04-DESCARGAR-TEORÍA-Y-EJERCICIOS-DE-PROMEDIOS-PARA-ESTUDIANTES-DE-CUARTO-DE-SECUNDARIA

Vista previa del material en texto

Promedios 
 
 
 
 
 
 
 
¿Puede ser que : 4 = 5? 
 
Pues aquí te lo demuestro, .... claro que las matemáticas no siempre son exactas... 
 
16 - 36 = 25 - 45 
16-36+(20+1/4) = 25-45+(20+1/4) 
16-36+(81/4) = 25-45+(81/4) 
2 
1 6 - 3 6 + (9 / 2 ) = 25-45+(9/2)2 
42-2.4.(9/2)+(9/2)2 = 52-2.5.(9/2)+(9/2)2 
 
Ahora tenemos en los dos miembros un binomio de Newton desarrollado: 
 
(4-9/2)2 = (5-9/2)2 
4 - (9/2) = 5-(9/2) 
 
Por lo que: 
4 = 5 
 
¿Dónde está el error? 
 
 
Objetivos 
 
Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en 
capacidad de: 
 
- Analizar un conjunto de datos y determinar la cantidad 
más adecuada que los pueda representar. 
- Reconocer los diferentes tipos de promedio y aplicarlos 
a situaciones de la vida diaria. 
 
 
Introducción 
Promedio 
 
Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad 
representativa de otras varias cantidades. Se cumplirá que 
este promedio es mayor o igual que la cantidad menor y es 
menor o igual que la cantidad mayor. 
 
Sean las cantidades: 
 
a
1 
< a
2 
< a
3 
< ... < a
n
 
Menor cantidad Mayor cantidad 
 
En la vida diaria encontramos actividades donde el número 
de eventos realizados es un número aleatorio (variable). 
 
Entonces : 
 
a1  Pr omedio  an 
 
Por ejemplo: El número de cartas repartidas por un cartero, 
el número de boletos vendidos en una función de cine, el 
número de personas que suben a un ómnibus en uno de 
sus recorridos. En estos ejemplos podemos darnos cuenta 
que el número de eventos no es una cantidad constante y 
puede variar de un día a otro. Tomando como ejemplo 
para el análisis el número de cartas repartidas por un 
cartero en 5 días tenemos: 48; 63; 56; 71 y 67. Podemos 
buscar un número que sea representativo de todos ellos, 
a l q u e l l a m a r e m o s Promedio, el cual lo calcularemos así: 
 
 
48  63  56  71  67 
 
305 
 61 
 
Clases de promedios 
 
a) Promedio aritmético o media aritmética ( PA ) 
Si tenemos “n” cantidades o datos cuyos valores son : 
a
1
, a
2
, a
3
, ...., a
n 
entonces el promedio aritmético o 
media aritmética de estos será: 
 
 
PA  
Suma de cantidades 
Número de cantidades 
 
Es decir: 
5 5 
a  a
 
 a  ...  a 
 
Donde podríamos decir que el cartero en promedio repartió 
61 cartas diarias. 
PA  1 2 3 n 
n 
 
n
1 
= 35 n2 = 40 n3 = 45 n4 = 30 
P
1 
= 15 P2 = 12 P3 = 13 P4 = 16 
 
1 1 2 2 3 3 k k 
Ejemplo: 
 
Un alumno ha rendido cinco prácticas de aritmética 
y obtuvo las siguientes notas : 12; 14; 10; 11 y 13. 
Calcular el promedio aritmético de sus notas. 
 
 
PA  
12  14  10  11  13 
 12 
5 
 
- Promedio ponderado (P.P.) 
 
Es un caso especial del promedio aritmético, en el 
cual se tienen varios grupos, conociéndose de cada 
grupo, el número de elementos o datos que lo 
conforman (n
i
) y su respectivo promedio aritmético 
(P
i
). Es decir: 
 
Cantidades : n
1 
n
2 
n
3 
.......... n
K 
 
b) Promedio geométrico o media geométrica ( PG ) 
 
Si tenemos “n” cantidades cuyos valores son : a
1
, a
2
, 
a
3
, ......., a
n
. Entonces el promedio geométrico o media 
geométrica será: 
 
 
Número de 
PG  
Cantidades 
Producto de cantidades 
 
 
Es decir: 
 
PG  n a1 x a2 x a3 ... an 
 
 
 
c) Promedio armónico o media armónica ( PH ) 
 
Es la inversa del promedio aritmético de las inversas de 
los números. Si tenemos “n” cantidades o datos cuyos 
Promedios valores son: a , a , a , ....., a . Entonces el promedio 
1 2 3 n
 
aritméticos: P
1 
P
2 
P
3 
.......... P
K armónico o media armónica será: 
 
 
Promedio 
ponderado 
 
 
Ejemplo: 
n P  n P  n P  ...  n P 

n1  n2  n3  ...  nk 
 
PH 
 
 
Es decir: 
 
Número de Cantidades 
Suma de inversas de las cantidades 
 
El siguiente cuadro muestra el número de alumnos 
de las secciones del cuarto año del colegio TRILCE y 
sus respectivas notas promedio en el curso de 
aritmética. Hallar el promedio aritmético de todas 
las secciones. 
 
SECCIÓN N° ALUMNOS PROMEDIO 
 
PH 
 
 
 
 
Propiedades: 
 
 
1 
 
1 
a1 a2 
 
n 
 
 
1 
 ....  
1 
a3 an 
 
A 
B 
C 
D 
 
 
Solución: 
 
35 15 
40 12 
45 13 
30 16 
 
* Si tenemos un conjunto de datos diferentes se cumplirá: 
 
 
PH < PG < PA 
 
Menor promedio Mayor promedio 
 
* Solo para dos números se cumplirá: 
 
2 
 
Reconociendo los datos: 
 
 
 
Ejemplo: 
mg  ma .mh 
 
 
 
P.P.  
n1P1  n2P2  n3P3  n4P4 
n1  n2  n3  n4 
 
P.P.  
35x15  40x12  45x13  30x16 
35  40  45  30 
La media geométrica de dos números es 36 y su media 
armónica es 27. Hallar la media aritmética. 
 
Solución: 
 
Reemplazando en la propiedad: 
 
2 
 
2 070 
mg  ma .mh 
Promedio ponderado = 
150 
= 13,8 
(36)2  ma .(27) 
 
ma  48 
 
a) 13,25 b) 13,75 c) 14,25 
d) 14,50 e) 14,75 
 
4 
7 
7 
7 
 
 
 
 
Nivel I 
 
Problemas para la clase 
9. Un motociclista va de Lima al Callao a razón de 60 km/h 
y por una congestión de t ránsito regresa a razón de 
40 km/h, ¿cuál es su velocidad promedio para todo su 
recorrido? 
 
1. Hallar el promedio aritmético de las cuatro primeras 
notas de Luchin que son 13; 10; 14 y 17. 
 
a) 14 b) 12,5 c) 13 
d) 13,5 e) 12,75 
 
2. En Cibertec el promedio de las cuatro prácticas de un 
curso, para aprobar, debe ser exactamente 14. Si un 
alumno ha obtenido 16; 10 y 11 en las tres primeras. 
¿Cuánto debe obtener en la cuarta práctica para lograr 
el promedio exigido? 
 
a) 16 b) 17 c) 18 
d) 19 e) 15 
 
3. El promedio aritmético de dos números es 76 y su razón 
aritmética 18. Hallar el número mayor. 
 
a) 48 b) 85 c) 92 
d) 106 e) 72 
 
4. El promedio aritmético de las edades de 6 alumnos es 
17 años y de otros 4 alumnos es 15 años. ¿Cuál es el 
promedio aritmético de todo el grupo? 
 
a) 16,7 b) 14,6 c) 15,8 
d) 16,2 e) 15,2 
 
5. El aula de 4° “A” que tiene 35 alumnos tiene como nota 
promedio en el examen mensual de aritmética 16 y los 
del 4° “B” que son 45 tienen como nota promedio 12. 
¿Cuál es el promedio de las dos secciones? 
a) 45 km/h b) 50 c) 48 
d) 42 e) 46 
 
10.La edad promedio de 25 personas es 22 años. Si se 
retiran dos personas cuyas edades son 31 y 36 años, 
¿cuál es el promedio de las restantes? 
 
a) 21 años b) 21,5 c) 20,4 
d) 20,2 e) 19,8 
 
Nivel II 
 
1. El promedio aritmético de las edades de 5 hombres es 
46 años. Si ninguno de ellos tienen menos de 43 años, 
¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? 
 
a) 56 años b) 58 c) 64 
d) 68 e) 70 
 
2. El promedio de “n” números es 38, si se agrega un 
número “x” el promedio sigue siendo 38, ¿cuál es el 
valor de “x”? 
 
a) 76 b) 38 c) 19 
d) n e) n/2 
 
3. Una línea de microbús tiene una ruta que rodea la ciudad 
formada por tres avenidas que se cruzan formando un 
triángulo equilátero. Si las velocidades que pueden 
desarrollar en cada lado del triángulo son 30 km/h; 
50 km/h y 60 km/h. ¿Cuál es su velocidad promedio en 
km/h a lo largo de toda su ruta? 
 
a) 41 5 km/h b) 42 6 
7 
c) 43 2 
 
6. El promedio aritmético de 18 números es 46, de otros 
24 números es 64 y de otros 8 números es 52. ¿Cuál es 
 
d) 43 1 
 
e) 41 2 
el promedio aritmético de todos los números? 4. Si la media geométrica de : 
2; 4; 8; 16; 32; ....; 2n es 512 
a) 52,8 b) 54,6 c) 55,6 
d) 56,7 e) 58,3 
 
7. Si la media geométrica de dos números es 14 y su media 
armónica 11 15 . Hallar los números. 
 
a) 21 y 14 b) 28 y 7 c) 28 y 14 
d) 49 y 7 e) 49 y 4 
 
8. El promedio aritmético de las edades de 6 hombres es 
31 años. Si ninguno de ellos es menor de 27 años, ¿cuál 
es la máxima edad que podría tener uno de ellos? 
 
a) 58 años b) 55 c) 53 
d) 51 e) 45 
Hallar “n” 
 
a) 19 b) 20 c) 17 
d) 16 e) 15 
 
5. La media geométrica de 3 números es 32 y la media 
geométrica de otros 2 números es 243. Hallar la media 
geométrica de los5 números. 
 
a) 36 b) 72 c) 48 
d) 54 e) 42 
 
6. El promedio geométrico de 3 números diferentes es 7. 
Hallar el promedio aritmético de los números. 
 
a) H - 2L b) 3H - 3L c) H - 3L 
d) 3H - L e) H - L 
 
a) 17 b) 19 c) 21 
d) 7 e) 14 
 
7. El promedio de notas del examen mensual rendido por 
40 alumnos es 11,65. Los 8 mejores alumnos obtuvieron 
un promedio de 17 y los 10 últimos un promedio de 7,5. 
¿cuál es el promedio obtenido por el grupo restante? 
 
a) 13 b) 12,5 c) 11,5 
d) 14 e) 13,5 
 
8. La media aritmética de dos números es 25 y su media 
geométrica es 24. Hallar la diferencia de los números. 
4. Si el promedio aritmético y armónico de tres números 
es 14 y 72/7 respectivamente. Hallar el menor de ellos 
si se sabe que su promedio geométrico es igual a uno 
de los números. 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
5. Un auto de carrera recorre los lados de un cuadrado. El 
primero de los lados lo recorre a 100 km/h, el segundo 
lado a razón de 200 km/h, el tercero a razón de 
300 km/h y el último lado a razón de 400 km/h. ¿Cuál 
es su velocidad promedio para todo su recorrido? 
 
a) 8 b) 10 c) 12 a) 184 km/h b) 192 c) 210 
d) 14 e) 16 d) 216 e) 224 
 
9. El promedio aritmético de 50 números es 31,2. Si se 
eliminan 12 números el nuevo promedio es 32. Hallar el 
promedio aritmético de los números eliminados. 
 
6. Calcular la media armónica de los 30 números de la 
siguiente serie: 
 
2; 6; 12; 20; ........ 
 
a) 26 13 
 
d) 29 13 
 
b) 27 13 
 
e) 31 13 
 
c) 28 2 3 
 
a) 31 b) 30 c) 29 
d) 28 e) 27 
 
7. El promedio geométrico de tres números pares distintos 
10.El mayor y menor de los promedios de dos números 
son números enteros cuya diferencia es 4. Si uno de los 
números es 8, hallar el otro número. 
 
a) 16 b) 18 c) 20 
d) 24 e) 32 
 
Nivel III 
es 14. Hallar su promedio aritmético. 
 
a) 14 b) 18 c) 32 
d) 38 e) 42 
 
8. La media geométrica de tres números tomados de dos 
a dos es 4; 6 y 12. Hallar la media armónica de los 
números. 
 
1. Después de un examen, los resultados que se obtuvieron 
en una clase fueron: 25% de la clase obtuvo 12 de nota, 
50 % de la clase obtuvo 15 de nota, el 10% de la clase 
obtuvo 18 de nota. Si el resto obtuvo 10 de nota. ¿Cuál 
a) 5 12 49 
d) 4 16 49 
b) 5 4 19 
e) 5 18 49 
c) 4 20 49 
es la nota promedio de toda la clase? 
 
a) 13,9 b) 13,6 c) 13,5 
d) 13,4 e) 13,8 
 
2. Hallar dos números sabiendo que su mayor promedio es 
9. La estatura promedio de un grupo de personas es “H”. 
Se forma tres grupos iguales y se nota que la estatura 
promedio de los dos primeros son “L” y “2L”. ¿Cuál es la 
estatura promedio del tercer grupo? 
13 1 2 y su menor promedio 13 
1 
3 . Dar la diferencia de 
los números. 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
3. La media aritmética de dos números que se diferencian 
en 20, excede en 5 a su media armónica, entonces el 
número mayor es: 
 
a) 28 b) 30 c) 32 
d) 34 e) 38 
10.En el último examen de admisión de la U. Católica, se 
presentaron 4 000 postulantes. Después de darse los 
resultados se observó que la nota promedio de los 
ingresantes fue 1 200 y de los no ingresantes fue 700. Si 
la nota promedio de todos los postulantes fue 820. Hallar 
el número de ingresantes. 
 
a) 820 b) 850 c) 910 
d) 960 e) 980 
 
Claves 
 
1. c 
 
2. 
 
a 
 
3. c 
4. a 5. d 
 
 
Autoevaluación 
4. La media aritmética de dos números es 20 y su media 
geométrica es 18. Hallar su media armónica. 
 
1. La edad promedio de 15 alumnos es 12 años y de otros 
10 alumnos es 13. ¿Cuál es la edad promedio de todos 
los alumnos? 
 
a) 12,8 b) 12,6 c) 12,4 
d) 12,2 e) 12,5 
a) 16,2 b) 16,4 c) 17,2 
d) 15,4 e) 15,2 
 
 
5. La media geométrica de dos números es 50 y su media 
armónica es 40. Hallar la diferencia de los números. 
 
2. El promedio aritmético de 6 números consecutivos es a) 60 b) 70 c) 80 
 34,5. Hallar el promedio aritmético de los dos menores. d) 75 e) 45 
 
a) 32,5 b) 31,5 c) 33 
d) 33,5 e) 34,5 
 
3. El promedio geométrico de dos números es 15 y de 
otros dos números es 60. Hallar el promedio geométrico 
de los cuatro números. 
 
a) 25 b) 20 c) 30 
d) 32 e) 35