exponencial-log

Vista previa del material en texto

9/9/19
1
FUNCIONES
FUNCIÓN EXPONENCIAL
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
UNIVERSIDAD NACIONAL D
E LOS
COMECHINGONES
CARRERA: Licenciatura e
n Ciencias de la Atmósfe
ra y
Meteorología Aplicada
Equipo Docente:
Lic. Nelida H. Pérez
Ing. Bernardo Firpo
CALCULO I
FUNCIONES EXPONENCIALES:
• Analicemos el siguiente ejemplo: Las amebas son animales unicelulares. 
Una célula, transcurrido cierto período, se reproduce por bipartición. Esto 
significa que cada célula adulta se parte y da origen a dos células 
jóvenes. Luego de un cierto tiempo, cada una de estas repite el proceso, 
obteniendo dos células jóvenes de cada una de ellas. Y así continua el 
proceso de reproducción; según las condiciones del medio el proceso 
será más o menos rápido. Supongamos que las condiciones son tales 
que hacen que las amebas se dupliquen cada hora, y que empezamos el 
estudio con una ameba.
Si anotamos la cantidad de 
amebas que tenemos a cada 
hora, podemos armar una tabla 
como la siguiente:
Tiempo (horas) 0 1 2 3 4 ……. x
Número de amebas 1 2 4 8 16 ……. ?
Teniendo en cuenta que el tiempo es la 
variable independiente y la cantidad de 
amebas la variable dependiente, 
graficamos en los ejes coordenados los 
valores expresados en la tabla:
Dato
s 
expe
rime
ntale
s Analizando los valores 
obtenidos en la tabla vemos 
que hay una relación entre 
ellos…
Y graficando esta relación entre el tiempo 
y el número de amebas obtenemos el 
siguiente gráfico:
• ¿Cómo cambiarían los valores si en lugar de haber comenzado 
con una ameba, hubiésemos comenzado con 3? ¿La fórmula 
obtenida, cambiaría? ¿De qué manera?
• ¿Podemos saber cuántas amebas 
tendremos dentro de 7 horas? 
• ¿Podemos saber dentro de cuántas horas 
tendremos 1024 amebas?
Basta con reemplazar x por 7 
en la fórmula hallada
Para resolver esto 
necesitaríamos despejar.
El logaritmo y sus propiedades 
nos ayudarán en esa operaciónAnalicemos otro ejemplo…
Las sustancias radioactivas se desintegran con el paso del tiempo transformándose en otras. Un 
fósil contiene una masa de Carbono 14 (C-14), que es una sustancia radioactiva, equivalente a un 
gramo. Después de un período aproximado de 6000 años (llamado período de desintegración) la 
masa queda reducida a la mitad, ya que la otra mitad fue desintegrándose en forma continua. 
Luego de un período similar de tiempo queda solamente la mitad de la mitad anterior y así 
sucesivamente.
Realicemos, similarmente a lo anterior, una tabla de valores, una gráfica, una fórmula que 
represente la situación.
Tiempo (medido 
en períodos de 
6000 años)
0 1 2 3 4 … x
Masa de C-14 
(medida en 
gramos)
Prob
lema
9/9/19
2
BASE MAYOR QUE 1
• Siempre creciente.
• Corta al eje y en el punto de coordenadas 
(0,C).
• Son siempre positivas, es decir su imagen son 
los reales positivos
• Tienen al eje x como asíntota (cuando los 
valores de x disminuyen, f(x) se acerca a 
cero pero no lo toma.
BASE ENTRE 0 Y 1
• Siempre decreciente.
• Corta al eje y en el punto de coordenadas (0,C).
• Son siempre positivas, es decir su imagen son 
los reales positivos
• Tienen al eje x como asíntota (cuando los 
valores de x aumentan, f(x) se acerca a cero 
pero no lo toma)
FU
NC
IÓ
N E
XP
ON
EN
CI
AL
Muchas situaciones pueden modelarse mediante una función 
exponencial de base “e”.
Con “e” se simboliza un número irracional. Recordemos que un 
número irracional tiene infinitas cifras decimales, no periódicas. 
El valor de “e” hasta 20 decimales es 
e=2,71828182845904523536
Por ser un número mayor que 1 su 
gráfica tendrá las características de
Obsevemos similitudes y diferencias 
en las gráficas de las exponenciales 
a medida que cambiamos los 
coeficientes
¿Tocan el eje x?
EXPONENCIAL DE 
BASE “e”
Si hacemos un zoom al eje x podemos apreciar que, en realidad se aproximan, pero no 
llegan a tocarlo. A esto nos referíamos cuando dijimos que el eje x es una asíntota.
Podríamos seguir 
acercándonos 
aún más, y la 
situación sería la 
misma
EXPONENCIAL DE 
BASE “e”
Comparación de la 
gráfica de ! " = $%
con las gráficas de 
ℎ " = 3% y 
( " = 2% .
EXPONENCIAL DE BASE “e” Cada vez que aparece un proceso que evoluciona de modo que el aumento o 
disminución en un pequeño intervalo de 
tiempo es proporcional a lo que había al 
comienzo del mismo, ese proceso se 
modela mediante una función exponencial. 
Por ejemplo:
q Crecimiento de bacterias
q Aumento de masa vegetal
q Crecimiento de poblaciones animales y 
vegetales
q Interés del dinero acumulado
q Desintegración de sustancias 
radioactiva
¿QUÉ TIPO DE PROBLEMAS SE 
MODELIZAN POR UNA FUNCIÓN 
EXPONENCIAL?
9/9/19
3
ACTIVID
AD La masa de una población de bacterias aumenta un 25 % por hora. En un determinado momento se colocan 12 g de bacterias en una cubeta. 
¿Cuántos gramos de bacterias habrá al cabo de 1 hora? ¿y de 2 horas? ¿y 
de3 horas ¿y de t horas? COMPLETAR LA TABLA
Dar una representación gráfica de la masa total de bacterias en función del tiempo. 
¿Cuál es la expresión de la función que describe la situación?. 
La función que buscamos 
debe cumplir que: 
si pasa 1 hora desde 
cualquier momento, la 
masa aumenta un 25%
! " + 1 es un 25% de ! " para cualquier t
Si se sabe que un bosque crece en forma exponencial y además se conoce 
que en 10 años su masa vegetal ha aumentado un 4%, podemos asegurar 
que cada 10 años tendrá el mismo 4%, más que al comenzar, es decir su 
masa se multiplicará por 1,04 cada 10 años.
¿Cuál es la función que modela esta situación?PROB
LEMA
S
Las funciones exponenciales tienen la característica de que, a intervalos 
iguales de la variable independiente, se obtienen porcentajes iguales de 
crecimiento o decrecimiento en la variable dependiente, esta propiedad 
es importante desde el punto de vista práctico.
Una población de bacterias aumenta cada hora respecto de su población 
actual. Si inicialmente había 1000 bacterias y luego de 3 horas hay 1728 
bacterias, ¿Cuál es la tasa de crecimiento por hora?
¿Cuál es la función que modela esta situación?
Una sustancia radioactiva pierde el 4% de su masa cada día. 
Ocho días después de comenzada la observación, hay 130 
gramos de sustancia. Se desea encontrar la fórmula de la 
función que permite calcular la masa de la sustancia en función 
del tiempo.
PROBLEMA
Una sustancia radioactiva pierde el 4% de su masa cada día. 
Ocho días después de comenzada la observación, hay 130 
gramos de sustancia. Se desea encontrar la fórmula de la 
función que permite calcular la masa de la sustancia en función 
del tiempo.
PROBLEMA
FUNCIÓN LOGARITMO
Retomemos el ejemplo de las amebas. Habíamos planteado la pregunta “¿Podemos saber 
dentro de cuántas horas tendremos 1024 amebas?”
La función que representaba la cantidad de amebas a medida que pasa el tiempo era
Deberíamos resolver la ecuación , 
pero hasta ahora no sabemos como despejar la x que está en el exponente, para ello 
introduciremos la función logaritmo, que es inversa de la función exponencial: 
Dada una función exponencial,teniendo en cuenta que
es creciente o decreciente, es simepre inyectiva 
Por lo tanto existe la función la inversa 
Que llamaremos logaritmo en base “a”
Que definimos así:
El “logaritmo en base a de x” es el 
número al que tengo que elevar la 
base “a” para obtener x
inversa de la función 
exponencial
9/9/19
4
inversa de la función exponencial
Como la función exponencial y 
la función logaritmo son 
inversas una de otra, sucede lo 
siguiente: 
En el ejemplo de las amebas trabajamos con la función
Por lo que vimos, su inversa será la función
La gráfica de dos 
funciones 
inversas son 
simétricas con 
respecto a la 
recta x=y.
O sea, la recta y=x 
hace el papel de 
un espejo, por el 
cuál, una es reflejo 
de la otra.
Al igual que con la exponencial, la función logaritmo tiene características distintas 
dependiendo si la base está entre 0 y 1 o si es mayor que 1.
• Dominio?
• Imagen?
• Asíntota?
• Crecimiento?
• Puntos en común?
Observa, analizay obiene en 
limpio estas características:
Volviendo al ejemplo, debíamos resolver la ecuación:
Aplicamos logaritmo en base 2 en ambos miembros y usamos el 
hecho de que exponencial y logaritmo son inversas:
O 
sea,
2 elevado a qué número nos da como 
resultado 1024?
Podemos tantear, ir probando hasta hallarlo, lo 
cuál seguramente será muy costoso y 
requerirá bastante tiempo, y talvez nunca lo 
hallemos
Podemos conocer y aplicar las propiedades 
del logaritmos y exponenciales que nos 
facilitarán los cálculos 
PROPIEDADES 
de exponenciales y logaritmos 
(consideramos a>0 y distinto de 1):
En la calculadora aparece log o ln lo cuál hace referencia al logaritmo en base 10 y en base 
e. Si tenemos otra base y deseamos usar la calculadora debemos usar la propiedad de 
cambio de base:
O bien,
De esta manera, sea cuál sea la 
base del logaritmo, podremos 
hacer un cambio a base 10 o 
base e y trabajar con la 
calculadora