08-FACTORIAL-DE-UN-NÚMERO-Y-NÚMERO-COMBINATORIO--SECUNDARIA

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4 
AÑO 
0 
0 
n 
2 
3 
C = 
p q 
Factorial - Combinatorio 
 
 
 
 
 
 
Factorial de un número ZZ+ 
llamamos 
Así al producto que resulta de multiplicar todos los 
números enteros y positivos consecutivos desde la 
unidad hasta el número considerado inclusive. 
 
representación 
 
n! Se lee: Factorial de "n" 
n o "n" factorial 
 
Ejemplos 
 
 
Está definido el 
fa c t o r ia l p a r a 
números enteros 
y positivos 
 
Ejemplos 
 
 
Operaciones 
que no se 
cumplen son: 
 
Adición y sustracción 
 
 
Propiedades 
 
1 
Por definición: 1! = 1 
Por acuerdo: 0! = 1 
2! = 2 = 1×2 = 2 
3! = 3 = 1×2×3 = 6 
 
8! sí existe 
a ± b  a ± b 
2 
4! = 4 = 1×2×3×4 = 24 
5! = 5 = 1×2×3×4×5 = 120
 
(-6)! no existe 
-5! sí existe 
Multiplicación 
Si: a! = b!  a = b 
a; b  0; 1 
6! = 6 = 1×2×3×4×5×6 = 720 
7! = 7 = 1×2×3×4×5×6×7 = 5040 
... 
en general: 
n! = n = 1.2.3.....(n - 2)(n - 1)n 
1 ! no existe 
4 
ab  a b 
 
División 
 
a 
 
a 
b b 
 
 
 
 
 
 
Número combinatorio 
 
 
Representación del número de combinaciones de 
"n" elementos tomados de "k" en "k". Notación: 
n 
C k ; n  ZZ
+  k 
su 
 
 ZZ+  k  n 
 
 
reglas de 
la las 
 
Definición matemática 
 
Regla práctica Propiedades 
 
Degradación 
 
 
 
C 
n 
=
 
 
es es 
 
"k" factores 
n 
 
son 
 
C 
n 
= 1 
 
superior e inferior 
 
C 
n 
= 
n 
C 
n - 1 
k k n - k
 
C 
n 
= 
n n(n-1)(n-2)...(n-k+1) n - k 
= n
 k k k - 1 
 
ejemplos 
k k n - k 1.2.3.....k 
"k" factores 
n - k C 1 = n 
C 
n 
= 1 
 
inferior 
 
4 
ejemplos complementarios 
 
C 
n 
= 
n - k + 1 
C 
n 
C 
4 
= 
2 4 - 2 
= 
24 
= 6 
2.2 
 
7 7.6.5 
k k k - 1 
n n 
 
C 
7 
= 
7 7.6.5. 4 
= 
3 4 6. 4 
 
= 35 
C 3= 
 
4
 
= 35 
1.2.3 
 
4.3 
C k = C n - k 
 
igualdad 
superior 
 
C 
n 
= 
 n 
C 
n - 1
 
 
50 50 
48
 
 
50.49. 48 
= = 1225 
C 2= 1.2 
= 6
 
C 
n 
= C 
n 
k n - k k 
48 2 48 2 
C 
7
= 
7.6.5.4 
= 35
 
4 1.2.3.4 1
ra 
posibilidad: p = q 
2
da 
posibilidad: p + q = n 
 
suma de combinatorios 
 
C 
n 
+ C 
n 
= C 
n + 1 
k k + 1 k + 1 
 
5 
 Problemas resueltos 
 
1. Si: 
 
9! 
Reemplazando: 
 
R = 
 
 
(7!  8. 7!).9! 
9.8.7!  7!  8.7! 
A = 
7!  8! 7! (1  8).9!
 
R = 
7! (72  1  8) 
=
 
9.9! 9! 
81 
= 
9 
 
 
 
Calcular: B A 
 
Solución: 
4!  5!  6! 
B = 
2!.3!.4! 
Luego: R = 8! 
 
 
4. Simplificar: 
 
 
 
 
 
 
(x  2)3.x! 
Reduciendo cada uno por la propiedad degradativa. T = 
(x  2)!  (x  1)!  x! 
 
- A = 
9.8.7! 
7!  8.7! 
=
 
9.8.7! 
9.7! 
= 8
 
 
 
Solución: 
- B = 
Luego: 
4!  5.4!  6.5.4! 
2.6.4! 
=
 
36.4! 
12.4! 
= 3
 
Degradamos: 
(x + 2)! = x!.(x + 1)(x + 2) 
(x + 1)! = x!.(x + 1) 
Reemplazando en el denominador: 
B A = 3 8 = 2 
 
 
 
2. Señale el equivalente de: 
K = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n! 
 
(x  2)3.x! 
T = 
x!.(x  1)(x  2)  x!.(x  1)  x! 
Factorizando “x!” en el denominador: 
 
(x  2)3.x! 
Solución: 
Por inducción matemática se tiene: 
Para un sumando: 
T = 
x![(x  1)(x  2)  (x  1)  1] 
 
(x  2)3 
1.1! = 1 = 2! - 1 
Para dos sumandos: 
1.1! + 2.2! = 1 + 4 = 5 = 3! - 1 
T = 
x 2 
 
 3x  2  x  2 
 
3 3
 
Para tres sumandos: 
1.1! + 2.2! + 3.3! = 23 = 4! - 1 
Para cuatro sumandos: 
..... = 5! - 1 
 
T = 
 
Luego: T = x + 2 
(x  2) 
x 2  4x  4 
(x  2) 
= 
(x  2)
2
 
Para “n” sumandos: 
1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n! 
= (n + 1)! - 1 
 
5. Reducir: 
 
 
 
S = 
7
 
 
 
 
8 9 10
 
 
 
 
11 12
 
 
 
3. Reducir la siguiente expresión: 
 
 1 
 
 
 
 
1 
-1 
 
 
 
Solución: 
Transformando: 
C
0 
C 
1
C
2 
C 
3 
C 4 C 5 
R = 
 7!  8! 9! 
 
C a C = C 
  7 7 8 
0 0 0 
 
Solución: 
Reemplazando y sumando de 2 en 2 se tiene: 
 
Dando común denominador: S = 
8 8
 
9 10
 
11 12
 
C
0 
C
1 
C
2 
C 
3
C 4 C 5 
9!  7!  8! 
-1 
9 9 10
 
 
11 12
 
  S = C 1 C2 C 3 C 4 C 5
 
R = 
 (7!  8!).9!  
Invirtiendo: 
S = 
10 10
 
11 12
 
 
(7!  8!).9! 
C 
2 
C 
3 
C 4 C 5 
R = 
9!  7!  8!
 
S = 11 11 12
 
 
 
8!  8.7!
 
C 
3 
C 4 C 5 
Degradamos: 

 
12 12
 

9!  9.8.7! 
S = C 4 C 5 
= C
13
 
 
6 6 6 
C 6 6 7 8  C 
3 
3 
3C  C 
3 
4C 
 9 8 
p-1 
C = 
C 8 9 
C 8 C 8 
p p  1 
5 
- 
9 
9 8 
6. Resolver: Reemplazando “” y “” en K: 
 
x x x
 
 
x x
3 
 6x - 3 
 
46  28
 
 
45 

C
0 + C 1 + C2 + C 3 = 6 
(C
9 )
 9 
C
8 
 28
 
x  IR 
K = 
4C46C45 
= 
4.9 
 
Solución: 
 
 
 
x(x - 1) 
 
 
 
 x(x - 1)(x - 2) 
 
 
 
x3  6x - 3 
9 8 
 
7 
Luego: K = 
9 
1 + x + 
2 
+ 
6 
= 
6 
Por 6: 
6+6x+3x(x-1)+x(x - 1)(x - 2) = x3+6x-3 
 
 
 
9. Calcular “m + n”, si: 
Cm + 2 C
m 
+ Cm + C
m2 
= C
10 
x2 -3x  2 
6 + 6x + 3x2 - 3x + x3 - 3x2 + 2x = x3 + 6x - 3 
x3 + 5x + 6 = x3 + 6x - 3 
5 
 
Solución: 
6 7 8 n-3 
x = 9 
Descomponiendo: 
2 C
m
 
 
= C
m
 
 
+ C
m
 
 
7. Hallar el valor de: 
 
7 7
 
 
Reemplazando y sumando combinatorios convenien- 
temente: 
3C
3 
 C4 m  Cm  Cm  Cm  Cm2 10 
n-3
 
E = 
4C7 

 
m1
 

 
m1
 
 
 
m 2 10
 
C
6 
 C7  C8
  C
n-3
 
 
Solución: 
Notamos que C 7 y C7 son complementarios. Luego se
 

 
m 2
 
 
m 2 10
 
4 3 
C7  C  C  8 n-3
 
cumple: 
 
 
7 7 7
 
 
 
Cm 3 = C10
 
C4 = C7- 4 = C3 
Reemplazando en “E”: 
 
Primer caso: 
8 n-3 
 
7 7 
E = 3 3 
4C7 
 
7 
 3 
= 
4C7 
= 1
 
m + 3 = 10  8 = n - 3 
m = 7  n = 11  m + n = 18 
Segundo caso: 
m + 3 = 10  8 + (n - 3) = 10 
m = 7  n = 5  m + n = 12 
 
8. Calcular: 
 
[C 45 ]2 - [C 45 ]2 
 
10.Calcular el valor de “p”, si: 
 
Cn-1Cn1 - CnCn-1
 
K = 
[C 46  C45 ]2 - [C 46 - C45 ]2 
p-1 p 1 p p-1 
= 8 
9 8 9 8
 
n 2 n1
 
n-1
 
(Cp ) - Cp 1Cp-1 
 
Solución: 
El numerador se pasa a una suma por diferencia, en el 
denominador se aplica Legendre: 
 
Solución: 
Para el numerador extraemos el factor: 
 
 
Cn-1 . En el 
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab denominador degradamos superior e inferior. 
 
[C 45  C45 ][C 45 - C45 ]
 
- ( Cn )2 = 
n 
. 
n 
= 
 n
 
n-1 n
 
K = 
 9 8 9 8 
4C46C45 
p Cp Cp p 
Cp-1 Cp 
9 8 
 n  1 n
 
 
Aplicamos la propiedad de suma: 
n1 
p1 p  1 Cp 
45 
+ C
45 
= C
46 
 
...... () Reemplazando se tiene: 
 
Degradamos la parte interior de C
45 
: 
Cp-1 Cp 1 - Cp 

n-1 
9 
n1 n 
 n n-1 n
 
 n  1
 
n n-1
 
 
45 
- C
45 
 
 28
 
= 
 37 
9 
 
45
 
 
45 
- C
45 
Cp-1Cp - 
CpCp-1 
= 
9 
C
8 
...... () 
 
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 11 e) 12 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
p 
C 
2 
C C 
C 
C 
1 2 

10 
5 
 
Cn-1 Cn1 - Cn 
5. Calcule el valor de “x”. 
p-1 p 1 p 
= 8 (x  5)!(x  11)! 
CnCn-1 
 n 
- 
n  1  (x  6)!  5(x  5)! 
= 20! 
p p-1 
 p p  1 
Ahora: Cn1 - Cn es equivalente a Cn .
 
p 1 p p1 
Luego, degradando la parte interior en el numerador: 
 
Cn1 
 
 
6. Calcule el valor de: 
= 8 
Cn 
 n 
- 
n  1  C8 p 
 p p  1 
 5 
8 
2 
n - (p  1)  1 
Cn
 n - p 
p  1 p 
= 
Cn 
 n - p 

p  1 
n - p 
= 8
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
p 
 p(p  1) 


Finalmente reduciendo: p = 8 
p(p  1) 
7. Sumar: 
7 6
 
 
 
 
7 8 9 10
 
C
0 
+ C1 + C2 + C3 + C 4 + C5 
 
Problemas para la clase 
a) C
10
 
 
b) 5 c) 
11 
 
1. Calcular el valor de “n” en: 
(4n - 6)! = 1 
 
11 
d) 6 
 
e) c o d 
 
 
7 
a) 
4 
3 
b) 
2 
1 
c) 
4 
 
2003 
0 
 
+ C2003 
 
+ C
2003 
- C
 
 
2003 
2001 
d) a y b e) a o b 
 
2. Calcular el valor de “n”: 
(n - 10)! = 120 
 
a) 1 b) 2 c) 10 
 
a) 2002 b) 2003 c) 2004 
d) 2005 e) 2006 
 
9. Calcular el valor de “n”: 
8 8 9 10 11
 
d) 14 e) 15 C2 + C3 + C 4 + C5 = Cn 
 
3. Reducir: 
 
9!.17! 
S = 
8!.18! 
 
 
1a) 5 b) 6 c) 7 
d) a o b e) a y b 
 
10.Indique la suma de los valores de “x” que verifican la 
ecuación: 
35
 
a) 1 b) 2 c) 
2 
 
1 
C35 
x2 
= C
2x 
d) 
4 
e) 6 
 
4. Si: 
 
6!  7!  8! 
A = 
6!  7!
 
 
11.Sabiendo que: 
 
 
 
3 77 76
 
 
 
 
 
 
Calcular “A.B” 
 
 
71! 
B = 
69!  70! 
 
 
k  ZZ+. Calcular: 
C
7k 
= 11 C
7k -1 
 
 
(k!)! 
k! 
 
a) 56 b) 560 c) 65 
d) 650 e) 1 
a) 1 b) 20 c) 120 
d) 160 e) 180 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) 11 
 
C 2 4 2n 
x 
C  C  C  C 
C = 
C 
C 
C 7 8 C = C 
C = 7 C 
0 
2 
+ 
12.Si: 
 
 
2(n!) - (n - 1)(n - 1)! 
20.Reducir: 
11! - 10! 10! - 9! 
A = + + 
 
 
9! - 8! 
+ ... 
A = n!  (n - 1)! 9! 8! 7! 
n  ZZ+. Entonces podemos afirmar que: 
 
a) A < 0 b) A > 2 c) A > 3 
d) A  ZZ e) A  1 
 
a) 380 b) 385 c) 386 
d) 387 e) 400 
 
21.Simplificar: 
 
13.Hallar el valor de “a” sabiendo que: 
2n 
 C2n 
2n 2n
 
 C2n 
2n
 
 ...  C2n 
2n
 
(a  7)!(a  5)! 
(a  6)! (a  5)! 
= 15! 
 
n  ZZ+ 
C1  C3  C5  ...  C2n-1 
 
 
 
a) 1 b) 
n 
n  1 
 
c) 2 
 
14.Indicar el valor de “n” que verifica: 
[(2n - 1)! - 113]! = 5 040 
 
2n 
d) 
2n - 1 
 
2n - 1 
e) 
2n 
 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 9 
22.Hallar la suma de todas las soluciones de: 
 
[Cx ] 
3 
15.Simplificar: 
[C
2 
] = 36
x - 2
 
 
18 18 19 20 
 5 6 7 8 
C21  C21 
 
a) 1 b) 3 c) 4 
d) 6 e) 7 
8 
 
 
1 
a) 1 b) 
2 
13 
 
 
 
c) 2 
 
23.Dado: 
 
 
 
m 1 
n-1 
 
 
 
x 
2 
...... (1)
 
d) - 3 e) 4 m 1 
n = x ...... (2) 
 
16.Calcular: 
 
 
10 10 10 10 
0 2 10 
m - n = 2 ...... (3) 
 
Calcular el valor de “ x ”.
 
C1 + C + ... + C 2 
 
a) 4 320 b) 1 280 c) 1 024 
d) 2 048 e) 4 096 
a) 10 b) 30 c) 35 
d) 70 e) 80 
 
17. Calcular el valor de “n” en: 
1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
24.Reducir: 
 
S = 
 
x  2; 4; 5 
 
 
(x - 4)! (x - 3)! (x - 2)! 
(x2 - 4x  4)(x2 - 9x  20) 
 
18.Hallar el valor de “x + y” si se cumple que: 
 
a) (x - 2)! b) (x - 3)! c) (x - 5)! 
x 3 
10 
+ C x 1 + 2 Cx 1 + x 1 
9 
y  2 
y -3 
d) (x - 6)! e) (x - 8)! 
 
25.La suma de valores de “x” que satisface la igualdad: 
a) 20 b) 22 c) 24 
d) 26 e) 28 
 
19.Hallar “n” en: 
(x-6)!+(x-5)!+(x-4)! = x3-14x2+64x-96 
 
a) 13 b) 14 c) 15 
d) 16 e) 17 
n 5 
n-1 
n 3 
n-1 
 
26.Hallar “x” en: 
1024.(x - 1)![1.3.5.7....(2x-3)] = (2x - 2)! 
 
a) 16 b) 18 c) 20 
d) 22 e) 24 
 

7 
12 C 
C 
C 7 
7 
7 
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 11 e) 12 
 
27. Hallar “n” en: 
 
 
 
1. Dado: 
 
Autoevaluación 
 
 
 
3!2!
0! 
 
 n-1 


 
n-1 


n-1  
A = 
 Cn- 4 


2C
n-3 
2 
C
n-2 ! = 120 

 
 
 
Calcular: 
 
 
 
A  B 
 
B = 2!3!
1!
 
a) 6 b) 5 c) 4 
d) 3 e) 2 
 
28.Después de efectuar: 
 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14 
 
S = Cn
 
- 2 C
n 
+ 3 C
n 
- ... + (-1)n-1.n Cn
 2. Calcular “x”: 
1 2 3 n 8 8 9
 
10 11
 
donde: n > 15, se obtiene: 
 
a) 0 b) 1 c) n 
C
2 
+ C
3 
+ C 4 + C5 
siendo: x > 5 
= C x 
d) - n e) n - 1 
 
29.Hallar “n”: 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
3. Calcular el valor de “n”: 
n n n n
 
C
0 
 3C1  5C2  ...  (2n  1)Cn = 
23 (n - 1)! + n! = 0,2(n + 1)! 
n n n n
 
C1  2C2  3C3  ...  nCn 
11 
a) 8 b) 7 c) 6 
d) 5 e) 4 
 
4. Sumar: 
 
30.La suma: 
9 9 10
 
11 12
 
S = ( Cn )2+2( Cn )2+3( C
n )2+...+n( Cn )2
 
C
2 
+ C
6 
+ C
6 
+ C
6 
+ C
6 
1 
es igual a: 
 
 
(2n - 1)! 
2 3 n 
 
 
 
(2n)! 
 
a) C7 
 
d) C15 
 
b) 13 
 
e) 16 
 
c) 14 
a) 
[(n - 1)!]
2 
 
(2n  1)! 
b) 
(n!)
2 
 
(2n - 1)!
 
 
5. Calcular el valor de “n”, si: 
3 C77 = 11 C76
 
c) 
[(n  1)!]
2 
d) 
(n - 1)! 
n n-1 
 
[(2n - 1)!]2 
e) 
(n - 1)! 
a) 20 b) 21 c) 22 
d) 23 e) 24