Nociónes básicas matemáticas

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1.1. Contenido de la propuesta. 
LEY DE SIGNOS. 
La "Ley de Signos" se refiere a las reglas que rigen las operaciones 
algebraicas con números positivos y negativos. Estas reglas se aplican en la 
suma, resta, multiplicación y división de números con signos. Aquí están las 
principales reglas de la Ley de Signos: 
Suma de números con el mismo signo: 
Si sumas dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), 
el resultado es un número con el mismo signo. 
 Ejemplo: 3 + 5 = 8 (-2) + (-4) = -6 
Suma de números con signos opuestos: 
 Si sumas dos números con signos opuestos (uno positivo y otro negativo), resta 
el número más pequeño del más grande y usa el signo del número más grande. 
Ejemplo: 7 + (-3) = 4 (-6) +2 = -4 
Multiplicación y división: 
El producto o cociente de dos números con el mismo signo es siempre positivo. 
El producto o cociente de dos números con signos opuestos es siempre negativo. 
Ejemplo: (-2) x (-3) = 6 
15
−5
= −3 
 
 
 
 
 
Actividades a desarrollar: 
1. 5 + (−3) = 
2. (−10) + 5 = 
3. (−16) + (−8) = 
4. (−8) + (−8) = 
5. 5 + (−3) = 
6. (−5)x(−5) = 
7. −(−8) + (−5) + 3 = 
8. +8 − (8 + 5) = 
9. 
12
−6
+ 3 = 
10. 
−5
15
+ 3(−5) + 8 − 5 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JERARQUIA DE OPERACIONES. 
La jerarquía de operaciones es un conjunto de reglas que establece el 
orden en el que deben realizarse las operaciones en una expresión matemática. 
Estas reglas garantizan que las operaciones se realicen de manera consistente 
y que las expresiones matemáticas tengan un significado único. La jerarquía de 
operaciones sigue el siguiente orden: 
Paréntesis: 
 Las operaciones dentro de paréntesis deben realizarse primero. Si hay varios 
conjuntos de paréntesis, se deben resolver de adentro hacia afuera. 
Ejemplo: 
3 𝑥 (4 + 2) = 3 𝑥 6 = 18 
Exponentes: 
Después de resolver las operaciones dentro de paréntesis, se deben calcular los 
exponentes o potencias 
Ejemplo: 
23 = 2 𝑥 2 𝑥 2 = 8 
Multiplicación y División: 
Las operaciones de multiplicación y división se realizan de izquierda a derecha 
en el orden en que aparecen en la expresión. 
Ejemplo: 
4 𝑥 3 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 
 
 
Adición y Sustracción: 
Las operaciones de suma y resta se realizan de izquierda a derecha en el orden 
en que aparecen en la expresión. 
Ejemplo: 
𝟓 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟕 − 𝟏 = 𝟔 
Actividades a desarrollar: 
1. (30 − 24) ÷ 6 = 
2. (5 × 6 × 3) ÷ 15 = 
3. (9 + 6 − 3) ÷ 4 + (8 + 2) ÷ 3 − (5 − 3) ÷ 2 = 
4. 150 ÷ (25 × 2) + 32 = 
5. 8 ÷ 2 × 5 + (9 − 1) = 
6. (15 − 2)4 + 3(6 ÷ 3) − 18 = 
7. (3 + 2) ÷ 5 + (8 + 10) ÷ 2 = 
8. 8 + 4 ÷ 2 × 3 − 4 ÷ (2 × 2) = 
9. [(9 − 4) ÷ 5 + (10 − 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 18 + 2 
10. 200 ÷ (8 − 6)(5 − 3) 
INVERSA DE LAS OPERACIONES. 
 
Cuando se refiera a una inversa de una operación matemática, se refiere 
a la operación que deshace o deshace el efecto de la operación original. 
Suma e Inversa de la Suma: 
 Operación: a + b 
 Inversa: Resta (-) La inversa de la suma es la resta. 
Resta e Inversa de la Resta: 
Operación: a - b 
Inversa: Suma (+) La inversa de la resta es la suma. 
Multiplicación e Inversa de la Multiplicación 
 Operación: a x b 
 Inversa: División (÷) La inversa de la multiplicación es la división. 
División e Inversa de la División 
 Operación: 
𝑎
𝑏
 
 Inversa: Multiplicación (x) La inversa de la división es la multiplicación. 
Exponente y Raíz: 
Operación: 𝑎𝑛 
Inversa: Raíz n-ésima √𝑎𝑛
𝑛
 La raíz n-ésima de 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑎 
Estas relaciones ilustran cómo las operaciones y sus inversas están 
relacionadas entre sí. Utilizando las inversas, puedes deshacer una operación y 
volver al valor original. Es importante recordar que, en algunos casos, como la 
raíz cuadrada y el exponente, puede haber restricciones en los valores para los 
cuales las operaciones e inversas son definidas (por ejemplo, raíces cuadradas 
solo de números no negativos). 
Actividad a desarrollar: 
Complete las siguientes definiciones: 
o La inversa de la suma es ………………. 
o La inversa de la resta es ………………. 
o La inversa de la multiplicación es ………………. 
o La inversa de la división es ………………. 
o La inversa del exponente es ………………. 
o La inversa de la raíz es ………………. 
 
 
Propiedades de los Números 
Las propiedades de los números son características o reglas que 
describen cómo se comportan los números bajo ciertas operaciones 
matemáticas, como la suma, la resta, la multiplicación o la división. Algunas de 
las propiedades más comunes son: 
Propiedad Conmutativa: El orden de los números no altera el resultado de la 
operación de suma o multiplicación. 
➢ Suma: a + b = b + a 
➢ Multiplicación: a * b = b * a 
Por ejemplo: 
Si a = 3 y b = 5, entonces a + b = b + a 
➢ 3 + 5 = 8 y 5 + 3 = 8 
Por último, si a = 4 y b = 7, entonces a * b = b * a 
➢ 4 * 7 = 28 y 7 * 4 = 28 
Propiedad Asociativa: La manera en que se agrupan los números en una 
operación no afecta el resultado. 
➢ Suma: (a + b) + c = a + (b + c) 
➢ Multiplicación: (a * b) * c = a * (b * c) 
Por ejemplo: 
Si a = 2, b = 5 y c = 3, entonces (a + b) + c = a + (b + c) 
➢ (2 + 5) + 3 = 7 + 3 = 10 y 2 + (5 + 3) = 2 + 8 = 10 
Por último, si a = 3, b = 4 y c = 2, entonces (a * b) * c = a * (b * c) 
➢ (3 * 4) * 2 = 12 * 2 = 24 y 3 * (4 * 2) = 3 * 8 = 24 
Propiedad Distributiva: La multiplicación distribuye sobre la suma o resta. 
➢ a * (b + c) = a * b + a * c 
➢ a * (b - c) = a * b - a * c 
Por ejemplo: 
Si a = 2, b = 3 y c = 4, entonces a * (b + c) = a * b + a * c 
➢ 2 * (3 + 4) = 2 * 7 = 14 y 2 * 3 + 2 * 4 = 6 + 8 = 14 
Por último, si a = 5, b = 8 y c = 3, entonces a * (b - c) = a * b - a * c 
➢ 5 * (8 − 3) = 5 * 5 = 25 y 5 * 8 – 5 * 3 = 40 - 15 = 25 
Finalmente deducimos que las propiedades de los números son reglas básicas 
que rigen su comportamiento en operaciones matemáticas. 
Actividad a desarrollar: 
a) __ + __ = 10 y __ + 7 = __ 
b) 5 * __ = __ y __ * __ = 15 
c) (2 + 5) + 3 = __ + __ = __ y 2 + (5 + 3) = __ + __ = __ 
d) (3 * 4) * 2 = __ * __ = __ y 3 * (4 * 2) = __ * __ = __ 
e) 2 * (3 + 4) = __ * __ = __ y 2 * 3 + 2 * 4 = __ + __ = __ 
f) 5 * (8 − 3) = __ * __ = __ y 5 * 8 – 5 * 3 = __ - __ = __ 
 
 
 
Propiedades de la Potencia 
Producto de potencias con la misma base: Cuando se multiplican potencias 
con la misma base, se suman los exponentes. 
➢ 𝑎𝑚 * 𝑎𝑛 - 𝑎𝑚+𝑛 
Por ejemplo: 
➢ 23 + 24 = 23+4 =27 = 128 
Cociente de potencias con la misma base: Al dividir potencias con la misma 
base, se restan los exponentes. 
➢ 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
 = 𝑎𝑚+𝑛 
Por ejemplo: 
➢ 
56
53
 = 56−3 = 125 
Potencia de una potencia: Cuando elevas una potencia a otra potencia, se 
multiplican los exponentes. 
➢ (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
Por ejemplo: 
➢ (32)4 = 32∗4 = 38 = 6561 
Potencia de un producto: Si tienes un producto elevado a un exponente, 
puedes distribuir ese exponente a cada factor. 
➢ (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 * 𝑏𝑛 
Por ejemplo: 
➢ (2 ∗ 3)4 = 24 * 34 = 16 * 81 = 1296 
 
Estas propiedades que son fundamentales para simplificar expresiones con 
exponentes, factorizar términos y resolver ecuaciones con potencias, ayudan a 
manipular y trabajar con exponentes de manera más eficiente en matemáticas. 
Actividad a desarrollar: 
➢ 33 + 34 = __ = __ = __ 
➢ 63 + 64 = __ = __ = __ 
➢ 
26
23
 = __ = __ 
➢ 
86
83
 = __ = __ 
➢ (72)4 = __ = __ = __ 
➢ (42)4 = __ = __ = __ 
➢ (2 ∗ 3)4 = 24 * 34 = 16 * 81 = 1296 
➢ (2 ∗ 3)4 = 24 * 34 = 16 * 81 = 1296 
 
 
Propiedades de la Radicación 
Las propiedades de la radicación son reglas que se aplican al manipular 
expresiones que incluyen raíces, estas propiedades son útiles para simplificar, 
combinar o manipular términos con raíces. Aquí están algunas de las 
propiedades principales de la radicación: 
Productos radicales: La raíz de un producto es igual alproducto de las raíces 
individuales. 
➢ √𝑎 ∗ 𝑏 = √𝑎 * √𝑏 
Por ejemplo: 
➢ √4 ∗ 9 = √4 * √9 = 2 * 3 = 6 
Cocientes radicales: La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces. 
➢ 
 √𝑎 
 √𝑏 
 = 
 √𝑎 
 √𝑏 
 
Por ejemplo: 
➢ 
 √25 
 √4 
 = 
 √25 
 √4 
 = √6.25 = 2.5 
Potencia de radicales: La raíz de una potencia es igual a la potencia de la raíz. 
➢ (√𝑎 )
𝑛
 = √𝑎𝑛 
Por ejemplo: 
➢ (√𝟗 )
𝟑
 = √𝟗𝟑 = √𝟕𝟐𝟗 = 27 
Raíz de un producto o un cociente: La raíz de un producto o cociente es igual 
al producto o cociente de las raíces. 
➢ Raíz de un producto: √𝑎 * √𝑏 = √𝑎 ∗ 𝑏 
➢ Raíz de un cociente: 
 √𝑎 
 √𝑏 
 = √
𝑎
𝑏
 
La propiedad de la raíz de un producto establece que la raíz de un 
producto es igual al producto de las raíces individuales. Por último, la propiedad 
de la raíz de un cociente establece que la raíz de un cociente es igual al cociente 
de las raíces individuales. 
Actividad a desarrollar: 
➢ √25 ∗ 9 = __ * __ = __ * __ = __ 
➢ √4 ∗ 49 = __ * __ = __ * __ = __ 
➢ 
 √81 
 √9 
 = __ = __ = __ 
➢ 
 √25 
 √49 
 = __ = __ = __ 
➢ (√𝟏𝟔 )
𝟑
 = __ = __ = __ 
➢ (√𝟑𝟔 )
𝟑
 = __ = __ = __ 
 
 
 
Ecuaciones e Inecuaciones 
Las ecuaciones son expresiones matemáticas que establecen la igualdad 
entre dos cantidades, las ecuaciones tienen la forma general 𝐸1 = 𝐸2 y 
normalmente incluyen una variable cuyo valor se busca. 
Por ejemplo: 
➢ 2x + 3 = 7 
Para resolverla debemos aislar la variable y restar 3 en el lado derecho de la 
ecuación. 
➢ 2x = 7 – 3 
➢ 2x = 4 
A continuación, despejamos la variable y la dividimos por 2 
➢ x = 
4
2
 
➢ x = 2 
Por lo tanto, la solución para la ecuación es x = 2 
En base al ejemplo anterior, sabemos que una ecuación es una expresión 
matemática que establece la igualdad entre dos cantidades o expresiones, 
generalmente, involucra una o más incógnitas y se representa mediante el uso 
de signos de igualdad (=). 
Las inecuaciones son expresiones matemáticas que establecen una 
desigualdad entre dos cantidades. Tienen la forma general 𝐸1 < 𝐸2 y su solución 
es un conjunto de valores que satisfacen la desigualdad. 
Por ejemplo: 
➢ 3x – 5 > 10 
Para resolverla al igual que en la ecuación debemos aislar la variable y sumar 5 
a ambos lados de la inecuación. 
➢ 3x > 10 + 5 
➢ 3x > 15 
A continuación, despejamos la variable y dividimos por 3. 
➢ x > 
15
3
 
➢ x > 5 
Por lo tanto, la solución para la inecuación es x > 5 
Las ecuaciones y las inecuaciones son herramientas fundamentales en 
matemáticas que se utilizan para modelar y resolver una amplia variedad de 
problemas en contextos reales y abstractos, resolver estas expresiones 
matemáticas implica seguir una serie de pasos para encontrar los valores que 
hacen que las igualdades o desigualdades sean verdaderas. 
Actividad a desarrollar: 
➢ 6x - 3 = 8 
➢ 3x + 9 = 4 
➢ 6x + 3 = 6 
➢ 8x – 4 > 10 
➢ 2x – 8 < 11 
➢ 12x + 5 > 2 
 
 
 
CASOS DE FACTORZACIÓN 
1er. Caso. Factor Común 
Características: 
❖ Se aplica en binomios y polinomios. 
❖ Todos los términos tienen algo en común. 
Proceso para factorizar. 
1. Se extraer el MCD (Máximo común divisor) de los coeficientes 
2. De las variables se extraer el menor exponente 
3. Se escribe el factor común, luego dentro de un paréntesis se describe el 
polinomio restante que se les disminuyo el factor común. 
Ejemplo: 
6𝑥 + 6𝑦 = 6 (𝑥 + 𝑦) 15𝑚4 + 20𝑚3 = 5𝑚3(3𝑚 + 4) 
2do. Caso. Factor Común por Agrupación de Términos. 
Características: 
❖ Se desarrolla cuando existen polinomios con 4,6,8 a más términos. 
❖ No hay factor común. 
Proceso para factorizar. 
1. Se agrupan grupos de igual números de términos, encontrando algún 
rasgo en común que tengan entre los términos. 
2. Se agrupan dentro de paréntesis. 
3. Se cambian los términos encerrados en el paréntesis siempre y cuando 
este precedido por signo negativo. 
4. Se ubica el factor común de cada grupo. 
 
Ejemplo: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 
= (𝑎𝑥 + 𝑎𝑦) + (𝑏𝑥 + 𝑏𝑦) 
= 𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦) 
= (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) 
3er. Caso. Diferencia de Cuadrados Perfectos 
Características: 
❖ Se aplica en binomios, donde el primer término es positivo y el tercer 
término negativo 
❖ Los coeficientes de los términos son raíces cuadradas perfectas. 
Proceso para factorizar. 
1. Se extrae la raíz cuadrada de cada termino 
2. Se escriben dos paréntesis que indiquen una multiplicación 
3. Se escriben en ambas raíces los términos dados por la raíz cuadrada, en 
el primer paréntesis las separa el signo positivo y en el segundo el signo 
negativo) 
Ejemplo: 
𝑥2 − 𝑦2 √𝑥2 = 𝑥 √𝑦2 = 𝑦 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 
4to. Caso. Trinomio Cuadrado Perfecto 
Características: 
❖ El primer y tercer término son raíces cuadradas perfectas 
❖ El primer término y tercer término son positivos 
❖ El doble producto entre la primer y segunda raíz da como resultado el 
segundo término de la expresión. 
Proceso para factorizar. 
Se extrae la raíz cuadrada perfecta del primer y tercer término. 
Se abre un paréntesis elevado al cuadro. 
Dentro del paréntesis se escriben tanto la primera y segunda raíz extraída y las 
separadas el signo del segundo término de la expresión. 
Ejemplo: 
9𝑥2 + 18𝑥𝑦 + 9𝑦2 
√9𝑥2 = 3𝑥 √9𝑦2 = 3𝑦 
=(3𝑥 + 3𝑦)2 
 
5to. Caso. Trinomio de la forma 𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 
Características: 
❖ Esta organizado en forma descendente 
❖ El coeficiente del primer término es 1 
❖ El grado del primer término debe ser el doble de grado del segundo 
término. 
Proceso para factorizar. 
1. Se abren dos paréntesis, en el primero se define el signo al multiplicar los 
signos del primer y segundo término, en el otro paréntesis se obtiene el 
signo al multiplicar los signos del segundo y tercer término. 
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer término y se escribe en los dos 
paréntesis. 
3. Se encuentra dos números que al multiplicarlos den como resultado el 
término independiente y que al sumarlos den el segundo término. 
4. Se escriben esas dos cantidades en los espacios de los paréntesis, 
cumpliendo la condición. 
Ejemplo: 
𝑥2 − 2𝑥 − 15 √𝑥2 = 𝑥 
= ( 𝑥 − )( 𝑥 + ) 
Los números que cumplen la condición especificada en el punto tres son -5 y +3 
= ( 𝑥 − 5 )( 𝑥 + 3) 
 
6to. Caso. Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 
Características: 
❖ Esta organizado en forma descendente 
❖ El coeficiente del primer es positivo y diferente a 1 
❖ El grado del primer término debe ser el doble de grado del segundo 
término. 
Proceso para factorizar. 
1. Se debe multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal 
2. En el numerador se realiza la propiedad distributiva, teniendo en cuenta 
que el segundo término el producto no se realiza solo se deja expresado. 
3. Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que sobro en el 
paréntesis en el segundo término. 
4. Aplicamos el 5to caso de factorización. 
5. Aplicamos factor común. 
6. Para finalizar, simplificamos la fracción. 
 
Ejemplo: 
6𝑥2 + 5𝑥 − 4 
=
6(6𝑥2 + 5𝑥 − 4)
6
 
=
36𝑥2 + 5(6𝑥) − 24
6
 
= (6𝑥)2 + 5(6𝑥) − 24
6
 
=
(6𝑥 + 8)(6𝑥 − 3)
6
 
=
2(3𝑥 + 4)3(2𝑥 − 1)
6
 
= (3𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) 
 
 
7mo. Caso. Suma y Diferencia de Cubos perfectos. 
Características: 
❖ Se aplica en binomios, el primer término debe ser positivo. 
❖ Los términos contienen raíces cubicas perfectas. 
Proceso para factorizar. 
1. Se extrae la raíz cubica de los dos términos. 
2. Se abren dos paréntesis, en el primero se construye un binomio con el 
resultado de las dos raíces cubicas obtenidas, en el segundo paréntesis 
se construye un trinomio con el siguiente orden: el primer al cuadrado, 
luego el primero por el segundo, y por último el segundo al cuadrado. 
3. Para finalizar se escriben los signos,lo cual se tiene la siguiente 
definición. 
Suma de cubos: 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Diferencia de cubo: 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
Ejemplo: 
27𝑥3 + 125𝑦9 √27𝑥3
3
= 3𝑥 √125𝑦9
3
= 5𝑦3 
= (3𝑥 + 5𝑦3)[(3𝑥)2 − (3𝑥)(5𝑦3) + (5𝑦3)2] 
(3𝑥 + 5𝑦3)(9𝑥2 − 15𝑥𝑦3 + 25𝑦6) 
 
Actividades a desarrollar. 
Realice los siguientes ejercicios sobre los casos de factorización. 
1. 4𝑥2 + 16𝑥 
2. 5𝑎 − 10𝑏 
3. 16𝑥2 − 49 
4. 𝑥2 − 4 
5. 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
6. 6𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 − 6 
7. 𝑥2 + 16𝑥 − 36 
8. 2𝑥2 − 7𝑥 − 15 
9. 15𝑥4 − 23𝑥 − 4 
10. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Resultados esperados. 
Con la propuesta planteada se espera lograr lo siguiente: 
• Que los estudiantes de segundo de bachillerato de la Unidad Educativa 
“Eugenio Espejo” fortalezcan sus conocimientos en nociones básicas 
matemáticas. 
• Sean capaces de deducir como las nociones básicas matemáticas 
influyen en el desarrollo de las operaciones complejas, es decir los 
ejercicios con un mayor grado de dificultad. 
• Con la guía didáctica propuesta la tenga como herramienta de apoyo en 
su proceso de enseñanza y aprendizaje en la asignatura de matemáticas, 
además desarrollar conocimientos solidos mediante una praxis constante.