REPASO PARA PARCIAL 2-Resolución

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REPASO PARA PARCIAL 2-Resolución 
 
Ejercicio 1.- Determinar la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes dando razones de cada respuesta: 
a) Si X es una variable aleatoria tal que X~N(4 ; 0,5) entonces si se toman muestras aleatorias de la población 
correspondiente, de tamaño 64, la variable aleatoria 𝑋 sigue una distribución Normal de media µ𝑋 =4 y 
𝜍𝑋 =
0,5
8
. VERDADERO. La media de 𝑋 es también µ=4y la desviación es 
𝜍
 𝑛
=
0,5
 64
 . 
b) Se quiere realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional, respecto de la cual, se tiene por 
investigaciones anteriores que se comporta como una normal de media µ=17. Se extra una muestra de tamaño 
9, para la cual, se registra una media 𝑥 = 22.5 y una desviación típica de 3,9. Entonces el estadístico de prueba 
es: 
𝑋 − 17
3,9/ 9
~𝑁 0,1 
FALSO. Cuando se reemplaza σ por el s de la muestra (porque se desconoce dicho parámetro), el estadístico 
sigue una distribución de Student con n-1= 8 grados de libertad 
c) En un análisis de regresión lineal, si el coeficiente de determinación es cercano al 0%, entonces podemos 
concluir que no existe ningún tipo de relación entre las variables. 
FALSO. Que no haya relación lineal no significa que pueda existir otro tipo de relación entre las variables 
involucradas. 
d) Un valor concreto u observado del estadístico 𝑋 , es una estimación puntual de dicho estadístico. 
FALSO. Es una estimación puntual del correspondiente parámetro poblacional µ. 
e) En el análisis de regresión lineal, la recta de mínimos cuadrados pasa por el punto (𝑥 ,𝑦 ). 
VERDADERO. Para que (𝑥 ,𝑦 ) pertenezca a la recta, se debe verificar la igualdad: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 y como se 
sabe a= 𝑦 - b𝑥 , resulta que 𝑦 = (𝑦 - b𝑥 ) + b 𝑥 →0=0. 
f) La covarianza es una medida conjunta de dos variables que informa sobre el grado de relación entre las 
mismas. FALSO. No es una medida adimensional, sólo indica si esa posible relación es negativa, positiva o 
nula. 
 
Ejercicio 2.- Supongamos que se quiere realizar una Prueba de hipótesis para la media poblacional y que 
responde a la siguiente gráfica: 
 
 
En base a ello, tachar la opción que no corresponda: 
 Si la variable pivotal toma el valor de -2,54, la H0 se acepta/ rechaza al 2,5% / 5%. 
 Si el p – valor es menor/mayor que 0,001, se rechaza/acepta la Hipótesis Nula con una muy 
fuerte evidencia que la misma no es cierta. 
 Es un prueba unilateral / bilateral para la media muestral/ poblacional. 
 La probabilidad de error de Tipo I es 0,025/0,05 
Ejercicio 3.-La duración de las baterías de cierto equipo sigue una distribución normal con media µ=45,5 hs y 
8,2 hs. Si se toma una muestra aleatoria simple de 49 equipos, responda: 
a)¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de los equipos de la muestra esté comprendida entre 44,6 
hs y 45,1 hs?. Respuesta abreviada: P(-2,25< z < - 1)=0,1587- 0,0122= 0,1465 
b) )¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de los equipos de la muestra sea al menos de 46,1 hs?. 
Respuesta abreviada: P(z > 1,5)=0,0668 
c)¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad ,de que la duración promedio de los 
equipos no supere las 46,8 hs, sea igual al 85%?. 
Respuesta abreviada: P(z < 
46,8−45,5
2,8/ 𝑛
 )=0,85→
46,8−45,5
2,8/ 𝑛
=1,04→ 𝑛 ≅5 
Ejercicio 4.-Se quiere medir la efectividad de cierto equipo de bombas para realizar desagotes pluviales. Para 
ello, se observan 10 aparatos en iguales condiciones de funcionalidad, antes y después de incorporarle una 
nueva pieza que aumenta su capacidad de reacción y velocidad (en cm
3
/seg) para esos desagotes. Los datos se 
encuentran en el siguiente cuadro: 
Aparato 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Antes 20 17 21 18 22 14 20 23 15 21 
Después 22 20 28 19 22 17 18 19 15 22 
 
Valor diferencia(𝑑𝑖) -2 -3 -7 -1 0 -3 2 4 0 -1 
Estime si el aumento de la reacción producida por la nueva pieza, es efectivo, con una confianza del 99%. 
H0: µd≥ 0 versus H1 : µd< 0 
𝑑 =
 𝑑𝑖
10
→ 𝑑 = −1,1 𝑠𝑑= 
 (𝑑𝑖−𝑑 )
2
𝑛−1
→ 𝑠𝑑 ≅ 2,998 
Estadístico t=
−1,1
2,998/ 10
 = -1,16, entonces p=P(t9 < -1,16)→ 𝑝 ≅0,10 > 𝛼. Por lo tanto, no se rechaza H0, lo que 
significa que no habría suficientes evidencias para sostener el aumento de reacción con la incorporación de la 
nueva pieza 
 
Ejercicio 5.-Por investigaciones previas se sabe que ciertos detonadores empleados con explosivos, cumplen 
con los requerimientos de que al menos el 90% encenderá el explosivo al ser detonado. Para saber si se sigue 
sosteniendo esta hipótesis, se tomó una muestra aleatoria la que arrojó una proporción 𝑝 =0,87 de detonadores 
que funcionaron adecuadamente. Se pide: 
a) Plantee las hipótesis correspondientes e interprete las mismas. 
𝐻0:𝜋 ≥ 0.90 vs. 𝐻1:𝜋 < 0.90 
b) Si el valor del estadístico de prueba es -1,41, ¿puede ser rechazada H0 al 0,05?, ¿por qué?. 
Para 𝛼 = 0,05, se tiene la siguiente situación gráfica: 
 
 
 
Vemos que el valor -1,41 NO CAE EN LA ZONA DE RECHAZO, por lo tanto no se rechaza la 
Hipótesis Nula. Ello significa que se sigue sosteniendo, al 5%, que los detonadores empleados con 
explosivos, cumplen con los requerimientos de que al menos el 90% encenderá al ser detonado 
c) Calcule el p-valor y determine con qué grado de evidencia se rechaza o no la Hipótesis Nula. 
p=P(𝑧 < −1,41) = P(𝑧 > 1,41) = 0,0793. Como p > ∝ (aunque bastante próxima), se tiene alguna 
evidencia para no rechazar la hipótesis nula 
Ejercicio 6. En un grupo de 8 personas, se miden las cantidades antopométricas peso (en kg) y edad (en años), 
obteniéndose los siguientes resultados: 
 
Edad 12 8 10 11 7 7 10 14 
Peso 58 42 51 54 40 30 49 56 
a) Realice un gráfico de dispersión. 
b) En el supuesto de una relación lineal, utilice el método de mínimos cuadrados para calcular los 
coeficientes de regresión. 
c) a= 13,53 b= 3,44 
Interprete el significado de la pendiente. El valor de la pendiente representa la variación del peso de una 
persona, en kg, por cada cambio de la edad en años. 
d) Estime el peso de la persona cuya edad es 13 años. Rta. 58 kg aproximadamente. 
e) Calcule el coeficiente de correlación muestral y conjeture acerca del grado de 
relación lineal entre dicha variables. 
 𝑥 − 𝑥 . (𝑦 − 𝑦 ) (𝑥 − 𝑥 )2 (𝑦 − 𝑦 )2 
22.3125 4.5156 110.25 
10.3125 3.5156 30.25 
0.4375 0.0156 12.25 
7.3125 1.2656 42.25 
21.5625 8.2656 56.25 
50.3125 8.2656 306.35 
0.1875 0.0156 2.25 
35.0625 17.0156 72.25 
 
 r =
 𝑥−𝑥 .(𝑦−𝑦 )
 (𝑥−𝑥 )2. (𝑦−𝑦 )2
→ 𝑟 = 
147 .5
 42.8748 . 632 .1
→ 𝑟 ≅ 0,89 
El valor de r es 0,89. Dado que 0,8 < r < 1, se concluye que habría una correlación lineal muy alta o fuerte 
entre ambas variables 
f) Calcule el coeficiente de determinación 𝑅2, e interprete su significado, determinando en qué porcentaje 
(aproximado) el modelo propuesto explica el comportamiento de ambas variables. 
En un 80%, aproximadamente, el modelo explica el comportamiento lineal entre ambas variables. 
 
g) En base al coeficiente de correlación de Pearson calculado, ¿ es la correlación 
estadísticamente significativa al 5%?. 
Hipótesis: 𝐻0: 𝜌 = 0 vs. 𝐻1: 𝜌 ≠ 0 
𝑡𝐻0 = 4,59, p=2P(t6 >4,59)→ 𝑝 ≅ 2. 0,005 < 𝛼 
Se rechaza la hipótesis, lo que significa que la correlación es estadísticamente significativa al 5%. 
Ejercicio 7. Se toma una muestra de 16 sistemas de rociadores contra cierto tipo de incendios, obteniéndose 
una temperatura de activación promedio de 135,08ºF y un desvío estándar de 1,1 ºF. Si la distribución de los 
tiempos de activación es normal y, hasta ahora, se viene sosteniendo que dicha temperatura es de no más de 
130ºF. Teniendo en cuenta que el estadístico de prueba es, aproximadamente igual a 18,473: 
a)Plantee las respectivas hipótesis. H0: µ≤ 130 versus H1 : µ>130b)Calcule el p-valor y con un nivel de significación del 5% , decida si se sigue sosteniendo que la temperatura 
de activación no supera los 130ºF. Se busca el p en la tabla de Student : p<0,0005<𝛼 . Por lo tanto, se rechaza 
H0 ,lo que significa que habrían evidencias extremadamente fuertes para no seguir sosteniendo que la 
temperatura de activación es a lo sumo 130°F. 
Ejercicio 8.- Se realiza cierto cultivo en dos campos separados. Cuando lo cultivado, está listo para ser 
cosechado, interesa saber si las alturas de las plantas difieren significativamente entre los dos campos. Para ello, 
se toma una muestra aleatoria de plantas de cada campo y se mide sus alturas. Un resumen de los resultados se 
muestra a continuación: 
 
a) Plantee las hipótesis correspondientes e interprete las mismas. 
𝐻0: µ𝐴 = µ𝐵 versus 𝐻0: µ𝐴 ≠ µ𝐵 (Las alturas de las plantas entre los campos A y B no difieren 
significativamente, versus, las alturas difieren significativamente). 
b) Calcule el valor del estadístico de prueba para determinar si debe ser rechazada H0 al 0,05. 
𝑡 =
1,3−1,6
 
0,25
22
+
0,09
24
≅ −2,44. 
 
 
 −𝑡𝑐 ≅ −2,02 𝑡𝑐 ≅ 2,02 
 
Como t cae en la zona de rechazo (cola izquierda de área 0,025) se rechaza la hipótesis nula al 5%. 
 
c) Calcule el p-valor y determine con qué grado de evidencia se rechaza o no la Hipótesis Nula. 
 p=2P(𝑡44< - 2,44)≅2. 0,01≅0,02 < ∝. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula con cierta evidencia de 
que la hipótesis nula no es verdadera. Ello significa que, habría diferencias significativas al 5%, en las 
alturas de las plantas entre los respectivos campos. 
Ejercicio 9.- Los siguientes valores corresponden a cantidad de lluvias registradas durante cierto mes del año 
(en ml), en diez localidades de una región: 
 125 308 244 198 265 278 199 256 289 189 
Suponiendo que la muestra es aleatoria y proviene de una población distribuida normalmente, determinar un 
intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.Como el tamaño de la muestra es menor que 30 y la 
varianza poblacional es desconocida, el intervalo de confianza es de la forma: 
 𝑥 −𝑡𝑛−1,𝛼/2 .
𝑠
 𝑛
, 𝑥 +𝑡𝑛−1,𝛼/2.
𝑠
 𝑛
 
Donde 𝑥 =235,1 , s= 56,17, 𝑡𝑛−1,𝛼/2=𝑡9,0,005 =3,250. Luego, el intervalo es: 
 I= (177,372 ; 292,828)