es decreciente, si y sólo si, para todo 𝑥S ∈ 𝐴, 	𝑥L ∈ 𝐴	, 𝑠𝑖	𝑥S < 𝑥L	𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠	𝑓(𝑥S) > 𝑓(𝑥L	) 
 
No todas las funciones numéricas son crecientes o decrecientes en todo su dominio, pueden 
presentarse intervalos donde se va alternando. 
 
Al trazar la recta tangente en algunos puntos de la 
gráfica de la función podemos saber cuál es su 
variación. Si la pendiente de la recta tangente en 
un punto es positiva, entonces la función es 
creciente es ese punto. Si es negativa, la función 
es decreciente en ese punto. 
 
Observar la siguiente gráfica, en los tramos de 
crecimiento, intervalos (−∞, 0.5) y en (2.5,+∞) 
la recta tangente tiene pendiente m positiva. 
 
La función decrece en el intervalo (0.5, 2.5), las 
pendientes son negativas. 
A = 0, 4[ ]
 
 
x 
y 
(a) 
x 
y 
2 
(b) 
x 
y 
(d) 
x 
y 
(c) 
r r r r 
Recordar 
CRITERIO DE LA RECTA 
VERTICAL 
 Un gráfico representa 
una función si cualquier 
recta r trazada por un 
elemento del dominio de 
la función, paralela al eje 
y , corta al gráfico en un 
único punto. 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
18 
 
1.4.2 Función Par y Función Impar 
Una función con la propiedad que para todo 𝑥	del dominio 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) se denomina función 
par. Su gráfica tiene la particularidad de ser simétrica respecto del eje y. 
 
Si para todo 𝑥	del dominio se cumple 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) la función se denomina función impar. 
Su gráfica tiene la particularidad de ser simétrica respecto del origen. 
Ejemplos: 
a) Las siguientes funciones son pares: 𝑓(𝑥) = 𝑥L; 𝑔(𝑥) = 2𝑥] + 1. 
b) Las siguientes funciones son impares: ℎ(𝑥) = 𝑥*; 𝑡(𝑥) = 4𝑥' − 3𝑥. 
c) Las siguientes no son ni pares ni impares 
 𝑓(𝑥) = 𝑥L − 4𝑥; 𝑔(𝑥) = 𝑥' + 1; ℎ(𝑥) = (𝑥 − 4)L 
 
Se puede realizar la verificación algebraicamente usando las definiciones correspondientes. 
Pero si se conocen las gráficas, o construye las gráficas usando un software, la propiedad de par 
o impar se observa visualmente, según la simetría que tenga. 
 
 
En la gráfica de la función t(x) puede observar 
el punto A simétrico respecto de (0,0) del punto 
B. 
 
1.4.3 Máximos y Mínimos 
 
𝑓	alcanza un máximo relativo o máximo local en 
𝑥`		si 𝑓(𝑥`)≥ 𝑓(𝑥)	 
𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠	𝑑𝑒	𝑥	𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠	𝑎	𝑥`. 
 
𝑓	alcanza un mínimo relativo o mínimo local en 
𝑥`		si𝑓(𝑥`)≤ 𝑓(𝑥)	 
𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠	𝑑𝑒	𝑥	𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠	𝑎	𝑥`. 
 
𝑓	alcanza un máximo absoluto en 𝑥`		si 
𝑓(𝑥`)≥ 𝑓(𝑥)	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑡𝑜𝑑𝑜	𝑥	𝑑𝑒𝑙	𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜	𝑑𝑒	𝑓. 
 
𝑓	alcanza un mínimo absoluto en 𝑥`		si 
𝑓(𝑥`)≤ 𝑓(𝑥)	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑡𝑜𝑑𝑜	𝑥	𝑑𝑒𝑙	𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜	𝑑𝑒	𝑓. 
 
La recta tangente a una función en un punto en el que ésta tiene un mínimo o un máximo, es 
horizontal, tiene pendiente cero. 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
19 
El estudio de la derivada de una función nos servirá entre otras cosas para determinar máximos 
y mínimos, tema al que nos dedicaremos más adelante. 
 
Una propiedad de interés es la siguiente: Una función continua en un intervalo cerrado alcanza 
siempre el máximo absoluto y el mínimo absoluto. 
Llamaremos función continua, coloquialmente hablando, a aquellas que puedo recorrer su 
gráfica sin levantar el lápiz. 
 
1.4.4 Transformaciones gráficas 
 
El lenguaje gráfico nos posibilitará la transferencia entre el álgebra básica y el estudio de curvas. 
Tendremos la posibilidad de operar con las gráficas de funciones análogamente como lo 
hacemos con los números. 
Consideraremos dada la gráfica de la función 𝑓(𝑥), y las transformaciones realizadas a 𝑓(𝑥) 
las denotaremos con 𝑔(𝑥). 
I Desplazamientos verticales (solamente afecta a los valores de y) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑐 
Si c >0 , la gráfica de f(x) se desplaza 
c unidades hacia arriba. 
Si c <0 , la gráfica de f(x) se desplaza 
c unidades hacia abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I a. Se puede observar el efecto geométrico, cada punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) se ha desplazado 
3 unidades hacia arriba (𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 3		en este caso c=3). 
I b. La transformación de 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 3 produjo un desplazamiento de 3 unidades hacia 
abajo (en este caso c =-3). 
 
 
II Desplazamientos horizontales (solamente afecta a los valores de x) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑐) 
Si c >0 , la gráfica de f(x) se desplaza 
c unidades hacia la izquierda. 
Si c <0 , la gráfica de f(x) se desplaza 
c unidades hacia la derecha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I a I b 
II a II b 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
20 
II a. Se puede observar el efecto geométrico, cada punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) se ha desplazado 
2 unidades hacia la izquierda 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2)	(en este caso c =2). 
II b. La transformación 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) produjo un desplazamiento de 2 unidades hacia la 
derecha del gráfico de f. (en este caso c = -2). 
 
III 
Expansiones y contracciones 
verticales 
(solamente afecta a los valores de 
y) 
𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 
Si c >1, la gráfica de f(x) se expande 
en el eje y, y no se refleja respecto del 
eje x. 
Si 0< c <1 , la gráfica de f(x) se 
contrae en el eje y, y no se refleja 
respecto del eje x. 
Si -1< c <0 , la gráfica de f(x) se 
contrae en el eje y, y se refleja 
respecto del eje x. 
Si c <-1 , la gráfica de f(x) se 
expande en el eje y, y se refleja 
respecto del eje x. 
 
 
III a. El efecto geométrico de 𝑔(𝑥) = 2𝑓(𝑥) , observar que para obtener la nueva gráfica cada 
valor de y se ha multiplicado por 2, los de x no se han modificado. 
III b. Caso similar al anterior, los valores de y se han multiplicado por ½, los valores de x no se 
alteraron. 
III c. Se puede observar el efecto geométrico de multiplicar por un número negativo, cambian 
de positivos a negativos los valores de y, se produce una reflexión sobre el eje x. Como se trata 
de −1/2	la gráfica se contrae. 
III d. El efecto geométrico de 𝑔(𝑥) = −2𝑓(𝑥) nuevamente es el de multiplicar por un número 
negativo, cada valor de y se multiplica por 2 y luego por ser negativo la gráfica es simétrica 
respecto del eje x. 
III a III b III c III d 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
21 
 
IV 
Expansiones y contracciones 
horizontales 
(solamente afecta a los valores de 
y) 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐𝑥) 
Si c >1, la gráfica de f(x) se contrae 
sobre el eje x, y no se refleja 
respecto del eje y. 
Si 0< c <1 , la gráfica de f(x) se 
expande sobre el eje x, y no se refleja 
en el eje y. 
 
 
 
 
V Reflexión sobre el eje x 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥) 
la gráfica de f(x) es reflejada sobre el 
eje x, cada valor de y cambia de 
signo. La curva resulta simétrica 
respecto del eje x. 
 
 
 
VII Reflexión por valor absoluto 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| Refleja sobre el eje x, la parte negativa de la gráfica de f(x) . 
 
VI Reflexión sobre el eje y 𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥)la gráfica de f(x) es reflejada sobre el 
eje y, cada valor de x cambia de 
signo. La curva resulta simétrica 
respecto del eje y. 
V VI 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
22 
Comparamos las 
gráficas de 𝑓(𝑥) con 
𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)|, 
observamos que la 
parte negativa de la 
gráfica de 𝑓(𝑥) 
cambia de signo, se 
hace positiva. Y toda 
la gráfica de |𝑓(𝑥)| 
queda por arriba del 
eje x. 
Veamos otro ejemplo. 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 es una 
recta. La gráfica de 
𝑔(𝑥) = |2𝑥 − 3| se 
obtiene reflejando sobre 
el eje x, la parte 
negativa de la recta 
original. El quiebre se 
produce en este caso en 
𝑥 = 3/2. 
 
 
1.4.5 Asíntotas 
 
Analizaremos el comportamiento de algunas gráficas. 
1 ¿Qué podemos decir de la siguiente gráfica?. 
En primer lugar determinamos el 
dominio. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {2} . 
Si expresamos el dominio usando 
intervalos: (−∞, 2) ∪ (2, +∞). 
 
Observamos que la variable x puede 
acercarse a 2, por la derecha y por la 
izquierda, pero no está definida para 
el valor 2. 
 
Si x se aproxima a 2 por la izquierda, 
los valores de f(x) son grandes en 
valor absoluto pero negativos. Lo 
denotaremos: 
lim
(→Ll
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
(se lee límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es menos infinito) 
 
Si x se aproxima a 2 por la derecha, los valores de f(x) son grandes en valor absoluto, positivos. 
lim
(→Lm
𝑓(𝑥) = ∞ (se lee límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es infinito). 
La recta 𝑥 = 2	es una asíntota vertical. 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
23 
Observemos ahora que ocurre con esta gráfica si x aumenta, se hace cada vez más grande, 
diremos en ese caso que x tiende a infinito (escribimos 𝑥 → +∞) los valores de 𝑓(𝑥) (ver 
gráfica) tienden a confundirse con 1, aunque no lo alcanzan. 
Lo expresamos así: “el límite de f cuando x tiende a + ¥, es 1” . Simbólicamente: 
lim
(→no
𝑓(𝑥) = 1 . 
De manera similar ocurre si x tiende a menos infinito (𝑥 → −∞), en este caso: “el límite de f 
cuando x tiende a - ¥, es 1”. Simbólicamente: lim
(→)o
𝑓(𝑥) = 1. 
La recta 𝑦 = 1	es una asíntota horizontal. 
 
1.4.6 Límites cuando x tiende a un número “a” y Límites en el infinito 
 
lim
(→Em
𝑓(𝑥) = +∞	ó	 lim
(→Em
𝑓(𝑥) = −∞			 si y solo si 𝑥 = 𝑎 es asíntota vertical 
 
lim
(→El
𝑓(𝑥) = +∞	ó	 lim
(→El
𝑓(𝑥) = −∞			 si y solo si 𝑥 = 𝑎 es asíntota vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
(→no
𝑓(𝑥) = 𝑏	 si y sólo si 𝑦 = 𝑏 es asíntota horizontal para 𝑥 → +∞ 
lim
(→)o
𝑓(𝑥) = 𝑏 si y solo si 𝑦 = 𝑏 es asíntota horizontal para 𝑥 → −∞ 
 
 
 
 
1.4.7 Signo de una función 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
24 
Para ayudar a tener idea de cómo es la gráfica de una función conviene a veces determinar los 
intervalos en los que 𝑓(𝑥) > 0, en este caso la gráfica estará por encima del eje x; en los 
intervalos en los que 𝑓(𝑥) < 0 la gráfica quedará por debajo del eje x. 
 
 
El método tiene utilidad si conocemos todos los puntos de corte con el eje x y todos los puntos 
de discontinuidad. 
En la gráfica A, en los intervalos (−∞, 𝑥`)		y (𝑥S, 𝑥L) la función es negativa. En (𝑥`, 𝑥S) y 
(𝑥L	, +∞) es positiva. En los puntos 𝑥` , 𝑥S y 𝑥L la función es igual a cero, son los cortes con 
el eje x. 
En la gráfica B, en los intervalos (−∞, 𝑥`), (𝑥S, 𝑥L) y (𝑥'	, +∞)la función es positiva. En 
(𝑥`, 𝑥S) y (𝑥L	, 𝑥') es negativa. En los puntos 𝑥` y 𝑥' la función no está definida, no pertenecen 
al dominio, son puntos de discontinuidad con asíntota vertical. 
 
 
A B 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
25 
Ejercitación secciones 1.3 – 1.4 
 
1) a) Dar dominio e imagen de las siguientes funciones representadas gráficamente. 
Expresar dominio e imagen en forma de intervalo. 
 
b) Dar el valor de 𝑓(0); 		𝑔(0); 𝑓(−3); 		𝑔(−3); ℎ(6); 		ℎ(−1) 
 
c) Para la función 𝑦 = ℎ(𝑥) de la gráfica anterior dar puntos de corte con el eje x e intervalos 
de positividad y negatividad de la función. 
 
2) Determinar el dominio de las siguientes funciones y expresarlo empleando intervalos, 
dibujar en la recta real. 
 𝑓(𝑥) = ](
*()S
; 𝑡(𝑥) = ](
√*()S
 ; ℎ(𝑥) = s ](
*()S
; ; 𝑚(𝑥) = √𝑥L − 9 
3) Dada la gráfica de 𝑓(𝑥), dibujar las transformaciones gráficas indicadas. 
 
a) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 4) 
b) 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 4			 
 𝑐)	ℎ(𝑥) = −4𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
26 
 
 
4) Dada la gráfica de 𝑓(𝑥), dibujar las 
transformaciones gráficas indicadas por 
cada una de las reglas de correspondencia. 
(debe realizar siete gráficos, uno para cada 
ítem) 
 
a) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) 
b) ℎ(𝑥) = 2𝑓(𝑥) 
c) 	𝑟(𝑥) = 𝑓(2𝑥) 
𝑑) 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 3 
e) 𝑘(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
f) 𝑡(𝑥) = |𝑓(𝑥)| 
g) 𝑚(𝑥) = S
L
𝑓(𝑥) − 3 
 
 
5) De la gráfica de una cierta función se sabe que: 
a) corta a los ejes en los puntos (-6,0); (0,4); (3,0) y (5,0). 
b) Alcanza un máximo relativo en el punto (-3,5); otro en el punto (7,-2) y un mínimo 
en (4,-1). 
c) Tiene una asíntota vertical en x=6. 
d) lim
(→)o
𝑓(𝑥) = −∞ y lim
(→no
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
Utilizar los datos para realizar una gráfica aproximada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) que 
cumpla con la información dada. 
 
6) Describir la gráfica de la siguiente función. 
 
Dar dominio. 
Indicar el comportamiento en el infinito, es decir 
calcular: lim
(→)o
𝑓(𝑥) y lim
(→no
𝑓(𝑥). 
Dar puntos de corte con los ejes coordenados. 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
 
 
 
7) Trazar aproximadamente la gráfica de una función que tiene dos asíntotas verticales 
𝑥 = −2 y 𝑥 = 3 ; una asíntota horizontal en 𝑦 = 3 ; corta a los ejes en los puntos 
(0,−2); (1,0)	𝑦		(v
L
, 0) , además es siempre creciente. 
8) 
Observar la gráfica, visualizar las asíntotas y completar el valor de los siguientes límites. 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
27 
 
lim
(→Lm
𝑓(𝑥) = ⋯								 ; 								 lim
(→Ll
𝑓(𝑥) = ⋯			 
 
lim
(→)Lm
𝑓(𝑥) = ⋯								 ; 								 lim
(→)Ll
𝑓(𝑥) = ⋯			 
 
lim
(→no
𝑓(𝑥) = ⋯ 
 
lim
(→)o
𝑓(𝑥) = ⋯ 
 
 
 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
28 
1.5 Funciones cuya representación gráfica es una recta 
 
Entre los tipos de funciones posibles hay uno especialmente importante, el de las funciones 
cuya gráfica es una recta o parte de ella, que ustedes ya estudiaron en cursos anteriores y que 
ahora abordaremos desde otra perspectiva. 
En numerosas situaciones, la relación funcional entre las variables es de tal forma que la 
variación de la variable dependiente es “proporcional” a la variación de la variable 
independiente. Cuando esto ocurre la función que sirve para modelar la situación de manera 
sencilla es la llamada función lineal. 
 
Una función lineal se expresa de la 
forma,	𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 con a y b números 
reales. 
 
La inclinación de la recta viene dada por su 
pendiente, a, que es el aumento o 
disminución que experimenta la variable y 
cuando la variable x aumenta una unidad. 
 
La ordenada al origen b, es la intersección con el eje y. 
En el gráfico, la recta 𝑦 = 𝑟(𝑥)		tiene pendiente positiva; la recta 𝑦 = 𝑠(𝑥)	tiene pendiente 
negativa. 
¿Qué ocurre si a=0, es decir la pendiente de la recta es cero? 
La ecuación de la recta 𝑦 = 𝑟(𝑥) es 𝑦 = S
L
𝑥 + 2. 
Observar que, para todo 𝑥 > −4 , la gráfica de la recta está por encima del eje x, es positiva.Para 𝑥 < −4, es negativa. 
La pendiente es ½, positiva. Se puede observar que se trata de una función creciente. 
La recta del dibujo anterior, 𝑦 = 𝑠(𝑥) tiene pendiente negativa, es decreciente. 
 
Recordar: 
ü La ordenada al origen o intersección con el eje y, se determina evaluando en cero la 
fórmula de la función. Es decir calculando f(0). 
ü Si a >0, la recta, de izquierda a derecha sube, es creciente. 
ü Si a <0, la recta, de izquierda a derecha baja, es decreciente. 
ü Si a=0, la recta es horizontal, los valores de y permanecen constantes. 
La ecuación es y = constante, recta horizontal. 
 
 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
29 
 
 
En la recta 𝑦 = 3𝑥 + 2, 
la pendiente es 3, los valores 
de y varían 3 unidades hacia 
arriba por cada unidad que 
aumenta x. 
 
En 𝑦 = −3𝑥 + 2, 
la pendiente es -3, los valores 
de y varían 3 unidades hacia 
abajo por cada unidad que 
aumenta x. 
 
En ambos ejemplos se aprecia 
la variación constante. 
 
 
 
1.5.1 Modelos Lineales 
 
Los siguientes problemas nos proporcionan ejemplos de situaciones que puede modelarse con 
una función lineal. 
 
Problema 1. 
a) Encontrar la fórmula para calcular la cantidad de agua que queda cada día, en una represa 
que pierde agua de manera uniforme, si la cantidad inicial es de 1150 millones de litros y los 
datos diarios son: 
 
 
 
 
b) ¿Si continúa la pérdida de 20 millones de litros por día, en cuánto tiempo se quedará vacía 
la represa? 
c) ¿Cuándo tendrá 150 millones de litros? 
Solución 
a) Conocemos los puntos (1, 1130) y (2, 1110). Como la pérdida es uniforme una función 
lineal describe la situación. 
 
Designemos en primer lugar cuáles son las variables y les damos nombre. Emplearemos como 
variables a x e y; x mide el tiempo en días; y los litros de agua, en millones. 
 
Empleamos los puntos datos del problemas para encontrar la ecuación de la recta. 
 
Llamamos C a la función que expresa la cantidad de agua de la represa en x días. 
 
Respuesta: La fórmula es 
 
( ) 115020113020201
12
1130110.11130 +-=Þ++-=Þ-
-
-
=- xyxyxy
115020)( +-== xxCy
Día 1 2 3 
Millones de 
litros de agua 
1130 1110 1090 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
30 
b) Quedará vacía cuando la cantidad de agua sea cero. Es decir C(x)=0. 
Resolviendo la ecuación: 
 
Respuesta: Quedará vacía a los 57 días y medio. 
 
c) Para responder debemos resolver la ecuación: C(x)=150. 
 
Respuesta: La represa tendrá 150 millones de litros de agua cuando pasen 50 días. 
 
Características del modelo lineal: 
Cuando se trata de encontrar una función (modelo) que represente una 
situación dada, esta será lineal cuando los cambios que se producen en una 
variable son constantes al incrementar la otra variable en pasos fijos. 
 
Problema 2 
Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme, los datos que 
tenemos son los dados por la tabla. 
¿Cuánto vale ? ¿Qué representa ese valor? 
¿Cuánto vale ? ¿Qué información da este valor? 
Representar gráficamente el espacio recorrido por el móvil. 
 Encontrar la ecuación que modela la situación. 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recodemos que la velocidad de un móvil que se desplaza en línea recta con movimiento 
uniforme es el cociente entre la variación del espacio y la variación del tiempo, entonces 
podemos afirmar que la pendiente de la recta representa la velocidad del móvil. 
 
 
Para una función f cualquiera, la variación vertical sobre la variación horizontal se llama 
variación relativa, es decir cualquiera sean del dominio con la condición 
Variación relativa = 
El símbolo se lee “delta y”, representa el cambio en y: 𝑦L − 𝑦S. 
El símbolo se lee “delta x” y se usa para representar el cambio en x: 𝑥L − 𝑥S . 
 
Usar datos del problema 2 y calcular: 
5.57
20
11501150201150200 ==Þ=Þ+-= xxx
50
20
1000150115020115020150 ==Þ-=Þ+-= xxx
)0(s
)10(s
5
2
15
10
510
+=+
-
=+= xxbmxy
21, xx 21 xx ¹
12
12 )()(
xx
xfxf
-
-
=
x
y
xeniación
yeniación
D
D
=
var
var
yD
xD
t s(t) 
0 5 
2 6 
10 10 
Espacio recorrido 
entre 2 y 10 segundos 
Tiempo transcurrido 
t 
s 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
31 
La variación relativa al transcurrir 10 segundos, al transcurrir 2 segundos, al transcurrir 3 
segundos. ¿Qué ocurre? 
¿Cuánto espacio recorre el móvil si continúa con el mismo movimiento hasta 30 segundos? 
 
Podemos formularnos la siguiente pregunta: 
 ¿Cuál es la variación relativa en el caso de funciones lineales? 
 
En el caso de una recta se cumple que: la variación de y es proporcional a la 
variación de x, siendo la pendiente, la constante de proporcionalidad. 
 
 
Es frecuente en muchas aplicaciones prácticas que el ritmo al que una cantidad cambia respecto 
a otra es constante. El siguiente problema es un modelo simple de una situación económica. 
 
Problema 3 
El costo total de un fabricante de camisas está formado por gastos generales fijos de 1200 pesos, 
más el costo de producción de 40 pesos por unidad. 
Expresar el costo total como una función del número de unidades producidas. Graficar. 
 
Solución 
Sea x = número de unidades producidas. 
el costo total que estamos buscando. 
 
Costo total = (costo por unidad) x (número de 
unidades) + gastos generales fijos 
 
Costo por unidad=40; gastos generales = 1200 
 
Por lo tanto 
 
Observar que el costo total aumenta a ritmo 
constante de 40 pesos por unidad. Como 
resultado el gráfico de la situación es una recta. 
 
Problema 4 
El índice medio de estudiantes que comienzan en una escuela de policía ha ido disminuyendo 
a un ritmo constante en los últimos años. En 2008, el índice medio era de 582 mientras que en 
2013 era de 552. Expresar el índice medio como 
una función del tiempo. Si la tendencia continúa, 
¿cuál será el índice que corresponde a 2018? 
Solución: 
Denominamos: 
 x = número de años desde 2008; 
y = el índice medio de estudiantes que empiezan. 
 
Como y cambia a un ritmo constante con 
respecto a x, la función que relaciona y con x, 
debe ser lineal. Sabemos que y=582 cuando x=0, 
e y=552 cuando x=5. 
)(xC
120040)( += xxC
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
32 
La recta que buscamos debe pasar por los puntos (0,582)	𝑦	(5,552). 
La pendiente será entonces 𝑚 = *yL)**L
`)*
= −6 . 
La ordenada al origen se conoce ya que (0,582) es la intersección con el eje y. 
La ecuación de la recta es: 𝑦 = −6𝑥 + 582 
Observar que para simplificar el problema consideramos que 2008 corresponde al año cero, 
2013 cinco años más. 
 
1.5.2 Funciones que se definen mediante trozos de rectas 
 
Hay situaciones de la vida cotidiana que pueden ser representadas mediante funciones que son 
trozos de rectas. 
También hay casos que pueden definirse funciones por pedazos no solo de funciones lineales, 
pero en esta sección nos limitaremos a ejemplos que involucran trozos de rectas. 
Cuando definimos funciones por trozos, la regla de correspondencia no es una única fórmula, 
se indica la fórmula que corresponde a cada parte del dominio. 
 
Ejemplo 1 
Graficar la función f, definida 
por dos pedazos de rectas: 
 
𝑓(𝑥) = z
S
L
𝑥 + '
L
						𝑠𝑖	𝑥 < 3
−𝑥 + 6				𝑠𝑖		𝑥 ≥ 3
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Una compañía de Teléfonos cobra $35 los primeros tres minutos y $12,50 cada minuto o 
fracción adicional por una llamada telefónica de larga distancia. 
Encontrar la función que relaciona la variable duración de la llamada con costo de la misma. 
Graficar la función. 
 
Solución: 
En primer lugar identificamos la variable, es el número de minutos que dura la llamada, la 
denominamos x. 
Podemos hacer una tabla para analizar el costo de algunas llamadas:Minutos Costo 
De 0 a 3 $35 
Más de 3 y fracción hasta 4 
minutos 
$35 + $12,50 
Más de 4 y fracción hasta 5 
minutos 
$35 + (2) $12,50 
 
La tabla nos da idea de cómo definir la función costo . )(xC
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
33 
 
 
𝐶(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
35	𝑠𝑖	0 ≤ 𝑥 ≤ 3
35 + 1(12,50)		𝑠𝑖	3 < 𝑥 ≤ 4
35 + 2(12,50)			𝑠𝑖4 < 𝑥 ≤ 5
35 + 3(12,50)		𝑠𝑖	5 < 𝑥 ≤ 6
…
…
 
 
También en forma más general se podría expresar así: 
 
𝐶(𝑥) = � 35		𝑠𝑖	0 ≤ 𝑥 ≤ 335 + (𝑛 − 2)(12,50)			𝑠𝑖		𝑛 < 𝑥 ≤ 𝑛 + 1				𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑛 > 3 
 
 
Ejemplo 3 
 
Función parte entera mayor 
El símbolo [a] (corchete de a) se usa para designar el mayor número entero menor o igual que 
a, para todo a real. Por ejemplo, [-3] = -3, [-3/2]= -2, [2,3]= 2. 
 
Consideremos ahora la función parte entera mayor o también llamada función entero mayor 
dada por: 𝐹(𝑥) = [𝑥] = 𝑛				𝑝𝑎𝑟𝑎		𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1 siendo n número entero. 
 
Con el objeto de poder graficar f, especificaremos los valores de f para algunos intervalos 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los extremos de cada segmento de la gráfica, el círculo blanco indica que el punto no 
pertenece a la gráfica. 
Observación: en algunos libros la función entero mayor se denota con un doble corchete 
. 
 
Ejemplo 4 
Recordando que la función 𝑦 = |𝑥| (valor absoluto) se define |𝑥| = � 𝑥		𝑠𝑖	𝑥	 ≥ 0−𝑥			𝑠𝑖	𝑥 < 0 
 Representar , empleando la definición anterior. 
[ ]
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
<£
<£
<£
<£
<£--
-<£--
-<£--
==
433
322
211
100
011
122
233
)(
xsi
xsi
xsi
xsi
xsi
xsi
xsi
xxF
[ ][ ]xy =
12)( += xxh
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
34 
Solución 
En secciones anteriores vimos cuál es el efecto que se produce 
en la gráfica de una función al tomar el valor absoluto; la recta 
 pasa de negativa a positiva cuando . 
Entonces, la parte de la recta que queda por debajo del eje x, 
para a estar por encima del eje x. de modo que la gráfica 
 está totalmente por encima del eje x. 
 
La parte clara del gráfico anterior no forma parte de la gráfica de 
la función pedida, esta es la parte que pasa a estar por encima del 
eje x. 
 
Veamos como procedemos si hacemos la gráfica empleando la definición de valor absoluto. 
 
Se puede expresar la fórmula de la función como una función definida por 
partes: 
 en forma equivalente resolviendo queda 
 
 
Entonces para graficar hacemos ambos trozos y queda el mismo gráfico anterior. 
 
 
 
 
12 += xy
2
1
-=x
12 += xy
12)( += xxh
( )
( ) ( )î
í
ì
<++-
³++
=
01212
01212
)(
xsix
xsix
xh
ï
ï
î
ïï
í
ì
-<--
-³+
=
2
112
2
112
)(
xsix
xsix
xh
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
35 
EJERCITACIÓN Sección 1.5 
1) Calcular la pendiente de las rectas que pasan por los puntos indicados 
a) (3,1) y (7,11); b) (1,−5) y (9,11) c) (1300,17) y (1400,41) 
 
2) Representar las siguientes rectas 
a) 𝑦 = 3𝑥 ; b) 𝑦 = 3𝑥 + 1/2 ; 𝑦 = − '
L
𝑥 + 1 
3) Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. 
a) 𝑃(−4,9) y m=-5. b) 𝑃 �S
'
, ]
*
� y 𝑚 = S
]
 
4) Se pone a calentar un recipiente con agua, la cual está 12 grados. A los 8 minutos 
alcanza la temperatura de 100ºC. 
Encontrar la ecuación lineal que relaciona el tiempo (en minutos) con la temperatura 
del agua, desde el minuto 0 hasta el minuto 8. Graficar el segmento de recta. 
 
5) Para describir el comportamiento de la temperatura del agua que ponemos a calentar se 
necesitan dos etapas, la primera entre los minutos 0 y 8. La segunda a partir del minuto 8. 
 ¿Cuál es la ecuación a partir del minuto 8? 
 Recordar que el agua por más que se la caliente se mantiene a 100ºC. 
Dibujar en un mismo sistema de ejes coordenados las dos etapas (funciones lineales), 
suponer que a partir de los 90 minutos el agua se evaporó. 
 
6) Desde el principio de año pasado, el precio del kilo de queso barra en un supermercado ha 
estado subiendo a un ritmo constante de 8 pesos por mes. Transcurridos 10 meses, este 
queso costaba 135 pesos por kilo. 
Expresar el precio del queso como función del tiempo y determinar el precio de esta 
mercadería al inicio de febrero, es decir transcurrido un mes del inicio de año. 
 
7) El esquema siguiente muestra las relaciones entre termómetros en las escalas Celsius, C, 
y Fahrenheit, F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Las dos escalas se relacionan linealmente. Determinar la fórmula que permite pasar 
de la escala de la temperatura en grados Celsius C a la temperatura en grados Fahrenheit 
F, es decir expresar F en función de C. 
b) Graficar. 
c) Suponga que llega en avión a Nueva York e informan que la temperatura es de 48 
grados Fahrenheit. ¿Necesita algún abrigo al salir del avión? 
d) Si el agua está a 60ºC, ¿a cuántos grados F corresponde? 
 
8) Se sabe que: si un buzo desciende en el océano, la presión aumenta linealmente con la 
profundidad. La presión es de 15 libras por pulgada cuadrada en la superficie y de 30 libras 
100º 
 
212º 
 
32º 
 
0º 
 
x 
 
y 
 
ºC 
 
ºF 
 
Hielo 
 
Agua 
hirviendo 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
36 
por pulgada cuadrada a 33 pies de profundidad. ¿Hasta que profundidad puede descender 
un buzo, si él sabe que puede tolerar como máximo 40 libras por pulgada cuadrada? 
 
9) Graficar la función F(x) y dar Dominio e Imagen. 
 
 
 
 
10) Dar la regla de correspondencia de las funciones cuya representación es la siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Una familia está de vacaciones, dispone de 10 días. Desean alquilar un auto y les dan 
dos opciones: A) 700 pesos por día, kilometraje libre. B) 400 pesos por día + 1 pesos por 
Km recorrido. 
Analizar la función de gasto en cada opción y decidir en qué recorridos resulta más 
favorable la opción A que la B. 
 
12) Una compañía de electricidad cobra a sus clientes un costo fijo de $100.- más 10,80 
centavos por kilowatt-hora (kwh) en los primeros 400 kwh consumidos en el mes, y 
cobra adicionalmente 7,10 centavos por cada kwh extra consumidos superior a los 400. 
a) ¿Cuánto paga de electricidad una familia que consume 300 kwh en el mes? 
b) ¿Cuánto paga de electricidad una familia que consume 700 kwh en el mes? 
c) Si C es el costo mensual por x kwh, expresar a C como función de x. 
 
ï
î
ï
í
ì
<<
££-
-<£--
=
644
42
242
)(
xsi
xsix
xsi
xF
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
37 
 
13) Cierto agente de turismo ofrece viajes a Bariloche por 7 días para grupos de estudiantes, 
bajo las siguientes condiciones: 
Tarifa individual para grupos menores de 30 personas: $5000. 
Tarifa individual para grupos entre 30 y 60 personas inclusive: $5000 con un 
descuento de $500 por cada estudiante a partir del número 30. 
Tarifa individual para grupos mayores de 60: $3500. 
 
a) Expresar la función ingresos del agente de turismo como función x, siendo x el número 
de estudiantes que viaja (tener en cuenta que la expresión de la función se da por trozos 
de recta). 
b) Dibujar la función. 
c) Calcular el ingreso del agente para un grupo de 50 estudiantes y para un grupo de 25. 
 
 
 
 
 
 
Apuntes para CÁLCULO – Capítulo 1: FUNCIONES 
Universidad Nacional de Los Comechingones 
Lic. Nélida H. Pérez 
 
38