18-LOGARITMOS--ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

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Logaritmos I 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
 
En la época de los grandes descubrimientos, las operaciones 
aritméticas fueron clasificadas en tres especies: la primera 
especie la conformaban las operaciones de adición y 
sustracción; las de segunda especie eran la multiplicación 
y división; la potenciación y radicación eran de tercera 
Definición 
 
Se denomina logaritmo de un número real positivo al 
exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta 
de la unidad, para obtener una potencia igual al número 
propuesto, es decir: 
 
x
 
especie. Resolver un problema de cálculo aritmético 
consistía en transformar uno de segunda o tercera especie 
en una especie inferior (primera especie) de manera que 
 
 
donde: 
l o g 
b
N = x  b = N 
sea más sencilla. 
 
Entonces el gran problema era hallar un proceso que 
permitiese transformar las operaciones de potenciación 
radicación, multiplicación y división en una división o 
sustracción y así que el matemático y teólogo escocés John 
Napier (1550 - 1617) publicó la primera tabla de logaritmos 
en el año 1614. Posteriormente, trabajando en forma 
independiente, el suizo Jose Bürgi (1552 - 1632), fabricante 
- x: logaritmo x  IR 
- b: base (b > 0; b  1) 
- N: número al cual se le toma logaritmo (N > 0) 
 
Ejemplos: 
 
- log
5
25 = 2; porque: 52 = 25 
- log
2
32 = 5; porque: 25 = 32 
-2 
de instrumentos astronómicos matemático e inventor, - log 9 = -2; porque:  
1 

  
= 9
 
publica su tabla de logaritmos en 1620. 
1/3 
 3 
 
Una tabla de logaritmos consta de dos columnas de 
números. A cada elemento de la columna de la izquierda le 
corresponde su logaritmo que es el número ubicado a su 
derecha. 
 
Si bien es cierto que realizar la tabla de logaritmos no ha 
sido sencillo, gracias a ella podemos multiplicar dos 
números sumando logaritmos, dividir dos números restando 
logaritmos, hallar una potencia multiplicando la base por el 
índice; es por ello que los logaritmos fueron indispensables 
durante tres siglos en el cálculo aritmético, el cual 
actualmente ha sido sustituido por las máquinas 
electrónicas, sin embargo siguen ejerciendo un papel 
importante en el campo de las ciencias químicas, físicas, 
- log
3
1 = 0; porque: 30 = 1 
 
 
Identidad fundamental 
 
De la definición, se desprende que: 
 
 
b
logb N = N N > 0; b > 0; b  1 
 
Ejemplos: 
 
 
- 5
log5 3 = 3
 
 
- 7
log7 2 = 2 
economía, estadística, etc. 
 
A lo largo de la historia se han establecido muchas tablas 
de logaritmos, pero la más usual es la de los logaritmos 
decimales, la cual fue elaborada por el matemático inglés 
Efectuar: 
 
 
 
Solución: 
 
 
4
log2 5 + 27
log3 4 
Henry Brigss (1561 - 1631) en colaboración con Napier. 
 
Actualmente los logaritmos se utilizan para trabajar 
cantidades sumamente elevadas, reduciéndolas a escalas 
más pequeñas, donde se pueden trabajar cómodamente, 
utilizando lo que se conoce como “papel logarítmico”. 
 4
log2 5 + 27
log3 4 = (22) log2 5 + (33) log3 4 
= (2
log2 5 )2 + (3
log3 4 )3 = (5)2 + (4)3 = 89 
 
 
A continuación vamos a ver las propiedades de los 
logaritmos que cumplen para cualquier sistema de 
logaritmos. 
 
a) 3 b) 6 c) 9 
d) 12 e) 18 
 
3 
8 
x 
Propiedades generales de los logaritmos 
 
1. log
b
1 = 0  log
5
1 = 0 
 
2. El logaritmo de qué número en base 2 2 es 8. 
 
Solución: 
 
2. log
b
b = 1  log
7
7 = 1 
 
3. log
x
ab = log
x
a + log
x
b  log
2
(15) 
 log
2
(3)(5) 
log 
2
 
2 
N = 8  (2 2 ) = N 
28. 2 8 = N 
N = 4 096 
 log
2
3 + log
2
5 
 
4. log
x
a/b = log
x
a - log
x
b  log
2
5/9 
 log
2
5 - log
2
9 
 
5. log
x
bn = nlog
x
b  log
2
2100 
 100log
2
2 
 100 
 
 
Cologaritmo 
 
Se define como cologaritmo de un número al logaritmo del 
inverso multiplicativo de dicho número, es decir: 
3. Calcular el logaritmo de 64 en base 3 2 . 
 
Solución: 
 
log 3 2 64 = x 
 ( 3 2 )x = 64 
2x/3 = 26 
x 
= 6  x = 18 
3 
 
 
4. El logaritmo de 2 3 en base “x” es 0,1. Hallar “x”. 
 
Solución: 
 
 
 1 

 
1 
logx2 3 = 10
 
colog
b
N = log
b  
 N  x1/10 = 2 3  x = (2 3 )10 
x = 210. 3 10 = x = 248 832 
 
Antilogaritmo 
 
antilogaritmo
b
N = bN 
 
Nota: 
 
log
b
(antilog
b
N) = N; antilog
b
(log
b
N) = N 
 
Cambio de base: 
5. Hallar “x” en: 
Solución: 
 
 
log 3 x 16 = 4 
 
 
 
3 x 4 = 16  x = 
4 16 3 
x = 23  x = 8 
 
 
Problemas para la clase 
logx a
 
log
b
a = 
log b 
 
 
Regla de la cadena: 
 
log
b
a.log
c
b.log
d
c = log
d
a 
 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Calcular el valor de las siguientes expresiones: 
1. Calcular el valor de las siguientes expresiones: 
 
* log
4
16 
 
* log
8
32 
 
* log
25 25 
 
* log
3
243 
 
- log
3
81 = 3x = 81  x = 4 
- 8 log8 a = a; (identidad fundamental) 
* log 
 
* log 
343 
7 
  1 
0,  

- log
4
(3x) = log
4
3 + log
4
x; (x > 0) 
 5 

 9 
- log
3 
  = log35 - log34
 2. El logaritmo en base 1/3 del número 1/729 es: 
 4 
- antilog
4
2 = 42 = 16 
 
a) 27 b) 45 c) 15 
d) 25 e) 18 
 
2 9 
3. Calcular el valor de: 
 
J = 
log2 3
 
 
 
 
log3 5 
 
 
 
l og5 2 
 
 
 
5
log5 3 
 
1 
d) 
2 
 
1 
e) - 
6 
 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) N.A. 
9. Efectuar: 
 
3 

 
 
2 
 
1 
 
 
4. Si: L = log 
3 
[log
2
(log
2
256)] 
log2 45  3 
 
 
a) log
5
2 b) 
log3 40  2 
 
 
1 
log5 72  1 
 
 
c) log
2
5 
Hallar: 
L - 1 
2 
 
 
1 
5 
 
1 
d) 1 e) 
2 
a) 1 b) 
2 
 
3 
d) 0 e) 
2 
c) 2 
10.Reducir: 
 
 
 
 
log2 
 
 
 
1 

15  1 log3 
 
 
 
1 

10  1 log 
 
 
 
1 
5 6  1 
 
5. Simplificar la expresión: 
 
 75 
 
 
 50 
 
 
 32 
 
1 
a) 
6
 
 
1 
b) 
2
 
 
 
c) 0 
G  log   - log    log  
16 81 243
 
     
 
a) 1 b) 0 c) -1 
d) -1 e) 1 
 
11.Calcular: 
 
1 1 
d) e) - 
2 2 
 
 
1 
J = 5 
log7 5  
1 
6. Calcular: 
3 
 1 
- log  
 
 
log7 2 
M = 
 
 
log3 7 
 
 
log5 3 
 
 
log2 5 
 
 
log 4 
11 log11 
 10 
 
a) 2 b) 1 c) -1 
d) 8 e) 0 
 
a) 4 b) 3 c) 2 
d) 1 e) 0 
12.Calcular el valor de: 
R = log52.log2 + log25.log5 - log510.log210 
 
7. Si: 
 
A  log 3.log 10 
3 
a) -1 b) -3 c) -2 
d) 1 e) 0 
 
 
 
 
Hallar: 
 
 
 
B - A 
B  log 
5 
8 .log 25 
2 
13.Calcular: 
lne + lne2 + lne3 + .... + lnex+1 
 
 
x  1
 
11 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
a) x b) 
 
x(x  1) 
 
2 
 
(x  1) (x  2) 
d) 3 e) 4 
 
8. Calcular: 
 
-1 
c) 
2 
 
(x - 1)x 
e) 
2 
d) 
2 

log 0,6 
  2 

  log 3
 
 
 3  
 
 log 
2 
0,5 3
 
 12 
  15 
5 
4 14.Si: a b = (log a) . (log b)
 
   
3 3 
Hallar: 35 9 
 
1 
a) 
6 
1 
b) - 
2 
 
c) 0 
 
a) 1 b) -100 c) 100-1 
d) 100 e) -1 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
     w 
log 5 
7 9 
2 
15.Hallar el valor de: 
J = logb {anti log 2 [log 3 (anti log 4 3)]} b b b 
a) 36 b) 9 c) 7 
d) 18 e) 14 
 
22.Efectuar: 
a) 2 b) 8 c) 12 
d) 4 e) 6 
 
1  logb a 

 
16.Indicar el valor de la expresión: 
 
anti log2 b 

1  loga 
 .loga 5 
b 
 
 
 
log0,25 
 
2 2 2 
8 
 
 
 log0,04 
 
 
5 5 5.... 
a) 8 b) 32 c) 16 
 
1 
d) 2 e) 
2 
 
2 
a) 
3 
1 
b) 
8 
1 
c) 
4 
23.Si: {x; y; z; w} IR+ 
 
- {1} y además: 
     
 
log5 x   
log7 y   
log9 z  

1 
d) - 
8 
15 
e) - 
16 
 log5 
 
w2 
y 
.
 log z 
.
 log  
2
 
17. Si: 10x = 18; 10y = 12, calcular “log
10
6” en términos de 
“x” e “y”. 
Calcular: 
x 
 
 
x - y 
a) 
2 
 
x  y 
b) 
2 
 
x  y 
c) 
3 
1 
a) 
2 
b) 0 c) 1
 
 
x - y 
d) 
3 
 
18.Calcular: 
 
x  y 
e) 
4 
1 
d) - 
2 
e) -1
 
 
24.Sean: a, b, c  IR - {1}, simplificar: 
 
 
log 
 
1 3 
50 0,4 
5 
 
 
 log 
 
2 2 
0,32 
5 
10log100 

loga bc  1 
10log100 

logb ac  1 
10log100 
logc ab  1 
 
 
5 
a) 
6 
 
1 
d) 
6 
1 
b) 
3 
 
5 
e) 
3 
1 
c) 
225.Calcular: 
antilog3 
 
 
 
 
(log 
3 
 
 
 
 
2 
(antilog4 
 
 
 
 
(co log6 
2 2 
 
 
 
 
8))) 
 
19.Reducir la expresión: 
 
log5 2
log2 7 
 
 
log 
7 5
log 
5 
8 
 
1 
a) 32 b) 27 c) - 
27 
log2 5 
 
1 
d) 
27 
 
1 
e) - 
9 
 
26.Hallar el valor de: 
20.Si: log
3
5 = a ; log
3
2 = b. Hallar “log
3
(2,7)” en función 
de “a” y “b”. 
 
log5 
 
{anti log3 [co log 
3 
 
(log 9 (log125 anti log5 log4 
2 
5 
 
2 ))]} 
 
 
a  b 
a) 
2 
 
a  b 
b) 3 + a - b c) 
3 
a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 4 
d) 3 - a - b e) a - b - 3 
 
21.Simplificar: 
 
27. A qué es igual: 
 
 
E = 
log2 3 81
 
 
log 2 
{49log7 6 } log3 5 
2 3
 
 
a) 4 b) 9 c) 16 
d) 25 e) 49 
 
5 
28.Siendo: log
42
2 = a ; log
42
3 = b 
Hallar: log4249 
2. Calcular: 
 
 
 37 
 
 
 3 
 
 
 3 
log2 
  + log2 
  - log2  

a) 1 + a - b b) 2(1 + a + b) c) 3(1 - a - b) 
d) 2(1 - a - b) e) a - b + 2 
 
29.Indicar V o F según corresponda: 
 
I. log
2
(xy) = log
2
|x| + log
2
|y| / xy > 0 
 23 
 
 
 
a) 2 b) 
 74 
 
 
1 
2 
c) 1
 
 
3 
 92 
II. log (x + y ) = 
2 
log x + 
2 
log y ; c ua n do : 
2 
d) 3 e) 
4 
 
1 
 
1 
 1 ; donde: x, y  IR+.
 
 
3. Calcular: log 32 + log 16 
2 1/4 
x y 
III. log
2
(-2)4 = 4log
2
|-2| = 4 
 
a) VFV b) VVF c) VFF 
d) FVV e) VVV 
a) 7 b) 2 c) 4 
d) 1 e) 3 
 
4. Resolver: ax = b 
 
30.Al reducir: 
 
-1 2
 
 
a 
a) b) 
logb log a 
c) 
co log 4 
Se obtiene: 
log2 log2 anti log 4 (log1,4 1,96) b log a 
 
b 
logb 
 
 
1 
a) 1 b) -1 c) 
2 
 
1 
d) 1 e) 
a 
 
 
 
5. Hallar “x”, si: log
4
x = 1,5 
d) - 
2 
e) 0 
 
 
Autoevaluación 
 
3 
a) 4 b) 
2 
d) 6 e) 2 
 
 
c) 8 
 
1. Hallar: log3 3 
 
 
1 
a) 
3 
1 
b) 5 c) 
5 
 
d) 5 3 e) 5 
 
 
4 
AÑO 
3 
Logaritmos II 
 
 
 
 
 
 
He aquí un ingenioso rompecabezas algebraico que nos Resolviendo la ecuación exponencial: 
trajo a los delegados de un congreso físico celebrado en 
Odesa. Proponen el siguiente problema: 
 
3x 
 3 
 
2
 
 
2 
 2 
=  
3 
 
3x 
 3 
  
2 
 
-2 
 3 
=  
2 
“Expresar el siguiente número entero y positivo mediante 
tres números “dos” y signos matemáticos”. 
   
Luego: 
   
 
 
2 
Solución: 
3x = -2  x = - 
3 
 
- Mostramos en un ejemplo la solución de este problema. 
- Supongamos que el número raro es el “3”, en este caso 
el problema se resuelve así: 
 
3 = -log
2
.log
2 2 
Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad. En 
efecto: 
 
-3
 
 
 
2. Hallar “n” en: 
Solución: 
log n = 3log6 - 2log3 
logn = log63 - log32 
 
logn = log 
216 
9 
2 = [(21/2)1/2]1/2 = 21/8 = 22 
 
2-3
 
 
 n = 24 
también: log2 2 = 2
-3
 
luego: -log
2
2-3 = 3 3. Si: F
(x) 
Hallar: 
= log
10
x 
- Si el número fuera 5, resolveríamos por los mismos 
procedimientos: 
 
 
Solución: 
E = F
(1) 
+ F
(0,1) 
+ F
(0,01) 
+ F
(0,001) 
Con la ley dada: 
5 = -log
2
.log
2 2 E = log 1 + log 0,1 + log 0,01 + log 0,001 
10 10 10 10 
 
- Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada, se omite 
el índice de la misma. 
La solución general del problema es como sigue, si el 
número dado es “N”: 
 
 
 
 
 
4. Resolver: 
E = 0 + (-1) + (-2) + (-3) 
E = -6 
 
 
 
 
log
6
x.log
x
2x.log
2x
3x = log
x
x2 
 
 N = -log2 log2 ... 2 Solución: 

"N" veces 
# de radicales = # de unidades del número dado 
Regla de la cadena en el primer miembro: 
log
6
x.log
x
2x.log
2x
3x 
 log
6
3x 
 
 Problemas resueltos 
Luego: 
log
6
3x = log
x
x2 
 log
6
3x = 2 
x

 
1. Calcular el logaritmo de 4/9 en base 3 3/8. 
log x 
 
1 
 
Solución: 
 
 
log 
4 
= x 
3 9 
8 
 
x 
log
6
3x = 2  62 = 3x  x = 12 
 
 
5. Hallar el valor de “x” sabiendo que se cumple la siguiente 
igualdad: 
log
k
32.log
x
k = 5 
 27  4 
   = 
8 9  
 
x 
Solución: 
Regla de la cadena en el primer miembro: 
log
k
32.log
x
k = logx32 
 
1 
a) 
n 
n b) nn c) 
nn 
 
Luego: 
 
 
log
x
32 = 5 
x5 = 32  x = 5 32  x = 2 
1 
d) n 
n 
 
7. Resolver: 
1 
e) 
n 
 
 
Problemas para la clase 
log8 log4 log2 16  x 
 
 
1. Calcular el valor de “x” que satisface la igualdad: 
1 1 
a) b) - c) -4 
 
* log
x
4 = 2/3 
* antilog2x = 32 
* log 0,6 x = 3 
2 
 
1 
d) 
6 
2 
 
1 
e) - 
6 
* log
25
1 = x 
 
2. Determine el valor de “a” en las siguientes ecuaciones: 
 
* 2a = 3 
* 3a + 3a+1 = 20 
* 5a = 10 
* (1/2)a = 2 
 
8. Determinar el valor de “x” en: 
log
2
x + log
4
x = 3 
 
a) 2 b) 4 c) 3 
d) 5 e) 6 
 
9. Si: 
 
 
3. Indique el valor de “x” que cumple: 
log
2
(log
5
x) = 1 
 
Hallar “x”. 
log4(2x + 1) + log2(4x + 2) = 2 
 
a) 5 b) 25 c) 1 
 
1 
d) 125 e) 
25 
1 
a) 
2 
 
1 
d) 
4 
1 
b) 
3 
 
3 
e) 
4 
2 
c) 
3 
 
4. Resolver: 
 
(log x y ) (log y z) (logz { x -3})
 
10.Calcular “a”, dada la siguiente igualdad: 
log [x ]  log 5 x
logx (x 2)  5
log5 x  3
log3 12 
 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 8 e) 9 
 
5. Si: 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 8 e) 10 
 
11.Hallar el valor de “x”: 
log (5x - 1) + colog (3x - 5) = 2 3 3 
log 1 - 
1 
  log 1 - 
1 
  log 1 - 
1 
  ...  log 1 - 
1 
  - 3
 
 
 3 
Hallar “n” 
 
 4 
 
 5 
 
 n 
 
a) 1 b) 2 c) 4 
d) 8 e) 16 
 
a) 103 b) 20-3 c) 2000 
 
1 
d) 3000 e) 
1000 
 
6. Determinar “x” si: 
12.Calcular el valor de “x”. 
antilog
x
antilog
x
x = 16 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 4 e) 6 
 
logb x 
 
x x
n 
 xn - x 
13.Resolver: 
 
x 2 - y 2 

 
 
 11 
donde: b  x x 
log x - log y  1 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
 
a) 4 b) 8 c) 16 
d) 32 e) 256 
 
a) 10 b) 102 c) 103 
d) 104 e) 105 
 
2 
3 

2 

 
 
a) - 
 
10 
; 
1 
 
b) 
10 
; 
1 
20.Resolver e indicar el producto de las soluciones de la 
ecuación: 
3 3 3 3 
1000log 3  3x -5x  9
 
c) 1 ; 
1 
d) 
2 
; 
10 
3 
 
e) 
5 
; 
1 
3 3 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
3 3 
21.Calcular “x” en la ecuación: 
14.Al resolver: 
 

 
x 2 
y2 
25  5 
antilogx antilog4 
2 
antilog2 3  625 
 
 
Hallar “x + y” 
 
 
1 
a) 
4 
ln x  2 ln y 
 
 
 
1 
b) 
2 
 
 
 
 
 
3 
c) 
4 
a) 1 b) 3 c) 2 
d) 5 e) 7 
 
22.Si resolvemos el sistema de ecuaciones: 
ex + y = 12 ; ex - y = 3 
donde: e = 2,718281... 
d) 1 e) 0 
 
15.Si se cumple: 
¿Cuál es el valor de “y”? 
 
a) ln4 b) ln2 c) ln2 + ln3 
d) ln3 e) ln6 
 p2 
log   


 q2 
  logp  log q 


 
23.Si: log
xyz
x = -4; calcular el valor de: 
Hallar: log
p
q + log
q
p 1 
logy xyz 
 
1 
logz xyz 
 
 
 
16.Luego de resolver: 
log
x + 1 
(5x + 19) = 2 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
24.Hallar “x” en la ecuación: 
la solución es: 
 
a) 1 b) 3 c) 2 
d) 5 e) 6 
 
1 
logx  3 10 
 
 
1 
logx  1 10 
 
 log15 
 
17. Resolver: 
 
 
log2x - 7logx = -12 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
e indicar el producto de soluciones. 
 
a) 105 b) 102 c) 107 
d) 108 e) 103 
25.Resolver: 
 
 
25
log5 x - 3
log27 x - 6
log6 12 
 
 
 
 log5 1 
 
18.Resolver: 
 
 
log2x + 3logx + 2 = 0 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
e indicar la mayor solución. 
 
a) 102 b) 10-2 c) 10 
d) 10-1 e) 1 
 
19.Resolver: 
 
 
26.Resolver: 
 
 
 
5log
2
x - 3log
4
x = 28 
log2x - 5logx - 6 = 0 
e indicar el producto de sus soluciones. 
 
 
27. Si: a = xlogy ; b = ylogx 
Reducir: 
log  
a  b 
 2 

  
log (ab) 
 
 
1 
a) 1 b) 
2 
 
 
c) -1 
2. Hallar el logaritmo de 16/81 en base 4/9. 
 
a) 2 b) 3 c) -3 
1 
d) - 
2 
 
e) 0 
 
1 
d) 
4 
 
1 
e) 
2 
 
28.Resolver: 
 
log x  log y  8 
 
3. Resolver: 
 
9
log9 (113 x ) = (22 + 10x) 
 log y 
x  10
7
 a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
Calcular el mayor valor de: x/y 
a) 106 b) 10-6 c) 101/6 
d) 10-1/6 e) 101/3 
 
4. Simplificar: 
 
 1 
 
 
 
 1 
 
 
 
 1 
log5 1   + log5 1   + log5 1   + ... +2 3 4 29.Resolver: 
xlog3 + 4log(log5) = 4log(log125) 
     
 
 1 
log
5 
1  
49 

a) 1 b) 2 c) 3  
d) 4 e) 5 
 
30.Resolver: 
 
 
2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 140 
a) 5 b) 4 c) 3 
d) 2 e) 1 
 
5. Calcular: antilog
2
4 + antilog
3
3 
a) 1 b) 10 c) log2 
d) 2 e) log
2
10 
 
a) 42 b) 48 c) 43 
d) 3 e) 1 
 
Autoevaluación 
 
 
1 
1. Hallar “x” en: log
8
x = 
3 
 
 
a) 3 6 b) 2 c) 3 
d) 1 e) 24