Anualidades_con_gradientes_aritmeticas_y_geometricas

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Matemática para las Finanzas 
 
MÓDULO III 
 
RENTAS VENCIDAS Y GRADIENTES 
 
1. Un padre de familia desea comprarle a su hijo una camioneta 4x4 cuando termine la 
universidad (dentro de 4 años), contados a partir de hoy, se estima el que valor de este 
vehículo en esa fecha será de US$ 42,000. Para lograr dicho objetivo crea un fondo de 
ahorro en el que depositará cuotas trimestrales, las primeras 5 cuotas serán iguales y luego 
se incrementarán en US$ 250 cada una, con respecto a la anterior. Y adicionalmente 
deposita el día de hoy en la cuenta de ahorros US$ 4,500 con la finalidad de que las 
cuotas sean menores. 
 
El banco tiene como tasa pasiva, una tasa efectiva cuatrimestral del 3.6% para el primer 
año (12 meses), y a partir de allí en adelante la tasa variaría a una TEB del 2.6%. 
 
Calcular el importe del primer depósito (cuota 1). 
 
Respuesta cuota $ 704.44 
 
2. Un joven empresario, tiene la oportunidad de ingresar a un nuevo negocio, para ello ha 
pensado realizar un préstamo de US$ 55,000, pero tiene dos alternativas de 
financiamiento, Banco Nuevo Mundo y el Banco República, a continuación se indica las 
condiciones del préstamo: 
 
 Banco Nuevo Mundo: 
 
El plazo para cancelar la deuda es de 3 años, con una tasa de interés del 18.8% anual, 
pero la cuotas serán trimestrales adelantadas y en el primer y último periodo se pagarán 
cuotas dobles. Hallar la cuota a pagar. 
 
 Banco República: 
 
El plazo de pago de la deuda es 2.5 años, con cuotas bimestrales crecientes, dichas 
cuotas crecerán en US$ 150 a partir de la segunda cuota, y la tasa será una TNT del 4.2% 
con capitalización cuatrimestralmente. Hallar la cuota a pagar. 
 
Respuesta: Banco Nuevo Mundo 
 Cuota = 4892.20 
 
Banco República 
 Cuota = 3554.24 
 
3. Un padre de familia está planificando sus estudios universitarios de su hijo, porque en 
estos momentos se encuentra estudiando el nivel primario, esto significa que tiene varios 
años para ahorrar. Si este padre decidiera pagar toda su carrera universitaria al inicio de 
los estudios de su hijo, él necesitará US$ 35,000, afortunadamente faltan 5.5 años. Para 
lograr este objetivo el padre diseñó la siguiente estrategia de ahorro. 
 
El día de hoy abrirá una cuenta de ahorro con un monto de US$ 1,500, y los depósitos lo 
realizará cada trimestre, los dos primeros años de depósito las cuotas serán constantes y a 
partir del tercer año de depósito éstas se incrementarán en US$ 120. Si el banco tiene una 
tasa pasiva bimestral del 1.8%, hallar la cuota que deposita cada periodo. 
 
Respuesta cuota $ 611.95 
 
 Matemática para las Finanzas 
 
4. Por un préstamo recibido hoy, una persona tiene que efectuar pagos mensuales 
inmediatos y vencidos durante 3 años. Los primeros 15 pagos constantes serán de S/. 
500.00 y los restantes crecerán 2% respecto de la cuota anterior. Si la tasa de interés 
aplicada a esta operación financiera es de 10% efectiva semestral, se pide: 
 
a) Determinar el importe del préstamo. 
b) Determinar el importe del último pago. 
 
Respuesta préstamo $ 15261.16 
 Importe último pago = 757.83 
 
5. Un joven desea comprarse una camioneta 4x4 cuando termina la universidad (dentro de 5 
años), contados a partir de hoy, se estima el que valor de este vehículo en esta fecha será 
de US$ 42,000. Para lograr dicho objetivo crea un fondo de ahorro en el que depositará 
cuotas trimestrales, las primeras 5 cuotas serán iguales y luego se incrementarán a razón 
del 5% cada una con respecto a la anterior. Y adicionalmente deposita el día de hoy en la 
cuenta de ahorros US$ 4,500 con la finalidad de que las cuotas sean menores. El banco 
tiene como tasa pasiva una tasa nominal semestral de 8% con capitalización mensual. 
Hallar el valor de la primera cuota (R). 
 
Respuesta primera cuota $ 818.72 
 
6. Una empresa adquiere a plazos una maquinaria cuyo precio al contado es US$ 25,000. 
dicha operación se realiza dando una cuota inicial equivalente al 10% del valor de contado, 
acordando cancelar el saldo con cuotas bimestrales fijas en un plazo de 20 meses que 
incluye 4 meses diferidos sin pago de intereses a la TNC del 4% con capitalización 
quincenal. 
 
Cumplido el pago de la cuarta cuota, la empresa negocia con el banco el pago del saldo 
deudor mediante cuotas mensuales crecientes en un plazo de 15 meses, a partir de la 
segunda cuota se incrementarán en 5% entre una cuota y otra. La tasa aplicada en el 
cálculo de la cuota mensual es una TNT del 3,5% con capitalización cada 35 días. 
Se pide: 
 
a) Hallar la cuota bimestral inicialmente pactada. 
b) Hallar la nueva cuota mensual. 
 
Respuesta: a desarrollar 
 
7. Un préstamo de S/ 120,000 será cancelado en dos años a través de pagos mensuales. El 
primer año estos serán mensuales e iguales y a partir del segundo año crecerán en 5% 
mensualmente con respecto a la cuota anterior. Si el banco cobra una TEA del 14% para 
dicho préstamo. Calcule el valor de las cuotas iguales. 
 
Respuesta: 4844.94 
 
8. Hoy se ha pagado al banco S/ 7,500, equivalente a la 4ta cuota mensual de un crédito 
creciente en S/ 800 mensualmente y que se otorgó para ser cancelado en 12 cuotas 
mensuales a una TNA del 15% con capitalización bimestral. Calcule el valor de dicho 
préstamo. 
 
Respuesta: $104 000.11 
 
9. Un joven profesional egresado de la USIL desea comprar un automóvil. El valor del 
automóvil dentro de 3.5 años será de US$ 20,000. Para tal efecto crea un fondo de ahorro 
con un monto inicial de US$ 4,200, en el que depositará cuotas bimensuales, las primeras 
 Matemática para las Finanzas 
6 cuotas serán iguales y luego se incrementarán a razón de 2.5% cada una con respecto a 
la anterior. El banco tiene una tasa pasiva de 4.25% TEA. 
Hallar el valor de la primera cuota. 
 
Respuesta: a desarrollar 
 
10. La empresa Maranga SAC solicita un préstamo de $15,000, el mismo que será cancelado 
de la siguiente manera: 
 
- Dos meses de gracia sin pago de interés 
- 5 cuotas bimestrales las mismas que crecen a una tasa del 7% respecto a la anterior. 
- 4 cuotas trimestrales iguales de $800 cada una. 
- Cuotas extraordinarias de $1,000 cada fin de año. 
El intermediario cobra una tasa del 27% TEA. 
Determine el valor de la cuarta cuota bimestral. 
 
Respuesta: a desarrollar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática para las Finanzas 
 
FÓRMULAS DE RENTAS VENCIDAS, ADELANTADAS, PERPETUAS Y 
GRADIENTES 
 
1.- Factor de actualización de la serie (FAS) 
 
 
 n
n
ii
i
FAS



1
11
  niFASRP  
 
2.- Factor de capitalización de la serie (FCS) 
 
 
i
i
FCS
n
11 
  niFCSRS  
 
3.- Factor de recuperación de capital (FRC) 
 
 
  11
1



n
n
i
ii
FRC  niFRCPR  
 
4.- Factor de depósito a fondo de amortización (FDFA) 
 
  11 

n
i
i
FDFA  niFDFASR  
 
5.- Valor presente de una anualidad anticipada (P) 
 
 
 
 









n
n
ii
i
iRaP
1
11
1  niFASiRaP )1(  
 
6.- Valor futuro de una anualidad adelantada ( S ) 
 
 
 





 

i
i
iRaS
n
11
1  niFCSiRaS )1(  
 
7.- Valor de la renta anticipada conociendo el valor presente (Ra) 
 
 
 
 










11
1
1 n
n
i
ii
i
P
Ra  niFRC
i
P
Ra
)1( 
 
 
8.- Valor de la renta anticipada conociendo el valor futuro (Ra) 
 
   








111
n
i
i
i
S
Ra  niFDFA
i
S
Ra
)1( 
 
 
 Matemática para las Finanzas 
 
 
9.- Valor presente de una anualidad vencida perpetua 
 
i
R
i
RP 






1
 
 
10.- Valor de la renta perpetua vencida 
 
iPR * 
 
11.- Valor presente de la anualidad con gradientes aritméticas 
 
 
 
 
   



















nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
i
RP
11
11
1
11
 
 
).()( ni
n
i GFASGFASRP 12.- Valor futuro total de la anualidad con gradientes aritméticas. 
 
   













 
 n
i
i
i
G
i
i
RS
nn
1111
 
 
).()( ni
n
i GFCSGFCSRS  
 
13.- Valor presente de una anualidad con gradientes geométricas. 
 
 
 
  








ig
ig
i
R
P
nn
n 1
1
1
 Donde: ig 1 
 
Si : ik   ig 1 
g
Rn
P
.
 
 
14.- Valor Futuro de una anualidad con gradientes geométricas. 
 
 
  







ig
ig
RS
nn
1
1
 Donde: ig 1 
 
Si : ik   ig 1 
1..
..  n
n
gRn
g
gRn
S