guía raíces y racionalizacion

Vista previa del material en texto

Asignatura: Introducción al Algebra / Profesor: Rafael Palacios 
Clase 4 - raíces y racionalización 
Raíces 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 
En caso de exponentes al cuadrado (exponente par) dentro de la matriz 
√𝑎2 = |𝑎| 
Esto quiere decir 
√𝑎2 = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 > 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
 
En caso de a=0, la raíz siempre será igual a cero. 
No hay que confundirse con 
(√𝑎)2 = a (esto siempre será igual a a) 
√𝑎2 = (√𝑎)2 solamente si a es mayor o igual que cero 
Propiedades de las raíces 
1) √𝑎
𝑛
∗ √𝑏
𝑛
= √𝑎𝑏
𝑛
 
2) 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
 
3) √ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑛𝑚
 
4) √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 
5) 𝑎 ∗ √𝑎
𝑛
= √𝑎𝑛 ∗ 𝑎
𝑛
 
6) √𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚𝑞
𝑛𝑞
 
Ejemplo 
√4
3
∗ √2 
√22
3
∗ √2 ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 2 𝑦 3. 
√24
6
∗ √23
6
= √27
6
= 2√2
6
 
 
Técnica para simplificar raíces con exponente mayor al índice 
√𝑎131
3
 
 
Para simplificar esta raíz, debemos dividir el exponente por el índice 131/3=43,66666, la parte entera (43) es el 
exponente de la a que sale fuera de la matriz. Luego dentro de la matriz a quedará elevado a 131 - 3*43 
(exponente menos índice por la parte entera de la división anterior) da 2. Queda: 𝑎43 √𝑎2
3
 
Racionalización 
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador es encontrar otra expresión equivalente que no tenga 
raíces en el denominador. 
 
Ejemplos: 
1) 4
√2
 
2) 
2
√2+1 
 
3) 
4
√2
3 
4) 
𝑎
√𝑎77
5 
 
Soluciones ejemplos 
1) 
4
√2
∗
√2
√2
=
4√2
2
= 2√2 
2) 
2
√2+1
por que puedo multiplicar para sacar la 
raiz de abajo. 
2
√2 + 1
∗
√2 − 1
√2 − 1
=
2√2 − 2
2 − √2 + √2 − 1
=
2√2 − 2
2 − 1
= 2(√2 − 1) 
3) 
4
√2
3 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑎 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧? 
4
√2
3 ∗
√22
3
√22
3 =
4√22
3
2
= 2√22
3
 
 
 
Guía de ejercicios clase 4 
1. √−8
3
= 
2. (−2√2𝑎
6
)
3
= 
 
3. √1 − √9 = 
 
4. √32 − √8 + √18 = 
 
5. (√8 − √2)
2
= 
 
6. (√5 + √7)
2
− (12 + 2√35) = 
 
7. √18 + √12 − √48 + √50 = 
 
8. (1 − 2√2)
2
− (√2 − 1)
2
= 
 
9. (
1−√2
√2
)
2
= 
 
10. [
√(𝑚+𝑛)3
√(𝑚+𝑛)2
+ 
√𝑚2−𝑛2
√𝑚−𝑛
] ∶ √𝑚 + 𝑛 = 
11. 
1
√(0,1̅)2
4 = 
 
12. √211 + 28 = 
 
13. √2 ∗ √2
3
= 
 
14. √2
3
∗ √4
3
∗ √8
3
= 
 
15. (√24 − √8) ∶ √2 = 
 
 
16. 
√−8
3
+ √125
3
− √27
3
√64
3 = 
 
17. √(𝑎 − 𝑏)9
3
= 
 
18. 
√2
√2
4 = 
 
19. √√36
3
= 
 
20. √√2√2 = 
 
21. √√64𝑥6
3
= 
 
22. (
3𝑎−2
4𝑏
−
1
3
)
−1
= 
 
23. 
(9𝑠𝑡)3/2
(27𝑠3𝑡−4)2/3
= 
 
24. (
−2𝑥
1
3
𝑦
1
2 𝑧
1
6
)
4
= 
 
25. √𝑎5𝑛+1
𝑛
∶ √𝑎
𝑛
= 
 
26. √(𝑥 − 1)2
3
∶ √(𝑥 − 1)3 = 
 
27. 
√272
3
 ∗ 21/2
√23
= 
 
28. ¿Cuál es el cuadrado de la suma de √𝑐 + 1 +
 √𝑐 − 1? 
 
29. Si w = 2, ¿cuál es el valor de 
𝑤
3
2 − √𝑤
√𝑤
? 
 
30. Si a = 9/49, b = 4 y c = 9, ¿cuál es el valor de 
(√𝑎𝑏 + 
√𝑎
√𝑏
) + (√𝑎𝑐 + 
√𝑎
√𝑐
)? 
I) Racionalización 
 
1. 
2
2−√2
= 
 
2. 
1
(1+√2)
2 = 
 
3. 
√3+ √2
√3− √2
= 
 
4. 
1−√2
3−2√2
= 
 
5. 
𝑎√𝑏
𝑎√𝑏+𝑎
= 
 
 
6. 
√75+ √12
√3
= 
 
7. 
2
1+√2
+ 
√2
1−√2
= 
 
8. 
2
√4
3 = 
 
9. 
2
√3
3
+3
 
10. 
2
√3
3
−3